Sebenta de exercícios de Álgebra I. Curso: Matemática

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1 Sebenta de exercícios de Álgebra I Curso: Matemática Ano Lectivo 2006/ de Março de 2007 (versão 1.2)

2 Conteúdo Notas Prévias Notações e terminologia ii iii 1 Introdução Noções elementares sobre conjuntos e relações Noções elementares sobre aplicações Noções elementares sobre números inteiros Estruturas algébricas básicas Grupóides, semigrupos e monóides Grupos Mor smos entre estruturas algébricas Estruturas geradas e monogénicas Relações de congruência. Coconjuntos Estruturas normais. Estruturas quociente Teoremas do isomor smo Estruturas actuando sobre conjuntos Grupos-p e grupos de Sylow Estruturas livres e apresentações 33 Referências bibliográ cas 34 i

3 Notas Prévias Esta sebenta de exercícios juntamente com a matéria leccionada nas aulas teóricas formam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina e não meramente um conjunto de exercícios soltos. Em relação à resolução dos exercícios que constam neste caderno, chama-se a atenção de que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, da matéria leccionada nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. O material contido nesta sebenta de exercícios, foi elaborado com base nas referências [1, 2, 3, 4, 5] e de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. De salientar, que alguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegas do Departamento de Matemática com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meus sinceros e profundos agradecimentos. N.B.: Na elaboração desta sebenta, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar uma escrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, pode não estar isenta de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções 1. 1 apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões, comentários e correcções, de preferência, enviados para psemiao@ualg.pt. ii

4 Notações e terminologia Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais: ; o conjunto vazio N = f0; 1; 2; 3; g o conjunto dos números naturais Z = f ; 2; 1; 0; 1; 2; g o conjunto dos números inteiros n o x Q = 2 R : x 2 Z ^ y 2 Z n f0g o conjunto dos números racionais y R C o conjunto dos números reais o conjunto dos números complexos Sendo X 2 fn; Z; Q; Rg, representaremos por X >0 ; X 0 seguintes conjuntos: e X 6=0, respectivamente, os X >0 := fx 2 X : x > 0g X 0 := fx 2 X : x 0g X 6=0 := fx 2 X : x 6= 0g. Como exemplos, o conjunto R 0 := fx 2 R : x 0g = [0; +1[, representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto R 6=0 := fx 2 R : x 6= 0g = R n f0g, representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero. Faremos também uso do símbolo C 6=0, para representar o conjunto C n f0g. De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo := quer designar a igualdade de duas entidades por de nição. Iremos representar por card(a) o cardinal do conjunto A. O símbolo v representa uma subestrutura de uma dada estrutura algébrica, por exemplo, sendo M (resp., G) um monóide (resp., grupo) e A um subconjunto de M (resp., G), para abreviar a expressão A é um submonóide (resp., subgrupo) de M (resp., G), usamos o simbolismo A v M (resp., A v G). iii

5 Tabela de Símbolos Y X Inj(X; Y ) Surj(X; Y ) Bij(X; Y ) Mor(G; H) (= Hom(G; H)) End(G) Mono(G; H) Epi(G; H) Bim(G; H) Sect(G; H) Retr(G; H) Iso(G; H) Aut(G) Emb(G; H) U l (G) (resp., U G (G), U(G)) N E G P (Z) hai (resp., hai) Idem(M) o conjunto de todas as aplicações de X em Y o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y o conjunto de todos os mor smos de G em H o conjunto de todos os endomor smos em G o conjunto de todos os monomor smos de G em H o conjunto de todos os epimor smos de G em H o conjunto de todos os bimor smos de G em H o conjunto de todas as secções de G em H o conjunto de todas as retracções de G em H o conjunto de todos os isomor smos de G em H o conjunto de todos os automor smos em G o conjunto de todos os mergulhos de G em H o conjunto de todos as unidades (esq., direitas, bilaterais) de G N é subgrupo normal de G o conjunto de todos os elementos primos de Z o submonóide (resp., subgrupo) gerado por A o conjunto de todos os elementos idempotentes de M iv

6 1. Introdução 1.1. Noções elementares sobre conjuntos e relações 1.1.1) Sejam X e Y conjuntos quaisquer. Mostre que se tem as seguintes propriedades: a) ; X. b) A X () A 2 P(X). c) X Y =) P(X) P(Y ) ) Sejam X; Y e Z conjuntos quaisquer. Mostre que, a união de conjuntos tem as seguintes propriedades: a) X [ (Y [ Z) = (X [ Y ) [ Z. b) ; [ X = X [ ; = X. c) X [ Y = Y [ X. d) X Y () X [ Y = Y. e) X [ X = X ) Sejam X; Y e Z conjuntos quaisquer. Mostre que, a intersecção de conjuntos tem as seguintes propriedades: a) X \ (Y \ Z) = (X \ Y ) \ Z. b) ; \ X = X \ ; = ;. c) X \ Y = Y \ X. d) X Y () X \ Y = X. e) X \ X = X ) Sejam X; Y e Z conjuntos quaisquer. Mostre que se tem as seguintes propriedades: a) (X [ Y ) \ Z = (X \ Z) [ (Y \ Z). b) (X \ Y ) [ Z = (X [ Z) \ (Y [ Z). c) (X \ Y ) [ Z = X \ (Y [ Z) () Z X. d) ; X = X ; = ;. e) A X ^ B Y () A B X Y. f) (X [ Y ) Z = (X Z) [ (Y Z). g) (X \ Y ) Z = (X Z) \ (Y Z) ) Seja uma relação de equivalência de nida no conjunto X X. Mostre que: a) a de nição de relação de equivalência é equivalente a ser formulada, pelas seguintes condições: 1

7 i) 1 Rel(XX). ii) 1. iii). b) = 1, ou seja, i), ii) e iii) são equivalentes a ter i), ii ) = 1 e iii) ) Sejam X um conjunto qualquer e uma relação de equivalência de nida em X X. Mostre que: a) 8x 2 X x 2 [x]. b) 8x; y 2 X xy, [x] = [y]. c) As classes de equivalência de elementos de X 6= ; formam uma partição de X, ou seja, i) 8x 2 X [x] 6= ;. ii) 8x; y 2 A [x] 6= [y] =) [x] \ [y] = ;. iii) 8x 2 X S [x] = X. x2x 1.1.7) Sejam X um conjunto qualquer e C := fa i 2 P(X) : i 2 Ig uma partição de X. Então existe uma relação de equivalência em X X tal que os elementos de C são as classes de equivalência de elementos de X. Sugestão: Considere a seguinte relação, para todo o x; y 2 X xy () 9i 2 I : (x 2 A i ^ y 2 A i ) ) Seja n 2 Z 6=0. Mostre que a relação de nida para todo o a; b 2 Z por: a b (mod n) () 9k 2 Z : a + ( b) = k n é uma relação de equivalência. números inteiros. Esta relação é a relação usual de congruência dos 1.1.9) Sejam A; B X. Mostre que a relação de nida para todo o A; B 2 P(X) por: AB () A B _ B A é uma relação re exiva, simétrica mas não transitiva ) Considere-se a relação de nida para todo o elemento de N 2 por: (a; b) (c; d) () a + d = b + c. Mostre que é uma relação de equivalência e diga o que é [(a; b)]. Com esta relação de ne-se Z := N2 e à classe de equivalência [(a; b)] chama-se número inteiro ) Seja X := fa; b; c; d; eg e consideremos as relações i, i = 1; : : : ; 8 de nidas em X X. a) Das relações seguintes, quais são re exivas, simétricas, transitivas e equivalências: 1) 1 := f(a; b); (b; a); (c; d); (d; c)g. 2) 2 := f(a; b); (b; c); (a; c)g. 3) 3 := f(a; a); (b; b); (c; c); (d; d); (e; e); (a; b); (b; c)g. 4) 4 := f(a; a); (b; b); (c; c); (d; d); (e; e)g (relação identidade). 5) 5 := f(a; b); (c; e); (d; a); (d; b)g. 2

8 6) 6 := f(a; a); (b; b); (c; c); (d; d); (e; e); (c; d); (d; c)g. 7) 7 := ; (relação vazia). 8) 8 := X X (relação universal). b) Determine os seguintes conjuntos quociente X= 4, X= 6 e X= ) Considere os conjuntos X := fa; b; cg, Y := fd; e; fg e Z := fg; hg e as relações: R := f(a; d); (b; e); (c; d)g e S := f(d; g); (e; h); (f; h)g de nidas, respectivamente, em X Y e Y Z. Determine S R ) Sejam X := Z Z 6=0 e := f((r; s); (t; u)) 2 X 2 : r u = s tg. Mostre que é uma relação de equivalência em X X. 3

9 1.2. Noções elementares sobre aplicações 1.2.1) Mostre que se f : X! Y é uma aplicação qualquer, então f induz as seguintes aplicações: a) f! : P(X)! P(Y ), de nida por, f! (A) = ff(x) 2 Y : x 2 Ag. b) f : P(Y )! P(X), de nida por, f (B) = fx 2 X : f(x) 2 Bg. c) Se f 2 Bij (X; Y ), então tem-se que: 1) (f 1 )! = (f! ) 1. 2) (f 1 ) = (f ) ) Sejam f : X! Y uma aplicação, (A i ) i2i uma família de subconjuntos de X e (B i ) i2i uma família de subconjuntos de Y. Mostre que: a) f! ( S A i ) = S f! (A i ). i2i i2i b) f! ( T A i ) T f! (A i ). i2i i2i c) f ( S B i ) = S f (B i ). i2i i2i d) f ( T B i ) = T f (B i ). i2i i2i 1.2.3) Sejam f : X! Y e g : Y! Z aplicações quaisquer. Mostre que: a) A composição de aplicações, g f, é uma aplicação. b) A composição de aplicações injectivas, g f, é uma aplicação injectiva. c) A composição de aplicações sobrejectivas, g f, é uma aplicação sobrejectiva. d) A composição de aplicações bijectivas, g f, é uma aplicação bijectiva. e) Se g f é uma aplicação sobrejectiva, então g é uma aplicação sobrejectiva. f) Se g f é uma aplicação injectiva, então f é uma aplicação injectiva ) Sejam f : X! Y e g : Y! Z aplicações quaisquer, A X e C Z. Veri que se: a) (g f)! (A) = g! (f! (A)). b) (g f) (C) = f (g (C)) ) Seja f : X! Y uma aplicação qualquer. Mostre que: a) f é injectiva se, e só se, existe uma aplicação g : Y! X tal que g f = id X. (A g chama-se a inversa esquerda de f e diz-se que f é uma secção). b) f é sobrejectiva se, e só se, existe g : Y! X tal que f g = id Y. (A g chama-se a inversa direita de f e diz-se que f é uma retracção). c) f é bijectiva se, e só se, existe g : Y! X tal que g f = id X ^ f g = id Y. (A g chama-se função inversa de f e diz-se que f é um isomor smo). d) A aplicação inversa f 1 : Y! X é única ) Seja f : X! Y uma aplicação qualquer. Mostre que: 4

10 a) f é injectiva se, e só se, para todo o conjunto Z e para todo o par de aplicações g; g 0 : Z! X as composições f g e f g 0 estão de nidas, então tem-se que: f g = f g 0 =) g = g 0. (Uma aplicação que veri que esta condição diz-se um monomor smo). b) f é sobrejectiva se, e só se, para todo o conjunto Z e para todo o par de aplicações g; g 0 : Y! Z as composições g f e g 0 f estão de nidas, então tem-se que: g f = g 0 f =) g = g 0. (Uma aplicação que veri que esta condição diz-se um epimor smo) ) Considere X e Y dois conjuntos quaisquer. O conjunto X diz-se equivalente ou equipotente a Y e representa-se por X Y se, e só se, existe uma aplicação bijectiva de X em Y. Mostre que a seguinte relação: é uma relação de equivalência. X Y () 9f 2 Y X : f 2 Bij(X; Y ) Diz-se que os conjuntos X e Y têm a mesma cardinalidade se card(x) = card(y ) () X Y ) Mostre que, para quaiquer conjuntos X e fyg, tem-se que X fyg ' X ) Sejam X e Y dois conjuntos quaisquer. Mostre que, X ' Y ) P(X) ' P(Y ) ) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que, P(X) ' f0; 1g X. (Sugestão: Considere as relações f : P(X)! f0; 1g X e g : f0; 1g X! P(X) de nidas, respectivamente, por A 7! A e h 7! h (f1g).) ) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que, existe uma aplicação injectiva de X! P(X) ) Sejam X e Y conjuntos quaisquer. Mostre que a relação de nida por: é uma relação de ordem parcial. card(x) card(y ) () 9f 2 Y X : f 2 Inj(X; Y ) (Sugestão: Use o teorema de Schröder-Bernstein para conjuntos in nitos. Se tivermos aplicações injectivas de X em Y e de Y em X, então card(x) = card(y )) ) Sejam X e Y conjuntos quaisquer, f : X! Y uma aplicação e considere a seguinte relação para todo x; y 2 X x f y () f(x) = f(y). Mostre que f é uma relação de equivalência ) Considere uma relação de equivalência de nida em X. a) Mostre que existe uma aplicação h : X! X= sobrejectiva. 5

11 b) Considere uma aplicação f : X! Y qualquer, tal que f é compatível com, i.e., 8x; y 2 X xy =) f(x) = f(y). De na uma aplicação g : X! Y, de modo que o diagrama X h - X seja comutativo, ou seja, g h = f. f? Y c) Mostre ainda que, nestas condições, g é sobrejectiva se, e só se, f é sobrejectiva. d) Mostre também que, f é bicompatível com se, e só se, g é injectiva ) Seja f : X! Y uma aplicação que preserva as relações, ou seja, Mostre que: 8a; b 2 X ab =) f(a) 0 f(b). a) Existe uma única aplicação f : X=! Y= 0 tal que o seguinte diagrama g X X - X f? Y Y é comutativo. Diz-se que f é a aplicação induzida por f. Reciprocamente, se para duas quaisquer aplicações f e f o diagrama é comutativo, então f é a aplicação que preserva a relação e, f é a aplicação induzida por f. - f? Y 0 b) Se f(a) 0 f(b) ) ab, então f 2 Inj(X=; Y= 0 ). c) Se f 2 Surj(X; Y ), então f 2 Surj(X=; Y= 0 ). d) Sendo X = Y := Z, := (a; a 0 ) 2 Z 2 : a a 0 (mod 4), 0 := (b; b 0 ) 2 Z 2 : a a 0 (mod 2) e f : X! Y uma aplicação que preserva a relação, de nida por f(n) = n, então: 1) f ([0] 4 ) = f ([2] 4 ) = [0] 2. 2) f ([1] 4 ) = f ([3] 4 ) = [1] 2. 6

12 1.3. Noções elementares sobre números inteiros 1.3.1) Mostre que, para qualquer a; b; c 2 Z se tem o seguinte: a) a j 0. b) 1 j a. c) a j a. d) a j b, a j ( b), ( a) j b, ( a) j ( b). e) a j b ^ b j c ) a j c. f) a j b ^ a j c ) 8x; y 2 Z a j (bx + cy) ) Considere a; b; k 2 Z e x 2 Z 6=0. Mostre que se veri ca o seguinte: a) gcd(a; b) = gcd(a; b + ax). b) gcd(ka; kb) = k gcd(a; b) ) Determine o máximo divisor comum dos seguintes conjuntos e, exprima-o na forma gcd(a; b) = ax + by: a) f167; 389g. b) f275; 726g. c) f242; 758g ) Determine o menor inteiro x não negativo tal que: a) x 19 (mod 5). b) x 3312 (mod 4). c) x 26 (mod 13). d) x 177 (mod 8). e) x 111 (mod 109) ) Considere a; b 2 Z e n 2 Z 6=0 um elemento xo. Mostre que são equivalentes as seguintes alíneas: a) a b (mod n); b) n j a b; c) a e b dão o mesmo resto, na divisão por n ) Considere a; b; a 0 ; b 0 ; k 2 Z e n 2 Z 6=0 um elemento xo. Mostre que se veri ca o seguinte: a) a b (mod n) ) ka kb (mod n). b) a b (mod n) ^ a 0 b 0 (mod n) ) a + a 0 b + b 0 (mod n). c) a b (mod n) ^ a 0 b 0 (mod n) ) aa 0 bb 0 (mod n). d) a + k b + k (mod n) ) a b (mod n). e) ka kb (mod kn) ) a b (mod n). 7

13 f) a b (mod n) ^ a 0 j n ) a b (mod a 0 ) ) Indique, para as seguintes relações, quais são possíveis, e para essas, determine a respectiva solução: a) 2x 3 (mod 4). b) 3x 2 (mod 4). c) 6x 2 (mod 4). d) 10x 14 (mod 15). e) 10x 14 (mod 18). f) 10x 14 (mod 21). 8

14 2. Estruturas algébricas básicas 2.1. Grupóides, semigrupos e monóides 2.1.1) Diga se as relações a seguir indicadas são operações binárias em Z, onde o símbolo + (resp., ) representa a adição (resp., multiplicação) usuais em Z. a) (x; y) 7! x + y. b) (x; y) 7! x y. c) (x; y) 7! x y. d) (x; y) 7! p x y. e) (x; y) 7! x + 4y. f) (x; y) 7! x y. Em caso a rmativo, diga se a operação é associativa ou comutativa e veri que se existe elemento neutro (direito, esquerdo ou bilateral) e elementos invertíveis no respectivo grupóide ) Dê um exemplo de: a) Grupóide que não seja associativo. b) Semigrupo que não seja comutativo. c) Grupóide que não seja associativo nem comutativo. d) Semigrupo comutativo sem elemento neutro. e) Monóide com elementos invertíveis. f) Grupo. g) Grupóide não associativo com elemento neutro e os elementos invertíveis ) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que (P(X); [; ;) e (P(X); \; X) são monóides comutativos ) Seja P o conjunto dos pontos do plano e considere a relação que a cada par de pontos de P associa o ponto médio do segmento por eles de nido. Veri que que P com esta operação constitui um grupóide comutativo não associativo ) Estude os seguintes grupóides: a) O conjunto fa; b; c; dg com a operação de nida pela seguinte tabela de Cayley: * a b c d a d b b d b c d b a c a c a a d b a d c 9

15 b) (N; ) com a b := a + 2b, onde + é a soma usual em N. c) (N; ) com a b := a b. d) (N; ) com a b := ja bj. e) (Q 6=0 ; ) com ab := a b 1, onde é o produto usual em Q ) Seja A um grupóide. Mostre que se 1 A é elemento neutro esquerdo e 1 0 A é elemento neutro direito (em A), então 1 A = 1 0 A, portanto 1 A é elemento neutro único de A ) Construa um grupóide com duas identidades direitas. Veri que se é semigrupo ) Seja (S; ) um semigrupo. Mostre que: a) Se é válida a lei do corte à esquerda (resp., direita) ab = ac ) b = c (resp., ba = bc ) b = c) e a 2 = a, então a é elemento neutro à esquerda (resp., direita) de S. b) Existe um e um só elemento idempotente em S, concretamente o elemento neutro ) Mostre que se (M; ; 1 M ) é um monóide e a 2 M tem um inverso direito e um inverso esquerdo, então estes coincidem ) Mostre que se (M; ; 1 M ) é um monóide e a 2 U(M), então tem-se que: a) 8b; c 2 M ab = ac =) b = c. b) Qualquer das equações ax = b e ya = b com b 2 M, admite uma e uma só solução ) Sejam M um monóide e a; b 2 U(M). Mostre que: a) 1 1 M = 1 M. b) (a 1 ) 1 = a. c) (ab) 1 = b 1 a 1. d) a e b comutam se, e só se, (ab) 1 = a 1 b ) Seja A um grupóide. Mostre que, veri ca-se sempre uma e uma só, das a rmações seguintes: a) A não tem elemento neutro esquerdo nem direito. b) A tem um ou mais elementos neutros direitos mas nenhum elemento neutro esquerdo. c) A tem um ou mais elemento neutro esquerdos mas nenhum elemento neutro direito. d) A tem um elemento neutro e mais nenhum (distinto) elemento neutro esquerdo ou direito ) Seja S um semigrupo nito. Mostre que S admite elemento neutro se, e só se, contém um elemento cancelável ) Sejam S um semigrupo e a 2 S. Suponha que para esse elemento existe um elemento b de S tal que ab = a. Prove que quaisquer que sejam t e v, elementos de S, a equação yt = v é solúvel, então b é elemento neutro direito de S. 10

16 2.1.15) Seja M nn (K) o conjunto das matrizes de ordem n n sobre o corpo K. Mostre que (M nn (K); ; I n ) é um monóide, onde é o produto usual de matrizes ) Mostre que se (S; ) é um semigrupo, então qualquer seu subgrupóide é um semigrupo. Conclua, analogamente, para um semigrupo comutativo ) Seja (S; ) um semigrupo. Mostre que: a) as é um subsemigrupo de S. b) se a é um elemento idempotente de S tal que 8x 2 S, x = xa, então a é o elemento neutro de as ) Mostre que um subconjunto A M é um submonóide de um monóide (M; ; 1 M ) se, e só se, veri ca: i) 8x; y 2 M : x; y 2 A =) x y 2 A; ii) 1 M 2 A ) Sejam M um monóide e A M. O centralizador de A em M é de nido por: C M (A) := fx 2 M : 8a 2 A, xa = axg. Mostre que C M (A) é um submonóide de M. Quando A := M, chama-se o centro de do monóide M e representa-se por Z(M). 11

17 2.2. Grupos 2.2.1) Suponha que S := fx; y; z; wg é um grupo com elemento neutro x. Veri que que para cada uma das condições adicionais seguintes se tem uma única tabela de Cayley tal que S é um grupo: a) y 2 = z. b) y 2 = w. c) y 2 = x e z 2 = x. d) y 2 = x e z 2 = y ) Suponha que S := fa; b; cg é um grupo. Só existe uma única maneira possível de * a b c completar a seguinte tabela de Cayley a b b c. Encontre-a ) Mostre que num grupo é válida a lei do corte ) (Critério de Dickson) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, veri ca as seguintes condições: i) Existe um elemento neutro à direita de S, 1 r. ii) Qualquer que seja o elemento a 2 S, existe um elemento a 0 2 S tal que aa 0 = 1 r, ou seja, a 0 é o inverso direito relativamente a 1 r ) (Critério de Weber-Huntington) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, as equações, para todo o a; b 2 S, ax = b e ya = b são solúveis ) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, qualquer que seja o elemento a 2 S, as = Sa = S ) Prove que para qualquer grupo G a equação axb = c tem uma única solução, quaisquer que sejam os elementos a; b; c 2 G ) Mostre que se G é um grupo e a; b 2 G são tais que ab = b, então a é o elemento neutro do grupo ) Sejam G um grupo e a; b; c 2 G. Mostre que: a) qualquer uma das igualdades seguintes implica as outras duas: 1) ab = c; 2) a = cb 1 ; 3) b = a 1 c. b) ab = c não implica a = b 1 c ) Mostre que todo o semigrupo nito em que é válida a lei do corte é um grupo ( nito) ) Sejam G um grupo e A G. Mostre que, A v G se, e só se, veri ca: i) 1 G 2 A; 12

18 ii) 8x; y 2 G : x; y 2 A =) x y 2 A; iii) 8x 2 G : x 2 A =) x 1 2 A ) Mostre que um semigrupo S com identidade 1 S em que 8x 2 S, x 2 = 1 S é um grupo abeliano ) Mostre que num grupo se b é o inverso direito (resp., esquerdo) de a então b k é o inverso direito (resp., esquerdo) de a k ) Sejam G um grupo, A; B; C G e considerem-se os seguintes subconjuntos: e A 1 := a 1 2 G : a 2 A (em notação aditiva A := f a 2 G : a 2 Ag) B 1 := b 1 2 G : b 2 B (em notação aditiva B := f b 2 G : b 2 Bg). Mostre que: a) (A B) C = A (B C) (em notação aditiva (A + B) + C = A + (B + C)). b) f1 G g A = A f1 G g = A (em notação aditiva f0 G g + A = A + f0 G g = A). c) (A B) 1 = B 1 A 1 (em notação aditiva (A + B) = ( B) + ( A)). d) 8x 2 G, A B ) x A x B (em notação aditiva 8x 2 G, A B ) fxg + A fxg + B). e) 8x 2 G; fxg A = A fxg () fxg A fxg 1 = A (em notação aditiva fxg + A = A + fxg () fxg + A + ( fxg) = A). f) A G = G A = G (em notação aditiva A + G = G + A = G). g) A B ) A 1 B 1 (em notação aditiva A B ) A B). Se A v G, então: a) A 1 = A (em notação aditiva A = A). b) 8x 2 G, (fxg A) 1 = A fxg 1 (em notação aditiva 8x 2 G, (fxg + A) = A + ( fxg)). c) A A = A (em notação aditiva A + A = A), em particular, 8x 2 A, fxg A = A (em notação aditiva 8x 2 A, fxg + A = A) ) Considere-se o grupóide (N; ), onde é a multiplicação usual e os seguintes subconjuntos de N: A := f2g ; B := fx 2 N : x é divisor de 6g e C := fx 2 N : x é múltiplo de 6g. a) Determine O B e B A, sendo O := f0g. b) Dos conjuntos A; B; O B e B A quais são partes estáveis de N para a mesma operação. c) Mostre que (C; ) é subgrupóide de (N; ) e escreva-o como produto de dois subgrupóides de (N; ) ) Sejam (M; ; 1 M ) um monóide. Mostre que U(M) é um subgrupo do monóide M ) Mostre que um grupo G é abeliano se, e só se, 8a; b 2 G, (ab) 1 = a 1 b 1. 13

19 2.2.18) Sejam M 1 e M 2 monóides (resp., grupos), prove que: a) (M 1 M 2 ; ; (1 M1 ; 1 M2 )) é um monóide (resp., grupo). b) (M 1 M 2 ; +; (0 M1 ; 0 M2 )) é um monóide (resp., grupo). c) Generalize para M 1 M 2 M n ) Sejam A e B submonóides (resp., subgrupos) de um monóide M (resp., grupo). Mostre que: a) A B é submonóide (resp., subgrupo) de M M. b) A \ B é submonóide (resp., subgrupo) de M. c) A [ B é submonóide (resp., subgrupo) de M se, e só se, A B _ B A. d) AB (em notação aditiva A + B) é submonóide (resp., subgrupo) de M se, e só se, AB = BA (em notação aditiva A + B = B + A). No caso particular de M ser abeliano, então AB (em notação aditiva A + B) é submonóide (resp., subgrupo) de M ) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que (P(X); M; ;) é um grupo abeliano, onde A M B := (AnB) [ (BnA) = fx 2 X : x 2 A [ B ^ x =2 A \ Bg ) Sejam G um grupo, A 2 P 6=; (G) e o conjunto gag 1 := gag 1 2 G : a 2 A que se chama o conjugado direito de A em G. Mostre que gag 1 v G se, e só se, A v G ) Sejam G um grupo e A 2 P(G). Chama-se normalizador de A em G ao conjunto Mostre que N G (A) é um subgrupo de G. N G (A) := x 2 G : xax 1 = A ) Sejam A v K v G e x 2 G ( xo). Mostre que: a) N K (A) = N G (A) \ K. b) N G (xax 1 ) = xn G (A)x ) Considere o conjunto GL n (K) := fa 2 M nn (K) : A é invertívelg. a) Mostre que GL n (K) é um grupo. b) Determine todos os subsemigrupos próprios de GL 2 (R). a 0 c) Veri que que o conjunto 2 M (R) : a 2 R GL 2 (R). Será um submonóide de GL 2 (R)? Justi que. d) Mostre que SL n (K) GL n (K), onde é um subsemigrupo de é um subgrupo de GL n (K). SL n (K) := fa 2 GL n (K) : det(a) = 1g 14

20 e) Determine o centro do grupo GL n (K), i.e., Z(GL n (K)) ) Determine os subgrupos de: a) Z 6. b) S ) Simpli que cada uma das seguintes expressões em Z 5 : a) [8] + [4]. b) [2] + [7]. c) [17] + [76]. d) [3] [4]. e) [2] [ 7]. f) [17] [76]. g) ([3] [2]) + ([3] [4]). h) [3] ([2] + [4]). Resolva o mesmo exercício considerando as expressões em Z ) Construa as tabelas de Cayley de (Z 3 ; +), (Z 3 ; ), (Z 4 ; +) e (Z 4 ; ). Diga, quais dos grupóides em questão, são grupos ) Mostre que, para n 2 N 6=0 cada grupo Z n é abeliano ) Veri que se (Z 3 n f[0]g ; ; [1]) e (Z 4 n f[0]g ; ; [1]) são grupos ) Mostre que, se n 2 N 6=0, então (Z n n f[0]g ; ; [1]) é grupo se, e só se, n é primo ) Considerem-se o par (a; b) 2 R 6=0 R e a aplicação f (a;b) : R! R de nida da seguinte forma f (a;b) (x) = ax + b. Seja A := f (a;b) 2 R R : (a; b) 2 R 6=0 R. a) Mostre que, (A; ) é um grupóide e veri que se é comutativo. b) Veri que se existe elemento neutro em (A; ). c) Determine U(A). d) Diga, justi cando, se (A; ; id R ) é um grupo. 15

21 2.3. Mor smos entre estruturas algébricas 2.3.1) Indique, quais das seguintes aplicações são mor smos e, em cada caso a rmativo, determine o respectivo núcleo e classi que o respectivo mor smo: a) f : (Z; +)! (R; +) de nida por f(x) := 3x. b) f : (Z; +)! (R; ) de nida por f(x) := 3x. c) f : (R; +)! (Z; +) de nida por f(x) := 3x. d) f : (Z; )! (Z; ) de nida por f(x) := 3x. e) f : (Z; )! (N; ) de nida por f(x) := x 2. f) f : (R; )! (R 0 ; ) de nida por f(x) := x 2. g) f : (R >0 ; )! (R >0 ; ) de nida por f(x) := x 2. h) f : (Z; +)! (Z; +) de nida por f(x) := x 2. i) f : (Q; +)! (Q; +) de nida por f(x) := x + 2. j) f : (R 6=0 ; +)! (R 6=0 ; +) de nida por f(x) := jxj. k) f : (C 6=0 ; +)! (R 6=0 ; ) de nida por f(z) := jzj 2. l) f : (R 6=0 ; +)! (R 6=0 ; +) de nida por f(x) := x. m) f : (Z; )! (Z; ) de nida por f(x) := 2x + 1. n) f : (Z; +)! (Z; ), onde x y := x + y 1 e f é de nida por f(x) := 2x + 1. o) f : (R; )! (R; +), onde xy := 2xy + x + y e f é de nida por f(x) := 2x + 1. p) f : Z 8! Z 2 de nida por f(a 8 ) = a 2. q) f : Z 12! Z 12 de nida por f([a] 12 ) = [a + 1] 12. r) f : (R; +; 0)! (R 6=0 ; ; 1) de nida por f(x) := a x, sendo a 2 R 6=0 um elemento qualquer xo. s) f : (R >0 ; ; 1)! (R; +; 0) de nida por f(x) := ln(x). 1 se x > 0 t) f : (R 6=0 ; ; 1)! (f 1; 1g ; ; 1) de nida por f(x) := 1 se x < ) Considere a relação f : R! R de nida por f(x) := x 2 1. a) Mostre que é uma aplicação. b) De na duas operações binárias e de modo que f seja um mor smo de (R; ) para (R; ). c) Determine dois grupóides, de modo que, com a mesma lei de transformação de f, ele se torne um isomor smo entre esses grupóides ) Considere a aplicação f : C 6=0! R 6=0, de nida por f (z) = jzj. a) Mostre que f é um mor smo do grupo (C 6=0 ; ; 1) no grupo (R 6=0 ; ; 1). b) Determine explicitamente os elementos de Ker(f) e de Im(f). c) Represente geometricamente os elementos de f (f2g) ) Sejam (G; ; 1 G ) um grupo e a relação f : G! G de nida por f (x) = x 1 a) Veri que que f não é, em geral, um mor smo de grupos. 16

22 b) Estabeleça uma condição necessária e su ciente para que f seja um mor smo de grupos. c) Resolva analogamente as alíneas anteriores, mas com f de nida por f (x) = x ) Seja S 1 := fz 2 C : jzj = 1g. a) Mostre que S 1 é subgrupo de (C 6=0 ; ; 1). b) Veri que se a aplicação f : (R; +; 0)! (S 1 ; ; 1) ; de nida por f (x) = cis x é um mor smo de grupos. c) Determine f (f1g) ) Considere o mor smo f : Z 6 ; +; 0! (S 3 ; ; id), tal que f 1 6 = a) Determine a imagem de cada um dos elementos de Z 6. b) Determine Ker (f). c) Determine Im(f). d) Será possível determinar um isomor smo entre Z 6 ; +; 0 e (S 3 ; ; id)? 2.3.7) Considere os conjuntos A := f1; 2; 3g e B := fa; b; cg e as operações e 0 dadas pelas tabelas seguintes: a b c a b c a e b c a b c a b c Mostre que existe um isomor smo entre os grupóides (A; ) e (B; 0 ) ) Sejam (G; ; 1 G ), (G 0 ; ; 1 G 0), (G 00 ; ; 1 G 00) grupos, f 2 Mor (G; G 0 ) e g 2 Mor (G 0 ; G 00 ) mor smos de grupos. Mostre que: a) A composição g f é um mor smo de grupos. b) Se f e g são isomor smos, então g f é um isomor smo ) Sejam (M; d) e (M 0 ; d 0 ) dois espaços métricos. Uma isometria é uma aplicação bijectiva f : M! M 0 tal que d 0 (f(x); f(y)) = d(x; y). Mostre que: a) o conjunto de todas as isometrias em M, i.e., é um grupo. Isom(M) := f 2 M M : f é uma isometria b) se X 2 P(M), o conjunto de todas as isometrias que deixam o conjunto X xo S M (X) := ff 2 Isom(M) : f! (X) = Xg é um subgrupo de Isom(M). A este grupo, chama-se o grupo de simetria de X em relação ao espaço métrico M. 17

23 2.3.10) Sejam X um conjunto qualquer e considere o conjunto X X. Mostre que: a) (X X ; ; id X ) é um monóide. b) Sym(X) é um grupo ) Sejam X um conjunto qualquer e M (resp., G) um monóide (resp., um grupo). Mostre que: a) (M X ; ; c 1M ) é um monóide. b) (G X ; ; c 1G ) é um grupo ) Sejam M; N monóides (resp., grupos). Mostre que: a) (N M ; ; c 1N ) é um monóide (resp., grupo). b) Se N é comutativo, então (Mor(M; N); ; c 1N ) é um submonóide (resp., subgrupo) de N M. Conclua que, Mor(M; N) é comutativo. c) Sendo M comutativo, então (End(M); ; c 1M ) (resp., Aut(M)) é um monóide (resp., grupo) comutativo ) Seja M um monóide (resp., grupo). Mostre que (End(M); ; id M ) (resp., (Aut(M); ; id M )) é um monóide (resp., grupo) ) Considere a aplicação f : N 6=0! f0; 1g de nida por: k 1 2k a) Mostre que 8a; b 2 N 6=0, f(ab) = f(a)f(b)., onde k 2 N 6=0. b) Será f um isomor smo entre os grupóides (N 6=0 ; ) e (f0; 1g ; )? ) Sejam S e T grupóides (resp., semigrupos) e f 2 Mor(S; T ). Mostre que: a) Se a é um idempotente em S, então f(a) é um idempotente em T. b) Se A é um subgrupóide (resp., subsemigrupo) de S, então f! (A) é um subgrupóide (resp., subsemigrupo) de T. c) Se B é um subgrupóide (resp., subsemigrupo) de T, então f (B) é um subgrupóide (resp., subsemigrupo) de S. d) Se 1 S for o elemento neutro de S, indique condições para que f(1 S ) seja o elemento neutro de T ) Sejam (G; ; 1 G ), (G 0 ; 0 ; 1 G 0) grupos e f : G! G 0 um mor smo de grupos. Prove que: a) f (1 G ) = 1 G 0. b) 8a 2 G, f (a 1 ) = (f (a)) 1. c) 8n 2 Z 8a 2 G, f (a n ) = (f (a)) n. d) Se A v G, então f! (A) v G 0. Em particular, conclua que Im(f) v G 0. e) Se B v G 0, então f (B) v G. Em particular, conclua que Ker(f) v G. 18

24 2.3.17) Sejam (Z; ; 1) o monóide dos inteiros e f : (Z; ; 1)! (Z; ; 1) uma aplicação de nida por 8x 2 Z, f(x) = 0. Mostre que 8x; y 2 Z f(xy) = f(x)f(y), e no entanto f não é um mor smo de monóides ) Dado um grupo G, considere a família de aplicações ( g ) g2g, onde g : G! G é de nida por g (x) := gxg 1. Veri que se: a) Para todo o g, g 2 Aut(G) (automor smo interno direito de G). O conjunto de todos os automor smos internos direitos representa-se por Inn r (G). b) (Inn r (G); ; id G ) é um subgrupo de (Aut(G); ; id G ). c) Veri que que a aplicação f : G! Aut(G) de nida por f(g) := g é um mor smo e tal que Ker(f) = Z(G) e Im(f) = Inn r (G) ) Sejam G; G 0 ; G 00 grupo e f 0 ; f 1 ; f 2 ; f 3 mor smos tais que: e Im(f i ) = Ker(f i+1 ), i = 0; 1; 2. f0g f 0! G f 1! G 0 f 2! G 00 f 3! f0g a) Mostre que f 1 é um mor smo injectivo. b) Mostre que f 2 é um mor smo sobrejectivo ) Sejam G um grupo e f 2 Aut(G). Mostre que f(z(g)) Z(G) ) Sejam G; H grupos, f 2 Mor (G; H), A v G e B v H. Mostre que: a) Se f! (A) = B, então f (B) = A Ker(f). b) Se f (B) = A, então f! (A) = B \ Im(f) ) (Teorema de Cayley) Seja (M; ; 1 M ) um monóide (resp., grupo). Mostre que: a) todo o monóide é isomorfo a um submonóide de (M M ; ; id M ). b) todo o grupo M é isomorfo a um subgrupo de Sym(M). c) todo o grupo nito de ordem n é isomorfo a um subgrupo do grupo S n ) Sejam G 1 ; G 2 ; G 3 ; G 4 grupos, f 2 Mor(G 1 ; G 2 ) e g 2 Mor(G 2 ; G 3 ). Mostre que: a) Ker(g f) = f (Ker(g)) e Im(g f) = g! (Im(f)). b) se o diagrama f G - 1 G 2 h g?? G 4 - G j 3 é comutativo, h 2 Surj(G 1 ; G 4 ) e g 2 Inj(G 2 ; G 3 ), então Im(f) = g Ker(j) = h! (Ker(f)). (Im(j)) e 19

25 2.4. Estruturas geradas e monogénicas 2.4.1) Sejam G um grupo e X G. Mostre que: a) O conjunto gerado por X hxi = 1 G ; x 1 1 x 1 2 x 1 n 2 G : x i 2 X, x 1 i 2 X 1, i = 1; : : : ; n, n 2 N 6=0 forma um subgrupo de G. b) X hxi. c) 8A v G : X A =) hxi A ) Sejam G um grupo e A; B G. Mostre que: a) A B =) hai hbi. b) h;i = f1 G g. c) Se A v G, hai = A. Em particular, hf1 G gi = f1 G g e hgi = G. d) Se A B hai =) hai = hbi ) Seja C := f1; 2; 3g N. a) Construa o grupo simétrico de C (escreva a tabela de Cayley). b) Determine todos os subgrupos de Sym(C) e diga qual a cardinalidade mínima dos conjuntos de geradores dele ) Sejam G um grupo, X 2 P 6=; (G) e (A i ) i2i 2 Sub(G) I tais que 8i 2 I, A i X. O interior de X em G é de nido por * + [ Cor G (X) := A i. Mostre que: a) Cor G (X) é um subgrupo de G. i2i A i A i2i A i X b) Se A v G tal que 8i 2 I, A i A, então * + [ Cor G (A) := A i = \ g 1 Ag. g2g 2.4.5) Sejam G um grupo e A; B v G. Mostre que: a) ha [ Bi = f1 G ; a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n 2 G : a i 2 A; b j 2 B; i; j 2 N 6=0 g. b) Se A; B G poder-se-ia dizer o mesmo? Justi que. c) Se AB = BA, então ha [ Bi = AB ) Sejam G; H grupos, X G, f 2 Mor(G; H) e G = hxi. Mostre que: a) f! (hxi) = hf! (X)i. b) Se f 2 Surj(G; H), então f! (hxi) = H. 20

26 2.4.7) Sejam G um grupo e a 2 G. a) Mostre que se existem r; s 2 Z com r 6= s tais que a r = a s, então existe o menor inteiro positivo n, tal que a n = 1. A esse elemento (se existe) chama-se a ordem de a, e representa-se por ord(a). Se tal elemento não existe então diz-se que a ordem de a é in nita. b) Sejam t 2 Z e ord(a) = n, então tem-se que, a t = e () n j t ) Determine a ordem de cada elemento no respectivo grupo: a) (S 3 ; ; id). b) (S 4 ; ; id). c) (Z 3 ; +; 0). d) (Z 6 ; +; 0). e) (Z 4 ; ; 1) ) Seja G um grupo abeliano. Mostre que: a) Se a; b 2 G tais que ord(a) = n e ord(b) = m, então (ab) mn = 1 G. b) Se G não é abeliano o resultado anterior pode não se veri car Sugestão: Considere em S 3, a := e b := ) Seja G um grupo abeliano. Prove que o subconjunto F, dos seus elementos de ordem nita é um subgrupo de G. Se G não fosse abeliano F seria subgrupo de G? Justi que ) Sejam G um grupo e a um seu elemento de ordem nita. Mostre que a ord(a) = ord(a 1 ) ) Construa a tabela de Cayley para um grupo G := hai com a 6= 1 G e a 5 = 1 G ) Considere o subconjunto A := f1; 1; i; ig C. a) Mostre que (A; ; 1) é um grupo abeliano. b) Veri que se (A; ; 1) é cíclico e, em caso a rmativo, indique os seus geradores. c) Indique os subgrupos de (A; ; 1) ) Prove que um elemento diferente do elemento neutro de um grupo tem ordem 2 se, e só se, é igual ao inverso de si próprio ) Dado um grupo cíclico G = hai de ordem 10, indique todos os subgrupos de G ) Seja G := hai um grupo tal que a 56 = a 73. a) Supondo a 6= 1 G, qual é a ordem de G. b) Se fosse a 76 = a 72 qual seria a ordem de G ) Mostre que se G é um grupo nito de ordem n, qualquer que seja o elemento a 2 G tem-se que a n = 1 G ) Veri que que Z 12 tem um subgrupo de ordem k para cada divisor k, de

27 2.4.19) Seja G um grupo cíclico gerado por a tal que a 21 = a 6. a) Que pode concluir quanto à ordem de G? b) Qual a ordem do subgrupo gerado por a 7? ) Seja n = p r 1 1 p r 2 2 p rs s a ordem dum grupo cíclico, em que, p 1 ; p 2 ; :::; p s 2 P (Z) e são distintos. Veri car que a é sempre o produto de s elementos do grupo cíclico, cujas ordens são p r 1 1 ; p r 2 2 ; : : : ; p rs s, respectivamente ) Sejam M; M 0 monóides, X um conjunto de geradores de M e f; g 2 Mor(M; M 0 ). Mostre que, se 8x 2 X f(x) = g(x), então f = g ) Mostre que um grupo cíclico in nito tem exactamente dois geradores ) Seja G um grupo cíclico nito de ordem n, gerado por x. Mostre que hx k i = G se, e só se, k é primo com n ) Seja M um monóide gerado pelo subconjunto X e suponha-se que todo o elemento de X é invertível (em M). Mostre que: a) M é um grupo. b) Se separar-mos os elementos inversos num conjunto X 0 disjunto de X, então M = hx S X 0 i ) Sejam G um grupo cíclico, S um grupóide e f 2 Surj(G; S). Mostre que: a) S também é um grupo cíclico. b) Se G é nito a ordem de S divide a ordem de G ) Seja G um grupo cíclico de ordem n. Mostre que existe uma aplicação bijectiva entre os subgrupos de G e os divisores positivos de n ) Mostre que: a) Cada grupo cíclico de ordem nita n é isomorfo ao grupo multiplicativo das n raízes de 1, em C. b) Cada grupo cíclico in nito é isomorfo a Z ) Sejam G um grupo cíclico, A v G e f 2 End(G). Mostre que: a) f! (A) A. b) Se G = hai, então f 2 Aut(G) se, e só se, hf(a)i = G ) Dois grupos cíclicos são isomorfos se, e só se, tiverem a mesma ordem ) Seja G um grupo cíclico de ordem 15. Qual o número de geradores de G? Quantos automor smos há de G em G? 22

28 2.5. Relações de congruência. Coconjuntos 2.5.1) Seja Sub (S) o conjunto de todos os subgrupóides do grupóide S. Mostre que, a relação binária de nida em Sub (S), por é uma relação de equivalência em Sub(S). AB () A = B 2.5.2) Sejam G um grupo e A v G. Mostre que, as seguintes a rmações são equivalentes: i) x 1 y 2 A, ii) xa = ya ) Sejam G um grupo e A v G. Mostre que qualquer que seja x 2 G, card(a) = card(ax) = card(xa) ) De na-se uma relação de equivalência em Z do seguinte modo: a b () a; b 2 Z <0 _ a; b 2 Z 0. Veri que que cam determinadas duas classes de equivalência [ 1] e [0]. Do conjunto f[ 1] ; [0]g 2 para f[ 1] ; [0]g de na uma operação binária + tal que [a] + [b] := [a + b] por analogia com a de nição de + em Z n. Mostre que, + assim de nida não é uma operação binária em Z= ) Sejam M um monóide, X M e uma relação binária em M de nida por: Mostre que: ab () b 2 ax. a) Se X fôr um subgrupo de M então, é uma relação de equivalência em M. b) é uma relação de congruência em M se, e só se, 8a 2 M; Xa ax ) Sejam S um semigrupo com elemento neutro 1 S, R uma relação de equivalência em S e considere o conjunto Mostre que: a) E R. E := f(a; b) 2 S S : 8x; y 2 S, (xay; xby) 2 Rg. b) E é uma relação de equivalência em S. c) E é uma relação de congruência em S. d) Se é uma relação de congruência em S tal que R, então E ) Determine as classes associadas direitas de: 23

29 a) h[4]i em Z 8. b) h[3]i em Z ) Sejam G um grupo, A v G e a relação binária de nida em G por: x y () y 1 x 2 A. Mostre que é uma relação de equivalência em G ) Sejam G := S 3 e A := h( 1 3 )i. a) Determine as classes associadas direitas de A em G. b) Determine as classes associadas esquerdas de A em G. c) Veri que que o conjunto das classes associadas direitas é diferente da das esquerdas ) Em S 3 calcule: a) As classes associadas direitas e esquerdas de h( )i. b) Veri que que para cada elemento de S 3 a classe associada direita à qual pertence é a mesma que a classe associada esquerda à qual pertence ) Determine, nos respectivos grupos: a) [Z 10 : h[2]i]. b) S 3 : h( 1 2 )i. c) S 4 : h( )i. d) [Z 40 : h[12] ; [20]i] ) Prove que se A é um subgrupo de G tal que [G : A] = 2 e x e y são elementos de G mas não de A, então xy 2 A ) Prove que se A e B são subgrupos nitos de um grupo G e card(a) e card(b) não tem factores comuns além de um, então A \ B = f1 G g ) Determine os elementos do subgrupo A := h( ); ( 1 2 )( 3 4 )i de S 4 e veri- que que card(a) = 12 e que A não tem subgrupos de ordem ) Sejam G um grupo nito e A um seu subgrupo. Mostre que a ordem de A divide a ordem de G. 24

30 2.6. Estruturas normais. Estruturas quociente 2.6.1) Sejam G um grupo e A v G. Mostre que são equivalentes as seguintes a rmações: a) A E G. b) 8x 2 G; xa = Ax. c) 8x; y 2 G; xaya xya. d) 8x; y 2 G; xaya = xya. e) 8x 2 G; xax 1 A. f) 8x 2 G; xax 1 = A ) Sejam G; H grupos e f 2 Mor(G; H). Mostre que: a) Ker(f) E G. b) Se f 2 Surj(G; H), então Im(f) E H. c) Se A E G então f! (A)E Im(f). d) Se A E G e f 2 Surj(G; H), então f! (A) E H. e) Se B E H, então f (B) E G ) Sejam G um grupo e Z(G) o seu centro. Mostre que Z(G) E G ) Mostre que SL n (K) E GL n (K). Como Z(GL n (K)) E GL n (K) e Z(SL n (K)) E SL n (K) de ne-se o grupo linear projectivo por: P GL n (K) := e o grupo linear projectivo especial por: P SL n (K) := GL n(k) Z(GL n (K)), SL n(k) Z(SL n (K)) ) Dado um grupo G nito, mostre que todo o seu subgrupo A de G de índice 2, é um subgrupo normal de G ) Sejam G um grupo, N; K E G, X G, (A i ) i2i 2 Nor(G) I e g 2 G. Mostre que: a) N \ K E G. Generalize para (A i ) i2i 2 Nor(G) I. b) NK E G. c) hn [ Ki E G. d) hgxg 1 i E G, que é o fecho normal de X em G é um subgrupo normal que contêm X. * + S e) Cor G (X) := A i E G. i2i A i EG A i X 2.6.7) Sejam G um grupo e X G. Mostre que: a) Se 8g 2 G, gxg 1 X, então X hxi E G. 25

31 * + S b) gxg 1 E G. g2g c) * S + gxg 1 = hxi. g2g 2.6.8) Sejam G um grupo, N; K E G e N \ K = f1 G g. Mostre que, NK = KN ) Sejam G um grupo, A v G e N E G. Mostre que A \ N E A ) Sejam G um grupo e N; K v G tais que K E N E G. Mostre que 8g 2 G, gkg 1 E N ) Sejam G um grupo e A; N v G tais que N E A. Mostre que: a) Para todo o K v G, N \ K E A \ K. b) Para todo o P E G, NP E AP ) Sejam G um grupo e a 2 G. Um elemento b 2 G diz-se o conjugado direito de a, se existe um elemento x 2 G tal que b = xax 1. Veri que que: a) A relação conjugado direito, é uma relação de equivalência em G. b) Um subgrupo A de G é saturado para esta relação se, e só se, A E G. (Nota: Sejam C um conjunto, uma relação de equivalência de nida em C e C= o respectivo conjunto quociente. Diz-se que uma parte A de C é saturada para a relação se, e só se, sempre que x 2 A, [x] A.) ) Sejam G um grupo e A v G. Mostre que: a) A E N G (A). b) N G (A) é o maior subgrupo de G no qual A é normal ) Sejam G um grupo e A v G. Diz-se que A é normal maximal em G se A E G, A 6= G e não existe A 0 E G, tal que A ( A 0 ( G. Mostre que: a) A é normal maximal em G se, e só se, G=A é um grupo simples. b) Se A 1 e A 2 são subgrupos normais maximais distintos, então A 1 A 2 = G e A 1 \ A 2 é normal maximal em A 1 e em A ) Prove que V := id; ( 1 2 )( 3 4 ); ( 1 3 )( 2 4 ); ( 1 4 )( 2 3 ) é um subgrupo normal de S 4. Indique um grupo isomorfo a S 4 =V ) Sejam G um grupo e H v G. Mostre que, os subgrupos de G=H são exactamente os grupos A=H em que A é subgrupo de G e contém H ) Sejam G um grupo e N v G. Mostre que, os subgrupos normais de G=N são exactamente os grupos quociente K=N em que K E G e que contém N ) Sejam G um grupo e N E G. Prove que G=N é abeliano se, e só se, 8a; b 2 G aba 1 b 1 2 N ) Sejam G; H grupos, B E H e f 2 Surj(G; H). Prove que, se A := fg 2 G : f(g) 2 Bg, então A E G. 26

32 2.6.20) Sejam G um grupo e g 2 Inn r (G). Então, tem-se que: a) para todo o f 2 Aut(G), f g f 1 = f(g). b) Inn r (G) E Aut(G) ) Sejam M; M 0 grupos abelianos e f 2 Mor(M; M 0 ). Mostre que: a) Coker(f) := M 0 = Im(f) é um grupo abeliano. b) Coim(f) := M= Ker(f) é um grupo abeliano ) Sejam M; M 0 grupos abelianos, f 2 Mor(M; M 0 ) e a relação g : M! Coker(f) de nida por g(x) := [x]. Mostre que: a) g 2 Mor(M; M 0 ). b) Se f 2 Surj(M; M 0 ), então g 2 Surj(M; M 0 ) ) Sejam M; M 0 grupos abelianos, f 2 Mor(M; M 0 ) e a relação k : Ker(f)! M 0 de nida por k(x) := f(x). Mostre que: a) k 2 Mor(M; M 0 ). b) Se f 2 Inj(M; M 0 ), então k 2 Inj(M; M 0 ). 27

33 2.7. Teoremas do isomor smo 2.7.1) Sejam G; G 0 grupos e g 2 Surj(G; H). Suponhamos que N E G e Ker(g) N. a) Mostre que: 1) N 0 := g! (N) E H. 2) g (N 0 ) = N. b) Considere a aplicação f : G! H=N 0 tal que para cada x 2 G, f(x) := [g(x)] N 0. Veri que que: 1) f 2 Surj (G; H=N 0 ). 2) G=N = H=N 0 (1. o Teorema do isomor smo) ) Sejam G um grupo e A; N E G tais que A N. a) Sendo A e N os mor smos sobrejectivos canónicos associados a A e a N, respectivamente, então existe um mor smo h 2 Surj (G=A; G=N) tal que ho A = N. b) Ker(h) = N=A e conclua que G=N = G=A N=A (Corolário do 1.o Teorema do isomor- smo) ) Sejam G um grupo, A v G e K E G. Mostre que: a) AK v G. b) K E AK. c) Se a aplicação f : A! (AK)=K é de nida por, para cada a 2 A, f(a) := [a] K, então: 1) f 2 Surj A; AK K. A 2) A\K = AK K (2.o teorema do isomor smo) ) Sejam G 1 ;G 2 grupos, N 1 E G 1 e N 2 E G 2. a) Se N 1 = N2, ter-se-á que G 1 =N 1 = G2 =N 2? E nas mesmas condições, mas sendo G = G 1 = G 2, será que se tem G=N 1 = G=N2? b) Se N 1 E G 1, N 2 E G 2, N 1 = N2 e G 1 =N 1 = G2 =N 2 ter-se-á que G 1 = G2? c) Se N 1 E G 1, N 2 E G 2, G 1 = G2 e G 1 =N 1 = G2 =N 2 ter-se-á que N 1 = N2? E nas mesmas condições, mas sendo G = G 1 = G 2, será que se tem N 1 = N2? 2.7.5) Use o teorema do homomor smo para mostrar que se G é um grupo qualquer com elemento neutro 1 G, então G= f1 G g = G ) Mostre que se G 1 ; G 2 são grupos e G 1 f1 G2 g E G 1 G 2, então 2.7.7) Mostre que Z 18 =h[3]i = Z 3. G 1 G 2 G 1 f1 G2 g = G ) Sejam G um grupo, A v G, N EG, A\N = f1 G g e A[N = G. Mostre que G=N = A ) Seja G um grupo. Mostre que G=Z(G) = Inn r (G) ) Sejam G um grupo, H 1 ; H 2 ; K 1 ; K 2 v G tais que K 1 E H 1 e K 2 E H 2. Mostre que: a) (Lema da borboleta) (H 1 \ K 2 )K 1 E (H 1 \ H 2 )K 1. 28

34 b) (K 1 \ H 2 )K 2 E (H 1 \ H 2 )K 2. c) (K 1 \ H 2 )(H 1 \ K 2 ) E H 1 \ H 2. d) Conclua que, (H 1\H 2 )K 1 (H 1 \K 2 )K 1 = (H 1 \H 2 )K 2 (K 1 \H 2 )K 2. Este resultado usa-se no teorema do re namento de Otto Schreier ( ) 29

35 2.8. Estruturas actuando sobre conjuntos 2.8.1) Sejam G um grupo, X um conjunto qualquer e o mor smo f : G! Sym(X), de nido por f(a) := f a. Mostre que, f a 2 Bij(X; X) se, e só se, se tem a condição f(1 G ) = id X ) Sejam G um grupo e considere X := G. Mostre que: a) G actua à esquerda sobre G, se de nirmos para todo o g 2 G, x 2 X, gx := g x (esta acção chama-se acção de G em si próprio por multiplicações esquerdas). b) G actua à direita em G, considerando gx := xg 1. c) G actua à esquerda em G por conjugação direita, i.e., a acção esquerda de G em G é de nida por, gx := gxg 1. d) o núcleo da acção por conjugação direita é o centro do grupo ) Sejam G um grupo nito e A 2 Sub(G). Mostre que, com a acção esquerda ga := gag 1, G actua em Sub(G) ) Sejam G um grupo, X G e G X um G-conjunto. Considere o conjunto Mostre que: Stab(X) := fg 2 G : 8x 2 X gx = xg. a) Stab(X) é um subgrupo de G. Em particular, Stab(fxg) v G. b) se X := G e actua por conjugação direita, então Stab(X) = C G (X) ) Sejam G um grupo nito actuando num conjunto X. Mostre que: card(orb(x)) = [G : Stab(x)] = card(g) card(stab(x)) ) Sejam G um grupo, X G, G X um G-conjunto e considere-se a seguinte relação para todo o elemento x; x 0 2 X: Mostre que: x G x 0 () 9g 2 G : gx = x 0. a) G é uma relação de equivalência em X. b) a classe de equivalência de um elemento x 2 X é igual à Orb(x), i.e., [x] G = Orb(x) ) Sejam G um grupo actuando em X e A v G. Mostre que: a) A actua em X. b) x A y =) x G y ) Sejam G; H grupos, H X um H-conjunto e f 2 Surj(G; H). Veri que se: a) G actua em X se de nirmos a acção por gx := f(g)x. b) x; y 2 X, então x H y () x G y. 30

36 2.8.9) Sejam G um grupo, A v G e X o conjunto de todos os coconjuntos esquerdos de A em G. a) Mostre que: 1) G actua em X, para a acção a(xa) := (ax)a. 2) Ker(f) = T xax 1. x2g 3) Ker(f) é o maior subgrupo normal de G que está contido em A. 4) a acção de G sobre X é efectiva se, e só se, A só contem como subgrupo normal de G, f1 G g. b) Resolva o exercício anterior para uma acção esquerda de G no conjunto B := fax 2 P(G) : x 2 Gg de nida por g(ax) := (Ax)g ) Sejam G um grupo, G X um G-conjunto, x; y 2 X e Orb(x) = Orb(y). Mostre que: card(stab(x)) = card(stab(y)) ) Sejam G um grupo e G X; G Y dois G-conjuntos. Mostre que X Y é um G-conjunto de nindo a acção esquerda do seguinte modo: 8(x; y) 2 X Y, g(x; y) := (gx; gy) ) Sejam G um grupo, G X; G Y dois G-conjuntos e considere a seguinte relação de equivalência para todo o elemento de X Y por: (x; y)(x 0 ; y 0 ) () 9g 2 G : gx = x 0 ^ gy = y 0. Mostre que XY é um G-conjunto ) Sejam G um grupo, G X um G-conjunto. Mostre que, G X induz uma acção esquerda no conjunto potência P(X) de nindo-se a acção por: g; := ; e ga := fgx 2 X : x 2 Ag ) Sejam X; Y conjuntos, G um grupo e G X um G-conjunto. Mostre que, G actua à esquerda em Y X, se de nirmos para cada aplicação g 2 G, f 2 Y X, x 2 X a acção por (gf) (x) := f(g 1 x) ) Sejam G; H grupos, X; Y conjuntos disjuntos e G X; H Y. Mostre que G H actua em X [ Y se de nirmos a acção por, para todo o x 2 X [ Y gx, se x 2 X (g; h) x := hx, se x 2 Y ) Sejam G um grupo, K um corpo, K K n [x] um espaço vectorial e G actua à esquerda em K. Mostre que, G actua à esquerda em K n [x], se para todo o g 2 G e p 2 K n [x] de nimos a acção por: gp := ga 0 + (ga 1 )x + + (ga n )x n. 31

37 2.9. Grupos-p e grupos de Sylow 32

38 3. Estruturas livres e apresentações 33

39 Bibliografia [1] A. Monteiro e I. Matos. Álgebra - Um primeiro curso. Livraria Escolar Editora, [2] J. Durbin. Modern Algebra, An Introduction. John Wiley, [3] W. Adkins and S. Weintraub. Algebra, An Approach via Module Theory. Springer- Verlag, [4] S. Lang. Undergraduate Algebra. Springer-Verlag, [5] N. Jacobson. Basic Algebra I. W. H. Freeman, [6] M. Sobral. Álgebra. Universidade Aberta, [7] P. Cameron. Introduction to Algebra. Oxford University Press, [8] T. Hungerford. Algebra. Springer-Verlag, [9] C. Gardiner. Algebraic Structures. Ellis Horwood, [10] A. Kostrikin. Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach Publishers, [11] F. Ayres. Álgebra Moderna (Colecção Schaum). McGraw-Hill,