A solução de Onsager para o modelo de Ising em 2D: a complexidade do Magnetismo Quântico

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1 A solução de Onsager para o modelo de Ising em 2D: a complexidade do Magnetismo Quântico Ivan de Paula Miranda

2 Nanomagnetismo Redução do tamanho efeitos quânticos individuais Desenvolvimento de técnicas experimentais (STM) e teóricas (DFT) Frustrações magnéticas A. Bergman et al., Phys. Rev. B 75, (2007) H = J ij S i S j i,j Fe Fe Fe

3 Nanomagnetismo Redução do tamanho efeitos quânticos individuais Energia de ponto zero > K (flutuação dos momentos) Frustrações magnéticas Efeitos de paridade A. Bergman et al., Phys. Rev. B 75, (2007) S. Lounis et al., Phys. Rev. Lett. 101, (2008) S. Holzberger et al., Phys. Rev. Lett. 110, (2013)

4 Nanomagnetismo Redução do tamanho efeitos quânticos individuais Skyrmions Frustrações magnéticas Efeitos de paridade A. Bergman et al., Phys. Rev. B 75, (2007) S. Lounis et al., Phys. Rev. Lett. 101, (2008) N. Romming et al., Science 341, 636 (2013) S 1 Skyrmion 1 nˆ nˆ S nds ˆ S 1 Anti - Skyrmion 4 x y s S 0 Estado trivial (FM) nˆ é o vetor normalizado de magnetização

5 Nanomagnetismo Redução do tamanho efeitos quânticos individuais Skyrmions Interação RKKY Frustrações magnéticas Efeitos de paridade A. Bergman et al., Phys. Rev. B 75, (2007) S. Lounis et al., Phys. Rev. Lett. 101, (2008) Elétrons de condução (itinerantes) ordem magnética de longo alcance (terras-raras) N. Romming et al., Science 341, 636 (2013) M. M. Bezerra-Neto et al., Sci. Rep. 3, 3054 (2013)

6 Nanomagnetismo Redução do tamanho efeitos quânticos individuais Skyrmions Interação RKKY Frustrações magnéticas Efeitos de paridade A. Bergman et al., Phys. Rev. B 75, (2007) S. Lounis et al., Phys. Rev. Lett. 101, (2008) N. Romming et al., Science 341, 636 (2013) M. M. Bezerra-Neto et al., Sci. Rep. 3, 3054 (2013) Entendimento desses efeitos desenho racional de novos dispositivos

7 A Interação de Troca Modelo fundamental para o Magnetismo Quântico. Partículas indistinguíveis (férmions) + interação de Coulomb: princípio de exclusão de Pauli

8 A Interação de Troca Modelo fundamental para o Magnetismo Quântico. S 1 S 2 F ex F ex S 1 F ex F ex S 2 Partículas indistinguíveis (férmions) + interação de Coulomb: princípio de exclusão de Pauli Generalização de Heisenberg para um cristal (S i é o operador de spin no sítio i): H = 2 J ij S i S j = J ij S i S j i<j i,j

9 A Interação de Troca Modelo fundamental para o Magnetismo Quântico. S 1 S 2 F ex F ex S 1 F ex F ex S 2 Partículas indistinguíveis (férmions) + interação de Coulomb: princípio de exclusão de Pauli Generalização de Heisenberg para um cristal (S i é o operador de spin no sítio i): Antiferromagnético J ij 0 H = 2 J ij S i S j = i<j i,j J ij S i S j Menor energia i j

10 A Interação de Troca Modelo fundamental para o Magnetismo Quântico. S 1 S 2 F ex F ex S 1 F ex F ex S 2 Partículas indistinguíveis (férmions) + interação de Coulomb: princípio de exclusão de Pauli Generalização de Heisenberg para um cristal (S i é o operador de spin no sítio i): Ferromagnético J ij 0 H = 2 J ij S i S j = J ij S i S j i<j i,j Menor energia i j

11 A Interação de Troca Modelo fundamental para o Magnetismo Quântico. S 1 S 2 F ex F ex S 1 Para duas partículas: S tot = S 1 + S 2 (coeficientes de Clebsch-Gordan) F ex F ex S 2 S 1 S 2 = 1 2 S tot S tot + 1 2S S + 1 Partículas indistinguíveis (férmions) + interação de Coulomb: princípio de exclusão de Pauli Generalização de Heisenberg para um cristal (S i é o operador de spin no sítio i): Para mais partículas: solução complexa! S 1, S 2 0 Ferromagnético J ij 0 H = 2 J ij S i S j = J ij S i S j i<j i,j Menor energia i j

12 A Interação de Troca Modelo fundamental para o Magnetismo Quântico. Competição entre a temperatura e a interação entre spins Para duas partículas: S tot = S 1 + S 2 (coeficientes de Clebsch-Gordan) S 1 S 2 = 1 2 S tot S tot + 1 2S S + 1 Para mais partículas: solução complexa! S 1, S 2 0 Generalização de Heisenberg para um cristal (S i é o operador de spin no sítio i): Ferromagnético J ij 0 H = 2 J ij S i S j = J ij S i S j i<j i,j Menor energia i j

13 A Interação de Troca Primeira aproximação: interações de curto alcance: J ij = ቊ J 0, se i e j são vizinhos 0, caso contrário S i S j = S i S i+1 = S x x i S i+1 + S y i S y i+1 + S z z i S i+1 Segunda aproximação: campo médio. Assumindo o eixo z como direção de magnetização β = 1 k B T m = 2 J ij S z k = 2nJ 0 S z k j H = 2 m S i + Nm S z S = 1 2 Z = eβm + e βm N e βnm S z = e βm + e βm Τ eβm 2 N 2nJ 0 i Magnetização espontânea: M T T T C b Campo médio: b = 1 2 n Hamiltoniano de Ising: sistema com spins em uma direção em particular. H = 2J 0 i S z z i S i+1

14 A Interação de Troca Primeira aproximação: interações de curto alcance: J ij = ቊ J 0, se i e j são vizinhos 0, caso contrário S i S j = S i S i+1 = S x x i S i+1 + S y i S y i+1 + S z z i S i+1 Segunda aproximação: campo médio. Assumindo o eixo z como direção de magnetização m = 2 J ij S z k = 2nJ 0 S z k j H = 2 m S i + Nm S z i Modelo bidimensional de Ising Hamiltoniano de Ising: sistema com spins em uma direção em particular. H = 2J 0 i S z z i S i+1

15 Dzyaloshinskii-Moriya e Correções Modelo fenomenológico baseado na Teoria de Landau (interação antissimétrica). H DM = D ij S i S j i,j Correção possível ao modelo de Heisenberg Manifestação do acoplamento spin-órbita (λs L). Fe Pt

16 Dzyaloshinskii-Moriya e Correções Outras correções (4-spin: A. H. MacDonald et al., Phys. Rev. B 37, 9753 (1988)): TB H 4S = i,j,k,l K ijkl S i S j S k S l + S i S l S j S k S i S k S j S l Consequência da possibilidade de Hopping eletrônico nos 4 sítios adjacentes (extensão do mod. Hubbard) Estrutura espontânea de spins Fe/Ir(111) j i S. Heinze et al., Nature Phys. 7, 713 (2011)

17 Modelo de Ising dd=1 e dd=2). Um dos únicos modelos realistas de muitos corpos rigorosamente resolvidos (= 1 e d = 2) Propôs Wilhelm Lenz Ernst Ising

18 Modelo de Ising Um dos únicos modelos realistas de muitos corpos rigorosamente resolvidos (d = 1 e d = 2) Aplicações: modelo clássico Propôs Modelo para isolantes magnéticos; Toy-model para Mecânica Estatística; Modelo para ligas binárias: S = +1 (Átomo A) S = 1 (Átomo B) Wilhelm Lenz Assumindo o eixo z como direção de magnetização Heisenberg simplificado H = J ij S z i S z j μ B B 0 i,j Grandezas escalares i Ernst Ising S i z Interação com B 0 (se B 0 0) S i z = ±1, para i = 1,2,, N Modelo para materiais ferroelétricos; Modelo para sistemas biológicos.

19 Modelo de Ising 1D Cadeia linear com N spins (B 0 = 0): J ij = ቊ J i, se j = (i ± 1) 0, caso contrário T c? M (espontânea) 2 N a S i = ±1, para i = 1,2,, N Função de partição canônica (Z N ): a W. Nolting and A. Ramakanth, Quantum Theory of Magnetism, Springer, 2009

20 Modelo de Ising 1D Para obter uma relação de recursão, basta calcular o mesmo para uma cadeia com 1 spin a mais: ±1 Mas, como σ SN+1 exp j N S N S N+1 = exp j N S N + exp j N S N = 2 cosh j N S N = 2 cosh j N : Em termos da função de partição de uma só partícula:

21 Modelo de Ising 1D Para obter uma relação de recursão, basta calcular o mesmo para uma cadeia com 1 spin a mais: ±1 Mas, como σ SN+1 exp j N S N S N+1 = exp j N S N + exp j N S N = 2 cosh j N S N = 2 cosh j N : Sem interações

22 Modelo de Ising 1D Finalmente: E, assumindo J i = J (interação isotrópica): Assim, derivamos a função de correlação de spin: Partindo da primeira expressão para Z N :

23 Modelo de Ising 1D Partindo da primeira expressão para Z N :

24 Modelo de Ising 1D Assim, usando o fato que: Chegamos em: J i = J (isotrópico)

25 Modelo de Ising 1D J i = J (isotrópico)

26 Modelo de Ising 1D O modelo de Ising unidimensional não apresenta transição de fase à temperatura finita (magnetização espontânea em T < T c ) J i = J (isotrópico)

27 Modelo de Ising 1D O modelo de Ising unidimensional não apresenta transição de fase à temperatura finita (magnetização espontânea em T < T c ) J i = J (isotrópico)

28 Modelo de Ising 1D O modelo de Ising unidimensional não apresenta transição de fase à temperatura finita (magnetização espontânea em T < T c ) + Wilhelm Lenz E. Ising não conseguiu resolver o modelo para duas e três dimensões J i = J (isotrópico) Outra solução analítica possível (1D): B 0 0

29 Modelo de Ising 2D Antes da prova exata (em 1944 por Lars Onsager), Peirels a demonstrou a existência de uma transição de fase ferromagnética (FM) paramagnética a uma temperatura finita (T c > 0) para o modelo de Ising bidimensional; Assim, iniciamos com uma Hamiltoniana de Ising válida para interações entre primeiros vizinhos e sem campo magnético externo (B 0 = 0) isotrópico (J ij = J): Lars Onsager 1968 (Química) Analogamente ao modelo 1D: H(S) J S z z i S j (i,j) S i z = ±1, para i = 1,2,, N Pares próximos a R. Peierls, Proc. Camb. Phil. Soc. 32, 477 (1936)

30 Modelo de Ising 2D Rede de spins finita (suficientemente grande): T c? M (espontânea) Para encontrar a transição de fase: (i, j) j i A assinatura de uma transição de fase deve ocorrer como uma irregularidade da energia livre f. Uma vez que S i = ±1 v = tanh(βj) :

31 Modelo de Ising 2D Como vamos tomar o limite termodinâmico, desconsideramos efeitos de superfície: Existem 4N pares de vizinhos mais próximos, sendo que, por semelhança, restam 2N pares distintos. Assim, pela expressão de Z N (T): Cada interação j Ou, rearranjando os termos: S i S j v i Spin products

32 Modelo de Ising 2D Alguns exemplos: Portanto, como há apenas interação entre primeiros vizinhos: J ij = ቊ J, se primeiros vizinhos 0, caso contrário Então: {S} S iα S jα S iρ S jρ = ቊ 2N, para todos vértices ordem par 0, caso contrário W. Nolting and A. Ramakanth, Quantum Theory of Magnetism, Springer, 2009

33 Modelo de Ising 2D Alguns exemplos: Portanto, como há apenas interação entre primeiros vizinhos: J ij = ቊ J, se primeiros vizinhos 0, caso contrário Então: {S} S iα S jα S iρ S jρ = ቊ 2N, para todos vértices ordem par 0, caso contrário W. Nolting and A. Ramakanth, Quantum Theory of Magnetism, Springer, 2009

34 Modelo de Ising 2D Logo, usando a função Z N (T): Onde l é o número de linhas nos gráficos com vértices pares, e g l é o número de gráficos deste tipo (g 0 1). Assim, nos resta determinar a quantidade de loops (g l ): Um nó: Um loop:

35 Modelo de Ising 2D Método para dissolver estes nós: Self-intersection (SI) Fator peso η: η loop = 1 SI η família = η loop η família = 1 SI na família Gera 3 k famílias de loops para k nós implica na quantidade g l

36 Modelo de Ising 2D É possível mostrar que: g l é a soma dos pesos de todas as famílias de loops de um total de l linhas Assim, introduzindo uma nova quantidade: D l Soma dos pesos de todos os loops com l linhas Correção para que não sejam contadas várias vezes

37 Modelo de Ising 2D E, portanto: (pois temos que somar de l = 0 a l = ) Neste caso, o vínculo σ l i = l não faz mais sentido.

38 Modelo de Ising 2D Deste resultado, a função de partição canônica torna-se: Contar quantos SI existem em um loop Então, introduzindo um step P = z, α (imaginando a rede de Ising no plano complexo):

39 Modelo de Ising 2D... Chega-se na energia livre por spin (f(t)): M 2 T = μ B 2 lim m S 1,1S 1,1+m A assinatura da transição de fase deve ocorrer quando: Magnetização espontânea: M T T T C b Modelo de Ising 2D: b = 1 8 T c 2.27 J k B

40 Modelo de Ising 2D M(T) = 1 1 sinh 4 2βJ 1 8 Para o caso de J 1 e J 2 como as interações horizontal e vertical, respectivamente: M(T) = 1 1 sinh 2 2βJ 1 sinh 2 2βJ Podemos nos desfazemos de algumas aproximações: J ij entre segundos, terceiros, quartos... n-ésimos vizinhos; B 0 0 para este caso, uma solução exata não foi encontrada; Aumentar a dimensionalidade da rede (para 3D); Incluir outras interações; Tratar S i z como operadores de spin.

41 Modelo de Ising 2D M(T) = 1 1 sinh 4 2βJ 1 8 O modelo de Ising bidimensional apresenta uma transição de fase à temperatura finita (magnetização espontânea em T < T c ) Podemos nos desfazemos de algumas aproximações: J ij entre segundos, terceiros, quartos... n-ésimos vizinhos; B 0 0 para este caso, uma solução exata não foi encontrada; Aumentar a dimensionalidade da rede (para 3D); Incluir outras interações; Tratar S i z como operadores de spin.

42 Expoentes Críticos: Modelos T c? M (espontânea) Modelo de Ising 1D NÃO Modelo de Ising 3D? Em aberto. Modelo de Ising 2D SIM M. Getzlaff, Fundamentals of Magnetism, Springer, 2007

43 Modelo de Ising: NP-completo

44 Skyrmions (1960) Algumas propriedades: São topologicamente estáveis ( protected ); Definem um ordenamento não-trivial do espaço real (ou no espaço de momentos) embora seja trivial no infinito (estruturas finitas); Apresentam propriedades de partícula ( particle-like ); Em matéria condensada: São definidos por uma carga topológica S: S 1 4 Onde : s nˆ nˆ x y nds ˆ nˆ é o vetor normalizado de magnetização S 1 Skyrmion S 1 Anti - Skyrmion S 0 Estado trivial (FM)

45 Skyrmions (1960) Algumas propriedades: S Onde : São topologicamente estáveis ( protected ); Definem um ordenamento não-trivial do espaço real (ou no espaço de momentos) embora seja trivial no infinito (estruturas finitas); Apresentam propriedades de partícula ( particle-like ); Em matéria condensada: São definidos por uma carga topológica S: 1 4 s nˆ nˆ x y nds ˆ nˆ é o vetor normalizado de magnetização S 1 Skyrmion S 1 Anti - Skyrmion S 0 Estado trivial (FM)

46 Skyrmions (1960) Algumas propriedades: S Onde : São topologicamente estáveis ( protected ); Definem um ordenamento não-trivial do espaço real (ou no espaço de momentos) embora seja trivial no infinito (estruturas finitas); Apresentam propriedades de partícula ( particle-like ); Em matéria condensada: São definidos por uma carga topológica S: 1 4 s nˆ nˆ x y nds ˆ nˆ é o vetor normalizado de magnetização Ponta SP S 1 Skyrmion S 1 Anti - Skyrmion S 0 Estado trivial (FM) a N. Romming et al., Science 341, 636 (2013) Evidência experimental de criação e aniquilação dessas cargas topológicas com a aplicação de corrente local a IFUSP a N. Romming et al., Science 341, 636 (2013) 26 de novembro, 2015

47 Conclusão O Magnetismo Quântico apresenta uma rica variedade de propriedades físicas emergentes e complexas, e é um efeito de muitos corpos.

48 Obrigado!