Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens TIC-10.073 Aulas 2 e 3 Conteúdo Geometria Projetiva 2D Professor Leandro Augusto Frata Fernandes laffernandes@ic.uff.br Material disponível em http://www.ic.uff.br/~laffernandes/teaching/2016.1/tic-10.073 Tópicos da Aula Espaço projetivo 2D Pontos, retas e cônicas Transformações e invariantes Leituras Hartley and Zissermann, 2nd ed., 2004, Seções 2.1 a 2.4 TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 2 1
Geometria Projetiva 2D Espaço Projetivo 2D TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 3 Espaço Euclidiano e Espaço Projetivo 2D Representação Euclidiana Representação Homogênea P TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 4 2
Pontos Finitos e Direções Representação Euclidiana Representação Homogênea x x u u x /,/ u, x,,, para 0 u,,0 TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 5 Retas Representação Euclidiana Representação Homogênea l l l,, 0 l,, x l 0 TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 6 3
Produto Vetorial kuv u v v uv u k uv TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 7 Reta Comum a Dois Pontos l x x l Válido apenas em P. TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 8 4
Intersecção de Retas x x l l Válido apenas em P. TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 9 Dualidade entre Pontos e Retas Princípio da dualidade x x l0 xll Para qualquer teorema de geometria projetiva 2D há um teorema dual que pode ser derivado pela troca de papéis de linhas e pontos no teorema original. Válido apenasem P. TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 10 5
Cônicas Elipse Parábola Hipérbole Cônicas não degeneradas. TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 11 Cônicas Curvas descritas no plano pela equação 0 onde x,,1 é um ponto sobre a curva Forma homogênea 0 Forma matricial /2 /2 /2 /2 /2 /2 x x0 TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 12 6
Cinco Pontos Definem uma Cônica Para cada ponto contigo na cônica temos 0 ou,,,,,1 c0 que leva ao sistema de equações 1 1 1 1 1 c0 para c,,,,, TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 13 Retas Tangentes a Cônicas A reta lé tangente a cônica no ponto x pertencente à é dada por l x x l TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 14 7
Cônicas Duais Uma linha tangente a cônica satisfaz l l0 Para matriz simétrica não-singular TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 15 Cônicas Degeneradas A cônica é degenerada se a matriz não tem posto completo Par de linhas le m(posto 2) l m m l m l Linhas repetidas (posto 1) l l l Para cônicas degeneradas. TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 16 8
Geometria Projetiva 2D Transformações e Invariantes TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 17 Transformação Projetiva Transformação projetiva é um mapeamento P P que pode ser representada por uma matriz nãosingular e 33, de tal modo que para qualquer ponto em P representado por um vetor x x x Transformação projetiva e homografia são sinônimos. TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 18 9
Transformação de Pontos x x,,,,,,,,, possui graus de liberdade. TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 19 Mapeamento entre Planos Exemplo de Projeção Central x x TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 20 10
Remoção de Distorção Projetiva Com distorção Sem distorção Manipule x xalgebricamente para cada um dos quatro pares de pontos nas imagens e normalize para obter =1. As oito equações obtidas formam um sistema sobre os coeficientes de. Resolva o sistema. Aplique sobre cada ponto da imagem sem distorção para amostrar a imagem com distorção. Calibração desnecessária. TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 21 Transformação de Retas e Cônicas Transformação de pontos x x Transformação de retas l Transformação de cônicas Transformação de cônicas duais TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 22 11
Hierarquia de Transformações Isometrias / Corpo Rígido / Euclidiana Preserva distâncias, ângulos e áreas Isometrias Translação Identidade Rotação TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 23 Hierarquia de Transformações Similaridades Preserva razões entre distâncias, razões entre áreas, ângulos e linhas paralelas Similaridades Isometrias Translação Identidade Rotação Escala Isotrópica TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 24 12
Hierarquia de Transformações Transformações Afins Preserva paralelismo, razões entre distâncias paralelas e entre áreas Afins Similaridades Isometrias Identidade Translação Rotação Escala Isotrópica Escala não-isotrópica Reflexão Cisalhamento TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 25 Hierarquia de Transformações Transformações Projetivas Preserva retas e razão anarmônica de quatro pontos em uma reta Projetivas Afins Similaridades Isometrias Identidade Translação Rotação Escala Isotrópica Escala não-isotrópica Reflexão Cisalhamento Perspectiva TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 26 13
Representação Matricial das Transformações Isometria 3 dof ε cos sin ε sin cos 0 0 1 ε 1, 1, preserva orientação não preserva orientação Similaridade 4 dof s cos sin sin cos 0 0 1 Afim 6 dof Projetiva 8 dof,,,, 0 0 1,,,,,,,, 0 0 TIC-10.073 Reconstrução Geométrica a Partir de Imagens 27 14