Modelo de Ising e suas Propriedades

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1 Modelo de Ising e suas Propriedades Eric Ossami Endo (Universidade de São Paulo) 13 de junho de 2015 II EPA Dinâmica 1 / 34

2 Quem é Ernst Ising? 1 Ernst Ising ( ) foi um físico alemão, professor de física na Bradley University até sua aposentadoria em Em 1924 obteve seu doutorado, o qual abordou o problema sugerido por seu professor, Wilhelm Lenz. 3 Esse problema veio de um modelo atualmente conhecido como Modelo de Ising. Ernst Ising Wilhelm Lenz 2 / 34

3 O que é o Modelo de Ising? O modelo de Ising preocupa com a física de transição de fase. 3 / 34

4 O que é o Modelo de Ising? O modelo de Ising preocupa com a física de transição de fase. Causa: Pequena mudança de um parâmetro temperatura ou pressão. 3 / 34

5 O que é o Modelo de Ising? O modelo de Ising preocupa com a física de transição de fase. Causa: Pequena mudança de um parâmetro temperatura ou pressão. Consequência: Grande mudança qualitativa no estado do sistema. 3 / 34

6 O que é o Modelo de Ising? O modelo de Ising preocupa com a física de transição de fase. Causa: Pequena mudança de um parâmetro temperatura ou pressão. Consequência: Grande mudança qualitativa no estado do sistema. Um exemplo onde ocorre tal transição de fase: Experiência de Curie. 3 / 34

7 O Modelo 1 Trabalharemos em um conjunto finito Λ da rede Z d ; 2 Os vértices de Z d são chamado de sítios, e as arestas, de elos; 3 Estado: Associamos a cada sítio x em Z d um valor σ x igual a 1 ou 1; 4 Configuração: Uma sequência σ = (σ x ) x Z d de estados em Z d ; 5 O espaço de configurações é { 1, 1} Zd. 6 Energia: Função H Λ : { 1, 1} Zd R dada por H Λ (σ) = J {x,y} Λ x y 1 =1 onde J > 0 e h são números reais. σ x σ y h x Λ σ x 4 / 34

8 O Modelo Exemplo de uma configuração em Z 2 5 / 34

9 O Modelo H Λ (σ) = J {x,y} Λ x y 1 =1 σ x σ y h x Λ σ x. 1 J > 0 é a constante de acoplamento ferromagnético. J é positivo pois uma configuração magnetizada (todos os sítios com mesmo estado) tem um nível de energia baixo que outras configurações. 2 h é o campo magnético externo, o qual tende a alinhar os estados dos sítios na direção do campo. 6 / 34

10 O Modelo A função partição é dada por Z(β, Λ) = σ { 1,1} Λ e βhλ(σ) onde β = (kt ) 1, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura. 1 A função partição é essencial na mecânica estatística, pois é a constante normalizadora no cálculo de probabilidades. 2 A probabilidade de uma configuração σ { 1, 1} Λ é dada pela fórmula µ β,λ (σ) = e βh Λ(σ) Z(β, Λ) chamada de medida de Gibbs a volume finito. 7 / 34

11 O Modelo µ β,λ (σ) = e βh Λ(σ) Z(β, Λ) 1 O sinal negativo confere uma alta probabilidade sobre os estados com baixa energia. 2 Os valores pequenos de β tende a achatar a distribuição, deixando todas as configurações ficarem aproximadamente parecidos. 3 Os valores grandes de β tende a acentuar as probabilidades dos estados de baixa energia. 8 / 34

12 Magnetização Espontânea Definição Definimos a pressão como 1 P(β, J, h) = lim log Z(β, Λ), Λ Z d Λ onde o limite é sobre sequência de van Hove. Se a pressão é diferenciável em h, definimos a magnetização por m(β, h) = h P(β, J, h). Caso não seja diferenciável, definimos m + (β, h) = h +P(β, J, h) m (β, h) = h P(β, J, h) 9 / 34

13 Magnetização Espontânea 1 Suponhamos que uma rede de material magnético é colocada em um campo magnético em uma temperatura constante. 10 / 34

14 Magnetização Espontânea 1 Suponhamos que uma rede de material magnético é colocada em um campo magnético em uma temperatura constante. 2 Agora suponha que o campo externo desapareça devagarmente. O que ocorre com a rede? 10 / 34

15 Magnetização Espontânea 1 Suponhamos que uma rede de material magnético é colocada em um campo magnético em uma temperatura constante. 2 Agora suponha que o campo externo desapareça devagarmente. O que ocorre com a rede? 1 Para altas temperaturas, a rede retorna para a condição não magnética. 10 / 34

16 Magnetização Espontânea 1 Suponhamos que uma rede de material magnético é colocada em um campo magnético em uma temperatura constante. 2 Agora suponha que o campo externo desapareça devagarmente. O que ocorre com a rede? 1 Para altas temperaturas, a rede retorna para a condição não magnética. 2 Para baixas temperaturas, a rede retém um grau de magnetismo. Isso é chamado magnetização espontânea. 10 / 34

17 Magnetização Espontânea 1 Suponhamos que uma rede de material magnético é colocada em um campo magnético em uma temperatura constante. 2 Agora suponha que o campo externo desapareça devagarmente. O que ocorre com a rede? 1 Para altas temperaturas, a rede retorna para a condição não magnética. 2 Para baixas temperaturas, a rede retém um grau de magnetismo. Isso é chamado magnetização espontânea. 3 Existe uma temperatura crítica a qual a magnetização espontânea irá aparecer, e que é onde ocorre a transição de fase. 10 / 34

18 Magnetização Espontânea Gráfico (idealizado) entre a força do campo externo (eixo x) e a magnetização induzida (eixo y) para três temperaturas. T > T c T = T c T < T c 11 / 34

19 História 1 Em 1925, E. Ising mostrou que no modelo de Ising não há transição de fase para d = 1. Ele concluiu erroneamente que em dimensões maiores a afirmação continuaria válida. 2 Em 1936, R. Peierls mostrou com um argumento geométrico e combinatório que, em dimensão dois, existe transição de fase. 3 Em 1944, L. Onsager deu uma solução anaĺıtica completa para o modelo bidimensional com h = 0. 4 Em 1952, T. Lee e C. Yang mostraram que não há transição de fase quando há campo externo, isto é, h 0. 5 Em 1982, J. Avron, G. Roepstorff e L. Schulmann mostraram que existe transição de fase para dimensões maiores que dois. 6 Em 2010, S. Smirnov recebeu melhada Fields no modelo de Ising. 12 / 34

20 Medida de Gibbs Considere o espaço Ω = {w 1,..., w k } e uma medida de probabilidade µ = (p 1,..., p k ). Definimos U : Ω R a energia, e h(µ) = k j=1 p j log p j a entropia. 1 Supomos que não há nenhum conhecimento inicial sobre o sistema, então a medida µ que modela seu comportamento estatístico tem entropia máxima. 2 Observações empíricas de diversos sistemas físicos mostram que boas descrições probabiĺısticas são aquelas que os estados mais prováveis de equiĺıbrio do sistema são aqueles de mais baixa energia. 13 / 34

21 Medida de Gibbs Problema Encontrar uma medida de probabilidade µ que realiza o supremo abaixo, [ ] sup h(ν) Udν. ν M Ω Em outras palavras, dada uma função de energia U : Ω R queremos saber se existe uma medida de probabilidade µ M que maximiza a entropia e minimiza a energia, isto é, h(µ) Ω [ Udµ = sup h(ν) ν M Ω ] Udν 14 / 34

22 Medida de Gibbs Teorema Sejam Ω = {w 1,..., w k } um conjunto não vazio, U : Ω R uma função arbitrária e M o conjunto das medidas de probabilidade em P(Ω). Então [ ] sup h(ν) Udν = log Z, ν M Ω onde Z = w Ω e U(w). Ademais este supremo é atingido pela medida µ M dada por µ({w}) = e U(w). Z 15 / 34

23 Medida de Gibbs Queremos trabalhar com medidas de Gibbs definidas em { 1, 1} Zd. 1 Ω = { 1, 1} Zd ; 2 F = σ-álgebra gerada pelos cilindros de Ω; 3 M 1 (Ω, F) = {µ : F [0, 1] : µ é medida de probabilidade}. 16 / 34

24 Medida de Gibbs Condição de fronteira Sejam σ, ω { 1, 1} Zd duas configurações arbitrárias e Λ Z d um conjunto finito. Denotemos por σ Λ ω Λ c uma configuração η { 1, 1} Zd definida por { η x = σ x, se x Λ; η x = ω x, se x Λ c ; Definimos a medida de Gibbs a volume finito com condição de fronteira ω por { ) e βhλ(σλωλc µ ω Λ,β (σ) = ZΛ,β ω, se σ Λ c = ω Λ c 0, caso contrário. 17 / 34

25 Medida de Gibbs Definição Seja (Λ n ) n N uma sequência de conjuntos finitos de Z d. Denotemos por Λ n Z d se Λ n Λ n+1 ; n 1 Λ n = Z d. Definição O conjunto da medida de Gibbs de modelo de Ising ao inverso da temperatura β é o fecho convexo em M 1 (Ω, F) do conjunto G β = {µ M 1 (Ω, F) : existe uma sequência Λ n Z d e ω n { 1, 1} Zd tal que µ ωn Λ n,β µ}. 18 / 34

26 Argumento de Peierls Definimos µ ω β quando µω Λ n,β µω β. µ + β quando a condição de fronteira é ω x = +1. µ β quando a condição de fronteira é ω x = 1. Teorema São equivalentes, para h = 0, 1 conv G β = 1. 2 µ + β = µ β. 3 h +P(β, J, h) = h P(β, J, h). 19 / 34

27 Argumento de Peierls 1 Mostremos que existe β c > 0 tal que, para todo β > β c, temos µ + β µ β. 2 Basta mostrar que µ + β (σ 0 = 1) < Usaremos noção de contorno em Z / 34

28 Argumento de Peierls Usaremos noção de contorno em Z / 34

29 Argumento de Peierls Usaremos noção de contorno em Z / 34

30 Argumento de Peierls Usaremos noção de contorno em Z / 34

31 Argumento de Peierls Existe uma bijeção entre contorno e configuração. Seja {γ 1,..., γ k } um conjunto de contornos em Λ. Definimos γ o número de elos no contorno γ. Sejam B + (σ) = { elos onde os sítios tem estados iguais.} B (σ) = { elos onde os sítios tem estados diferentes.} Temos B (σ) = γ γ k. Podemos escrever a energia como H Λ,β (σ Λ ω Λ c ) = J σ x σ y = J[ B + (σ) B (σ) ]. {x,y} Λ x y 1 =1 24 / 34

32 Argumento de Peierls Assim, µ + Λ,β (σ 0 = 1) µ + Λ,β ( γ : γ 0) γ 0 = n 4 e 2βJ γ γ 0 γ =n e 2βJn = n 4 e 2βJn {γ 0, γ = n}. n 4 e 2βJn 4.3 n. < 1, para β suficientemente grande / 34

33 Alguns Resultados Legais Qual o valor de β c? Ising (1925) mostrou que, para d = 1, β c (1) = +. Teorema (Kramers Wannier, 1941) No modelo de Ising para dimensão dois, temos β c (2) = 1 2J log(1 + 2). Teorema Para o modelo de Ising com dimensão d 2, temos β c (d) β c (d 1) β c (2) <. 26 / 34

34 Alguns Resultados Legais Seja C = {γ 0, γ = n}. Argumento de Peierls em Z d : C 2d(2d 1) n. Teorema (Lebowitz Mazel, 1998) No modelo de Ising de dimensão d 2, temos C (Cd) 64n/d. Teorema (Lebowitz Mazel, 1998) A expansão de poĺımero construída no modelo de Ising em termos do contorno de Peierls converge na inversa da temperatura β para todo β 64(log d)/d. 27 / 34

35 Alguns Resultados Legais Teorema (Balister Bollobás, 2007) No modelo de Ising de dimensão d 2, temos C (Cd) 2n/d. Teorema (Balister Bollobás, 2007) A expansão de poĺımero construída no modelo de Ising em termos do contorno de Peierls converge na inversa da temperatura β para todo β 2(log 11d)/d. 28 / 34

36 Alguns Resultados Legais Definição O conjunto da medida de Gibbs de modelo de Ising ao inverso da temperatura β é o fecho convexo em M 1 (Ω, F) do conjunto G β = {µ M 1 (Ω, F) : existe uma sequência Λ n Z d e Pergunta: Como é a cara de conv G β? ω n { 1, 1} Zd tal que µ ωn Λ n,β µ}. 29 / 34

37 Alguns Resultados Legais Teorema (Aizenmann, 1980 Higuchi, 1979) Toda medida de Gibbs a volume infinito em Z 2 no modelo de Ising à inversa da temperatura β é da forma αµ + β + (1 α)µ β, onde 0 α 1. Isto é, conv G β = [µ β, µ+ β ]. 30 / 34

38 Alguns Resultados Legais Para curtos alcances em geral? Teorema (Bodineau, 2006) Toda medida de Gibbs a volume infinito em dimensão d 3 no modelo de Ising de curto alcance à inversa da temperatura β é da forma αµ + β + (1 α)µ β, onde 0 α 1. Isto é, conv G β = [µ β, µ+ β ]. Conjectura Toda medida de Gibbs a volume infinito em Z 2 no modelo de Ising de curto alcance à inversa da temperatura β é da forma αµ + β + (1 α)µ β, onde 0 α / 34

39 Alguns Resultados Legais Pergunta: Existem medidas em conv G β que não são limite de nenhuma sequência de medidas de a volume finito? L. Coquille (2015): Sim!!! (Examples of DLR states which are not weak limits of finite volume Gibbs measures with deterministic boundary conditions Journal of Statistical Physics, 159) 32 / 34

40 Stanislav Smirnov Stanislav Smirnov recebeu a medalha Fields em 2010 pela prova de invariância de percolação conforme e no modelo de ising planar em mecânica estatística. Foi conjecturado em 1990, e usado em diversos estudos, que o limite de escala de modelos bidimensionais em mecânica estatística tem uma simetria inesperada, o qual é chamada de invariância conforme. Smirnov foi o primeiro a provar rigorosamente em dois casos importantes, percolação em redes triangulares e no modelo de Ising planar. A prova é elegante e é baseada em argumentos combinatórios. 33 / 34

41 Muito obrigado!!! 34 / 34