Paramagneto, Ferromagneto e Transições de Fase

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1 Paramagneto, Ferromagneto e Transições de Fase Estudo a partir da mecânica estatística Mecânica Estatística 014 Sistemas paramagnéticos Sistemas ferromagnéticos Transições de fase Modelo de Ising

2 Sistema paramagnético Paramagneto ou ferromagneto a temperaturas suficientemente altas Pierre Curie (1905) : M C H T M C T Magnetização total Constante de Curie Temperatura Susceptibilidade magnética: M H T C T

3 Sistema paramagnético Microscopicamente, Paul Langevin (1905): Dipolo magnético na presença de um campo magnético H z Energia de interação: H z H H Brillouin: ou spin para cima spin para baixo z H H Átomos localizados e fracamente interagentes.. Cada átomo pode estar em dois níveis de energia. 3

4 spin para cima spin para baixo Sistema paramagnético H H Átomos localizados e Fracamente interagentes. Cada átomo pode estar em dois níveis de energia. s Função de partição associada a um átomo e s (estados) 1/ kb T ( H ) ( H ) H H e e e e e H H e 4

5 Sistema paramagnético Probabilidade de encontrar um dipolo com z P e H e H e H Probabilidade de encontrar um dipolo com z P e e H H e H 5

6 Definição: Magnetização por átomo m z e z s s m z H e ( ) ( H ) e H e ( ) ( H ) e H e H e ou m m e H e H z H H e e m Definição: m / Magnetização reduzida exp( H / kbt) exp( H / kbt) H tanh exp( H / k t) exp( H / k T) k T B B B Equação de Langevin- Brillouin 6

7 7 Magnetização Magnetização Total T k H m B tanh T k H N Nm M B tanh Nm M

8 Susceptibilidade magnética M H M H N e e H H e H e H e e e e H H H N e e H H H N 1 sinh ( H ) cosh ( H ) N cosh ( H ) 8

9 Magnetização no limite de altas temperaturas e campos fracos m tanh H 1 H kb T H m tanh H H kt B m H k T B e H k T B M Nm H N k T B ou M H C T Lei de Curie 9

10 Paramagneto Magnetização m exp( H / kbt) exp( H / kbt) H tanh exp( H / k t) exp( H / k T) k T B B B (P1) H H m m/ m tanh H (P) Equação de Langevin-Brillouin Susceptibilidade magnética N cosh ( H ) 10

11 Suscetibilidade a campo nulo N cosh ( H ) Para H 0 : N 0 k T B C T Lei de Curie em que C const. A campo nulo a susceptibilidade magnética é proporcional ao inverso da temperatura T. 11

12 1/ versus a temperatura T para o sal de gadolínio. 1/ Resultados experimentais T Linha cheia: Lei de Curie Dados: Jackson & Karmeling Onnes, Leiden Comm., (C. Kittel, Introdução à Física do Estado Sólido, Guanabara Dois, 1978, p. 430) 1

13 Ferromagneto simples Magnetização espontânea Tratamento fenomenológico: Teoria de Curie-Weiss (1907) e outras Aproximações de Campo Médio. Modelo estatístico mais simples: Modelo de Ising 13

14 Sistemas de spins interagentes. Ferromagneto simples O sistema pode estar ordenado na fase ferromagnética ou desordenado (fase paramagnética). Parâmetro de ordem: = magnetização. m m 0 Fase paramagnética (P) m 0 Fase ferromagnética (F) 14

15 Esboço do diagrama de fase de um ferromagneto a campo nulo 0 F T Temperatura Fase ferromagnética F P Fase paramagnética T c P Tc T Temperatura crítica Parâmetro ordem: magnetização espontânea m Para temperaturas acima da temperatura crítica o sistema se encontra no estado paramagnético ( P), (desordenado). m 0 para T Tc Para temperaturas abaixo da temperatura crítica o sistema se encontra no estado ferromagnético (F ), (ordenado): m 0 para T T c 15

16 Dados experimentais - Níquel m Magnetização versus temperatura para diferentes valores do campo magnético aplicado 16

17 Transições de fases contínuas (ou transições de fase de segunda ordem) m m Parâmetro de ordem: Parâmetro de controle: q 0 q c q q Nas vizinhanças da criticalidade ( próximo do seu valor crítico ) q c m ~ q q c : Expoente crítico associado ao parâmetro de ordem 17

18 Exemplos de transições de fase de segunda ordem ferromagnética paramagnética em um ferromagneto magnetização espontânea m liquido vapor em um substância simples vg v L 18

19 Substância simples: planos T-p e V-p Plano T-p Plano v-p isotermas T T c T T c T T c Sears&Salinger Termodinâmica, Teoria cinética e Termodinâmica Estatística 19

20 Teoria de Curie-Weiss -Uma aproximação de campo médio m=tanh(βh efetivo ), β=1/k B T. Soluções: m=0 e m 0 Transição: T c Temperatura crítica Expoente crítico: β=1/ 0

21 Magnetização de um ferromagneto / Aproximação de campo médio m tanh ( H efetivo ) (1) Hipótese de Weiss: esta equação descreve a magnetização de um átomo sujeito a um campo efetivo. Esta equação é inspirada na equação (P) para a magnetização de um paramagneto, a equação de Langevin-Brillouin. Substitui-se H da eq. (P) por: H H H H Jzm efetivo médio () H Jzm m Campo magnético externo aplicado Campo devido aos dipolos magnéticos vizinhos a um determinado dipolo magnético (Teoria de Weiss). 1

22 Magnetização espontânea m tanh( H efetivo ) (3) Para H=0 (campo magnético externo nulo) temos, m tanh( Jzm) (4) A equação (3) fornece uma magnetização espontânea!

23 m tanh( Jzm) (4) m 0 é sempre solução dessa equação. Entretanto, dependendo da temperatura podemos ter outras soluções! Vamos definir x tal que: x Jmz (5) E reescrever a equação para a magnetização: xk B T Jz tanh(x) (6) No próximo slide estão esquematizadas as soluções gráficas desta equação. 3

24 K B T Jz x tanh( x) (7) T 1 T c T tanh(x) x T T c T T 1 c Figura 3 4

25 Se Jz 1 ou seja (linha azul no gráfico da Fig. 3) k B T Jz 1 então a reta k T x B encontra a curva tanh(x) Jz para: x * 0 ou equivalentemente: m * 0 para temperaturas baixas, há duas soluções iguais em módulo!! 5

26 Temperatura crítica A temperatura crítica, onde se dá a transição de uma fase ferromagnética para a fase paramagnética, m 0, é dada por: k B T Jz c 1 (8) tanh( x) Linha vermelha no gráfico xkbt Jz tanh( x) 6

27 Magnetização versus temperatura - Teoria de Curie-Weiss m (H = 0 ) 7

28 Transições de Fase Mecânica Estatística 014 Segunda aula. Expoentes críticos. Modelo de Ising 8

29 Expansão ao redor do ponto crítico Para T T c mas próximo de T c temos: m 1 Podemos expandir a equação (4) m tanh( Jzm) 3 retendo termos até ordem de : m (4) m Jzm 1 3 ( Jzm) 3 (9) 9

30 Comportamento da magnetização nas vizinhanças do ponto crítico m Jzm 1 3 ( Jzm) 3 (9) Para m 0 e lembrando que k B T c Jz temos: m 3(1 T T c ) m 3 T c ( T c T 1/ ) (10) 30

31 Comportamento assintótico da magnetização <-> comportamento nas vizinhanças do ponto crítico m ( T T) c (11) expoente crítico associado ao parâmetro de ordem magnetização m 31

32 Expoente crítico associado à magnetização m 3 T c ( T c T 1/ ) (10) Mas: 1/ m ( T T) c (11) Atenção: o valor do expoente crítico foi aqui obtido utilizando a teoria de Curie-Weiss (teoria de campo médio). Expoente crítico associado à magnetização (parâmetro de ordem) 3

33 Susceptibilidade magnética: m H m tanh( Jm H) (3) Invertendo a relação dada na equação (3): 1 tanh m Jm H ou 1 H tanh m Jm 1 H kbt tanh m Jzm H k T B 1 m ln( ) 1 m Jzm (1) 33

34 Susceptibilidade magnética (continuação) H k T B 1 m ln( ) 1 m Jzm (1) m H 1 H m Perto da transição: H a( T T ) m b c m 3 3 (13) 1 H m a( T T ) bm c (14) 34

35 Perto da transição - Expansão próxima ao ponto crítico kbt H ) ln(1 m) ln(1 m Jzm (1) 3 3 k T B m m m m H m m 3 3 Jzm 3 k T B m H m 3 Jzm ou H k T 3 m B 3 k T Jzm B ou H a( T T ) m b c m 3 3 (13) T Jz / c k B Se H 0 então 3a m 0 ou m ( Tc T ) b 35

36 Perto da transição - Expansão próxima ao ponto crítico H a( T T ) m b c m 3 3 (13) Portanto: H m 1 a( T Tc ) bm (14) 36

37 Susceptibilidade magnética: comportamento nas proximidades do ponto crítico Perto da transição temos (a partir da Eq. (14): m 1 H a ( T T ) b m c (15) Para m T Tc 3a b ( T c (mas T próxima de T c ) T ) e temos: m 1 1 H a ( T T) c (16) Para m 0 T T c e temos: m 1 1 H a ( T T ) c (17) 37

38 Comportamento da magnetização nas vizinhanças do ponto crítico Susceptibilidade magnética m H Portanto na aproximação de campo médio e na região próxima ao ponto crítico temos: T Tc 1 (18) 38

39 Comportamento assintótico da susceptibilidade <-> comportamento nas vizinhanças do ponto crítico T c T (19) expoente crítico associado à susceptibilidade 39

40 Expoente crítico associado à susceptibilidade magnética T Tc 1 (18) T Tc (19) diverge no ponto crítico com 1 40

41 Susceptibilidade versus temperatura Curie-Weiss (aproximação de campo médio) 41

42 Fim das análises de campo médio (teoria de Curie-Weiss) 4

43 Modelo de Ising Modelo microscópico Ferromagneto Transições de fase 43

44 Modelo de Ising. Consideramos uma rede de sítios. Em cada sítio existe um átomo magnético.. O estado do átomo é caracterizado pelo momento de dipolo magnético. No modelo de Ising o momento de dipolo pode ser encontrando em apenas dois estados com relação a um certo eixo z: no sentido de z, ou no sentido oposto a z.. O momento de dipolo do i-ésimo átomo é dado por: i i z em que const. e a variável i assume os valores: +1 se o momento de dipolo apontar no sentido z; -1 se o momento de dipolo apontar no sentido z. i 1 44

45 Modelo de Ising J i j Representa a energia de interação entre um par de sítios vizinhos (i, j) na rede. J const. J 0 ordenamento ferromagnético. 45

46 Modelo de Ising Energia de interação de um par de sítios vizinhos ( i, j) J i j Se 1 e 1 então J( 1)( 1) J 0 i j Se 1 e 1 então J( 1)( 1) J 0 i j Ordenamento paralelo dos momentos de dipolo magnético Favorece o ordenamento ferromagnético 46

47 Modelo de Ising Energia de interação de um par de sítios vizinhos ( i, j) J i j Se 1 e 1 então J( 1)( 1) J 0 i j Se 1 e 1 então J( 1)( 1) J 0 i j momentos de dipolo magnético antiparalelos 47

48 Modelo de Ising Energia total de uma configuração microscópica E( ) J ( ij) i j H i i Configuração microscópica: ( 1,,..., i,..., N ) i 1 variável de spin associada ao sítio i da rede i =1,, 3,..., N H ( ij)... constante proporcional ao campo magnético externo. soma sobre os pares de sítios vizinhos na rede

49 Modelo de Ising Se H 0 : Energia de uma configuração microscópica σ: E( ) J ( ij) i j i 1 variável de spin associada ao sítio i da rede i =1,, 3,..., N sítios de uma rede d-dimensional 49

50 Distribuição de probabilidades canônica associada ao modelo de Ising P( ) 1 Z e E( ) Probabilidade de encontrar o sistema na configuração k B 1T kb constante de Boltzmann Z e E( ) função de partição (...)soma sobre todas as N configurações 50

51 51 Propriedades macroscópicas do sistema em equilíbrio termodinâmico ) ( 1 ) ( ) ( ) ( E e Z F P F F Valor médio de uma função de estado ) F( Magnetização média i i N m 1

52 5 Propriedades macroscópicas do sistema em equilíbrio termodinâmico Susceptibilidade magnética 1 i i i i N Energia média por sítio E N u 1 Variância da energia por sítio 1 E E N c

53 Modelo de Ising unidimensional N spins interagentes em uma cadeia linear: i1 i i 1 i 1 i i 1 Energia da configuração a campo nulo H 0 E( ) J 3... i1 i i i i 1 53

54 Modelo de Ising unidimensional Exemplo: N= 4 spins interagentes em uma cadeia linear: (,,, ) Configuração microscópica: i Possíveis configurações microscópicas: 4 Exemplos:

55 Modelo de Ising unidimensional Função de partição Ou seja: i i Z... e N J[ } 1 1 Pode-se obter uma expressão para Z para o modelo de Ising unidimensional. Entretanto, verifica-se que o modelo de Ising unidimensional não exibe transição de fase (vamos obter a solução na próxima aula). 55

56 Modelo de Ising bidimensional N spins interagentes em uma rede quadrada regular (por exemplo): i Exemplo de uma configuração local: um sítio central no estado +1 e seus 4 primeiros vizinhos (três deles no estado +1 e um no estado -1:

57 Modelo de Ising bidimensional Z e E( ) E( ) J ( i, j) i j Solução de Onsager para Ising bidimensional a campo nulo. Três dimensões -- > ainda não há solução exata! 57

58 m Magnetização versus temperatura (kt/j, J>0) para o modelo de Ising definido em uma rede quadrada de tamanho N=LxL. Simulações de Monte Carlo. k B T c / J,6918 Landau & Binder (000) M ( T Tc ) (Nas proximidades do ponto crítico) m m 0 Fase ferromagnética ordenada é o parâmetro de ordem para essa transição m 0 Fase paramagnética desordenada As curvas correspondem à redes quadradas regulares de diferentes tamanhos LxL k T / J 1 0, B 1 1 k T / J ln(1 ) 58 B c c

59 FIM 59