3 Apresentação do processo e resultados preliminares

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1 3 Apresentação do processo e resultados preliminares O Capitulo 1 dá a ferramenta para construir uma cadeia de Markov a tempo contínuo, a partir de uma cadeia de Markov a tempo discreto. Agora, queremos estudar um caso específico, relacionado com sistemas de partículas. Suponhamos que temos +1 sítios, isto é, temos uma malha {0, 1, 2,, 1, }. o interior da malha, cada sítio contém no máximo uma partícula. a fronteira, isto é, nos sítios {0, } podemos pensar que existem infinitas partículas, como se tivéssemos reservatórios conetados a esses sítios. Agora em cada sítio da malha existe um relógio com lei exponencial de parâmetro 1, e relógios em sítios diferentes são independentes. ote que a probabilidade de que dois relógios toquem simultaneamente é nula, de fato, pois, as variáveis aleatórias exponencias são contínuas e independentes, assim temos que a região onde as variáveis são iguais, corresponde a uma reta no plano, que é fácil ver que tem medida de Lebesgue 0. Se um relógio num sítio interior da malha toca e se neste sítio há uma partícula, esta partícula pode saltar para um dos seus vizinhos mais próximos com taxa 1 e cumpre a seguinte regra de exclusão: o 2 salto é suprimido se o local já está ocupado. Além disso, se o relógio na borda esquerda toca resp. na borda direita) as partículas podem entrar no interior da malha com taxa α resp. β) e podem sair do sítio 1 com taxa 1 α resp. do sítio 1 com taxa 1 β), respeitando a regra de exclusão, com α, β 0, 1]. Assim, cada partícula executa um passeio aleatório a tempo contínuo, condicionado ao evento de que nenhum sítio é ocupado simultaneamente por mais de uma partícula. A figura abaixo, é uma pequena representação da dinâmica do sistema de partículas descrito acima. 1 α α i 1 i i β 1 β 3.1 Processo de Exclusão Simples Simétrico em contato com reservatórios O processo anterior é apresentado de maneira informal, e por isso temos que introduzir notação que permita o desenvolvimento adequado da teoria. def Fixe 1, seja Λ = {1, 2, 3,, 1}. Os elementos de Λ são chamados sítios e denotados pelas letras x, y, z, enquanto que no espaço macroscópico pontos no intervalo 0, 1]) os elementos vão se denotar pelas

2 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 22 letras u, v, w. Agora o espaço microscópico é denotado por {0, 1} Λ por {0, 1} Λ = {η : Λ {0, 1} η é função}. e definido Os elementos de {0, 1} Λ são chamados configurações. Assim, se η {0, 1} Λ e x Λ então temos ηx) {0, 1} e ηx) representa o número de partículas no sítio x para a configuração η. Ou seja, se ηx) = 0 então o sítio x da configuração η está vazio, por outro lado, se ηx) = 1 isso quer dizer que o sítio x está ocupado. Para ter uma descrição da taxa de transição entre configurações, precisamos das seguintes operações: se η {0, 1} Λ são definidos por { ηz) se z x η x z) = 1 ηz) se z = x ; ηx,y z) = e x, y Λ, então η x, η x,y {0, 1} Λ ηz) se z x, y ηy) se z = x ηx) se z = y Assim, η x é obtida de η por trocar seu o valor no sítio x e η x,y é obtida de η trocando os seus valores nas posições x e y. Agora, fixados α, β 0, 1], o processo de exclusão simples simétrico em contato com reservatórios é o processo de Markov cujo espaço de estados é o espaço de configurações {0, 1} Λ f : {0, 1} Λ onde R por com gerador infinitesimal dado em L f) η) = L,0 f) η) + L, f) η) + L,+ f) η), 3.1). 2 L,0 f) η) = {fη x,x+1 ) fη)}; x=1 L, f) η) = {α1 η1)) + 1 α)η1)}{fη 1 ) fη)}; L,+ f) η) = {β1 η 1)) + 1 β)η 1)}{fη 1 ) fη)}. Também podemos expressar a ação do operador através de uma multiplicação matricial. Definimos as seguintes matrizes 1 se ξ = η, 1 x 2, ξ η L,0 ] η, ξ) = 0 se ξ η x,x+1, 1 x 2, L,0 η, ξ) se ξ = η ξ:ξ η 3.2)

3 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 23 L,+ + L, ] η, ξ) = I α se ξ = η 1 I β se ξ = η 1 I α + I β ) se ξ = η 0 se caso contrário, 3.3) onde I α = 1 α)η1) + α1 η1)), I β = 1 β)η 1) + β1 η 1)). Assim, se chamarmos Q η, ξ) = L,0 ] η, ξ) + L,+ + L, ] η, ξ) e se considerarmos f = fη)) η {0,1} Λ como um vetor coluna, temos que L f) η) η {0,1} Λ = Q fη)) η {0,1} Λ, onde Q fη) representa o produto da matriz Q pelo vetor coluna f. Agora vejamos o seguinte exemplo. Exemplo Considere z Λ e f z : {0, 1} Λ {0, 1} definida por f z η) = ηz). Calculemos L f z ) η) = L η) z). o caso z {2,, 2} temos L,0 ηz) = L, ηz) = 0. L,+ ηz) = 0. o caso z = 1 temos L,0 η1) = 2 {η x,x+1 z) ηz)} x=1 = ηz 1) ηz) + ηz + 1) ηz) = ηz 1) 2ηz) + ηz + 1). 2 {η x,x+1 1) η1)} x=1 = η2) η1). L, η1) = α1 η1)) + 1 α)η1)) η 1 1) η1) ) L,+ η1) = 0. = α1 η1)) + 1 α)η1)}{1 2η1)) = α η1).

4 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 24 ote que pela equação 3.1) neste caso se tem que L η1) = η2) η1) + α η1). Similarmente, se z = 1 teremos L,0 η 1) = η 2) η 1). L, η 1) = 0. L,+ η 1) = β η 1). ote-se que pela equação 3.1) neste caso se tem que L η 1) = η 2) η 1) + β η 1). Assim, se η0) = α e η) = β temos L ηz) = ηz 1) 2ηz) + ηz + 1), z Λ. 3.2 otações e ferramentas Seja D0, + ), {0, 1} Λ ) o espaço de trajetórias η càdlàg, e seja {P η } η {0,1} Λ o processo de Markov com gerador infinitesimal L introduzido em 3.1). Assim temos que P η tem a propriedade P η η D0, + ), {0, 1} Λ ) : η 0 = η ) = 1 e a perda de memória, no sentido P η η s+t A F s ) = P ηs η t A), onde F s é a σ-álgebra gerada por {η r : r s}. Esta propriedade quer dizer que para saber o futuro no tempo t + s, sabendo todo o passado até ao tempo s só interessa o presente ou seja, o estado do processo no tempo s. Agora definimos C{0, 1} Λ ) = {f : {0, 1} Λ R, f contínua}, que é um espaço de Banach quando munido com a norma f = sup η {0,1} Λ fη). Denotemos por S t o semigrupo associado ao processo {P η } η {0,1} Λ que definimos em C{0, 1} Λ ) por S t fη) = E η fη t )] = fη t )dp η, 3.4)

5 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 25 onde η 0 = η e f C{0, 1} Λ ). Vamos considerar, {P η } η {0,1} Λ como um processo de Feller como na Definição ote que C b {0, 1} Λ ) = C{0, 1} Λ ), pois {0, 1} Λ é compacto. Logo, para cada f C{0, 1} Λ ) e cada t 0 temos que S t f C{0, 1} Λ ). Assim temos que {S t } t 0 é um semigrupo de Markov, e isto garante que nosso processo {P η } η {0,1} Λ existe e é o único que satisfaz 3.4) para cada f C{0, 1} Λ ), η {0, 1} Λ e t 0. Seja P{0, 1} Λ ) o conjunto das medidas de probabilidade em {0, 1} Λ munido da convergência fraca. Isto é, µ n µ em P{0, 1} Λ ), se e somente n se, fη)µ n dη) fη)µdη), n para toda função f C{0, 1} Λ ). Agora, podemos identificar P{0, 1} Λ ) com um subconjunto do espaço dual de C{0, 1} Λ ) tomando µ, f = {0,1} Λ fη)µdη), para cada f C{0, 1} Λ ). Então temos que, P{0, 1} Λ ) C {0, 1} Λ ) e com essa identificação a topologia fraca coincide com a topologia fraca estrela. Pelo Teorema de Banach-Alaoglu como {0, 1} Λ é compacto então P{0, 1} Λ ) também é compacto. Além disso, como C{0, 1} Λ ) é um espaço de Banach separável e P{0, 1} Λ ) é compacto com a topologia fraca, então podemos metrizar P{0, 1} Λ ) com esta topologia. Agora, se µ P{0, 1} Λ ) e {P η } η {0,1} Λ é um processo de Markov, então o correspondente processo de Markov com distribuição inicial µ é um processo estocástico {η t } t 0 com distribuição P µ A) = {0,1} Λ P η A)µdη). Com isto temos que E µ fη t )] = S t fη)µdη), para toda f C{0, 1} Λ ). Assim, podemos definir a medida µs t por: fη)µs t dη) = S t fη)µdη), para f C{0, 1} Λ ), que podemos interpretar como a distribuição no tempo t do processo {η t } t 0 partindo da distribuição inicial µ.

6 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares Medidas Invariantes Se uma medida µ P{0, 1} Λ ) para um processo de Markov {S t } t 0 satisfaz µs t = µ para todo t 0 então dizemos que a medida é invariante para o processo. O conjunto de todas as medidas invariantes µ P{0, 1} Λ ) é denotado por I{0, 1} Λ ). Então podemos ver que µ I{0, 1} Λ ), se e somente se, f C{0, 1} Λ ) se tem que S t fη)µdη) = fη)µs t dη) = fη)µdη), o que é equivalente a S t fη) fη)) µdη) = 0. E assim podemos dizer que S t f = f, µ quase certamente. Sabemos pela Definição 2.4.4, que o gerador em 3.1) é definido por S t f f Lf = lim, 3.5) t 0 t { } com domínio DL) = f C{0, 1} Λ S t f f ) : lim existe. O Teorema de t 0 t Hille-Yosida diz que a relação entre o semigrupo e o operador é bijetiva ver 11],página 16). Para o gerador de Markov L em C{0, 1} Λ ), um espaço D DL) se chama cerne se o gráfico de L é o fecho do gráfico de L D. Proposição Suponha que D é um cerne de um gerador L de um semigrupo de Markov S t. Então I = { µ P{0, 1} Λ ) : } Lfη)µdη) = 0 para toda f D. A demonstração da proposição anterior segue do Teorema no capítulo 1. Agora, dizemos que uma medida µ P{0, 1} Λ ) é reversível com respeito ao processo com semigrupo S t se fη)s t gη)µdη) = gη)s t fη)µdη), para toda f, g C{0, 1} Λ ). O conjunto de todas as medidas reversíveis é denotado por R{0, 1} Λ ). ote que se tomamos g 1 temos que R{0, 1} Λ ) I{0, 1} Λ ).

7 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 27 Exemplo Seja να,β uma medida invariante do processo em estudo, e defina ρ x) := E ν α,β ηx)]. Então ρ é solução da equação discreta dada por ρ x) = 0 para x Λ ρ 0) = α ρ ) = β, onde definimos o laplaciano discreto de ρ em x Λ por ρ x) = 2 {ρ x 1) 2ρ x) + ρ x + 1)}. 3.6) Solução. Pelo Exemplo 3.1.1, temos que, para todo x Λ se tem que L ηx) = ηx 1) 2ηx) + ηx + 1). Assim, pela definição de laplaciano discreto ρ x) = 2 {ρ x 1) 2ρ x) + ρ x + 1)} = 2 {E ν α,β ηx 1)] 2E ν α,β ηx)] + E ν α,β ηx + 1)]}. Logo, como a esperança é linear temos ρ x) = E ν α,β 2 {ηx 1) 2ηx) + ηx + 1)}] = E ν α,β 2 L ηx)]. Agora, tomando L = 2 L e como να,β é uma medida invariante do processo, então temos que para f x η) = ηx), se tem que E ν α,β Lf x η)] = S t Lf x η)να,βdη) = Lf x η)να,βs t dη) = Lf x η)να,βdη) = 0. Logo ρ x) = 0, x Λ. Definição Dada uma função ρ : Λ 0, 1], vamos chamar νρ ) := ν ρ ) à medida produto em {0, 1} Λ definida por ν ρ ) η {0, 1} Λ : ηx) = 1, x A e ηy) = 0, y B ) = x A ρx) y B1 ρy)), para quaisquer conjuntos A,B conjuntos disjuntos em Λ.

8 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 28 o caso que ρx) = ρ chama-se a ν ρ a medida de Bernoulli produto em {0, 1} Λ de parâmetro ρ, e que satisfaz ν ρ η {0, 1} Λ : ηx) = 1, x A e ηy) = 0, y B ) = ρ A 1 ρ) B, com A,B disjuntos em Λ. Para o nosso processo vamos denotar a medida de Bernoulli por νρ ou ν ρ no caso que seja claro. ote que a definição acima é equivalente a tomar f x η) = ηx) para x Λ, como v.a. s independentes com distribuição de Bernoulli de parâmetro ρ. Assim, temos que ν ρ η) = ρ 1 x=1 ηx) 1 ρ) 1 x=1 1 ηx)). 3.7) ote que para o processo {η t } t 0 podemos obter medidas de probabilidade invariantes ν que tornam o processo reversível mediante a equação νη)q η, ξ) = νξ)q ξ, η), para todo η, ξ {0, 1} Λ. 3.8) Proposição Se α = β então a medida ν α é invariante e reversível. Demonstração. Basta ver que ν α satisfaz 3.8). Para isto usamos as matrizes definidas em 3.2) e 3.3). o caso em que η = ξ, temos imediatamente que ν α η)q η, η) = ν α η)q η, η). o caso em que ξ / {η, η 1, η 1, η x,x+1 } temos pelas matrizes consideradas que Q η, ξ) = Q ξ, η) = 0. o caso em que ξ = η x,x+1. Para este caso temos que Q η, ξ) = Q ξ, η) = 1. Logo como a operação η x,x+1 só troca posições e como a medida ν α não depende das posições depende da quantidade de partículas) então temos que ν α η x,x+1 ) = ν α η). o caso em que ξ = η 1 e η1) = 0, notemos que Q η, ξ) = I α, mas η1) = 0 então temos Q η, ξ) = α. De maneira análoga podemos ver que η = η 1 e ξ1) = 1, assim temos Q ξ, η) = 1 α.

9 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 29 Logo, por 3.7) e lembrando que a medida ν α só depende da quantidade de partículas, temos que ν α ξ) = ν α η 1 ) = α 1 α ν αη), assim temos que ν α η)q η, ξ) = ν α ξ)q ξ, η). os casos restantes, se age de forma análoga ao último caso. 3.4 Do microscópico para o macroscópico O espaço macroscópico é o espaço que representa o espaço contínuo, aqui o espaço macroscópico é o intervalo I Λ = 0, 1], e a discretização é = {1, 2,, 1} que representa o espaço microscópico. Podemos considerar o espaço Λ contido no espaço I, fazendo a seguinte identificação: uma posição u no sistema macroscópico I se identifica com o sítio u do sistema microscópico Λ. De maneira similar, vamos identificar x Λ com x I. Agora, no sistema microscópico, as partículas são colocadas de acordo com alguma medida de probabilidade, e estas se mexem de acordo com alguma taxa de transição probabilística respeitando as restrições do sistema específico. Já vimos isto acima na descrição do nosso modelo. Agora, estamos interessados em estudar o comportamento temporal de um perfil de densidade. Para tal temos que considerar diferentes escalas de tempos, um tempo macroscópico t e um tempo microscópico tθ). Para o processo estudado temos que tomar θ) = 2. ote que com a definição do gerador temos que θ)l f = lim θ) S tf f, t 0 t e se fizermos uma troca de variável t = θ)s temos que θ)l f = lim s 0 S sθ) f f s = L, ou seja, L = θ)l f é o gerador do semigrupo S tθ). Então, de agora em diante vamos denotar por η t o processo de Markov em {0, 1} Λ 2 L. Ou seja, o tempo microscópico no nosso modelo é t 2. com gerador Agora que sabemos como lidar com os espaços macroscópico e microscópico, podemos generalizar a Definição

10 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 30 Definição Dada uma função ρ 0 : 0, 1] 0, 1], a medida produto Bernoulli com parâmetro de variação lenta associada ao perfil ρ 0, denotada por ν ρ 0 ), é a medida no espaço de estados {0, 1}Λ propriedades: que satisfaz as seguintes As variáveis aleatórias {ηx)} x Λ são independentes com respeito a ν ρ 0 ). x Cada ηx) tem distribuição Bernoulli de parâmetro ρ 0 Ou seja, ). ) ν ρ0 ) η {0, 1} Λ : ηx 1 ) = i 1, ηx 2 ) = i 2,, ηx k ) = i k = k xj ) ij xj )) 1 ij ρ 0 1 ρ 0, j=1 para todo x j Λ, i j {0, 1} com j = 1,, k. 3.5 Deduções das EDP s discretas Podemos agora introduzir alguns fatos importantes sobre as equações diferenciais parciais discretas com que iremos lidar nesta dissertação. Definição Dada ν uma medida de probabilidade em {0, 1} Λ, vamos definir para x Λ a função ρ t x) := E ν η t 2x)]. Estendemos a definição às fronteiras tomando ρ t 0) = α, ρ t ) = β. ote que pelas equações de Chapman-Kolmogorov temos que t ρ t x) = t E ν η t 2x)] = E ν 2 L η t 2x)]. Logo, pelo Exemplo 3.1.1, pela linearidade da esperança e para x Λ temos que t ρ t x) = 2 E ν η t 2x 1)] 2E ν η t 2x)] + E ν η t 2x + 1)]) = 2 ρ t x 1) 2ρ t x) + ρ t x + 1)) = ρ t x). Então podemos resumir este resultado no seguinte lema.

11 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 31 Lema Se ρ t x) = E ν η t 2x)], então ρ t x) é solução da equação semi-discreta do calor, isto é s ρ s x) = ρ s )x) para x Λ, s 0 ρ 0 x) = E ν η 0 x)] para x Λ ρ s 0) = α, ρ s ) = β para s 0 onde é o laplaciano discreto em Λ definido na equação 3.6)., 3.9) ota Se considerarmos a medida inicial ν ρ0 ) da Definição 3.5.1, então definindo ρ t x) = E νρ0 ) η t 2x)], temos que ρ t x) satisfaz a equação 3.9), com condição inicial ρ 0 x) = E νρ0 ) η t 2x)] = ρ 0 x ). Agora, seja C = {0,, } 2 e consideremos o subconjunto V = {x, y) C : 0 < x < y < } e a sua fronteira V = {x, y) C : x = 0 ou y = } Figura 3.1: V V Além disso, seja M o conjunto das funções f : V V R tais que f V = 0. Definição Dada ν uma medida de probabilidade em {0, 1} Λ, vamos definir para x, y) V V a função ϕ t x, y) por ϕ t x, y) = E ν {ηt 2x) ρ t x)}{η t 2y) ρ t y)} ], em V e ϕ t x, y) = 0 em V.

12 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 32 Definição Denotemos por V que V : M R é definido por o laplaciano discreto em V V tal V f)x, y) = 2{ fx+1, y)+fx 1, y)+fx, y 1)+fx, y+1) 4fx, y) } se x y > 1, V f)x, x + 1) = 2{ fx 1, x + 1) + fx, x + 2) 2fx, x + 1) }, e V f)x, y) = 0 se x, y) V. O laplaciano discreto introduzido acima é o gerador do passeio aleatório simétrico em V V, absorbido na fronteira V. Assim temos o seguinte lema. Lema ϕ t x, y) definida em V V é solução da equação s ϕ s x, y) = V ϕ sx, y) + g s x, y) para x, y) V, s 0 ϕ 0 x, y) = ϕ 0 x, y) para x, y) V ϕ s x, y) = 0 para x, y) V, s 0 onde g t x, y) = ρ t x)) 2 δ y=x+1 e, 3.10) ρ t x) = ρ t x + 1) ρ t x)). Demonstração. Para simplificar a notação, vamos considerar nesta prova η t := η t 2. Caso 1: x y > 1 ote que t ϕ t x, y) = t E ν η t x)η t y)] t ρ t x)ρ t y) ) = E ν 2 L η t x)η t y)) ] t ρ t x) ) ρ t y) + t ρ t y) ) ρ t x) ] Então, primeiro temos que t E ν η t x)η t y)] = E ν 2 η t 1){η t y 1) + η t y + 1) 2η t y)} ] + E ν 2 η t y){η t x 1) + η t x + 1) 2η t x)} ] = 2 E ν η t x)η t y 1)] + 2 E ν η t x)η t y + 1)] 2 2 E ν η t x)η t y)] + 2 E ν η t x 1)η t y)] + 2 E ν η t x + 1)η t y)] 2 2 E ν η t x)η t y)] = 2 E ν η t x)η t y 1)] + 2 E ν η t x)η t y + 1)] + 2 E ν η t x 1)η t y)] + 2 E ν η t x + 1)η t y)] 4 2 E ν η t x)η t y)] = V E ν η t x)η t y)]].

13 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 33 Segundo temos, t ρ t x) ) ρ t y) + t ρ t y) ) ρ t x) = t E ν η t x)] ρ t y) + t E ν η t y)] ρ t x) Agora, juntando estes dois resultados temos Caso 2: x y = 1 ote que = 2 t E ν η t x 1) + η t x + 1) 2η t x)] ρ t y) + 2 t E ν η t y 1) + η t y + 1) 2η t y)] ρ t x) = V ρ t x)ρ t y) ]. t ϕ t x, y) = V ϕ t x, y) + gx, y). }{{} =0 t ϕ t x, x + 1) = t E ν η t x)η t x + 1)] t ρ t x)ρ t x + 1) ) = E ν 2 L η t x)η t x + 1)) ] t ρ t x) ) ρ t x + 1) Então, temos que + t ρ t x + 1) ) ρ t x) ]. t E ν η t x)η t x + 1)] = E ν 2 {η t x 1)η t x + 1) + η t x)η t x + 2) Por outra parte, 2η t x)η t x + 1)}] = V E ν η t x)η t x + 1)]]. t ρ t x) ) ρ t x + 1) + t ρ t x + 1) ) ρ t x) = t E ν η t x)] ρ t x + 1) Agora, juntado estes dois resultados temos + t E ν η t x + 1)] ρ t x) = 2 t E ν η t x 1) + η t x + 1) 2η t x + 1)] ρ t x) = V ρ t x)ρ t x + 1) ] + ρ t x) ) 2. t ϕ t x, y) = V ϕ t x, y) ] + g t x, y). Resta analisar o que acontece na fronteira. Vamos considerar x = 0, sendo os

14 Capítulo 3. Apresentação do processo e resultados preliminares 34 restantes casos análogos. Ora, t ϕ t 0, y) = E ν η t 0) ρ t 0))η t y) ρ t y))]. Como η t 0) = α e ρ t 0) = α para todo t > 0 resulta que ϕ t 0, y) = 0. ota Consideremos a medida inicial ν ρ0 ) como na ota Então, definimos ϕ t x, y) = E νρ0 ) {ηt 2x) ρ t x)}{η t 2y) ρ t y)} ], que também satisfaz 3.10), mas com condição inicial dada por ϕ 0 x, y) = E νρ0 ) {η0 x) ρ 0 x)}{η 0 y) ρ 0 y)} ] = E νρ0 ) η0 x) ρ 0 x) ] E νρ0 ) η0 y) ρ 0 y) ] = 0. ote que sempre que a medida inicial for uma medida produto esta condição inicial vai ser zero pois as variáveis aleatórias vão ser independentes de média zero.