Expoentes Críticos numéricos na rede quadrada para o modelo de Ising

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL BACHARELADO EM FÍSICA Matheus Phellipe Brasil de Sousa Expoentes Críticos numéricos na rede quadrada para o modelo de Ising Natal-RN Novembro de 2017

2 Matheus Phellipe Brasil de Sousa Expoentes Críticos numéricos na rede quadrada para o modelo de Ising Monografia de Graduação apresentada ao Departamento de Física Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de bacharel em Física. Orientador(a) Professor Dr. João Medeiros de Araújo Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Departamento de Física Teórica e Experimental DFTE Natal-RN Novembro de 2017

3 Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET Sousa, Matheus Phellipe Brasil de. Expoentes críticos numéricos na rede quadrada para o modelo de Ising / Matheus Phellipe Brasil de Sousa. - Natal, f.: il. Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental. Orientador: João Medeiros de Araújo. 1. Modelo de Ising. 2. Simulação. 3. Expoentes críticos. I. Araújo, João Medeiros de. II. Título. RN/UF/CCET CDU

4 Monografia de Graduação sob o título Expoentes Críticos numéricos na rede quadrada para o modelo de Ising apresentada por Matheus Phellipe Brasil de Sousa e aceita pelo Departamento de Física Teórica e Experimental do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada: Professor Dr. João Medeiros de Araújo DFTE - Departamento de Física Teórica e Experimental UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Professor Dr. Dory Hélio Aires de Lima Anselmo DFTE - Departamento de Física Teórica e Experimental UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Professor Dr. Francisco Alexandre da Costa DFTE - Departamento de Física Teórica e Experimental UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN, 23 de novembro de 2017.

5 i Dedico este trabalho à todos os familiares e amigos que sempre me incentivaram. i

6 ii Agradecimentos Ao Professor João Medeiros, pela orientação. Aos demais professores do DFTE, que ao longo do curso contribuíram para minha formação acadêmica. Aos meus grandes amigos de curso, que sempre estiveram presentes nos mais diversos momentos da graduação: Felipe, Rennan, Suzane, Isaac e outros. A minha mãe, irmão e esposa que sempre me incentivaram durante a minha jornada na graduação em física.

7 iii Resumo Neste trabalho, apresentamos alguns resultados numéricos importantes associados ao modelo de Ising para um rede quadrada 2D, tais como energia, magnetização, calor específico e susceptibilidade magnética. Estudamos também o método de Monte Carlo e algoritmo de metropolis, que são conceitos indispensáveis para a realização de uma simulação computacional do modelo de Ising bidimensional. A partir da simulação computacional, o objetivo principal será mostrar como podemos obter os expoentes críticos associados a este modelo. Palavras-chave: Modelo de Ising, Simulação, Expoentes críticos.

8 iv Abstract In this work, we present some important numerical results associated with the Ising model for a 2D square network, such as energy, magnetization, specific heat and magnetic susceptibility. We also study the Monte Carlo method and metropolis algorithm, which are indispensable concepts for the computational simulation of the two-dimensional Ising model. From the computational simulation, the main objective will be to show how we can obtain the critical exponents associated to this model. Keywords: Ising Model, Simulation, Critical Exponents.

9 v A natureza é um enorme jogo de xadrez disputado por deuses, e que temos o privilégio de observar. As regras do jogo são o que chamamos de física fundamental, e compreender essas regras é a nossa meta. Richard Feynmann

10 vi Lista de figuras Figura 1 - Fluxograma representando o algoritmo de Metropolis Figura 2 - Representação de uma rede de spins aleatória Figura 3 - Representação do primeiro sorteio Figura 4 - Representação do segundo sorteio Figura 5 - Representação do terceiro sorteio Figura 6 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L= Figura 7 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L= Figura 8 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L= Figura 9 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L= Figura 10 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L= Figura 11 - Comportamento da susceptibilidade magnética para os vários tamanhos de rede Figura 12 - Ajuste linear para determinar o coefiente crítico associado a susceptibilidade Figura 13 - Comportamento da magnetização para L= Figura 14 - Comportamento da magnetização para L= Figura 15 - Comportamento da magnetização para L= Figura 16 - Comportamento da magnetização para L= Figura 17 - Comportamento da magnetização para L= Figura 18 - Comportamento da magnetização para os vários tamanhos de rede Figura 19 - Ajuste linear para determinar o coeficiente associado a magnetização Figura 20 - Comportamento do calor específico para L= Figura 21 - Comportamento do calor específico para L= Figura 22 - Comportamento do calor específico L= Figura 23 - Comportamento do calor específico para L=

11 vii Figura 24 - Comportamento do calor específico para L= Figura 25 - Comportamento do calor específico para diferente tamanhos de rede Figura 26 - Ajuste linear para determinar o coeficiente crítico associado ao calor específico Figura 27 - Comportamento da energia para L= Figura 28 - Comportamento da energia para L= Figura 29 - Comportamento da energia para L= Figura 30 - Comportamento da energia para L= Figura 31 - Comportamento da energia para L= Figura 32 - Comportamento da energia para os diferentes tamanhos de rede....35

12 viii Lista de tabelas Tabela 1 - Valores dos expoentes críticos para o modelo de Ising... 34

13 ix Lista de abreviaturas e siglas MMC Método de Monte Carlo, p.22 NA Número aleatório, p.26

14 x Lista de símbolos γ: Expoente crítico associado a susceptibilidade magnética β: Expoente crítico associado a magnetização α: Expoente crítico associado ao calor específico υ: Expoente crítico associado ao comprimento de correlação σ: Representação do spin Ĥ: Hamiltoniano Z N : Função de partição K B : Constante de Boltzmann T C : Temperatura crítica χ: Susceptibilidade magnética

15 xi Sumário Resumo... iii Abstract... iv Lista de figuras... vi Lista de tabelas... viii Lista de abreviaturas e siglas... ix Lista de símbolos... x 1 Introdução O modelo se Ising Resultados analíticos para uma rede bidimensional Expoentes críticos Método de Monte Carlo (MMC) O algoritmo de Metropolis Resultados e discussões Susceptibilidade e o expoente Magnetização e o expoente Calor específico e o expoente Energia Conclusão Referências Bibliográficas... 37

16 1 1 Introdução A mecânica estatística é um ramo da física fundamentado nas teorias de probabilidade com o intuito de descrever o comportamento termodinâmico de sistemas macroscópicos, ou seja, sistemas nos quais existem um grande número de átomos ou moléculas. Enquanto as leis da mecânica clássica não são capazes de explicar a formulação de quantidades como entropia, calor e outras, a mecânica estatística consegue nos trazer essa formulação naturalmente e ainda fazer a conexão com a termodinâmica clássica. Ainda podemos dividir esse ramo da física em duas categorias, que são a mecânica estatística de equilíbrio e a mecânica estatística de não-equilíbrio, onde esta última trata de processos irreverssíveis tais como reações químicas. Para a mecânica estatística de equilíbrio é de grande importância a apresentação da teoria dos ensembles, onde um ensemble estatístico pode ser definido como distribuição de probabilidade de um estado do sistema [1]. Dentro da teoria dos ensembles temos o ensemble canônico que é caracterizado por um determinado conjunto de parâmetros macroscópicos, e a partir deste podemos fazer a conexão com a termodinâmica clássica através da função de partição, que nada mais é do que a soma sobre os estados. Podemos estudar uma grande variedade de fenômenos com o conhecimento da mecânica estatística. Os fenômenos mais relevantes para este trabalho são aqueles que ocorrem em sistemas que possuem descontinuidades analíticas ou singularidades em suas funções termodinâmicas, ou seja, sistemas que têm a ocorrência de vários tipos de transições de fase. (Pathria, 2001, p.306). Ferromagnetismo, antiferromagnetismo, transições de superfluidos são exemplos bastante conhecidos de fenômenos que podemos encontrar em sistemas os quais apresentam transições de fase. Fluidos clássicos também podem apresentar transições de fase tais como vapor líquido. Teorias clássicas como a de Pierre Curie, Pierre Weiss e van der Walls têm sido utilizadas para descrever os vários tipos de transições de fase e seus aspectos, de modo que estas teorias têm bastante relevância quando se trata de analisar as vizinhanças dos pontos críticos. (Salinas, 2005, p.291). Como dito no parágrafo anterior, nessa região crítica as funções termodinâmicas passam a apresentar descontinuidades analíticas ou singularidades, de modo que tais descontinuidades são representadas por um conjunto

17 2 de expoentes críticos que apresentam caráter universal. Dentro de todo esse contexto apresenta-se o modelo de Ising que consiste em um modelo ferromagnético que apresenta variáveis discretas que podem representar momentos de dipolo magnéticos de spin onde estes podem ser encontrados em dois estados. Sendo assim, o objetivo deste trabalho é simular computacionalmente o modelo de Ising, particularmente para uma rede quadrada 2D, com o intuito de reproduzir os expoentes críticos. O método numérico mais conhecido para resolver problemas como o modelo de Ising, é o Método de Monte Carlo juntamente com o algoritmo de metropolis.

18 3 2 O modelo se Ising O modelo de Ising consiste em um modelo ferromagnético que apresenta variáveis discretas que podem representar momentos de dipolo magnéticos de spin onde estes podem ser encontrados em dois estados 1 em uma rede de N stios. Cada sítio da rede pode interagir com o campo magnético de sua vizinhança mais próxima e também interagir com um campo magnético externo aplicado. Segundo Salinas (2005, p.316) O Hamiltoniano que descreve o modelo de Ising é dado por: Hˆ = N J i j H i, (1) ij i=1 onde i é uma variável que pode assumir os valores 1. Onde ij é uma soma sobrepares ij mais próximos e J representa a energia de interação magnética entre os vizinhos mais próximos ij. Quando a energia de interação magnética J é positivo e H = 0 dizemos que a nossa rede está com seus spins todos orientados para cima ou todos orientados para baixo, ou seja, produzimos um estado ferromagneticamente ordenado, com ambos os casos igualmente equiprováveis. Se J é negativo e H = 0, a configuração na qual os spins estão orientados em direções opostas em relação ao seus vizinhos será favorecida. Neste último caso temos o antiferromagnetismo. Mas para obter o comportamento das funções termodinâmicas presentes no modelo de Ising devemos primeiramente definir sua função de partição canônica e a partir desta obter as funções desejadas. Salinas (2005, p ) diz que a função de partição canônica será Z N = Z( T, H, N) = exp Hˆ, (2) i

19 4 Z N = exp J i j i ij H N i=1 i, (3) onde = 1/K B T. O somatório da equação (3) é sobre todas as N 2 configurações possíveis na rede de spins. Logo após definir a função de partição canônica devemos obter a energia livre por sítio. 1 g = g lim N N N T, H = ln Z. (4) Já podemos antecipar que o modelo de Ising em uma dimensão e duas dimensões tem solução analítica. Em uma dimensão a energia livre é uma função completamente analítica, ou seja, não podemos observar nenhum tipo de transição de fase. Entretanto, no caso de duas dimensões podemos observar o comportamento oposto. Já o caso em três dimensões não possui solução analítica conhecida até o presente momento, sendo esta uma das grande motivações do uso de métodos númericos para a resolução de problemas físicos. Salinas (2005, p.317) diz que Segundo Onsager, quando a rede de spins não está na presença de um campo externo, o calor específico diverge de forma assintótica logarítmica para c ln T T, (5) H = 0 c T Tc, onde T c representa a temperatura crtica. Esta temperatura crítica é definida por K B T c 2 = (6) J ln 1 2.O resultado para a magnetização espontânea de Onsager em rede quadrada nos fornece o expoente crítico = 1/ Resultados analíticos para uma rede bidimensional

20 5 Neste seção apresentamos os resultados analíticos obtidos por Onsager para o modelo de Ising em uma rede quadrada. A energia interna por spin no limite termodinâmico obtida por Onsager é dada por em que u = J coth K 2 (7) 2 J 1 a ' K a, d (8) a sin /2 a =, é uma integral elíptica completa de primeiro grau. complementar e a é dado por a ' 2 1 a é módulo elíptico a = cosh 2 2J coth2j, (9) A magnetização espontânea vem a ser dada por 1 8 = 1 sinh m J (10) para T < e 0. Para T T, temos a indicação de uma transição de fase. Tc > c 2.2 Expoentes críticos As transições de fase podem ser caractezidas por um parâmetro de ordem, ou seja, um parâmetro que mede o grau de ordem em um sistema o qual está sujeito a uma transição de fase. Um exemplo típico de parâmetro de ordem no modelo de Ising é a magnetização. Essas transições podem ser de primeira ou segunda ordem. No modelo de Ising, em particular, temos M g =, H H =0 (11)

21 6 2 g =, 2 H (12) H =0 onde g representa a energia livre. Na criticalidade a magnetização espontânea se anula e a susceptibidade magnética apresenta um comportamento divergente. As transições contínuas estão associadas diretamente aos expoentes críticos, pois através destes podemos classificar a transição. No geral podemos descrevemos as transições em termos de um conjunto de expoentes críticos, e, e outros. Nos pontos críticos as funções termodinâmicas contém um termo regular em t (temperatura reduzida), mais uma parte singular que depende de uma certa potência de t. Tais potências de t são justamente os expoentes críticos. Em t 0 e H = 0 os expoentes estão relacionados com as seguintes funções termodinâmicas M t, (13) t, (14) C t, (15) t, (16) H M, (17) com a temperatura reduzida definida como T T t = T c c. (18) As funções acima são magnetização, suceptibilidade, calor específico, comprimento de correlação e o campo. O expoente relacionado ao comprimento de correlação é dito ser independente do tipo de rede que está sendo levada em consideração, definindo então uma propriedade chamada de universalidade. Ou seja, esta propriedade nos garante que alguns expoentes críticos possuem os mesmos valores para diferentes tipos de rede. Os expoentes críticos,, e são indepentes entre eles mesmos, porém estão relacionados através de certas relações tais como

22 7 2 = 2, (19) onde a equação (19) é conhecida como relação de Rushbrooke, 1 = 2, (20) a equação (20) é a relação de Griffiths = ( 1). (21) e a equação (21) é a relação de Widom. Os expoentes críticos ainda podem ser relacionados com o tamanho da rede, com o intuito de nos fornecer equações que facilite a obtenção do expoentes críticos M t L, (22) t L, (23) C t L, (24) t L. (25) de modo que o valor do expoente é igual a 1 para uma rede bidimensional. As equações acima são produzidas através da teoria de escala de tamanho finito. (Santos, 2014). A teoria de escala de tamanho finito vem a ser bastante relevante em simulações computacionais do tipo Ising, pois os expoentes críticos são obtidos quando L, ou seja, quando temos redes infinitas. Entretanto, é impossível fazer esse tipo de simulação computacional, pois as redes simuladas por maiores que sejam ainda tem tamanho finito. Porém esta teoria nos permite estudar o comportamento crítico de sistemas a partir do estudo dos observáveis do sistema, ou seja, variáveis termodinâmicas em função de L.

23 8 3 Método de Monte Carlo (MMC) No capítulo anterior foram apresentados alguns resultados analíticos obtidos por Onsager para o modelo de Ising em duas dimensões, porém para o caso em três dimensões não é conhecida nenhuma solução analítica para esta configuração. O modelo de Ising em três dimensões é um dos inúmeros problemas encontrados na física que não possuem solução exata conhecida, sendo esta a motivação para o uso de métodos numéricos para a resolução de problemas. Em particular para resolver o modelo de Ising, seja em uma, duas ou três dimensões, utiliza-se o Método de Monte Carlo. O MMC em uma simulação do tipo Ising tem como objetivo principal calular o valor médio A de um certo observável A, ou seja, uma variável dinâmica que pode ser medida. Exemplos desses observáveis podem ser a energia interna de uma gás, ou a magnetização em um modelo magnético. (Barkema, 1999). O cálculo do valor médio de certas quantidades é bastante comum no ramo da física estatística, tais valores médios podem ser obtidos através de A = A exp E exp E, (26) ou seja, o valor médio do observável é a média do observável sobre todos os estados, onde cada estado tem energia E, e um peso dado pela distribuição de Boltzmann. Para um sistema grande devemos incluir somente as M configurações mais importantes para o sistema. Temos ainda que impor que essas M configurações sejam selecionadas com uma determinada probabilidade p. Sendo assim, a média será dada por A = M i=1 M 1 A p exp i E i i exp, 1 p E i=1 quando M. Podemos ver que a escolha mais adequada para p Z 1 = exp, M onde Z = exp i=1 E j j E (27)

24 9 A = 1 M M A. (28) i=1 i de modo que os fatores de Boltzmann foram cancelados e ficamos apenas com a famosa média aritmética. (Barkema, 1999). O método utilizado para escolher as configurações mais importantes dentre todas as possibilidades encontradas, é chamada de amostragem por importância. Os observáveis termodinâmicos de interesse a serem calculados a priori são E, E 2, M, M 2 e M. E então calculamos a susceptibilidade magnética e o calor específico que são dados respectivamente por χ = dm dt = (ΔM)2 = M2 M 2, (29) k b T k b T C = de dt = (ΔE)2 k b T = E2 E 2 k b T 2. (30) 3.1 O algoritmo de Metropolis O algoritmo de Metropolis foi introduzido por Nicolas Metropolis e seus colaboradores em O algoritmo tem como princípio a escolha de um conjunto de probabilidades de transição entre dois estados g transição de um estado para o outro, probabilidades de aceitação A, de modo que a equação, uma para cada possível, e então escolhe-se um conjunto de a satisfazer a condição de balanço detelhado A A, P = g P g P P p = exp E E. = p (31) (32) Esta condição nos garante que a configuração que foi gerada após o equilíbrio é a configuração de Boltzmann, em vez de uma outra qualquer. A condição de balanço

25 10 detalhado também deve conter o processo de Markov, ou seja, um processo no qual a distribuição de probabilidade de um evento futuro dependa apenas do atual, e não de todos que o precederam. O algoritmo funciona escolhendo repetidamente um novo estado, e então aceitando ou rejeitando este novo estado com a nossa probabilidade de aceitação. Caso o estado seja aceito, o computador muda o estado para o novo estado. Caso contrário, apenas deixamos como era, e o processo irá se repetir novamente. A seleção das probabilidades g deve satisfazer a condição de ergocidade, ou seja, o princípio de que cada estado seja acessível a partir de qualquer outro em um número finito de passos. (Pinto, 1999). A probabilidade de transição é feita de acordo com a seguinte condição A exp E E, se E E > 0, (33) = = 1, caso contrário. A (34) A condição acima nos diz que se nós obtivermos um novo estado com energia menor ou igual ao atual, devemos aceitar a transição para aquele novo estado. Porém, se este novo estado tem energia maior que o atual podemos considerar a transição desde que ela respeite a condição dada pelas equações acima. Sendo assim, o Método de Monte Carlo usando o algoritmo de Metropolis deve seguir os seguintes passos: exp E; 1 - Gerar uma configuração inicial para o sistema; 2 - Gerar uma nova configuração a partir da configuração inicial; 3 - Verifica-se uma possível variação dos parâmetros no sistema; 4 - calcula-se E; Se E < 0, aceitamos a variação do parâmetro; Se E > 0, sorteamos um número aleatório NA entre 0 e 1, e calculamos

26 11 Se exp( βδe) > NA, voltamos ao passo 3; 1. Se exp( βδe) < NA, aceitamos a variação do parâmetro e voltamos ao passo Este conjunto de passos pode ser representado pelo esquema abaixo Figura 1 - Fluxograma representando o algoritmo de Metropolis. Apliquemos o algoritmo acima a um exemplo de rede bidimensional de dimensão 5 5. A rede foi gerada pseudo-aleatoriamente

27 12 Figura 2 - Representação de uma rede de spins aleatória. de modo que as setas para cima representam o spin 1 e as setas para baixo representam o spin 1. Após ter sido gerada a configuração dada pela figura acima, sorteamos um spin aleatoriamente. Vamos supor que o spin sorteado aleatoriamente esteja localizado na 4 o linha da 4 o coluna. Agora calculamos a variação de energia que poderia ocorrer com a mudança do spin, lembrando que a energia a campo nulo é dada pela equação Hˆ = J i j. (35) ij No caso spin sorteado na 4 o linha da 4 o coluna, a variação de energia E será positiva. Neste caso sorteamos um número aleatório NA e calculamos exp E. Dado que exp E seja maior que o número aleatório sorteado devemos então voltar

28 13 a escolha aleatória de um novo spin. Dessa vez o spin se encontra na 5 o linha da 3 o coluna, e calculamos E mais uma vez, e observamos que a variação de energia será mais uma vez positiva. Sorteamos outro número aleatório NA e calculamos mais uma vez. Novamente encontramos que exp E é maior que NA, e então sorteamos um outro spin, que desta vez se encontra na 3 o linha da 4 o coluna. Dessa vez a situação é distinta das anteriores, pois a variação de energia será negativa, e então aceitamos a mudança do spin. Vale a pena ainda ressaltar que no caso de uma simulação que use o Método de Monte Carlo, devemos nos preocupar com os erros associados ao método, ou seja, são os erros estatísticos geredos pela média temporal feita sob um determinado tempo de simulação. Outra preocupação que devemos ter é com a quantidade de amostras que estamos utilizando para obter os resultados desejados. No exemplo citado acima geramos apenas uma amostra, e para um resultado satisfatório devemos obter um conjunto de N amostras e fazer a média sobre as amostras. Figura 3 - Representação do primeiro sorteio.

29 14 Figura 4 - Representação do segundo sorteio.

30 15 Figura 5 - Representação do terceiro sorteio.

31 16 4 Resultados e discussões Para obter resultados satisfatórios neste trabalho foram feitas simulações computacionais do modelo de Ising para diferentes tamanhos de rede quadrada, ou seja, utilizou-se dimensões lineares de comprimentos L iguais 2, 6, 15, 35 e 60. O que implica em matrizes de dimensões 2 2,6 6,15 15,35 35 e As simulações foram feitas com 10^6 passos de monte carlo, um valor para o transiente (passos descartados na inicialização do programa até que seja atingido o equilíbrio térmico) de 10^5 e com uma temperatura T variando de 0 a 5, de modo que a temperatura foi dividida em intervalos iguais a 0,1. A análise necessária para obtenção dos coeficientes críticos deste trabalho se inicia com um estudo do comportamento da susceptibilidade magnética, com o intuito de se obter as temperaturas pseudo-críticas. Estas temperaturas pseudo-críticas são estimativas dos pontos onde teremos a ocorrência das transições de fase. Na região próxima à região crítica foram diminuídos os passos a fim de estreitar o gráfico na vizinhança da temperatura crítica e assim obter o que representaria uma descontinuidade (um pico). Sendo assim, a temperatura pseudo-crítica foi encontrada através da média dos picos da susceptibilidade magnética e do calor específico. 4.1 Susceptibilidade e o expoente A susceptibilidade magnética é um parâmetro que nos informa o quanto que a magnetização é sensível a um campo magnético. Será observado logo nas figuras abaixo que no ponto de transição a magnetização irá decair rapidamente, ou seja, quando T = T c. O comportamento da susceptibilidade no ponto crítico deve ser divergente quando estamos tratando de redes infinitas, entretando computacionalmente só é possível simular rede de tamanhos finitos, e isto implica que os pontos de divergência da susceptilidade serão substituídos por picos. Sendo assim, como dito anteriormente, iremos fazer uma análise da susceptibilidade magnética, ou seja, serão observados os picos da susceptibilidade magnética para diferentes tamanho de rede. Abaixo podemos observar os gráficos para os vários valores de L simulados computacionalmente neste trabalho

32 17 Figura 6 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=2. Figura 7 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=6.

33 18 Figura 8 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=15. Figura 9 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=35.

34 19 Figura 10 - Comportamento da susceptibilidade magnética para L=60. Observa-se que a medida que aumentamos o tamanho da rede o pico da susceptibilidade magnetica aumenta, ou seja, a medida em L o comportamento divergente irá surgir. Podemos observar melhor o aumento do tamanho do pico no seguinte gráfico

35 20 Figura 11 - Comportamento da susceptibilidade magnética para os vários tamanhos de rede. Com base nas figuras acima podemos identificar os picos da susceptibilidade magnética e determinar as temperaturas pseudo-críticas para cada tamanho de rede. Ou seja, para cada valor de L verifica-se o valor do pico da susceptibilidade magnética e a que temperatura este pico foi observado. Uma vez que determinamos os valores da susceptibilidade magnética em suas regiões críticas, a teoria de escala finita nos permite obter o expoente crítico associado a susceptibilidade, ou seja, podemos recordar da equação que relaciona com L t L, (36) tomamos então o ln em ambos os lados da equação acima e obtemos a relação ln ( ) = ln ( L). (37) A equação acima nos permite construir um gráfico ln χ vs ln L, de modo que o expoente crítico será dado pelo coeficiente angular da função acima

36 21 Figura 12 - Ajuste linear para determinar o coefiente crítico associado a susceptibilidade. onde o ajuste linear nos fornece um valor para o expoente crítico = 1,76 0,06. Sendo o valor exato para γ dado por 1, Magnetização e o expoente Uma vez que já determinamos as pseudo-temperaturas críticas através da análise dos gráficos e dados relacionados à susceptibilidade magnética, temos condições de determinar o expoente crítico associado à magnetização de maneira semelhante. Para cada tamanho de rede observamos mais uma vez a temperatura pseudo-crítica e observamos o valor de M em T = TC. Antes de determinarmos o expoente crítico, podemos olhar o comportamento da magnetização para os diferentes tamanho de rede.

37 22 Figura 13 - Comportamento da magnetização para L=2. Figura 14 - Comportamento da magnetização para L=6.

38 23 Figura 15 - Comportamento da magnetização para L=15. Figura 16 - Comportamento da magnetização para L=35.

39 24 Figura 17 - Comportamento da magnetização para L=60. d th in; h eig h t in; d ep th 0 in; orig in a l w id th in; orig in a l h eig h t in; crop left "0" ; Podemos ver nos gráficos acima que no ponto de transição, ou seja, em T = TC a magnetização espontânea desaparece. Ainda é observado que a medida em que aumentamos o tamanho da rede o gráfico vai tomando um formato diferente. O comportamento em altas temperaturas e a baixas temperaturas nos fornece o fato de que houve o "flip" do spin, ou melhor, houve uma inversão em sua orientação. Abaixo podemos verificar os diversos comportamentos para a curva de magnetização em um único gráfico

40 25 Figura 18 - Comportamento da magnetização para os vários tamanhos de rede. Agora para determinarmos o expoente crítico iremos mais uma recorrer a lei de escala finita e relacionar a magnetização com L. Logo tomando mais uma vez o ln em ambos os lados da equação obtemos M t L, (38) ln ( M ) = ln ( L). (39) mas neste caso iremos utilizar o ln( M ). Temos então seguinte gráfico

41 26 Figura 19 - Ajuste linear para determinar o coeficiente associado a magnetização. este gráfico nos fornece um coeficiente angular, ou seja, um expoente crítico = 0,128 0,021. De modo que o valor exato para o expoente crítico β é dado por 0, Calor específico e o expoente Com o calor específico poderemos fazer uma segunda análise da temperatura crtica observando seus picos, assim como no caso da susceptibilidade magnética. Esperamos que no ponto de transição, ou seja, mais uma vez em T = TC o calor específico apresente uma divergência. Entretanto, como já foi dito podemos apenas simular redes finitas e este comportamento se apresenta em redes infinitas. O calor específico irá nos informar o quanto que a enegia irá mudar com aumento da temperatura do sistema. Abaixo podemos ver o comportamento deste observável para diferentes tamanho de rede

42 27 Figura 20 - Comportamento do calor específico para L=2. Figura 21 - Comportamento do calor específico para L=6.

43 28 Figura 22 - Comportamento do calor específico L=15. Figura 23 - Comportamento do calor específico para L=35.

44 29 Figura 24 - Comportamento do calor específico para L=60. Podemos ver que com o aumento do tamanho da rede o pico do calor especfico se torna mais evidente. Os picos observados nos gráfico são os ponto de divergência, ou seja, os pontos nos quais ocorrem a transição de fase.

45 30 Figura 25 - Comportamento do calor específico para diferente tamanhos de rede. Para determinar o expoente crítico associado ao calor específico iremos utilizar a equação C t L. (40) que é fornecida pela lei de escala finita. Entretando, para o modelo de Ising em duas dimensões o valor do expoente crítico deve ser igual a zero, pois valor de α=0 é uma convenção que foi adotada para que houvesse uma consistência na teoria das transições de fase e expoentes críticos. Já podemos observar que através do gráficos acima o gráfico tipo ln vs ln para este caso irá nos fornecer um resultado diferente de zero. Sendo assim é mostrado um gráfico logo abaixo de C vs ln (L)

46 31 Figura 26 - Ajuste linear para determinar o coeficiente crítico associado ao calor específico. de onde obtivemos um valor para o coeficiente C = 0,492 0,022. Esse resultado é 0 claramente diferente do que é esperado para o modelo de ising em duas dimensões, já que o valor de α deve ser zero para o modelo de ising 2D. A alternativa para resolver essa diferença é não interpretar um coeficiente α dado pela lei de escala finita, mas sim adotar ele como zero. 4.4 Energia Por fim iremos apresentar os resultado obtidos para a energia como função da temperatura para os diversos tamanhos de rede

47 32 Figura 27 - Comportamento da energia para L=2. Figura 28 - Comportamento da energia para L=6.

48 33 Figura 29 - Comportamento da energia para L=15. Figura 30 - Comportamento da energia para L=35.

49 34 Figura 31 - Comportamento da energia para L=60. À medida em que aumentamos o valor de L a curva da energia vai tomando um formato diferente. A derivada deste gráfico em torno do ponto central deve apresentar uma divergência. Esta divergência nada mais é que o comportamento do calor específico apresentado anteriormente. Podemos ainda comparar os resultados dos expoentes críticos obtidos através da solução numérica com os resultados calculados analicamente observando a seguinte tabela. Tabela 1 - Valores dos expoentes críticos para o modelo de Ising. Ising 2D: Valores exatos Ising 2D: numérico β 0,125 0,128±0,021 γ 1,75 1,76±0,06

50 35 C 0 0,500 0,492±0,022 Figura 32 - Comportamento da energia para os diferentes tamanhos de rede.

51 36 5 Conclusão Como pudemos ver na seção anterior os expoentes críticos obtidos através da simulação numérica não são exatamente os mesmo quando comparados à tabela 1. Muito fatores influenciaram neste resultado, como por exemplo, o tamanho da rede que estamos trabalhando, o número de passos de monte carlo ou até mesmo a implementação do código. Sendo assim, para obtermos um resultado mais próximo do que encontramos na tabela devemos aumentar o tamanho da rede, de modo que nossa rede seja extremamente grande, e junto a isto aumentar o número de passos de monte carlo. Entretanto, quanto maior o tamanho da rede e o número de passos de monte carlo, o esforço computacional aumenta significativamente, de modo que ficamos limitados quando se trata de fazer simulações com parâmentros muito grandes. Ainda podemos observar pontos não tão próximos ao ajuste linear quando observamos por exemplo o gráfico para obtenção do expoente β ou até mesmo do expoente γ. Esses pontos não tão próximos são consequência da falta de um estreitamento que deveria ser estar mais evidente no gráfico do calor específico, por exemplo. Contudo, apesar dos resultados obtidos para os expoentes críticos serem ligeriramente diferentes dos dados da tabela 1, podemos ver que a simulação, juntamente com o método utilizado para determinar as pseudo-críticas (método que consistiu em determinar as temperaturas pseudo-críticas através dos picos da susceptibilidade magnética) nos forneceu resultados satisfatórios quando fazemos uma comparação com os resultados analícos para o modelo de Ising em duas dimensões, mas também observamos a barra de erro da solução numérica.

52 37 Referências Bibliográficas [1] R. K. PATHRIA. Statistical mechanics. 2.ed. Ontario: Butterworth Heinemann, p [2] SÍLVIO R. A.SALINAS. Introdução à física estatística. 2.ed. São Paulo: edusp, p [3] FILIPA SUSANA CALDAS PINTO. Um estudo computacional do modelo de Ising Tese (mestrado em Métodos Computacionais em Ciência e Engenharia) Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. UPORTO, Porto, [4] KERSON HUANG. Introduction to statistical physics. 1.ed. Taylor & Francis, p [5] M. E. J. NEWMAN AND G. T. BARKEMA. Monte Carlo Methods in Statistical Physics. 1.ed. Oxford: Oxford university press, p [6] MURILO LACERDA SANTOS. Simulação de monte carlo no modelo de Ising na rede quadrada.dissertação (mestrado em física) Universidade Federal de Minas Gerais. UFMG, 2014.