Opera»c~oes Bin arias

3 Opera»c~oes Bin arias Neste cap ³tulo, faremos mais preciso o conceito de opera»c~ao bin aria, (ou simplesmente opera»c~ao), e introduziremos tamb em a nomenclatura j a consolidada de propriedades not aveis de opera»c~oes bin arias. Em alguns exemplos explorados, admitiremos familiaridade com os conjuntos Q dos n umeros racionais, R dos n umeros reais e C dos n umeros complexos, bem como com propriedades elementares de suas opera»c~oes de adi»c~ao e multiplica»c~ao. 3.1 Opera»c~oes Bin arias De ni»c~ao 3.1 (Opera»c~ao bin aria) Seja A um conjunto n~ao vazio. Uma opera»c~ao bin aria em A (ou simplesmente uma opera»c~ao em A), denominada tamb em uma lei de composi»c~ao interna em A, e uma aplica»c~ao ': A A! A Sendo ' uma opera»c~ao em A,paracadapar(a; b) 2 A, denotamos a imagem do par (a; b), pelaopera»c~ao ', por '(a; b) =a'b Opera»c~oes s~ao geralmente denotadas por s ³mbolos, tais como +; ; ; ±; tu, etc., em lugar de letras dos alfabetos latino e grego, tais como f;g;';ã, etc. O elemento imagem de um par (a; b), por uma opera»c~ao, e indicado, conforme conven»c~ao feita acima, por a b, e e chamado de composto de a e b pela opera»c~ao. Exemplo 3.1 Aopera»c~ao adi»c~ao em N. forma»c~ao matem atica, e aopera»c~ao Sendo a primeira opera»c~ao de nossa +: N N! N; 44

Operac»~oes Bin arias 45 sendo restri»c~ao, ao conjunto N, da opera»c~aoadi»c~ao em Z de nida axiomaticamente no cap ³tulo 1. Aimagemdeumpar(m; n) 2 N N, pelaopera»c~ao +, edenotadapor m + n e e chamada soma de m e n. Exemplo 3.2 (Potencia»c~ao em N) A opera»c~ao potencia»c~ao em N e de nida pela aplica»c~ao tu: N N! N de nida por tu (a; n) =a tu n = a n, sendo ² a 0 =1 ² Para cada n 2 N, uma vez de nido a n,de ne-sea n+1 = a n a. Assim, por exemplo, 0 tu 0=0 0 =1, 3 tu 2=3 2 =9e 2 tu 3=2 3 =8. Aimagemdeumpar(a; n), porestaopera»c~ao, e chamada pot^encia de base a eexpoenten. Exemplo 3.3 (Uma opera»c~ao de nida abstratamente) Considere em Z a opera»c~ao : Z Z! Z, de nida por a b = a + b a b; sendo + e as opera»c~oes adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z, respectivamente. Neste exemplo, 2 3=2+3 2 3= 1, 0 ( 3) = 0 + ( 3) 0 ( 3) = 3, ( 2) ( 2) = 2+( 2) ( 2)( 2) = 8. Exemplo 3.4 (Uma \n~ao opera»c~ao") Como todos sabemos, a potencia»c~ao de inteiros, com expoentes inteiros, e uma aplica»c~ao (fun»c~ao) que associa a cada par (a; n) de n umeros inteiros, com a 6= 0e n qualquer, ou com a =0e n 0, o n umero racional a n, de nido conforme as regras: 1. a 0 =1e a 1 = a, 2. se n 2, a n = a a {z }, (sendo a multiplica»c~ao em Z). n fatores 3. se a 6= 0e n 1, a n = 1 a n

Operac»~oes Bin arias 46 Sendo a e n inteiros, denotemos ent~ao a tu n = a n Z: Temos por em duas raz~oes pelas quais tu est a longe de ser uma opera»c~ao em ² Embora 2 tu ( 1) = 2 1 =1=2 fa»ca sentido como um n umero racional admitindo aqui familiaridade com os n umeros racionais o \resultado" de a tu n, a e n inteiros, nem sempre e uminteiro. ² Al em disso, h a inst^ancias em que a tu n nem est a de nido, como no caso 0 tu ( 1) (0 1 n~ao e de nido pois a equa»c~ao 0 x =1n~ao tem solu»c~ao). 3.2 Nomenclatura de propriedades not aveis das opera»c~oes De ni»c~ao 3.2 Seja uma opera»c~ao de nida num conjunto n~ao vazio A. 1. Dizemos que e uma opera»c~ao associativa se 8a; b; c 2 A; (a b) c = a (b c) 2. Dizemos que e uma opera»c~ao comutativa se 8a; b 2 A; a b = b a 3. Dizemos que um elemento e 2 A e umelemento neutro da opera»c~ao se 8a 2 A; e a = a e = a Teorema 3.1 (Unicidade do elemento neutro) Seja uma opera»c~ao em um conjunto n~ao vazio A e suponhamos que e 1 e e 2 s~ao elementos neutros da opera»c~ao. Ent~ao e 1 = e 2. Em outras palavras, se uma opera»c~ao tem elemento neutro, ele e unico. Demonstra»c~ao. Como e 1 eelementoneutrode, tem-see 1 e 2 = e 2 Como e 2 etamb em elemento neutro de, tem-see 1 e 2 = e 1 Logo, e 1 = e 2. De ni»c~ao 3.3 Seja uma opera»c~ao de nida num conjunto n~ao vazio A, tendo um elemento neutro e. Dado um elemento a 2 A, dizemos que a e invert ³vel ou invers ³vel na opera»c~ao se existe um elemento a 0 2 A satisfazendo a a 0 = a 0 a = e Nesse caso, um tal elemento a 0 e chamado elemento inverso de a (ou sim etrico de a) na opera»c~ao.

Operac»~oes Bin arias 47 Teorema 3.2 (Unicidade de inversos numa opera»c~ao associativa) Seja uma opera»c~ao associativa num conjunto n~ao vazio A. Suponhamos que tem um elemento neutro e. Ent~ao cada elemento de A, invert ³vel na opera»c~ao, possui um unico elemento inverso. Em outras palavras, se a 0 e a 00 s~ao inversos de a na opera»c~ao ent~ao a 0 = a 00. Demonstra»c~ao. Sejama 0 e a 00 elementos inversos de a na opera»c~ao. Ent~ao a 0 = a 0 e = a 0 (a a 00 )=(a 0 a) a 00 = e a 00 = a 00 Note que, na igualdade central, zemos uso da associatividade de. Teorema 3.3 Seja uma opera»c~ao associativa num conjunto n~ao vazio A. Suponhamos que tem um elemento neutro e. 1. Se a 2 A e invert ³vel na opera»c~ao, com inverso a 0 2 A, ent~ao a 0 tamb em e invert ³vel na opera»c~ao, com inverso (a 0 ) 0 = a. 2. Se a e b s~ao elementos de A, invert ³veis na opera»c~ao, ent~ao a b tamb em e invert ³vel na opera»c~ao, com inverso (a b) 0 = b 0 a 0, sendo b 0 e a 0, respectivamente, inversos de b e a na opera»c~ao. Demonstra»c~ao. 1. Como a a 0 = a 0 a = e, segue, pela de nic~ao e unicidade do elemento inverso, que o inverso de a 0,naopera»c~ao, eigualaa. 2. Sejam a 0 e b 0, respectivamente, os inversos de a e b na opera»c~ao. Ent~ao, pela associatividade de, teremos (a b) (b 0 a 0 ) = a [b (b 0 a 0 )] = a [(b b 0 ) a 0 ] = a (e a 0 ) = a a 0 = e Analogamente, podemos mostrar que (b 0 a 0 ) (a b) =e. Portanto, o elemento inverso de a b na operac~ao e b 0 a 0. Observa»c~ao 3.1 As conven»c~oes descritas aqui s~ao adotadas universalmente. Quando uma opera»c~ao num conjunto A e denotada por +, ela e denominada adi»c~ao em A e, nesse caso, assume-se implicitamente que ela e associativa e comutativa. Em outras palavras, causa estranheza denotar opera»c~oes n~ao comutativas ou n~ao associativas por \+".

Operac»~oes Bin arias 48 Quando uma adi»c~ao tem elemento neutro, ele e geralmente denotado por 0, e e denominado zero. Al em disso, se um elemento a 2 A tem elemento inverso na opera»c~ao +, este e chamado oposto de a ou sim etrico de a, ou ainda inverso aditivo de a, e e denotado por a. Observa»c~ao 3.2 Tamb em certas regras s~ao impl ³citas quando uma opera»c~ao num conjunto A e denotadapor\ ". Em geral, assume-se que uma opera»c~ao denotada multiplicativamente e associativa, mas n~ao necessariamente comutativa. Em v arios exemplos elementares ela e chamada multiplica»c~ao em A, mas este n~ao e o nome \obrigat orio" dado a opera»c~oes denotadas por \ ". Se a opera»c~ao em A tem elemento neutro, sendo a 2 A um elemento invert ³vel nessa opera»c~ao, seu elemento inverso e chamado inverso multiplicativo de a, ouinverso multiplicativo de a, e edenotadopora 1. Exemplo 3.5 Como sabemos, a opera»c~ao adi»c~ao em N e associativa, comutativa, e tem elemento neutro e =0. O unico elemento invert ³vel na adi»c~ao em N e o elemento neutro pois, em N, a + a 0 =0) a = a 0 =0. Exemplo 3.6 A multiplica»c~ao em Z e associativa, comutativa, tem elemento neutro e = 1 e, os elementos invert ³veis nessa opera»c~ao s~ao 1 e 1, uma vez que, em Z, ab =1) a = b = 1, sendo ent~ao 1 1 =1e ( 1) 1 = 1. Exemplo 3.7 Consideremos agora a opera»c~ao em Z, do exemplo 3.3, de nida por a b = a + b ab; 8a; b 2 Z Que propriedades not aveis tem esta opera»c~ao? Ela tem elemento neutro? Consideremos tr^es inteiros gen ericos a, b e c. Ent~ao Por outro lado, (a b) c = (a b)+c (a b) c = (a + b ab)+c (a + b ab)c = a + b + c ab ac bc + abc a (b c) = a +(b c) a (b c) = a +(b + c bc) a(b + c bc) = a + b + c bc ab ac + abc Assim, (a b) c = a (b c).

Operac»~oes Bin arias 49 Portanto, e associativa. Al em disso, a b = a + b ab = b + a ba = b a, isto e, e tamb em comutativa. Tem um elemento neutro? Para responder a esta quest~ao, note que se e e elemento neutro de uma opera»c~ao tu, ent~ao e tu e = e. No nosso caso e e = e ) e + e e 2 = e ) e 2 e =0) e(e 1) = 0 ) e =0oue =1 Agora, se a 2 Z, ent~ao a 0=a +0 a 0=a e 0 a =0+a 0 a = a, portanto 0 e o elemento neutro de. Quais s~ao os elementos de Z, invert ³veis na opera»c~ao? Obviamente 0 e um deles, j a que o elemento neutro de uma opera»c~ao e sempre invert ³vel. Seja x 2 Z, e suponhamos que x e invert ³vel na opera»c~ao com inverso y. Ent~ao x y = y x =0) x + y xy =0 Da ³, x(1 y) = y e y(1 x) = x. Disto deduzimos que x e fatordey (x divide y) e que y e fatordex (y divide x). Logo, x = y. Se x = y, ent~ao x + y xy =0) 2x x 2 =0) x =0oux =2. Bem, x =0era um elemento invert ³vel j a previsto. A \novidade" aqui e o elemento invert ³vel x =2, cujo inverso e y =2. Se x = y, ent~ao x + y xy =0) x 2 =0) x =0, e novamente \redescobrimos" 0 como um elemento invert ³vel de. Assim, os unicos elementos invert ³veis na opera»c~ao s~ao 0 e 2, sendo cada um deles o elemento inverso de si mesmo. Exemplo 3.8 (Uma opera»c~ao importante, sem \propriedades not aveis") Considere a opera»c~ao tu de potencia»c~ao em N (exemplo 3.2), de nida por a tu b = a b ; 8a; b 2 N Ent~ao 2 tu 3=2 3 =8 e 3 tu 2=3 2 =9 eportantotu n~ao e comutativa (em geral, a b 6= b a ). Al em disso, (2 tu 3) tu2 =8tu 2=8 2 =64 enquanto que 2 tu (3 tu 2) = 2 tu 9=2 9 =512 de onde conclu ³mos que tu tampouco e associativa (em geral (a b ) c 6= a (bc) ).

Operac»~oes Bin arias 50 Se tu tiver um elemento neutro e, ele dever a satisfazer e tu e = e; ou seja, e e = e Agora, para cada natural n 2, temosn n >n. Logo, para o elemento neutro de tu s o restam as possibilidades e =0ou e =1, sendo e =1a unica soluc~ao de e e = e. Veri cando se e =1 e, de fato, elemento neutro de tu, encontramos, para um inteiro gen erico a 2 N: a tu 1=a 1 = a e 1tu a =1 a =1 de onde deduzimos que tu n~ao possui elemento neutro. De ni»c~ao 3.4 Sendo e tu duas opera»c~oes de nidas num conjunto A, dizemos que e distributiva em rela»c~ao a tu se, 8a; b; c 2 A, a (b tu c) = (a b) tu (a c); (a tu b) c = (a c) tu (b c) Como exemplo, considere as opera»c~oes + e em Z. Como sabemos, e distributiva em rela»c~ao a +, ouseja,8a; b; c 2 Z, a (b + c) = (a b)+(a c); (a + b) c = (a c)+(b c) De ni»c~ao 3.5 (Restri»c~ao de uma opera»c~ao) Sejam A um conjunto n~ao vazio, uma opera»c~ao em A, eb um subconjunto n~ao vazio de A. 1. Dizemos que B e fechado na opera»c~ao se x; y 2 B ) x y 2 B; 8x; y 2 A isto e, se a composi»c~ao x y de dois elementos quaisquer x e y de B e tamb em um elemento de B. Por exemplo, se A = Z e = e a multiplica»c~ao usual em Z, ent~ao Z + = fx 2 Z j x>0g e fechado nessa opera»c~ao, j a que, conforme o axioma de ordem O4, 8x; y 2 Z; x>0ey>0 ) x y>0. 2. Se B e um subconjunto de A, fechado na opera»c~ao, ent~ao a opera»c~ao B B! B (b 1 ;b 2 ) 7! b 1 b 2 e chamada restri»c~ao da opera»c~ao ao conjunto B. Habitualmente, denotamos a restri»c~ao de uma opera»c~ao pela mesma nota»c~ao da opera»c~ao, isto e, indicamos a restri»c~ao de tamb em por.

Operac»~oes Bin arias 51 De ni»c~ao 3.6 (T abua de uma opera»c~ao num conjunto nito) Seja A um conjunto nito de n elementos, A = fx 1 ;x 2 ;:::;x n g,com(n 1), eseja uma opera»c~ao em A. At abua de e uma tabela da forma x 1 x 2 ::: x n x 1 a 11 a 12 ::: a 1n x 2 a 21 a 22 ::: a 2n.... x n a n1 a n2 ::: a nn em que, para cada par de ³ndices i; j, com1 i; j n, a ij = x i x j Exemplo 3.9 Seja A = f1;i; 1; ig, sendo i a unidade imagin aria dos n umeros complexos (i 2 = 1). Seja a multiplica»c~ao de n umeros complexos, isto e, a multiplica»c~ao em C. E f acil ver que A e fechado na opera»c~ao. A t abua da multiplica»c~ao, restrita a A, e dada abaixo. 1 i 1 i 1 1 i 1 i i i 1 i 1 1 1 i 1 i i i 1 i 1 3.2.1 Problemas complementares 1... Em cada um dos itens abaixo, considere a opera»c~ao em A e veri que (i) se e associativa; (ii) se e comutativa; (iii) se tem elemento neutro; (iv) caso tenha elemento neutro, quais s~ao os elementos de A invert ³veis nessa opera»c~ao. Para cada elemento invert ³vel, determine o respectivo elemento inverso. (a) A = R, x y = 3p x 3 + y 3 (b) A = R, x y = x (c) A = N, x y =minfx; yg (d) A = N, x y =mdc(x; y) (e) A = R + = fx 2 R j x 0g, x y = x + y 1+xy

Operac»~oes Bin arias 52 (f) A = Q, x y = x + y xy 2. Seja A um conjunto n~ao vazio e seja }(A) o conjunto das partes de A, isto e, o conjunto dos subconjuntos de A. Assim, X 2 }(A) se, e somente se, X ½ A. Por exemplo, se A = f1; 2; 3g, ent~ao }(A) =f ; f1g; f2g; f3g; f1; 2g; f1; 3g; f2; 3g;Ag: Em }(A) de nem-se as opera»c~oes habituais da teoria dos conjuntos, sendo elas as opera»c~oes reuni~ao ([), interse»c~ao (\), diferen»ca ( ), e diferen»ca sim etrica (4), de nidas por X [ Y = fa 2 A j a 2 X ou a 2 Y g; X \ Y = fa 2 A j a 2 X e a 2 Y g; X Y = fa 2 A j a 2 X e a 62 Y g; X 4 Y = (X [ Y ) (X \ Y ); 8X; Y 2 }(A). Determine, seguindo o roteiro do exerc ³cio anterior, as propriedades de cada uma das quatro opera»c~oes em }(A). [Sugest~ao simpli cadora: utilize diagramas de Venn.] 3... Mostre que, no conjunto }(A), (a) A opera»c~ao [ e distributiva em rela»c~ao a \; (b) A opera»c~ao \ e distributiva em rela»c~ao a [; (c) A opera»c~ao \ e distributiva em rela»c~ao a 4. (d) A opera»c~ao 4 n~ao e, em geral, distributiva em rela»c~ao a \. 4... (a) Quantas opera»c~oes bin arias distintas podemos de nir num conjunto nito de n elementos? [Sugest~ao: Conte o n umero de t abuas dessas opera»c~oes.] (b) Quantas s~ao as opera»c~oes bin arias comutativas?