Introdu»c~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos

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1 5 Introdu»c~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos Neste cap ³tulo, faremos uma primeira introdu»c~ao ao estudo dos grupos e de suas propriedades gerais, estudo esse conhecido pelo nome de Teoria dos Grupos. No pre^ambulo, faremos contato com os conceitos de semi-grupos e mon oides. 5.1 Semi-grupos, mon oides e grupos De ni»c~ao 5.1 Seja A um conjunto n~ao vazio e seja uma opera»c~ao em A. A estrutura alg ebrica (A; ) e denominada um 1. semi-grupo se e umaopera»c~ao associativa; 2. mon oide se e umaopera»c~ao associativa e tem um elemento neutro e 2 A; 3. grupo se e associativa, tem um elemento neutro e 2 A, e cada elemento a 2 A e invert ³vel na opera»c~ao. Al em disso, em cada um dos casos 1, 2 e 3 acima, acrescenta-se o adjetivo comutativo se e tamb em comutativa. Assim, por exemplo, um semi-grupo comutativo e um semi-grupo com opera»c~ao comutativa. Um grupo abeliano e um grupo comutativo. Note que um grupo e tamb em um mon oide e que um mon oide e tamb em um semi-grupo. Exemplo 5.1 (N; +) e um mon oide comutativo, mas n~ao e umgrupo,j a que nenhum n umero natural n 1 e invert ³vel na adi»c~ao em N. Exemplo 5.2 (Z; +) e um grupo abeliano, de elemento neutro 0, sendo o elemento inverso (inverso aditivo) de cada inteiro a 2 Z o seu oposto a. 78

2 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 79 Exemplo 5.3 (O mon oide das transforma»c~oes de um conjunto A) Seja A um conjunto n~ao vazio. Uma transforma»c~ao de A (ou em A) e uma fun»c~ao f: A! A. Seja M(A) o conjunto de todas as transforma»c~oes em A, e seja ± aopera»c~ao composi»c~ao de fun»c~oes, restritaam(a). Recordemo-nos que dadas duas fun»c~oes quaisquer g: X! Y e h: Y! Z, a fun»c~ao composta de h e g (aten»c~ao para a ordem em que s~ao tomadas!) e de nida como sendo a fun»c~ao ' = h ± g: X! Z de nida por '(x) =(h ± g)(x) =h(g(x)); 8x 2 X Assim sendo, e f acil ver que o conjunto M(A) e fechado na opera»c~ao composi»c~ao de fun»c~oes, e portanto podemos restringir a opera»c~ao ± ao conjunto M(A). Veremos a seguir que ((M(A); ±) e ummon oide, n~ao comutativo quando A tem ao menos dois elementos distintos. Veremos tamb em que os elementos invert ³veis de M(A) s~ao as fun»c~oes bijetoras de A em A (e que portanto, ((M(A); ±) n~ao e um grupo quando A possui (ao menos) dois elementos distintos). Exist^encia de elemento neutro da opera»c~ao ± em M(A). Considere a aplica»c~ao identidade em A, I A : A! A, de nida por I A (x) =x; 8x 2 A I A e o elemento neutro da opera»c~ao composi»c~ao em M(A): Para cada f 2 M(A), (I A ± f)(x) =I A (f(x)) = f(x) e (f ± I A )(x) =f(i A (x)) = f(x); 8x 2 A logo I A ± f = f ± I A = f Associatividade da composi»c~ao em M(A). Dadas tr^es fun»c~oes quaisquer f: X! Y; g: Y! Z e h: Z! W temos ((h ± g) ± f)(x) =(h ± g)(f(x)) = h(g(f(x))) e (h ± (g ± f))(x) =h((g ± f)(x)) = h(g(f(x))) 8x 2 X, eportanto (h ± g) ± f = h ± (g ± f)

3 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 80 Assim, a associatividade da composi»c~ao de fun»c~oes e uma propriedade geral que se aplica tamb em para as fun»c~oespertencentesam(a). Se A possui dois elementos distintos, ± n~ao e comutativa. De fato, sejam a e b dois elementos distintos de A. Considere as transforma»c~oes constantes c a : A! A e c b : A! A, de nidas por c a (x) =a e c b (x) =b; 8x 2 A Ent~ao, para cada x 2 A, (c a ± c b )(x) =c a (c b (x)) = c a (b) =a e (c b ± c a )(x) =c b (c a (x)) = c b (a) =b ou seja, c a ± c b = c a e c b ± c a = c b eportanto± n~ao e comutativa em M(A). Observa»c~ao 5.1 Para que se tenha f ±g 6= g±f, sendo f;g 2 M(A), esu ciente que se tenha (f ±g)(x 0 ) 6= (g±f)(x 0 ) para algum elemento x 0 2 A. Noentanto,no caso das fun»c~oes c a e c b de nidas acima, veri camos que (c a ±c b )(x) 6= (c b ±c a )(x), para cada x 2 A. Proposi»c~ao 5.1 Uma transforma»c~ao f 2 M(A) e invert ³vel se e somente se f e bijetora. Demonstra»c~ao.. (somente se ou \)") Seja f 2 M(A) uma transforma»c~ao invert ³vel. Ent~ao existe uma fun»c~ao g 2 M(A) tal que f ± g = g ± f = I A (g e chamada transforma»c~ao inversa de A e edenotadaporg = f 1 ). Veremos ent~ao que a exist^encia de g acarreta que f e injetora e sobrejetora. De fato, Logo, f e injetora. 8x; y 2 A; f(x) =f(y) ) g(f(x)) = g(f(y)) ) (g ± f)(x) =(g ± f)(y) ) I A (x) =I A (y) ) x = y

4 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 81 Al em disso, para cada y 0 2 A, y 0 = I A (y 0 )=(f ± g)(y 0 )=f(g(y 0 )) = f(x 0 ) sendo x 0 = g(y 0 ). Ou seja, para cada y 0 2 A, existex 0 2 A tal que f(x 0 )=y 0,eportantof e tamb em sobrejetora. Assim sendo, se f 2 M(A) e invert ³vel ent~ao f e injetora e sobrejetora, portanto bijetora. (se ou \(") Seja f 2 M(A) uma aplica»c~ao bijetora, isto e, injetora e sobrejetora. De namos uma transforma»c~ao g 2 M(A) (candidata a fun»c~ao inversa de f) do seguinte modo: Para cada a 2 A, existeb 2 A tal que f(b) =a (pois f e sobrejetora). Al em disso, um tal elemento b e unico, pois f e injetora: se b 0 2 A e f(b 0 )=a ent~ao f(b) =f(b 0 ) ) b = b 0. De nimos a fun»c~ao g no ponto a por: g(a) =b Notemos ent~ao que, uma vez de nida a fun»c~ao g, paracadaa 2 A ecada b 2 A, s~ao equivalentes as igualdades f(a) =b e g(b) =a, ouseja f(a) =b, g(b) =a Temos ent~ao que f ± g = g ± f = I A. De fato: Para cada x 2 A, sejamf(x) = e g(x) =. Ent~ao teremos g( ) =x e f( ) =x. Logo, (f ± g)(x) =f(g(x)) = f( ) =x = I A (x) e (g ± f)(x) =g(f(x)) = g( ) =x = I A (x) Se A tem ao menos dois elementos, (M(A); ±) n~ao e umgrupo. De fato, se A tem ao menos dois elementos distintos a e b, as fun»c~oes c a e c b de nidas acima n~ao s~ao sobrejetoras, portanto n~ao s~ao invert ³veis na opera»c~ao composi»c~ao em M(A). Sendo assim a estrutura alg ebrica (M(A); ±), coma tendo ao menos dois elementos distintos, e um mon oide n~ao comutativo e n~ao e um grupo.

5 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos Problemas complementares 1. ^.. Seja A um conjunto n~ao vazio e seja uma opera»c~ao em A, com elemento neutro e. Sendo a um elemento de A, (a) dizemos que um elemento x 2 A e uminverso µa direitadea, na opera»c~ao, sea x = e; (b) dizemos que um elemento y 2 A e uminverso µa esquerdadea, na opera»c~ao, sey a = e. Prove que se e associativa e a 2 A possui um inverso µa direitax eum inverso µa esquerda y, ent~ao x = y, eportantoa e invert ³vel na opera»c~ao. 2. Sejam f;g 2 M(A), sendo M(A) o mon oide das transforma»c~oes de um conjunto n~ao vazio A (veja exemplo 5.3). (a).. Mostre que se f ± g = I A ent~ao g e injetoraef e sobrejetora. (b) _.. Mostre que se g e injetora entao existe uma transforma»c~ao ' 2 M(A) que e inversaµaesquerdadeg. (c) _.. Mostre que se f e sobrejetora entao existe uma transforma»c~ao à 2 M(A) que e inversaµadireitadef. 3. Considere o mon oide das transforma»c~oes do conjunto N dos n umeros naturais, M(N), munido da opera»c~ao composi»c~ao (re ra-se ao exemplo 5.3). Considere as transforma»c~oes f;g 2 M(N), de nidas por e g(x) = f(x) =x +1 ½ 0; se x =0 x 1; se x 1 (a).. Mostre que g ± f = I N,eportantof e uma transforma»c~ao inversa µa direitadeg (e g e uma transforma»c~ao inversa µa esquerda de f). (b) ^.. Veri que que f e g s~ao transforma»c~oes n~ao invert ³veis e que, portanto, nem f possui uma transforma»c~ao inversa µa direita, nem g possui uma transforma»c~ao inversa µa esquerda. (c).. Mostre que f tem uma in nidade de transforma»c~oes inversas µa esquerda. [Sugest~ao: Altere g, rede nindo g(0).] (d).. Mostre que g tem (exatamente) duas transforma»c~oes inversas µa direita. [Sugest~ao: Mostre que se h e umainversa µa direitadeg, ent~ao: (a) h(0) = 0 ou h(0) = 1; (b) para cada x 2 N, x 1, tem-se h(x) 1 eportantoh(x) =x +1.] 4. ^.. Mostre que o conjunto constitu ³do das tr^es permuta»c~oes µ µ µ I = ;¾= e = munido da opera»c~ao de composi»c~ao, constitui um grupo.

6 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos ^.. Dadasaspermuta»c~oes µ f 1 = e f 2 = µ calcule (a) f1 2 = f 1 ± f 1 (b) f1 3 = f1 2 ± f 1 (c) f1 4 = f1 3 ± f 1 (d) f 1 2 (e) f 1 ± f 1 2 (f) f Seja (A; ) um mon oide no qual a equa»c~ao a x = b tem solu»c~ao, 8a; b 2 A. Mostre que (A; ) e umgrupo. 5.2 Grupos e suas Propriedades Elementares Abrimos esta se»c~ao, rede nindo o conceito de grupo. De ni»c~ao 5.2 Uma estrutura alg ebrica (G; ) e um grupo se satisfaz as seguintes propriedades: (G1) e umaopera»c~ao associativa, isto e, 8x; y; z 2 G, tem-se (x y) z = x (y z) (G2) tem elemento neutro, isto e, existe e 2 G tal que para cada x 2 G. x e = e x = x (G3) cada elemento de G e invert ³vel na opera»c~ao, ou seja, para cada x 2 G, existe x 0 2 G (chamado inverso de x na opera»c~ao ), tal que x x 0 = x 0 x = e Observa»c~ao 5.2 Recordamos que, conforme os teoremas 3.1 e 3.2 do cap ³tulo 4, sendo (G; ) um grupo, 1. Existe um unico elemento e 2 G, elemento neutro da opera»c~ao em G. 2. Para cada x 2 G, existeum unico elemento x 0 2 G, elemento inverso de x relativamente µa opera»c~ao. 3. Se x e y s~ao elementos de G, de inversos x 0 e y 0, respectivamente, ent~ao y 0 x 0 e o inverso de x y em G. Recordamos tamb em que se e umaopera»c~ao comutativa, o grupo (G; ) e chamado de grupo abeliano.

7 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 84 Observa»c~ao 5.3 Recordamos tamb em que, sendo (G; ) um grupo, as seguintes conven»c~oes notacionais s~ao habitualmente adotadas: opera»c~ao denomina»c~ao especial elemento neutro elemento inverso do grupo de x 2 G + grupo aditivo 0 (zero) x (oposto de x) grupo multiplicativo 1 G ou 1 ou e x 1 Lembramos ainda que, convencionalmente, grupos aditivos s~ao sempre abelianos. Em outras palavras, n~ao e de bom senso denotar por + uma opera»c~ao n~ao comutativa. Proposi»c~ao 5.2 Sendo (G; ) um grupo 1. Valem em G as leis do cancelamento: 8a; b; c 2 G, a b = a c ) b = c b a = c a ) b = c 2. Sendo a e b elementos de G, as equa»c~oes a x = b e y a = b tem, cada uma delas, uma unica solu»c~ao em G. Demonstra»c~ao.. Sejam a; b e c elementos de G, seja e 2 G oelementoneutrode, e seja a 0 2 G o elemento inverso de a na opera»c~ao. 1. Se a b = a c ent~ao 2. a 0 (a b) =a 0 (a c) ) (a 0 a) b =(a 0 a) c ) e b = e c logo b = c. Analogamente, b a = c a ) b = c. a x = b, a 0 (a x) =a 0 b, (a 0 a) x = a 0 b, e x = a 0 b, x = a 0 b o que demonstra a exist^encia (x = a 0 b) e unicidade da solu»c~ao da equa»c~ao a x = b. Analogamente, a equa»c~ao y a = b possui uma unica solu»c~ao, a saber y = b a 0.

8 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 85 Observa»c~ao 5.4 No monoide multiplicativo (Z 12 ; ) n~ao s~ao v alidas as leis do cancelamento: 3 2=3 6=6, mas2 6= 6. Al em disso, a equa»c~ao 3 x = 6 tem 3 solu»c~oes em Z 12,asaber2; 6 e 10. Por outro lado, a equa»c~ao 3 x = 2 n~ao tem solu»c~ao em Z Bons exemplos de grupos Como primeiros exemplos de grupos, lembremo-nos de que se (A; +; ) e umanel, ent~ao (A; +) e um grupo abeliano, chamado o grupo aditivo do anel A. Alem disso, se (K; +; ) e um corpo, temos o grupo multiplicativo (K ; ) dos elementos n~ao nulos do corpo K. O grupo S(A) das permuta»c~oes de um conjunto A De ni»c~ao 5.3 Sendo A um conjunto n~ao vazio, chama-se permuta»c~ao em A (ou de A) todafun»c~ao bijetora f: A! A. Denotaremos o conjunto das permuta»c~oes em A por S(A). Note que S(A) e um subconjunto de M(A), o conjunto das transforma»c~oes de A, exploradono exemplo 5.3. Al em disso, S(A) e fechado na opera»c~ao composi»c~ao de fun»c~oes, isto e, dadas duas transforma»c~oes f;g 2 S(A) tem-se f ± g 2 S(A), pois a composi»c~ao de fun»c~oes bijetoras e uma fun»c~ao bijetora. De fato, f;g 2 S(A) ) f e g s~ao fun»c~oes bijetoras de A em A ) f e g s~ao fun»c~oes invert ³veis na opera»c~ao ± em M(A) ) f ± g e fun»c~ao invert ³vel na opera»c~ao ± em M(A) ) f ± g e fun»c~ao bijetora de A em A ) f ± g 2 S(A) Assim, a opera»c~ao ± de M(A) pode ser restringida ao conjunto S(A). Como a aplica»c~ao identidade I A est a ems(a), ecomo± e associativa, (S(A); ±) e um mon oide. Al em disso, se f 2 S(A) e g e a transforma»c~ao inversa de f, ent~ao g e tamb em invert ³vel, com inversa g 1 = f, eportantog e bijetora, ou seja g 2 S(A). Logo, cada elemento de S(A) e invert ³vel em S(A) na opera»c~ao composi»c~ao. Portanto (S(A); ±) e um grupo, denominado grupo das permuta»c~oes de A ou grupo sim etrico de A.

9 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 86 Finalmente, chamamos a aten»c~ao para o fato de que se A tem ao menos tr^es elementos distintos, entao (S(A); ±) n~ao e um grupo abeliano. De fato, suponhamos que A possui tr^es elementos a, b e c, distintos dois a dois. Considere as transforma»c~oes f e g de A em A de nidas por e 8 < a; se x = b f(x) = b; se x = a : x; se x 6= a e x 6= b 8 < a; se x = c g(x) = c; se x = a : x; se x 6= a e x 6= c Como f ± f = I A e g ± g = I A, temos que f;g 2 S(A). Agora, eportantof ± g 6= g ± f. (f ± g)(a) =f(g(a)) = f(c) =c (g ± f)(a) =g(f(a)) = g(b) =b Como visto no cap ³tulo 3, se A e um conjunto com 3 ou mais elementos, ent~ao o grupo S(A), das permuta»c~oes de A, en~ao abeliano. Assim S n en~ao comutativo se n 3. De ni»c~ao 5.4 (Ordem de um grupo) Sendo (G; ) um grupo, dizemos que a ordem de G e igual a n, e denotamos jgj = n se G e um conjunto nito de n elementos. Por exemplo, js n j = n!. Se G e um conjunto in nito, dizemos que G tem ordem in nita e denotamos jgj = 1. Por exemplo, a ordem do grupo aditivo (Z; +) e in nita. OgrupoS n das permuta»c~oes de n elementos Considere o grupo S(A) do exemplo 5.2.1, no caso em que A = fx 1 ;:::;x n g, com n 1. Neste caso particular, denotamos S(A) =S n e o grupo (S n ; ±) passa a ser chamado grupo das permuta»c~oes de n elementos ou grupo sim etrico de grau n. Para cada fun»c~ao f 2 S n,isto e, para cada fun»c~ao bijetora f: fx 1 ;:::;x n g!fx 1 ;:::;x n g

10 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 87 temos f(x 1 )=x i1 ;f(x 2 )=x i2 ;:::;f(x n )=x in para certos ³ndices i 1 ;:::;i n dentre 1;:::;n, sendo fi 1 ;:::;i n g = f1;:::;ng. Denotamos uma tal permuta»c~ao f por µ x1 x f = 2 ::: x n x i1 x i2 ::: x in On umero de permuta»c~oes de n elementos, ou seja, o n umero de elementos de S n, eprecisamenten! (leia-se \n fatorial"), sendo ½ 1; se n =0 n! = n (n 1)!; se n 1 Para n 2, n! =n (n 1) 2 1. At abua do grupo (S 3 ; ±) Para simpli car as nota»c~oes, em lugar de tr^es elementos gen ericos x 1 ;x 2 e x 3, tomaremos os n umeros 1; 2 e 3, e assim olharemos o grupo S 3 como sendo o grupo das permuta»c~oes de f1; 2; 3g. js 3 j =3!=3 2 1 =6, sendo S 3 constitu ³do das seguintes seis permuta»c~oes I = f 3 = µ ;f = µ ;f = µ ;f = µ ;f = µ µ At abua do grupo S 3,isto e, a t abua da opera»c~ao ± em S 3, e dada abaixo: ± I f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 I I f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 1 f 1 I f 5 f 4 f 3 f 2 f 2 f 2 f 4 I f 5 f 1 f 3 f 3 f 3 f 5 f 4 I f 2 f 1 f 4 f 4 f 3 f 1 f 2 f 5 I f 5 f 5 f 2 f 3 f 1 I f 4 Para calcular a permuta»c~ao composta de duas permuta»c~oes de S 3,podemos proceder como nos exemplos abaixo: f 1 ± f 3 = µ ± µ = µ = f

11 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 88 f 4 ± f 5 = µ µ ± = µ = I = f 5 ± f 4 em que, como exemplo, na composi»c~ao f 4 ± f 5, observamos que (f 4 ± f 5 )( 3 )=f 4 (f 5 ( 3 )=f 4 (2) = 3. Justi caremos o procedimento usado acima para compor as permuta»c~oes apenas observando que escrevendo f 1 = µ queremos dizer f 1 (1) = 2 f 1 (2) = 1 f 1 (3) = 3 e escrevendo f 3 = µ queremos dizer f 3 (1) = 1 f 3 (2) = 3 f 3 (3) = 2 e assim, conforme assinalado acima, indicando elementos por c ³rculos, sublinhados e quadrados, (f 1 ± f 3 )( 1 )=f 1 (f 3 ( 1 )=f 1 (1) = 2 bem como tamb em (f 4 ± f 5 )( 3 )=f 4 (f 5 ( 3 )=f 4 (2) = 3 Observe tamb em que para inverter uma permuta»c~ao, dada na forma tabular, basta permutar suas duas linhas, isto e, copi a-la de \cabe»ca para baixo", e ent~ao reordenar as colunas segundo a reordena»c~ao dos elementos da primeira linha, como nos seguintes exemplos em S 3 : bem como f 1 4 = f 1 3 = µ = µ = µ = µ = µ = f µ = f Certi que-se de que voc^e sabecalcularasentradasdat abua do grupo S 3 dada acima!

12 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos Problemas Complementares 1. Seja G = fa 1 ;a 2 ;:::;a n g um grupo abeliano. Mostre que sendo x = a 1 a 2 a n,ent~ao x 2 = e. 2. Sejam (G; ) e (G 0 ; tu) dois grupos. De ne-se o produto direto dos grupos G e G 0 como sendo o grupo (G G 0 ; ±), sendo ± aopera»c~ao em G G 0 de nida por (a; b) ± (c; d) =(a c; b tu d), 8(a; b); (c; d) 2 G G 0. Mostre que (G G 0 ; ±) e defatoumgrupo,deelementoneutro(e; e 0 ), sendo e e e 0 os elementos neutros de G e G 0, respectivamente. Note que se jgj = m e jg 0 j = n ent~ao jg G 0 j = mn = jgj jg 0 j. 3. Mostre que cada uma das estruturas alg ebricas dadas abaixo e umgrupo. Classi que cada grupo como sendo abeliano ou n~ao. Nota. Em cada um dos itens abaixo voc^e dever a mostrar: (1 o ) que (ou ±) edefatoumaopera»c~ao no conjunto G dado, isto e, que x 2 G e y 2 G ) x y( ou x ± y) 2 G (2 o ) que a opera»c~ao de nida em G e associativa e possui elemento neutro em G; (3 o ) que cada elemento x 2 G possui um elemento inverso na opera»c~ao dada e que esse inverso e um elemento de G. (a) ^.. (G; ), sendo G = fx 2 M(2; R) j det X 6= 0g e e aopera»c~ao multiplica»c~ao de matrizes. [Sugest~ao simpli cadora: Admita, a priori, que a multiplica»c~ao de matrizes e associativa]. (b).. (G; ±), sendo G = ff a;b j a; b 2 R e a 6= 0g em que, para cada a 2 R, a 6= 0,ecadab2R, f a;b e a fun»c~ao R! R de nida por f a;b (x) =ax + b e ± e aopera»c~ao composi»c~ao de fun»c~oes. [Sugest~ao simpli cadora: Admita, a priori, que a composi»c~ao de fun»c~oes e associativa]. (c).. (S 1 ; ), sendo S 1 = fz 2 C j z =cosµ + isen µ; µ 2 Rg e e a multiplica»c~ao de n umeros complexos. [Sugest~ao simpli cadora: Admita, a priori, que a multiplica»c~ao de n umeros complexos (veja se»c~ao 4.5.2) e associativa].

13 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 90 (d).. (G; ), sendo G = fa + b p 2 j a; b 2 Q;a6= 0 ou b 6= 0g sendo a multiplica»c~ao de n umeros reais. [Sugest~ao simpli cadora: Use o fato de que a multiplica»c~ao de n umeros reais e comutativa e associativa]. 5.3 Subgrupos De ni»c~ao 5.5 Sejam (G; ) um grupo e H um subconjunto de G. Dizemos que H e um subgrupo de G se 1. H e fechado na opera»c~ao, isto e, 8a; b 2 G; a 2 H e b 2 H ) a b 2 H 2. A estrutura algebrica (H; ) e umgrupo. Exemplo 5.4 Considere (Z 12 ; +), o grupo aditivo do anel dos inteiros m odulo 12, e seu subconjunto H = f0; 3; 6; 9g. Ent~ao H e fechado na adi»c~ao de Z 12,como se pode constatar pela seguinte t abua: Como se v^e, se a; b 2 H ent~ao a + b = a + b est a emh. Al em disso, e f acil ver que (H; +) e tamb em um grupo a adi»c~ao de H e associativa, visto que e restri»c~ao da adi»c~ao em Z 12, de elemento neutro 0, sendo os opostos (inversos aditivos) de 3; 6 e 9 iguais a 9; 6 e 3, respectivamente. Proposi»c~ao 5.3 Sejam (G; ) um grupo e H um subgrupo de G. 1. Se e G e e H s~ao os elementos neutros de em G eemh, respectivamente, ent~ao e G = e H. 2. Para cada x 2 H, sejamx 0 e bx os elementos inversos de x em G eemh, respectivamente. Ent~ao x 0 = bx. Demonstra»c~ao.. Sejam e G ;e H ;x 0 e bx como no enunciado.

14 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos Como e G e o elemento neutro de em G, ee H 2 G, temos e G e H = e H Por outro lado, sendo e H oelementoneutrode em H, e H e H = e H Logo, e G e H = e H e H. Pelas leis do cancelamento em G (proposi»c~ao 5.2), e G = e H. 2. Por hip otese, x x 0 = e G e x bx = e H Pelo item 1, demonstrado acima, e G = e H, logo x x 0 = x bx de onde, pelas leis do cancelamento em G, x 0 = bx,. Observa»c~ao 5.5 As propriedades enunciadas na proposi»c~ao 5.3 podem n~ao ser v alidas se a estrutura (G; ) n~ao e um grupo. Por exemplo, podemos de nir o conceito de sub-mon oide de um mon oide (M; ), como sendo um subconjunto S de M, tal que S e fechado na opera»c~ao e (S; ) e tamb em um mon oide. Nesse caso, o elemento neutro de em S pode n~ao coincidir com o elemento neutro de em M. Para ver isto, consideremos o mon oide multiplicativo (Z 20 ; ), sendo amultiplica»c~ao do anel (Z 20 ; +; ). Como sabemos, Z 20 = f0; 1; 2;:::;18; 19g, sendo 1 o elemento neutro da multiplica»c~ao em Z 20. Consideremos agora o subconjunto de Z 20, S = f0; 5; 10; 15g. Pela tabela de multiplica»c~ao observamos que 1. S e fechado na opera»c~ao multiplica»c~ao, \herdada" de Z e S = 5 e o elemento neutro da multiplica»c~ao de S. Como a multiplica»c~ao de Z 20 e associativa, (S; ) e um mon oide. Embora subconjunto do mon oide Z 20, S tem elemento neutro e S = 5, diferente do elemento neutro de em Z 20. Notamos ainda que 15 e invert ³vel em S, pois = 5=e S,n~ao sendo por em invert ³vel em Z 20,j a que mdc (20; 15) 6= 1.

15 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 92 Proposi»c~ao 5.4 Sejam (G; ) um grupo e H um subgrupo de G. Sejae 2 G o elemento neutro de. Para cada a 2 G, sejaa 0 o inverso de a na opera»c~ao. Ent~ao H e um subgrupo de G se, e somente se, satisfaz µas seguintes condi»c~oes: 1. e 2 H 2. 8a; b 2 G, sea 2 H e b 2 H ent~ao a b 2 H 3. 8a 2 G, sea 2 H ent~ao a 0 2 H. Demonstra»c~ao.. Suponhamos que H e subgrupo de G. Ent~ao, pela de ni»c~ao de subgrupo, de ni»c~ao 5.5, H e fechado na opera»c~ao de G. Logo, o item 2 acima e satisfeito. Pela proposi»c~ao 5.3, o elemento neutro e de em G est a emh, pois e H = e G = e, logo temos o item 1. Al em disso, se a 2 H e ba e seu inverso em H, naopera»c~ao, ent~ao, pela proposi»c~ao 5.3, ba = a 0, logo a 0 2 H, e assim temos o item 3. Logo, se H e subgrupo de G ent~ao valem as condi»c~oes1,2e3. Reciprocamente, suponhamos que H ½ G satisfaz 1, 2 e 3. Ent~ao, pelo item 2, e umaopera»c~ao em H, associativa pois j a oeraemg. Como e 2 H (item 1), possui elemento neutro em H. Pelo item 3, cada elemento a 2 H tem um inverso a 0,tamb em em H, relativamente µa opera»c~ao. Logo, pelas condi»c~oes 1, 2 e 3, H e subgrupo de G. Proposi»c~ao 5.5 Seja (G; ) um grupo de elemento neutro e. Paracadaa 2 G, seja a 0 2 G seu inverso na opera»c~ao. SejaH um subconjunto de G. Ent~ao ½ (1) H 6=, e H e subgrupo de G, (2) Se a; b 2 H ent~ao a b 0 2 H Demonstra»c~ao.. ()) SeH e um subgrupo de G, ent~ao e 2 H, logo H 6=. Al em disso, se a; b 2 H, ent~ao, pela proposi»c~ao 5.4, b 0 2 H. Logo a; b 0 2 H, ecomoh e fechado na opera»c~ao, temosa b 0 2 H. (() Suponhamos agora que H e um subconjunto de G, satisfazendo (1) e (2). Sendo H 6=, tome um elemento x 2 H. Por(2),temosx x 0 2 H, logo e 2 H. Sendo a um elemento qualquer de H, como e 2 H, temos,por(2),e a 0 2 H, logo a 0 2 H. Finalmente, se a; b 2 H, ent~ao b 0 2 H, conforme acabamos de demonstrar, eent~ao, novamente por (2), a (b 0 ) 0 2 H (sendo (b 0 ) 0 o elemento inverso de b 0 em G, que e b), logo a b 2 H. Assim, H satisfaz as condi»c~oes 1, 2 e 3 da proposi»c~ao 5.4, e portanto e subgrupo de G.

16 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 93 Em vista da observa»c~ao 5.3, para a proposi»c~ao 5.5, temos as seguintes adapta»c~oes notacionais para grupos aditivos e para grupos multiplicativos: 1. Sejam (G; +) um grupo (abeliano) e H um subconjunto n~ao vazio de G. Ent~ao, H e um subgrupo de G se, e somente se, 8a; b 2 H, tem-sea b 2 H (a b signi ca a +( b)). 2. Sejam (G; ) um grupo e H um subconjunto n~ao vazio de G. Ent~ao, H e um subgrupo de G se, e somente se, 8a; b 2 H, tem-seab 1 2 H. Exemplo 5.5 (O grupo dos elementos invert ³veis de um anel) Se (A; +; ) e um anel com unidade 1 A, o conjunto U A dos seus elementos invert ³veis formam um grupo multiplicativo: 1. 1 A 2 U A 2. Se a e b s~ao elementos invert ³veis do anel A, ent~ao b 1 tamb em einvert ³vel e, como o produto de elementos invert ³veis e invert ³vel, temos que ab 1 2 U A Logo, pela proposi»c~ao 5.5, U A edefatoumgrupo. Exemplo 5.6 No caso do anel (Z m ; +; ), denotamos por U m ogrupou Zm seus elementos invert ³veis. Pela proposi»c~ao 4.6, temos dos U m = fa j mdc (a; m) =1g Assim, por exemplo, o grupo multiplicativo dos elementos invert ³veis de Z 20 eo grupo de ordem 8, U 20 = f1; 3; 7; 9; 11; 13; 17; 19g. Exemplo 5.7 Consideremos agora o grupo multiplicativo U M(2;R) das matrizes invert ³veis do anel M(2; R), exemplo 4.3. U M(2;R) e habitualmente denotado por GL(2; R). Conforme vimos no exemplo 4.3, U M(2;R) = GL(2; R) =fx 2 M(2; R) j det X 6= 0g Consideremos agora o subconjunto de GL(2; R), ½µ a b H = b a a 6= 0oub 6= 0¾ Mostraremos que H e subgrupo de GL(2; R), aplicando a proposi»c~ao 5.5. Notemos primeiramente que se X = a b b a,coma; b 2 R, ecoma 6= 0ou b 6= 0,ent~ao det X = a 2 + b 2 > 0, eportantox e invert ³vel, logo X 2 GL(2; R). Portanto, H ½ GL(2; R) e, obviamente, H 6=, pois, por exemplo, H.

17 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 94 b b a Tomemos agora, X = a a 2 + b 2 6=0e c 2 + d 2 6=0). e Y = c d d c,ambosemh (isto e, com Um c alculo simples nos d a µ c=(c Y 1 = 2 + d 2 ) d=(c 2 + d 2 ) d=(c 2 + d 2 ) c=(c 2 + d 2 ) Logo, XY 1 = = = µ µ a b c=(c 2 + d 2 ) d=(c 2 + d 2 ) b a d=(c 2 + d 2 ) c=(c 2 + d 2 ) µ (ac + bd)=(c 2 + d 2 ) ( ad + bc)=(c 2 + d 2 ) ( bc + ad)=(c 2 + d 2 ) (bd + ac)=(c 2 + d 2 ) µ sendo =(ad + bc)=(c 2 + d 2 ) e =( ad + bc)=(c 2 + d 2 ). Al em disso, 6= 0ou 6= 0,pois = det(xy 1 ) = (detx)(det Y 1 ) = (detx)(det Y ) 1 = a2 + b 2 c 2 + d 2 > 0 Portanto, se X 2 H e Y 2 H ent~ao XY 1 2 H. Logo, pela proposi»c~ao 5.5, H e subgrupo de GL(2; R) Problemas Complementares 1. Veri que, em cada um dos itens abaixo, se H e subgrupo de G. n (a) H = cos µ sen µ o sen µ cos µ µ 2 R, (G; ) =(GL(2; R); ). (b) H = fz 2 C j jzj =1g, (G; ) =(C ; ), sendo C = C f0g e a multiplica»c~ao em C. (c) H = f0; 3; 6; 9; 12g, (G; ) =(Z 15 ; +). (d) H = fa + b p 2 j a; b 2 Q; e a + b p 2 6= 0g, (G; ) =(R ; ), sendo R = R f0g. (e) H = fa + b 3p 2 j a; b 2 Q; e a + b 3p 2 6= 0g, (G; ) =(R ; ), sendo R = R f0g. 2. Sejam G um grupo e H 1 e H 2 dois subgrupos de G. Mostre que (a) H 1 \ H 2 e subgrupo de G

18 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 95 (b) H 1 [ H 2 e subgrupo de G, H 1 ½ H 2 ou H 2 ½ H 1 3. Seja G um grupo nito e seja H um subconjunto n~ao vazio de G. Mostre que H e subgrupo de G se e somente se H e fechado na opera»c~ao de G. [Sugest~ao: Mostre que, para cada elemento a 2 H, existe um inteiro positivo n tal que a n = e.] Mostre que esta propriedade n~ao se mant em se G e in nito. 4. Sejam G um grupo multiplicativo e seja H um subgrupo de G. Mostre que se x 2 G, ent~ao xhx 1 etamb em um subgrupo de G, sendo xhx 1 = fxhx 1 j h 2 Hg. 5.4 Grupos C ³clicos e seus Subgrupos De ni»c~ao 5.6 (Pot^encias de elementos de um grupo) Seja (G; ) um grupo, de elemento neutro e. Paracadax 2 G, denotemos por x 1 o inverso de x em G. Sendo a 2 G e n 2 Z, de ne-seapot^encia de base a eexpoenten, denotada por a n, como sendo o elemento de G de nido por: 1. Se n =0, a n = a 0 = e; 2. Para cada n 2 N, a n+1 = a n a; 3. Para cada n 2 N, a n =(a n ) 1. Note que, de acordo com a de ni»c~ao 5.6, a n est a de nido para cada n natural, pois est a de nido para n =0e, uma vez de nido para n = k, pelo item 2 est a tamb em de nido para n = k +1. O item 3 estende a de ni»c~ao de a n para valores inteiros negativos de n. Assim, por exemplo, sendo (G; ) um grupo de elemento neutro e, e sendo a um elemento de G, pelade ni»c~ao 5.6, a 1 = a 0 a = e a = a; a 2 = a 1 a = a a; a 3 = a 2 a =(a a) a (e denotamos a 3 = a a a pois e associativa) Note tamb em que a 1 tem duplo signi cado notacional, podendo ser tanto o inverso de a, comoapot^encia de base a eexpoente 1 sendo tudo a mesma coisa pois, interpretado como pot^encia, a 1 e o elemento inverso de a 1 e a 1 = a. a 2 =(a 2 ) 1 =(a a) 1 = a 1 a 1 a 3 = a 1 a 1 a 1

19 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 96 Proposi»c~ao 5.6 Sejam (G; ) um grupo de elemento neutro e. Paracadax 2 G, denotemos por x 1 o inverso de x em G. Ent~ao, para quaisquer a; b 2 G, e quaisquer m; n 2 Z, temos: 1. a m a n = a m+n 2. (a n ) 1 = a n 3. (a m ) n = a mn 4. Se G e um grupo comutativo, (a b) n = a n b n Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao dos quatro itens e deixada como exerc ³cio. Sugest~ao: Prove cada item, primeiramente para n 2 N, por indu»c~ao sobre n (considerando um valor xo e gen erico para m, quando for o caso). Em seguida, prove cada item para n < 0 fazendo, neste caso, n = jnj. Para isto, ser a necess ario ainda provar o item 1, para m 2 N, por indu»c~ao sobre m. De ni»c~ao 5.7 (M ultiplos de elementos de um grupo aditivo) Seja (G; +) um grupo, de elemento neutro 0. Sendo a 2 G e n 2 Z, de ne-seo m ultiplo de a com coe ciente n, denotadoporna, comosendooelemento de G de nido por: 1. Se n =0, na =0a =0; 2. Para cada n 2 N, (n +1)a = na + a; 3. Para cada n 2 N, ( n)a = (na). Assim, por exemplo, sendo G um grupo aditivo, se a 2 G, pelade ni»c~ao 5.7, 1a =(0+1)a =0a + a =0+a = a; 2a =(1+1)a =1a + a = a + a; 3a =(2+1)a =2a + a =(a + a)+a (e denotamos 3a = a + a + a pela associatividade de +) ( 1)a = (1a) = a ( 2)a = (2a) = (a + a) = a +( a) = a a Abaixo enunciamos a vers~ao \aditiva" da proposi»c~ao 5.6. Proposi»c~ao 5.7 Seja G um grupo aditivo. Para quaisquer a; b 2 G, e quaisquer m; n 2 Z, temos: 1. (m + n)a = ma + na

20 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos (na) =( n)a 3. (mn)a = m(na) 4. n(a + b) =na + nb

21 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 98 Proposi»c~ao Seja (G; ) um grupo e seja a um elemento de G. O conjunto das pot^encias de base a e expoentes inteiros, e um subgrupo de G. H = fa n j n 2 Zg 2. Seja G um grupo aditivo e seja a 2 G. O conjunto dos m ultiplos inteiros de a, K = fna j n 2 Zg e um subgrupo de G. Demonstra»c~ao.. Provamosoitem1edeixamosocasoaditivo,item2,como exerc ³cio. Sendo e oelementoneutrodeg, temos que a 0 = e, logo e 2 H. Dados x; y 2 H, temosx = a m e y = a n,paracertosinteirosm e n. Ent~ao, pela proposi»c~ao 5.6, logo x y 1 2 H. x y 1 = a m (a n ) 1 = a m a n = a m+( n) = a m n Pela proposi»c~ao 5.5, H e subgrupo de G. De ni»c~ao 5.8 (Grupo c ³clico) Seja (G; ) (ou (G; +)) umgrupoesejaa 2 G. O subgrupo de G, H = fa n j n 2 Zg (ou, respectivamente, H = fna j n 2 Zg) e chamado grupo c ³clico gerado por a. Tal grupo e denotado por H = hai Assim, hai = fa m j m 2 Zg ou, caso o grupo seja aditivo, hai = fma j m 2 Zg (Se existe b 2 G tal que G = hbi, G e ele pr oprio um grupo c ³clico, gerado por b). Exemplo 5.8

22 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos (Z; +) e umgrupoc ³clico pois, para cada n 2 Z, n = n 1, logo Z = fn 1 j n 2 Zg = h1i. 2. (Z m ; +) tamb em e umgrupoc ³clico gerado por 1: se 8n 2 Z m,(n 2 Z), n = n 1. Proposi»c~ao 5.9 Seja G = hai um grupo c ³clico nito de ordem jgj = n. Ent~ao, se G e multiplicativo, teremos G = fe; a; a 2 ;:::;a n 1 g sendo a j 6= e para j =1;:::;n 1, ea n = e. No caso em que G e um grupo aditivo, G = f0;a;2a;:::;(n 1)ag, sendo (n 1)a 6= 0e na =0. Demonstra»c~ao.. Sendo G = hai nito, temos que o conjunto P = fa; a 2 ;a 3 ;a 4 ;:::g = fa m j m 2 Z;m>0g e nito, por ser subconjunto de G. Assim, existem expoentes inteiros positivos m 1 e m 2, com m 1 < m 2 e a m 1 = a m 2. Logo, a m 2 m 1 = a m 2 a m 1 = a m 2 (a m 1 ) 1 = a m 1 (a m 1 ) 1 = e. Como m 2 m 1 > 0, conclu ³mos que existe um inteiro positivo k tal que a k = e. Seja s o menor dos inteiros positivos k satisfazendo a k = e. Ent~ao a s = e e a j 6= e para j =1;:::;s 1. Mostraremos que G = fe; a; a 2 ;:::;a s 1 g. De fato, seja x um elemento qualquer de G. Como G = hai, temosx = a m, para algum inteiro m. Pelo teorema do algoritmo da divis~ao em Z, teorema 2.1, m = sq + r, para certos inteiros q e r, com0 r<s. Logo x = a m = a sq+r =(a s ) q a r = e q a r = e a r = a r Como 0 r s 1, temosx 2fe; a; a 2 ;:::;a s 1 g. Logo, G ½fe; a; a 2 ;:::;a s 1 g eportanto,g = fe; a; a 2 ;:::;a s 1 g. Os elementos do conjunto fe;a;:::;a s 1 g s~ao distintos entre si, pois caso contr ario teremos a = e para algum inteiro positivo, com <s. Logo, jgj = s eportanton = s. Assim sendo, G = fe;a;:::;a n 1 g, sendo a n = e. Al em disso, a j 6= e para j =1;:::;n 1. Proposi»c~ao 5.10 Todo subgrupo de um grupo c ³clico e tamb em c ³clico. Mais precisamente, se (G; ) e umgrupoc ³clico gerado por a, eh e um subgrupo de

23 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 100 G, ent~ao H = feg = hei (sendo e oelementoneutrode ) ouh = ha s i, sendo s o menor dos expoentes positivos n satisfazendo a n 2 H. No caso aditivo, isto e, se =+,temosh = f0g = h0i ou H = hsai, sendo s =minfn 2 Z j n>0ea n 2 Hg. Demonstra»c~ao.. (O caso aditivo e deixado como exerc ³cio) Como G = hai = fa m j m 2 Zg, temos que os elementos de H s~ao certas pot^encias de a. Sendo H um subgrupo de G, podemos ter H = feg, caso em que H = hei. Se H 6= feg, existe um expoente inteiro `, ` 6= 0, tal que a` 2 H. Nesse caso a` e a ` (= (a`) 1 )est~ao ambos em H. Logo, a j`j 2 H, e assim existe um expoente positivo n tal que a n 2 H. Consideremos o conjunto S = fn 2 Z j n>0ea n 2 Hg S 6= (j`j 2S) es ½ N. Pelo princ ³pio do menor inteiro, S possui um menor elemento s. Mostraremos que H e umgrupoc ³clico gerado por a s. Dado x 2 H, temosx = a m para algum inteiro m. Sendo s>0, pelo algoritmo da divis~ao em Z, existemq; r 2 Z, tal que Da ³, r = m sq, eent~ao m = sq + r; sendo 0 r<s a r = a m sq = a m a sq = a m ((a s ) q ) 1 Como x = a m 2 H e y = a s 2 H, temos que a r = x y 1 2 H. Logo, r =0, pois 0 r<se s e o menor dos expoentes positivos n tal que a n 2 H. Assim, m = sq eent~ao x = a m = a sq =(a s ) q 2ha s i. Logo, H ½ha s i. Ainclus~ao contr aria tamb em se veri ca: como a s 2 H, temos que (a s ) q 2 H, paracadaq 2 Z, logoha s i½h. Portanto H = ha s i. Corol ario Todo subgrupo de (Z; +) e c ³clico. Ademais, se H e subgrupo de Z, ent~ao H = f0g = h0i ou H = hai = fma j m 2 Zg, sendo a o menor inteiro positivo em H. 2. Todo subgrupo de (Z m ; +) e c ³clico. Se H e subgrupo de Z m,ent~ao H = f0g = h0i ou H = hai, sendo a o menor dos inteiros positivos n tal que n 2 H.

24 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 101 Exemplo 5.9 Em vista do corol ario 5.1, podemos fazer uma lista completa dos subgrupos de Z, sendo eles H 0 = h0i = f0g, H 1 = h1i = Z, H 2 = h2i =2Z = f2m j m 2 Zg = f:::; 4; 2; 0; 2; 4; 6;:::g, H 3 = h3i =3Z = f3m j m 2 Zg = f:::; 6; 3; 0; 3; 6; 9;:::g, etc. Tamb em podemos fazer uma lista dos subgrupos de (Z 12 ; +), os quais s~ao H 0 = h0i = f0g, H 1 = h1i = Z 12, H 2 = h2i = f0; 2; 4; 6; 8; 10g, H 3 = h3i = f0; 3; 6; 9g, H 4 = h4i = f0; 4; 8g, e H 6 = h6i = f0; 6g. O leitor poder a veri car que h5i = h7i = h11i = h1i = Z 12, h8i = h4i, e que h9i = h3i. Portanto,(Z 12 ; +) tem exatamente 6 subgrupos Problemas Complementares 1. Demonstre a proposi»c~ao Determine os 4 subgrupos de (Z 6 ; +). Determine tamb em os 6 subgrupos de grupo (S 3 ; ±). Note que jz 6 j = js 3 j =6.(jGj denota a ordem (n umero de elementos) do grupo G, conforme estabelecido no cap ³tulo 3.) 3. Determine os subgrupos do grupo multiplicativo U 20 (exemplo 5.6). 4. Sejam a e b inteiros, e considere os subgrupos hai e hbi de (Z; +). Mostre que hai ½hbi,bja 5. Mostre que, sendo a, b e m inteiros, (m 2), (a) se ajb ent~ao, como subgrupos de Z m, hbi ½hai; (b) se mdc (a; m) =1,ent~ao hai = Z m ; (c) se mdc (a; m) =d, ent~ao hai = hdi. (d) De posse das informa»c~oes acima, determine todos os subgrupos de (Z 36 ; +). (e) Mostre que se (G; ) e um grupo de ordem 2, ent~ao G e c ³clico. (f) Mostre que se (G; ) e um grupo de ordem 3, ent~ao G e c ³clico. [Sugest~ao: Sendo G = fe; a; bg, e oelementoneutrodeg, pense sobre o que poderia ser o elemento ab.]

25 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 102 (g) Sendo (G; ) um grupo de elemento neutro e, mostre que se x 2 = e, para cada x em G, ent~ao G e abeliano. [Sugest~ao: Note que x 2 = e ) x 1 = x. Tome dois elementos quaisquer a e b em G e comece escrevendo ab =(ab) 1 = :::] 5.5 Homomor smos de Grupos FreqÄuentemente dois grupos, aparentemente diferentes, comportam-se como se fossem um mesmo grupo. Considere por exemplo, os grupos aditivos G = Z 3 = f[0]; [1]; [2]g, e o subgrupo G 0 = f0; 2; 4g de Z 6. Neste exemplo, para a 2 Z, denotamos por [a] e a as classes de congru^encia de a, m odulo 3 em odulo 6, respectivamente, para evitar confus~ao. Estabelecendo-se a seguinte correspond^encia biun ³voca entre G e G 0, [0] $ 0 [1] $ 4 [2] $ 2 notamos que tal correspond^encia preserva somas, ou seja, [1]+[1] = [2] corresponde a 4+4=2, [1] + [2] = [0] corresponde a 4+2=0, [2] + [2] = [1] corresponde a 2+2=4, etc., ou seja, a soma de elementos de G corresponde µa soma dos elementos correspondentes em G 0. Neste caso, dizemos que G e G 0 s~ao grupos isomorfos pois, embora com \roupagens" diferentes, comportam-se como se fossem um s o grupo. De ni»c~ao 5.9 Sejam (G; ) e (G 0 ; tu) dois grupos. Uma fun»c~ao f: G! G 0 e chamada um isomor smo entre G e G 0,se: 1. f e uma fun»c~ao bijetora, e 2. 8x; y 2 G; f(x y) =f(x) tu f(y) Um conceito b asico menos exigente que o de isomor smo e o de homomor- smo de grupos. De ni»c~ao 5.10 Sejam (G; ) e (G 0 ; tu). Uma fun»c~ao f: G! G 0 e chamada um homomor smo de grupos, se: f(x y) =f(x) tu f(y); 8x; y 2 G De ni»c~ao 5.11 Sendo f: G! G 0 um homomor smo de grupos, dizemos que 1. f e um monomor smo se f e fun»c~ao injetora; 2. f e umepimor smo se f e fun»c~ao sobrejetora;

26 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos f e umautomor smo se f e um isomor smo e (G; ) =(G 0 ; tu). (Obviamente, um isomor smo e simultaneamente um monomor smo e um epimor smo). De ni»c~ao 5.12 Sendo f:(g; )! (G 0 ; tu) um homomor smo de grupos, de nese o n ucleo ou kernel do homomor smo f como sendo o conjunto sendo e 0 o elemento neutro de G 0. K = Ker(f) =fx 2 G j f(x) =e 0 g Proposi»c~ao 5.11 Seja f:(g; )! (G 0 ; tu) um homomor smo de grupos, e seja e oelementoneutrodeg. Ent~ao f e um monomor smo se, e somente se, Ker(f) =feg Observa»c~ao 5.6 Se dois grupos (G; ) e (G 0 ; tu) s~ao isomorfos, ou seja, se existe um isomor smo de grupos f: G! G 0, denotamos (G; )» = (G 0 ; tu) µas vezes, denotamos simplesmente G» = G 0. Se queremos deixar expl ³cito o isomor smo f entre G e G 0, podemos denotar G f» = G 0 ou (G; ) f» = (G; tu) Proposi»c~ao 5.12 Seja f:(g; )! (G 0 ; tu) um homomor smo de grupos. 1. Sendo e G e e G 0 os elementos neutros de G e G 0, respectivamente, tem-se f(e G )=e G 0; 2. 8x 2 G, f(x 1 )=[f(x)] 1 ; 3. Ker(f) e subgrupo de G; 4. O conjunto Im(f) =f(g) =ff(x) j x 2 Gg e subgrupo de G 0 ; 5. Se H e subgrupo de G ent~ao f(h) =ff(x) j x 2 Hg e subgrupo de G 0 ; 6. Se H = hai, ent~ao f(h) =hf(a)i. Demonstra»c~ao..

27 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos Sendo a = f(e G ), temos que a tu a = f(e G ) tu f(e G )=f(e G e G )=f(e G )=a Assim, a tu a = a = a tu e G 0, logo a = e G 0,ouseja,f(e G )=e G Para x 2 G, f(x) tu f(x 1 )=f(x x 1 )=f(e G )=e G 0. Logo, em G 0,o elemento inverso de f(x) e f(x 1 ),ouseja,[f(x)] 1 = f(x 1 ). 3. Primeiramente, observamos que e G 2 Ker(f), pois f(e G )=e G 0. Em seguida, tomando x; y 2 Ker(f), temosf(x) =f(y) =e G 0. Logo, f(x y 1 )=f(x) tu f(y 1 )=f(x) tu [f(y)] 1 = e G 0 tu (e G 0) 1 = e G 0 logo x y 1 2 Ker(f). Pelaproposi»c~ao 5.5, Ker(f) e subgrupo de G. 4. Primeiramente, observamos que e G 0 2 Im(f), poise G 0 = f(e G ). Em seguida, tomando z; w 2 Im(f), temosz = f(a) e w = f(b) para certos elementos a e b de G. Logo, z tu w 1 = f(a) tu [f(b)] 1 = f(a) tu f(b 1 )=f(a b 1 ) e assim z tu w 1 2 Im(f). Pelaproposi»c~ao 5.5, Im(f) e subgrupo de G 0. Aprovadosdemaisitens e deixada para o leitor. Exemplo 5.10 Seja i a unidade imagin aria dos n umeros complexos e seja G = f1;i; 1; ig E f acil ver que, sendo a multiplica»c~ao de n umeros complexos, (G; ) e umgrupo, sendo i 1 = i. Considere o grupo aditivo (Z 4 ; +) dos inteiros m odulo 4, e a fun»c~ao de nida por f(m) =i m, 8m 2 Z. f: Z 4! G Notemos primeiramente que f e bem de nida, isto e, m = n ) i m = i n. De fato: m = n ) m n 4 ) 4j(m n) ) m n =4q; para algum q 2 Z ) m = n +4q logo, i m = i n+4q = i n i 4q = i n (i 4 ) q = i n 1 q = i n 1=i n

28 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 105 E f acil ver que f e bijetora, pois f(0) = i 0 =1, f(1) = i 1 = i, f(2) = i 2 = 1 e f(3) = i 3 = i. Al em disso, f e um homomor smo de grupos, pois f(m + n) =f(m + n) =i m+n = i m i n = f(m) f(n) Portanto, f e um isomor smo entre (Z 4 ; +) e (G; ). Teorema 5.1 Sejam (G; ), (G 0 ; tu) e (G 00 ; ±) tr^es grupos. Ent~ao 1. A aplica»c~ao (fun»c~ao) identidade id G : G! G e um isomor smo. Ou seja, G id» = G 2. Se f: G! G 0 e um isomor smo ent~ao a aplica»c~ao inversa f 1 : G 0! G e tamb em um isomor smo. Ou seja, G f» = G 0 ) G 0 f 1» = G 3. Se f: G! G 0 e h: G 0! G 00 s~ao isomor smos, ent~ao h ± f: G! G 00 e tamb em um isomor smo. Ou seja, G» f = G 0 e G 0» h = G 00 ) G h±f» = G Problemas Complementares 1. Veri que, em cada caso, se f e um homomor smo de grupos: (a) f: Z! Z, f(m) =km, (k 2 Z;k 6= 0), sendo Z =(Z; +). (b) f:(r ; )! (R; +), f(x) =x +1. (c) f:(r ; )! (R; +), f(x) =logjxj. (d) f: Z! Z Z, f(n) =(n; 0), sendo Z e Z Z grupos aditivos. (e) f: Z Z! Z, f(m; n) =m n, sendo Z e Z Z grupos aditivos. (f) f:(z; +)! (Q ; ), f(x) =2 x. 2. Determine o kernel (n ucleo) e a imagem de cada homomor smo do problema Seja a um elemento ( xado) de um grupo (G; ). Mostre que a aplica»c~ao f: G! G, de nida por f(x) =a x a 1, 8x 2 G, e um isomomor smo. 4. Neste problema, estabeleceremos o Teorema de Cayley: Todo grupo G e isomorfo a um subgrupo do grupo das permuta»c~oes do conjunto G. Sendo (G; ) um grupo, considere o conjunto T (G) =ft g : G! G j g 2 G; T g (x) =g x; 8x 2 Gg A aplica»c~ao T g eumatransla»c~ao µa esquerda, em G, determinada pelo elemento g.

29 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 106 (a) Mostre que (T (G); ±) e umgrupo(ogrupo das transla»c~oes esquerdas em G). Veri que que T (G) e subgrupo do grupo S(G) das permuta»c~oes do conjunto G. (b) Considere a aplica»c~ao f:(g; )! (S(G); ±), de nida por f(g) =T g, 8g 2 G. i. Mostre que f e um monomor smo. ii. Mostre que (G; )» = (T (G); ±). Logo, todo grupo G e isomorfoa um subgrupo do grupo das permuta»c~oes do conjunto G. iii. Ilustre o resultado do teorema de Cayley tomando como exemplo o grupo aditivo Z 4. Determine as permuta»c~oes do conjunto Z 4 que constituem os elementos do grupo de transla»c~oes esquerdas T (Z 4 ). iv. Mostre que se G e um grupo nito de n elementos, ent~ao G e isomorfo a um certo subgrupo do grupo S n. 5. Seja G um grupo e seja Aut(G) o conjunto dos automor smos de G (isomor smos de G em G). (a) Mostre que (Aut(G); ±) e umgrupo(ogrupo dos automor smos de G). (b) Mostre que Aut(Z)» = Z 2. [Sugest~ao:Como grupo aditivo Z = h1i. Note inicialmente que, sendo f: Z! Z um automor smo, teremos f(h1i) =hf(1)i = Z, logo f(1) tamb em e gerador do grupo c ³clico Z. Deduza que ent~ao f(1) = 1 e que ent~ao f(m) =m (8m 2 Z) ou f(m) = m (8m 2 Z)].] (c) Mostre que, sendo n 2, jaut(z n )j = '(n), sendo ': N! N a fun»c~ao deeuler, de nida por '(n) =n umero de inteiros positivos n~ao excedendo n, primoscom n [Sugest~ao:Vale aqui sugest~ao an alogaµa do problema 5b, sendo que aqui teremos f(1) gerador de Z n. Mostre ent~ao que sendo a um inteiro, a e gerador do grupo c ³clico Z n se e somente se a e n s~ao primos entre si.] (por exemplo '(1) = '(2) = 1, '(3) = '(4) = 2, '(5) = 4, '(6) = 2, '(7) = 6, '(8) = 4). 6. Seja G um grupo. Mostre que a aplica»c~ao f: G! G, de nida por f(x) = x 1 (8x 2 G), e um homomor smo se e somente se G e abeliano. 5.6 Classes Laterais de um Subgrupo e o Teorema de Lagrange Um dos objetivos desta se»c~ao e mostrarqueseg e um grupo nito e H e um subgrupo de G, ent~ao jhj divide jgj, resultado conhecido com teorema de Lagrange. Assim, por exemplo, um grupo G de 10 elementos s o poder a vir a ter subgrupos

30 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 107 de 1, 2, 5 ou 10 elementos (sendo poss ³vel que G tenha v ariossubgruposde2 elementos). Para demonstrar o teorema de Lagrange, s~ao introduzidas as classes laterais do subgrupo H. NocasoespecialemqueH e subgrupo normal, assunto da pr oxima se»c~ao, veremos que as classes laterais de H constituem os elementos do grupo quociente de G por H. De ni»c~ao 5.13 Sejam (G; ) um grupo e H um subgrupo de G. Para cada elemento a 2 G, de ne-seaclasse lateral direita de H, determinada por a, como sendo o conjunto H a = fh a j h 2 Hg Analogamente, de nimos a H = fa h j h 2 Hg como sendo a classe lateral esquerda de H, determinada por a. Observa»c~ao 5.7 Se G e um grupo abeliano, ent~ao H a = a H, 8a 2 G. Por em, se G n~ao for abeliano, e natural que possamos ter H a 6= a H, para certos elementos a de G. No caso em que H a = a H, para todo a 2 G, H e chamado um subgrupo normal de G. Exemplo 5.11 Seja (G; ) =(Z 12 ; +) esejah = h3i = f0; 3; 6; 9g. Quais s~ao as classes laterais direitas do subgrupo H? Para cada elemento a 2 Z 12 (a 2 Z), a classe lateral direita de H, determinada por a, e de nida como sendo o conjunto H + a = fh + a j h 2 Hg. Ent~ao temos: Veri ca-se tamb em que H + 0 = H = f0; 3; 6; 9g H + 1 = f1; 4; 7; 10g H + 2 = f2; 5; 8; 11g H + 0 = H + 3=H + 6=H + 9 H + 1 = H + 4=H + 7=H + 10 H + 2 = H + 5=H + 8=H + 11 Assim, existem apenas tr^es classes laterais direitas de H em Z 12, que s~ao as classes H + 0, H + 1 e H + 2.

31 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 108 Observa»c~ao 5.8 Se G e umgrupoeh e um subgrupo de G, denotaremos por G=H o conjunto das classes laterais direitas de H. No exemplo acima, G=H = Z 12 =H = fh; H + 1;H+ 2g ou seja, G=H = ff0; 3; 6; 9g; f1; 4; 7; 10g; f2; 6; 8; 11gg Alguns fatos observados no exemplo dado acima, bem como outros fatos ainda n~ao claramente observados, s~ao enunciados no pr oximo Teorema 5.2 Sejam (G; ) um grupo e H um subgrupo de G. Ent~ao 1. 8a; b 2 G, tem-se H a = H b, a b 1 2 H Se G e um grupo aditivo, temos: H + a = H + b, a b 2 H. 2. 8a; b 2 G, seb 2 H a ent~ao H b = H a. 3. Duas classes laterais direitas de H s~ao iguais ou disjuntas. Isto e, 8a; b 2 G; H a = H b ou H a \ H b = Em particular, H a = H, a 2 H. 4. Se H e um subgrupo nito, ent~ao, para cada a 2 G, on umero de elementos da classe lateral direita H a (que denotaremos tamb em por jh aj) e precisamente o n umero de elementos de H. Ou seja, jh aj = jhj, 8a 2 G. 5. A reuni~ao de todas as classes laterais direitas de H e igualag. Simbolicamente, [ H a = G a2g Demonstra»c~ao.. Sejam a e b elementos de G. 1. ()) Sendo e oelementoneutrodeg, temos que a = e a 2 H a Se H a = H b ent~ao como a 2 H a, temosa 2 H b, logo a = h b, para algum h 2 H, eent~ao a b 1 = h 2 H. (() Suponhamos agora que a b 1 2 H. Ent~ao temos: i. H a ½ H b: Tome x 2 H a. Temosx = h a, para algum h 2 H. Da ³, x = h a =(h a) e =(h a) (b 1 b) =(h (a b 1 )) b Como h (a b 1 ) 2 H, deduzimos que x 2 H b.

32 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 109 ii. H b ½ H a: Como a b 1 2 H, temos tamb em b a 1 2 H, pois b a 1 = (a b 1 ) 1. Tome agora x 2 H b. Ent~ao x = h b, para algum h 2 H. Da ³, x = h b =(h b) e =(h b) (a 1 a) =(h (b a 1 )) a Logo, como h (b a 1 ) 2 H, temosx 2 H a. 2. Suponhamos que b 2 H a. Ent~ao b = h a, para algum h 2 H, e portanto h = b a 1, de onde deduzimos que b a 1 2 H. Da ³, pelo item 1, H a = H b. 3. Para provar que H a e H b s~ao iguais ou disjuntas, suponhamos que H a e H b n~ao s~ao disjuntas. Ent~ao existe x 2 G tal que x 2 H a \ H b. Ent~ao x = h a = h 0 b, para certos elementos h; h 0 2 H. Da ³, a b 1 = h 1 h 0. Logo, a b 1 2 H eent~ao, pelo item 1, H a = H b. 4. Considere a aplica»c~ao f: H! H a, de nida por f(h) =h a, 8h 2 H. Provemos que f e bijetora. f e claramente sobrejetora, pois cada elemento de H a e daformah a, para algum h 2 H, logodaformaf(h) para algum h 2 H. f e injetora, pois se f(h 1 )=f(h 2 ) ent~ao h 1 a = h 2 a eent~ao, pelo cancelamento em G, h 1 = h 2. Assim, f estabelece uma correspond^encia biun ³voca (fun»c~ao bijetora) entre H e H a. SeH for nito, teremos ent~ao jhj = jh aj. 5. Para cada elemento x 2 G, temosx 2 H x, logo x 2 S x2g H x. Portanto G ½ S x2g H x Por outro lado, x H ½ G, paracadax 2 G. Logo S x2g H x ½ G. Assim, G = S x2g H x. Observa»c~ao 5.9 Observemos novamente as classes laterais do exemplo 5.11, em que (G; ) =(Z 12 ; +) e H = h3i = f0; 3; 6; 9g. Observa-se imediatamente que jh + aj = jhj =4, 8a 2 Z 12, e que duas classes laterais H + a e H + b, coma e b em Z 12,s~ao iguais ou disjuntas. Observe por exemplo, que H + 0=H + 3=H + 6=H + 9=H, j a que 0; 3; 6 e 9 s~ao os elementos de H. Por outro lado, j a teria sido poss ³vel prever que H + 1 = H + 4, pois 1 4= 3 =9 2 H. Igualmente, podemos a rmar que H + 11 = H + 5, pois 11 5=6 2 H. Note ainda que, como H + 1=f1; 4; 7; 10g, temos ent~ao H + 1=H + 4= H + 7=H + 10.

33 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 110 Teorema 5.3 (Teorema de Lagrange) Sejam G um grupo nito, H um subgrupo de G e G=H o conjunto das classes laterais direitas de H em G. Ent~ao jhj divide jgj. Mais precisamente, jg=hj = jgj jhj Demonstra»c~ao.. Sendo G um grupo nito, temos que existe um n umero nito de classes laterais direitas de H, j a que a reuni~ao de todas elas e igual a G. Suponhamos ent~ao que existem s classes laterais direitas de H, s 1, duas a duas distintas, ou seja, G=H = fh x 1 ;:::;H x s g para certos elementos x 1 ;:::;x s de G, sendo as classes H x 1 ;:::;H x s distintas entre si. Como classes laterais distintas s~ao tamb em disjuntas, teremos G = H x 1 [ [ H x s e, al em disso, jgj = jh x 1 j + + jh x s j Sendo por em jh x k j = jhj, paracadak, 1 k s, temos jgj = jhj + + jhj = s jhj {z } s termos Logo, jgj jhj = s = jg=hj Teorema 5.4 (Rec ³proca do teorema 5.3 para grupos c ³clicos) Seja G = hai um grupo c ³clico nito de ordem n. Ent~ao para cada inteiro positivo d, divisor de n, existeum( unico) subgrupo H d de G, comjh d j = d. Explicitamente, H d = ha n=d i. No caso aditivo, sendo n=d = m, H d = hmai. Exemplo 5.12 Seja G = hai um grupo c ³clico multiplicativo e suponhamos jgj = 12. Ent~ao, pelo teorema 5.9, G = fe; a; a 2 ;a 3 ;:::;a 10 ;a 11 g, sendo a 12 = e. Os divisores de 12 s~ao 1; 2; 3; 4; 6 e 12.

34 Introduc»~ao Enxuta µa Teoria dos Grupos 111 Os subgrupos cujas ordens s~ao tais divisores s~ao, respectivamente H 1 = ha 12=1 i = hei = feg H 2 = ha 12=2 i = ha 6 i = fe; a 6 g H 3 = ha 12=3 i = ha 4 i = fe; a 4 ;a 8 g H 4 = ha 12=4 i = ha 3 i = fe; a 3 ;a 6 ;a 9 g H 6 = ha 12=6 i = ha 2 i = fe; a 2 ;a 4 ;a 6 ;a 8 ;a 10 g H 12 = ha 12=12 i = hai = G Problemas Complementares 1. Determine as classes laterais de H = h5i em (Z 15 ; +). 2. Considere o grupo S 3 das permuta»c~oes de A = f1; 2; 3g. Sendo ½µ µ µ ¾ H = ; ; ; veri que que H e subgrupo de S 3 e determine suas classes laterais direitas em S Determine as classes laterais de H =4Z = h4i em (Z; +). 4. Mostre que se (G; ) e um grupo nito e jgj = p, comp primo, ent~ao (a) os unicos subgrupos de G s~ao G e feg. (b) G e umgrupoc ³clico. 5. Mostre que se G e um grupo que possui exatamente dois subgrupos ent~ao jgj e um n umero primo. [Sugest~ao:Se G possui exatamente dois subgrupos, eles s~ao G e feg, sendo G 6= feg. Considere a 2 G, a 6= e e o subgrupo H = hai. Como H 6= feg, temosh = G, logog e c ³clico. Pelo teorema 5.4, p agina 110, para cada inteiro positivo d, divisor de jgj, existe um subgrupo de G de ordem d. Agora use o fato de que G possui apenas dois subgrupos.] 6. Mostre que todo grupo de ordem 4 e abeliano. [Sugest~ao:Paracadaelemento a 2 G, a 6= e, tem-se, pelo resultado do problema 9, o(a) j 4, logo o(a) =2 ou 4. Considere as duas possibilidades: (1 a )existea 2 G tal que o(a) =4; (2 a ) 8a 2 G; a 6= e, tem-seo(a) =2.] 7. Mostre que todo grupo de ordem 4 e isomorfoaz 4 ou a Z 2 Z 2. [Sugest~ao:Seja (G; ) um grupo de ordem 4. Se G e c ³clico, G = hai, ent~ao G = fe; a; a 2 ;a 3 g, sendo a 4 = e. Neste caso, a aplica»c~ao f: G! Z 4, f(a n )=n, e um isomor smo. Se G n~ao e c ³clico, pelo resultado do problema 6, G = fe; a; b; cg, sendo a 2 = b 2 = c 2 = e, enestecasog e tamb em abeliano. Construa as t abuas dos grupos (G; ) e (Z 2 Z 2 ; +). Mostre ent~ao que (G; )» = (Z 2 Z 2 ; +), comparando as t abuas dos dois grupos.]