Magnetostática Cap. 5 Campo magnético e potencial vetor magnético Equações da magnetostática Transformações de calibre Momentos de dipolo magnético Campo magnético dipolar Magnetização e correntes de magnetização Densidades efetivas de cargas magnéticas Classificação magnética dos materiais Potencial escalar magnético Problemas de condições de contorno
Lei de Biot - Savart
Equivalentes de cargas em movimento : densidades de corrente filiformes, superficiais e volumétricas
Fluxo magnético
Ex.: Campo magnético no eixo de uma bobina plana e na vizinhança do eixo. Fluxo sobre o cilíndro : Fluxo na superfície lateral Fluxo através da tampa de cima Fluxo através da tampa de baixo
Sobre o eixo (r = 0) temos : Na vizinhança do eixo temos : Lembando que : ao eixo em M é: ou seja a inclinação de B relativa
Divergência nula de B implica na inexistência de observação experimental de monopolos magnéticos: Teorema da divergência : Em consequência, define-se o Potencial Vetor A:
Expressão integral para o Potencial Vetor A : Verifique que : Lembrando que J é função das coordenadas (x, y, z ) :
Analogia Se em Eletrostática temos : Então em Magnetostática temos :
Sendo Então Pois
Uma vez que x Magnetostática!!!
Lei de Ampère
Equações do Campo Magnetostático Forma integral Campos magnetostáticos não apresentam dependência do tempo.
Transformação de Calibre Calibre de Coulomb
Exercício É possível haver uma onda magnetostática? Qual é o seu significado? Sugestão: http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/spinwave.pdf
Momento de dipolo magnético
Momento de dipolo magnético Campo magnético dipolar
Ex.: Campo magnético dipolar (releitura!)
Momento dipolar magnético (generalização!) ( )
Exercício Mostre que a expressão geral do campo magnético dipolar inclusive dentro da distribuição dipolar de raio R é dada por: tal que satisfazendo a condição:
Interação entre dipolos magnéticos imersos num campo externo
Ex. : Verifique as energias magnéticas das configuracões de A a F. A B C D F o 3 m1m2 4 2 r 3 E
Exercício Obtenha o dipolo magnético associado a uma espira plana no limite r >> a.
Exercício Releitura do exercício anterior sem a imposição r >> a.
Integrais Elípticas
Exercício Obtenha o campo magnético do dipolo magnético do exercício anterior. Mostre que:
Exercício Nova releitura do exercício anterior usando os harmônicos esféricos. m =1 l par l impar
Exercício Obtenha o campo dipolar magnético do exercício anterior.
Uma força magnética conservativa no caso de uma distribuição de correntes localizadas num campo eletrostático que varia suavemente Equivale a um monopolo "Nulo"
Força Conservativa Energia potencial magnetostática
Magnetização A magnetização é definida através do momento de dipolo magnético por unidade de volume de um material. Pictoricamente, é associada as correntes de magnetização (Amperianas). pictórico
Visão microscópica
Admitindo: Da relação vetorial : x (f F) = (f ) x F + f ( x F) Gauss-Ostrogradski X F dv = da X F
Materiais magnetizados Densidade de corrente de magnetização volumétrica : JM Densidade de corrente de magnetização superficial : jm
B e M são funcionais de H Magnetização : M = dm/dv A m-1 no SI a unidade de M é Susceptibilidade magnética Permeabilidade magnética Permeabilidade magnética relativa
Indução Magnética B e Campo Magnético H
Definição do campo magnético H : Equação constitutiva ou funcional : Em consequência
Lei de Ampère em presença de material magnético
Ex.: Campos magnéticos externos a ferromagnetos Densidades efetivas de carga magnética Distante de uma região com M localizada
= o B + H M
Resposta magnética dos materiais Diamagnéticos : materiais com todos os spins eletrônicos emparelhados. Paramagnéticos: materiais com spins eletrônicos desemparelhados não interagentes e flutuando térmicamente. Ferromagnéticos: materiais com spins eletrônicos desemparelhados e acoplados via interação de troca quantum-mecânica.
O ciclo de histerese Br indica quanto forte é o ímã. HC indica quanto é difícil desmagnetizar o ímã. H)maxindica o volume de material necessário para obter uma certa energ
M
Magnetic domain walls
Ferromagnetismo é um fenômeno quantum-mecânico! A interação dipolar magnética é << ktc
Energia magnética armazenada 1 1 3 W 0 H (H M)d x 0 H Hd 3 x H Md 3 x 2 2 espaço material
Condições de contorno em interfaces com materiais magnéticos
Interfaces
Potenciais Magnéticos Caso
Ex.: Blindagem magnética usando uma casca esférica de material permeável num campo magnético uniforme. Temos B = H somente entre b > r > a. Logo, é preciso resolver apenas a equação de Laplace nas regiões r > b e r < a.
As soluções fisicamente aceitáveis nas três regiões são : As condições de contorno em r = a e r = b são tais que H e Br são contínuos. Em termos do potencial escalar magnético estas condições são: ( relativo)
Estas quatro condições são suficientes para a determinação de todas as constantes desconhecidas pois todos os coeficientes com l 1 anulam-se. Para l = 1 os coeficientes satifazem simultaneamente as equações : As soluções para 1 e são :
O potencial fora da casca esférica corresponde ao campo uniforme Bo mais um campo dipolar com um momento de dipolo orientado paralelo a Bo. Dentro da cavidade há um campo magnético uniforme paralelo à Bo igual em magnitude à. Quando >> 1, o momento de dipolo e o campo interior tornam-se : Portanto, o campo no interior da casca é proporcional a 1/ e a blindagem magnética com um material de alta permeabilidade torna-se bastante efetiva. Sendo ~ 103 106 se reduz significativamente o campo no interior da casca esférica.
B~0
Exercício (a) Obtenha o potencial e campo magnéticos de uma esfera uniformente magnetizada. (b) Obtenha B, H e M no interior uma esfera magnetizada imersa em um campo magnetostático.
Exercício Obtenha o potencial e campo magnéticos em torno de um orificio circular num plano condutor com um campo magnético externo assintoticamente tangencial e uniforme em um dos lados (seção 5.13 do livro do Jackson 3a Ed.)