Caderno de exercícios de Álgebra I. Curso: Matemática

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1 Caderno de exercícios de Álgebra I Curso: Matemática Ano Lectivo 2004/ de Setembro de 2004 (versão 1.0)

2 Índice Notas Prévias Notações e terminologia ii iii 1 Introdução Conjuntoserelações Aplicações Númerosinteiros Estruturas algébricas básicas Grupóides,semigruposemonóides Grupos Morfismosentreestruturas Relaçõesdecongruência.Coconjuntos Estruturasmonogénicasegeradas Estruturasnormais.Estruturasquociente Teoremas do homomorfismo Estruturasactuandosobreconjuntos Grupos-p egruposdesylow Estruturas livres e apresentações 32 Bibliografia 33 i

3 Notas Prévias Este caderno de exercícios juntamente com a matéria leccionada nas aulas teóricas formam um todo, i.e., são uma parte integrante do programa da disciplina e não meramente um conjunto de exercícios soltos. Em relação à resolução dos exercícios que constam neste caderno, chama-se a atenção de que, só tem sentido tentar resolvê-los, após um estudo, cuidadoso, da matéria leccionada nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. O material contido neste caderno de exercícios, foi elaborado com base nas referências [1, 2, 3, 4, 5] e de um conjunto de exercícios elaborados pelo próprio. De salientar, que alguns destes exercícios, foram revistos por alguns dos meus colegas do Departamento de Matemática com quem tenho trabalhado ao longo dos anos. A todos eles, os meus sinceros e profundos agradecimentos. N.B.: Na elaboração deste caderno, e dentro do possível, houve o cuidado de se usar uma escrita matemática rigorosa e uma simbologia o mais actualizada possível, no entanto, este caderno pode não estar isento de - apesar de involuntárias - omissões e incorrecções 1. 1 apesar de se encontrar em permanente actualização, aceitam-se e agradecem-se sugestões, comentários e correcções, de preferência, enviados para [email protected]. ii

4 Notações e terminologia Faremos uso dos seguintes símbolos para representar os conjuntos usuais: ; oconjuntovazio N = f0, 1, 2, 3, g o conjunto dos números naturais Z = f, 2, 1, 0, 1, 2, g oconjuntodosnúmerosinteiros n o x Q = y 2 R : x 2 Z ^ y 2 Z nf0g oconjuntodosnúmerosracionais R oconjuntodosnúmerosreais C o conjunto dos números complexos Sendo X 2 fn, Z, Q, Rg, representaremos por X >0,X 0 seguintes conjuntos: e X 6=0, respectivamente, os X >0 := fx 2 X : x>0g X 0 := fx 2 X : x 0g X 6=0 := fx 2 X : x 6= 0g. Como exemplos, o conjunto R 0 := fx 2 R : x 0g =[0, +1[, representa o conjunto dos números reais não negativos, enquanto que o conjunto R 6=0 := fx 2 R : x 6= 0g = R nf0g, representa o conjunto de todos os números reais, excepto o zero. Faremos também uso do símbolo C 6=0, para representar o conjunto C nf0g. De um modo geral, o símbolo K representa um corpo qualquer e o símbolo := quer designar a igualdade de duas entidades por definição. Iremos representar por card(a) o cardinal do conjunto A. O símbolo v representa uma subestrutura de uma dada estrutura algébrica. Por exemplo, sendo M (resp., G) um monóide (resp., grupo) e A um subconjunto de M (resp., G), para abreviar a expressão A éum submonóide (resp., subgrupo) de M (resp., G), usamos o simbolismo A v M (resp., A v G). iii

5 Tabela de Símbolos Y X Inj(X, Y ) Surj(X, Y ) Bij(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações de X em Y o conjunto de todas as aplicações injectivas de X em Y o conjunto de todas as aplicações sobrejectivas de X em Y o conjunto de todas as aplicações bijectivas de X em Y Mor(G, G 0 )(=Hom(G, G 0 )) o conjunto de todos os morfismos de G em G 0 End(G) o conjunto de todos os endomorfismos em G Mono(G, G 0 ) o conjunto de todos os monomorfismos de G em G 0 Epi(G, G 0 ) o conjunto de todos os epimorfismos de G em G 0 Bim(G, G 0 ) o conjunto de todos os bimorfismos de G em G 0 Sect(G, G 0 ) o conjunto de todas as secções de G em G 0 Retr(G, G 0 ) o conjunto de todas as retracções de G em G 0 Iso(G, G 0 ) o conjunto de todos os isomorfismos de G em G 0 Aut(G) o conjunto de todos os automorfismos em G Emb(G, G 0 ) o conjunto de todos os mergulhos de G em G 0 U l (G) (resp., U G (G), U(G)) o conjunto de todos as unidades (esq., direitas, bilaterais) de G H E G H é subgrupo invariante de G P (Z) o conjunto de todos os elementos primos de Z hai (resp., hai) o submonóide (resp., subgrupo) gerado por A iv

6 1. Introdução 1.1. Conjuntos e relações 1.1.1) Seja ρ uma relação de equivalência definida num conjunto A. Mostrequeadefinição de relação de equivalência é equivalente a ser formulada, pelas seguintes condições: i) I A µ ρ. ii) ρ µ ρ 1. iii) ρ ± ρ µ ρ. a)mostreaindaquesetemρ = ρ 1, ou seja, i), ii) e iii) são equivalentes a i), ii ) ρ = ρ 1 e iii) ) Sejam A um conjunto qualquer e ρ uma relação de equivalência definida em A. Mostre que: a) 8a 2 A, a 2 [a]. b) 8a, b 2 A : aρb, [a] =[b]. c) As classes de equivalência de elementos de A formam uma partição de A, ouseja, i) 8a 2 A, [a] 6= ;. ii) 8a, b 2 A :[a] S 6= [b] =) [a] \ [b] =;. iii) 8a 2 A : [a] =A. a A 1.1.3) Sejam A um conjunto qualquer e C := fa i µ A : i 2 Ig µp(a) uma partição de A. Então existe uma relação de equivalência em A tal que os elementos de C são as classes de equivalência dos elementos de A. Sugestão: Considere a seguinte relação, para todo o a, b 2 A aρb () 9i 2 I :(a 2 A i ^ b 2 A i ) ) Seja n 2 N. Mostre que a relação definida para todo o a, b 2 Z por: a b (mod n) () 9k 2 Z : a +( b) =k n é uma relação de equivalência. números inteiros. Esta relação é a relação usual de congruência dos 1.1.5) Sejam A, B µ X. Mostre que a relação ρ definida para todo o A, B 2P(X) por: AρB () A µ B _ B µ A é uma relação reflexiva, simétrica mas não transitiva. 1

7 1.1.6) Considere-se a relação» definida para todo o elemento de N 2 por: (a, b)» (c, d) () a + d = b + c. Mostre que é uma relação de equivalência e diga o que é [(a, b)]. Com esta relação define-se Z := N2 e à classe de equivalência [(a, b)] chama-se número inteiro ) Seja A := fa, b, c, d, eg econsideremosasrelaçõesρ i, i =1,...,8 definidas em A. a) Das relações seguintes, quais são reflexivas, simétricas, transitivas e equivalências: 1) ρ 1 := f(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)g. 2) ρ 2 := f(a, b), (b, c), (a, c)g. 3) ρ 3 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (a, b), (b, c)g. 4) ρ 4 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)g (relação identidade). 5) ρ 5 := f(a, b), (c, e), (d, a), (d, b)g. 6) ρ 6 := f(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (c, d), (d, c)g. 7) ρ 7 := ; (relação vazia). 8) ρ 8 := A A (relação universal). b) Determine os seguintes conjuntos quociente A/ρ 4, A/ρ 6 e A/ρ ) Considere os conjuntos A := fa, b, cg, B := fd, e, fg e C := fg, hg e as relações: R := f(a, d), (b, e), (c, d)g e S := f(d, g), (e, h), (f,h)g definidas, respectivamente, em A B e B C. DetermineS ± R ) Sejam S := Z Z 6=0 e ρ := f((r, s), (t, u)) 2 S 2 : r u = s tg. Mostre que ρ éuma relação de equivalência em S. 2

8 1.2. Aplicações 1.2.1) Sejam A e B conjuntos quaisquer e f : A! B uma aplicação e considere a relação para todo x, y 2 A xρ f y () f(x) =f(y). Mostre que ρ f é uma relação de equivalência ) Considere uma relação de equivalência qualquer, ρ, definida em A. a) Mostre que existe uma aplicação h : A! A/ρ sobrejectiva. b) Considere uma aplicação f : A! B qualquer, tal que f é compatível com ρ, ou seja, 8x, y 2 A : xρy =) f(x) =f(y). Defina g,i.e., a sua lei de transformação, de modo que o diagrama A h - f? ª B g seja comutativo, ou seja, g ± h = f. c) Mostra ainda que, nestas condições, g é sobrejectiva se, e só se, f é sobrejectiva. d) Mostre também que, f é bicompatível com ρ se, e só se, g éinjectiva ) Seja f : A! B uma aplicação que preserva as relações, ou seja, A ρ 8a, b 2 A : aρb =) f(a)ρ 0 f(b). a) Mostre que existe uma única aplicação f : A/ρ! B/ρ 0 tal que o seguinte diagrama f A? B ν A ν B é comutativo. Diz-se que f é a aplicação induzida por f. Reciprocamente, se para duas quaisquer aplicações f e f o diagrama é comutativo, então f é a aplicação que preserva a relação e, f é a aplicação induzida por f. b) Sejam A = B := Z, ρ := (a, a 0 ) 2 Z 2 : a a 0 (mod 4) ª, ρ 0 := (b, b 0 ) 2 Z 2 : a a 0 (mod 2) ª e f : A! B uma aplicação que preserva a relação, definida por f(n) :=n. Sendo f : A/ρ! B/ρ 0 mostre que: 1) f ([0] 4 )=f ([2] 4 )=[0] 2. 2) f ([1] 4 )=f ([3] 4 )=[1] ) Mostre que se f : X! Y é uma aplicação qualquer, então f induz as seguintes aplicações: A ρ B ρ 0 f?

9 a) f : P(X)!P(Y ). b) f : P(Y )!P(X) ) Sejam f : X! Y uma aplicação, (A i ) i I umafamíliadesubconjuntosdex e (B i ) i I uma família de subconjuntos de Y.Mostreque: a) f( S A i )= S f(a i ). i I i I b) f( T A i ) µ T f(a i ). i I i I c) f 1 ( S B i )= S f 1 (B i ). i I i I d) f 1 ( T B i )= T f 1 (B i ). i I i I 1.2.6) Seja f : A! B uma aplicação qualquer. a) f é injectiva se, e só se, existe uma aplicação g : B! A tal que g ± f =id A. (A g chama-se a inversa esquerda de f ediz-sequef é uma secção). b) f é sobrejectiva se, e só se, existe g : B! A tal que f ± g =id B. (A g chama-se a inversa direita de f ediz-sequef é uma retracção). c) f é bijectiva se, e só se, existe g : B! A tal que g ± f =id A ^ f ± g =id B. (A g chama-se função inversa de f ediz-sequef éumisomorfismo). d) Mostre que a aplicação inversa de f é única e, portanto, faz sentido representá-la por f 1 (f 1 : B! A) ) Seja f : A! B uma aplicação qualquer. Mostre que: a) f é injectiva se, e só se, para toda a aplicação g, g 0 : C! A as composições f ± g e f ± g 0 estão definidas então tem-se que: f ± g = f ± g 0 =) g = g 0. (Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um monomorfismo). b) f ésobrejectivase,esóse,paratodaaaplicaçãog, g 0 : B! C as composições g ± f e g 0 ± f estão definidas então tem-se que: g ± f = g 0 ± f =) g = g 0. (Uma aplicação que verifique esta condição diz-se um epimorfismo) ) Sejam f : A! B e g : B! C aplicações quaisquer: a) Mostre que a composição de aplicações, g ± f, é uma aplicação. b) Mostre que a composição de aplicações injectivas, g ± f, é uma aplicação injectiva. c) Mostre que a composição de aplicações sobrejectivas, g ± f, é uma aplicação sobrejectiva. d) Mostre que a composição de aplicações bijectivas, g ± f, é uma aplicação bijectiva. e) Se g ± f é uma aplicação sobrejectiva, então g é uma aplicação sobrejectiva. f) Se g ± f é uma aplicação injectiva, então f é uma aplicação injectiva. 4

10 1.2.9) Considere A e B dois conjuntos quaisquer. O conjunto A diz-se equivalente ou equipotente a B erepresenta-sepora» B se, e só se, existe uma aplicação bijectiva de A em B. Mostre que a seguinte relação: A» B () 9f : A! B tal que f ébijectiva é uma relação de equivalência. Diz-se que os conjuntos A, B tem a mesma cardinalidade se card(a) =card(b) () A» B ) Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que a relação definida por: card(a) card(b) () 9f : A! B tal que f éinjectiva é uma relação de ordem parcial. (Sugestão: Use o teorema de Schröder-Bernstein para conjuntos infinitos. Se tivermos aplicações injectivas de A em B edeb em A, entãocard(a) =card(b)). 5

11 1.3. Números inteiros 1.3.1) Mostre que para qualquer a, b, c 2 Z se tem o seguinte: a) a j 0. b) 1 j a. c) a j a. d) a j b, a j ( b), ( a) j b, ( a) j ( b). e) a j b ^ b j c ) a j c. f) a j b ^ a j c )9x, y 2 Z : a j (bx + cy) ) Considere a, b, k, x 2 Z. Mostrequeseverifica o seguinte: a) gcd(a, b) =gcd(a, b + ax). b) gcd(ka, kb) =k gcd(a, b + ax) ) Determine o máximo divisor comum dos seguintes conjuntos e, exprima-o na forma gcd(a, b) =ax + by: a) f389, 167g. b) f726, 275g. c) f758, 242g ) Determine o menor inteiro x não negativo tal que: a) x 19 (mod 5). b) x 3312 (mod 4). c) x 26 (mod 13). d) x 177 (mod 8). e) x 111 (mod 109) ) Considere a, b 2 Z. Mostre que são equivalentes as seguintes alíneas: a) a b (mod n); b) n j a b; c) a e b dãoomesmoresto,nadivisãoporn ) Considere a, b, a 0,b 0,k 2 Z. Mostrequeseverifica o seguinte: a) a b (mod n) ) ka kb (mod n). b) a b (mod n) ^ a 0 b 0 (mod n) ) a + a 0 b + b 0 (mod n). c) a b (mod n) ^ a 0 b 0 (mod n) ) aa 0 bb 0 (mod n). d) a + k b + k (mod n) ) a b (mod n). e) ka kb (mod kn) ) a b (mod n). f) a b (mod n) ^ a 0 j n ) a b (mod a 0 ). 6

12 1.3.7) Indique, paras as seguintes relações, quais são possíveis e, para essas, determine a respectiva solução: a) 2x 3(mod4). b) 3x 2(mod4). c) 6x 2(mod4). d) 10x 14 (mod 15). e) 10x 14 (mod 18). f) 10x 14 (mod 21). 7

13 2. Estruturas algébricas básicas 2.1. Grupóides, semigrupos e monóides 2.1.1) Diga se as relações seguintes de Z 2 em Z a seguir indicadas são operações binárias em Z. a) (x, y) 7! x + y. b) (x, y) 7! x y. c) (x, y) 7! xy. d) (x, y) 7! p xy. e) (x, y) 7! x +4y. f) (x, y) 7! x y. Em caso afirmativo, diga se a operação é associativa ou comutativa e verifique se existe elemento neutro (direito, esquerdo ou bilateral) e elementos invertíveis no respectivo grupóide ) Dê um exemplo de: a) Grupóide que não seja associativo. b) Semigrupo que não seja comutativo. c) Grupóide que não seja associativo nem comutativo. d) Semigrupo comutativo sem elemento neutro. e) Monóide com elementos invertíveis. f) Grupo. g) Grupóide não associativo com elemento neutro e os elementos invertíveis ) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que (P(X); [, ;) e (P(X); \,X) são monóides ) Seja P o conjunto dos pontos do plano e considere a relação que a cada par de pontos de P associa o ponto médio do segmento por eles definido.verifique que P com esta operação constitui um grupóide comutativo não associativo 2.1.5) Estude os seguintes grupóides: a) O conjunto fa, b, c, dg com a operação definida pela seguinte tabela * a b c d a d b b d b c d b a c a c a a d b a d c 8

14 b) (N; ) com a b := a +2b. c) (Qnf0g ; θ) com aθb := a b 1, onde éoprodutousualemq ) Mostre que se (S; ) é um semigrupo então qualquer seu subgrupóide é um semigrupo. Conclua, analogamente para um semigrupo comutativo ) No conjunto N, considere a operação definida por (x, y) 7! x y.mostrequen com esta operação, é um grupóide não associativo nem comutativo e com identidade direita mas sem identidade esquerda ) Seja A um grupóide. Mostre que se 1 A é identidade esquerda e 1 0 A éidentidadedireita (em A) então1 A =1 0 A,portanto1 A éidentidadeúnicadea ) Construa um grupóide com duas identidades direitas. Verifique se é semigrupo ) Seja (S; ) um semigrupo. Mostre que: a) Quaisquer que sejam os elementos a, b e c de S ab = ac (ba = bc) =) b = c. se a é um elemento idempotente de S então a éelementoneutroàesquerda (direita) de S. b) Mostre que existe um e um só idempotente em S, concretamente o elemento neutro ) Mostre que um subconjunto A µ M é um submonóide de um monóide (M;, 1 M ) se, e só se, verifica: i) 8x, y 2 M : x, y 2 A =) x y 2 A; ii) 1 M 2 A ) Mostre que se (M;, 1 M ) é um monóide e a 2 M, tem um inverso à direita e um inverso àesquerdaentãoestescoincidem ) Mostre que se (M;, 1 M ) é um monóide e a um seu elemento invertível então: a) 8b, c 2 M : ab = ac =) b = c. b) Qualquer das equações ax = b e ya = b com b elemento de M, admite uma e uma só solução ) Seja M um monóide e a e b elementos invertíveis de M. Mostreque: a) ab tem inverso que é b 1 a 1. b) a e b comutam se, e só se, (ab) 1 = a 1 b ) Seja A um grupóide. Mostre que se verifica sempre uma e uma só, das afirmações seguintes: a) A não tem identidade esquerda nem direita. b) A tem uma ou mais identidades direitas mas nenhuma identidade esquerda. c) A tem uma ou mais identidades esquerdas mas nenhuma identidade direita. 9

15 d) A tem uma identidade e mais nenhuma identidade esquerda ou direita ) Seja S um semigrupo e a um elemento idempotente de S tal que: Mostre que: a) as é um subsemigrupo de S. b) a éidentidadedeas. 8x 2 S, x = xa ) Seja S um semigrupo finito. Mostre que S admite identidade se, e só se, contém um elemento simplificável ) Seja S um semigrupo e a um elemento qualquer de S. Suponha que para esse elemento existe um elemento b de S tal que ab = a. Provequesequaisquerquesejamt e v, elementos de S 0, a equação yt = v ésolúvel,entãob éelementoneutroàdireitades ) Seja S um semigrupo em que se verificam as seguintes condições: i) Existe um elemento neutro à direita de S, 1 r. ii) Qualquer que seja o elemento a 2 S, existe um elemento a 0 2 S tal que aa 0 =1 r, ou seja a 0 é o inverso direito relativamente a 1 r. Mostre que 8a 2 S, a 0 a =1 r,ouseja,a 0 é o inverso esquerdo relativamente a 1 r ) Seja M n n (K) oconjuntodasmatrizesdeordemn n sobre o corpo K. Mostre que (M n n (K);,I n ) é um monóide ) Seja M um monóide e A µ M. O centralizador de A em M édefinido por C M (A) :=fx 2 M : 8a 2 A, xa = axg. Mostre que C M (A) éumsubmonóidedem. Quando A := M, chama-seocentrode do monóide M erepresenta-seporz(m). 10

16 2.2. Grupos 2.2.1) Suponha que S := fx, y, z, wg éumgrupocomelementoneutrox. Verifique que para cada uma das condições adicionais seguintes se tem uma única tabela de Cayley tal que S éumgrupo: a) y 2 = z. b) y 2 = w. c) y 2 = x e z 2 = x. d) y 2 = x e z 2 = y ) Suponha que S := fx, y, zg éumgrupo. Sóexisteumaúnicamaneirapossívelde * a b c completar a seguinte tabela de Cayley a b b c. Encontre-a ) Mostre que num grupo é válida a lei do corte ) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, verifica as seguintes condições: i) Existe um elemento neutro à direita de S, 1 r. ii) Qualquer que seja o elemento a 2 S, existe um elemento a 0 2 S tal que aa 0 =1 r, ou seja, a 0 é o inverso direito relativamente a 1 r. (Critério de Dickson) 2.2.5) Mostre que um semigrupo é um grupo se, e só se, as equações para todo o a, b 2 S, ax = b e ya = b são solúveis. (Critério de Weber-Huntington) 2.2.6) Prove que para qualquer grupo G a equação axb = c tem uma única solução, quaisquer que sejam os elementos a, b, c 2 G ) Mostre que se G éumgrupoea, b 2 G são tais que ab = b, entãoa é a identidade do grupo ) Sejam G um grupo e a, b, c 2 G. Mostre que qualquer uma das igualdades seguintes implica as outras duas: a) ab = c; b) a = cb 1 ; c) b = a 1 c. Mostre ainda que ab = c não implica a = b 1 c ) Mostre que todo o semigrupo finito em que é válida a lei do corte é um grupo (finito) ) Mostre que um semigrupo S é um grupo se, e só se, qualquer que seja o elemento a 2 S, as = Sa = S. 11

17 2.2.11) Mostre que um subconjunto H µ G é um subgrupo de G se, e só se, verifica: i) H 6= ;; ii) 8x, y 2 G : x, y 2 H =) x y 2 H; iii) 8x 2 G : x 2 H =) x 1 2 H ) Mostre que um semigrupo S com identidade 1 S em que 8x 2 S, x 2 =1 S éumgrupo abeliano ) Mostre que num grupo se b é o inverso direito (esquerdo) de a então b k éoinverso direito (esquerdo) de a k ) Sejam G um grupo, A, B, C µ G e considere-se os seguintes subconjuntos: A 1 := a 1 2 G : a 2 A ª (Em notação aditiva A := f a 2 G : a 2 Ag) e B 1 := b 1 2 G : b 2 B ª (Em notação aditiva B := f b 2 G : b 2 Bg). Mostre que: a) (A B) C = A (B C) (Em notação aditiva (A + B)+C = A +(B + C)). b) f1 G g A = A (Em notação aditiva f0 G g + A = A). c) (A B) 1 = B 1 A 1 (Em notação aditiva (A + B) =( B)+( A)). d) 8x 2 G, A µ B ) x A µ x B (Em notação aditiva 8x 2 G, A µ B )fxg+a µ fxg + B). 1) Mostre que 8x 2 G (fxg A = A fxg ()fxg A fxg 1 = A) (Em notação aditiva fxg + A = A + fxg ()fxg + A +( fxg) =A). e) A G = G A = G (Em notação aditiva A + G = G + A = G). f) A µ B ) A 1 µ B 1 (Em notação aditiva A µ B ) A µ B). Se A é um subgrupo de G, então: g) A 1 = A (Em notação aditiva A = A). h) 8x 2 G, (fxg A) 1 = A fxg 1 (Em notação aditiva 8x 2 G, (fxg + A) = A +( fxg)). i) A A = A (Em notação aditiva A + A = A). Em particular, 8x 2 A, fxg A = A (Em notação aditiva 8x 2 A, fxg + A = A) ) Considere o grupóide (N; ), onde é a multiplicação usual e os seguintes subconjuntos de N: A := f2g,b:= fx 2 N : x é divisor de 6g e C := fx 2 N : x émúltiplode6g. a) Determine O B e B A, sendoo := f0g. b) Dos conjuntos A, B, O B e B A quais são partes estáveis de N paraamesma operação. c) Mostre que (C; ) ésubgrupóidede(n; ) e escreva-o como produto de dois subgrupóides de (N; ). 12

18 2.2.16) Sejam (M;, 1 M ) um monóide e U(M) :=fx 2 M : x é elemento invertívelg. Mostre que U(M) é um subgrupo do monóide M. AU(M) chama-se o grupo das unidades ou o grupo dos elementos invertíveis ) Mostre que um grupo G é abeliano se, e só se, 8a, b 2 G, (ab) 1 = a 1 b ) Sejam G 1 e G 2 grupos, prove que: a) (G 1 G 2 ;, (1 G1, 1 G2 )) égrupo. b) (G 1 G 2 ;+, (0 G1, 0 G2 )) égrupo. c) Generalize para G 1 G 2 G n ) Sejam H 1 e H 2 subgrupos do grupo G. Proveque: a) H 1 H 2 é subgrupo de G. b) H 1 \ H 2 é subgrupo de G. c) H 1 [ H 2 é subgrupo de G se, e só se, H 1 µ H 2 _ H 2 µ H 1. d) H 1 H 2 (Em notação aditiva H 1 + H 2 ) é subgrupo de G se, e só se, H 1 H 2 = H 2 H 1 (Em notação aditiva H 1 + H 2 = H 2 + H 1 ). No caso particular de G ser abeliano então H 1 H 2 (Em notação aditiva H 1 + H 2 ) é subgrupo ) Seja X um conjunto qualquer. Mostre que (P (X); M, ;) é um grupo abeliano em que A M B := (AnB) [ (BnA) =fx 2 X : x 2 A [ B ^ x/2 A \ Bg ) Considere uma parte A de um grupo G e o conjunto g A := gag 1 := gag 1 2 G : a 2 A ª a que se chama conjugado de A em G. Mostre que gag 1 é um subgrupo de G se, e só se, A v G ) Sejam G um grupo e A µ G. Chama-se normalizador de A em G ao conjunto Mostre que N G (A) é um subgrupo de G ) Sejam H v K v G. Mostreque: a) N K (H) =N G (H) \ K. b) N G (xhx 1 )=xn G (H)x 1. N G (A) := x 2 G : xax 1 = A ª ) Seja GL n (K) µm n (K), ondegl n (K) :=fa 2M n (K) :A éinvertívelg éumgrupo. a) Mostre que GL n (K) éumgrupo. b) Determine todos os subsemigrupos próprios de GL 2 (R). ½ ¾ a 0 c) Verifique que o conjunto 2M (R) :a 2 R GL 2 (R). Será um submonóide de GL 2 (R)? Justifique. é um subsemigrupo de 13

19 d) Mostre que SL n (K) µ GL n (K), onde SL n (K) :=fa 2 GL n (K) :det(a) =1g é um subgrupo de GL n (K). e) Determine o centro do grupo GL n (K), i.e., Z(GL n (K)) ) Determine os subgrupos de: a) Z 6. b) S ) Simplifique cada uma das seguintes expressões em Z 5 : a) [8] + [4]. b) [2] + [7]. c) [17] + [76]. d) [3] [4]. e) [2] [ 7]. f) [17] [76]. g) ([3] [2]) + ([3] [4]). h) [3] ([2] + [4]). Resolva o mesmo exercício considerando as expressões em Z ) Construa as tabelas de Cayley de (Z 3 ;+), (Z 3 ; ), (Z 4 ;+) e (Z 4 ; ). Diga quais dos grupóides em questão são grupos ) Mostre que cada grupo Z n é abeliano ) Verifique se (Z 3 nf[0]g ;, [1]) e (Z 4 nf[0]g ;, [1]) são grupos ) Mostre que (Z n nf[0]g ;, [1]) é grupo se, e só se, n éprimo ) Considerem-se o par (a, b) 2 R 6=0 R e a aplicação f a,b : R! R definida da seguinte forma f a,b (x) =ax + b. SejaA := f a,b 2 R R :(a, b) 2 R 6=0 R ª. a) Mostre que (A; ±) éumgrupóideeverifique se é comutativo. b) Verifique se existe elemento neutro em (A; ±). c) Determine em (A; ±) os inversos dos elementos invertíveis. d) Diga, justificando, se (A; ±, id R ) éumgrupo. 14

20 2.3. Morfismos entre estruturas 2.3.1) Indique, quais das seguintes aplicações são morfismos e, em cada caso afirmativo, determine o respectivo núcleo e classifique o respectivo morfismo: a) f :(Z;+)! (R;+) definida por f(x) :=3x. b) f :(Z;+)! (R; ) definida por f(x) :=3x. c) f :(R;+)! (Z;+) definida por f(x) :=3x. d) f :(Z; )! (Z; ) definida por f(x) :=3x. e) f :(Z; )! (N; ) definida por f(x) :=x 2. f) f :(R; )! (R 0 ; ) definida por f(x) :=x 2. g) f :(R 6=0 ;+)! (R 6=0 ;+) definida por f(x) :=jxj. h) f :(C 6=0 ;+)! (R 6=0 ; ) definida por f(z) :=jzj 2. i) f :(R 6=0 ;+)! (R 6=0 ;+) definida por f(x) := x. j) f :(Z; )! (Z; ) definida por f(x) :=2x +1. k) f :(Z;+)! (Z; ), onde x y := x + y 1 e f édefinida por f(x) :=2x +1. l) f :(R; α)! (R;+), onde xαy := 2xy + x + y e f édefinida por f(x) :=2x +1. m) f : Z 8! Z 2 definida por f(a 8 )=a 2. n) f : Z 12! Z 12 definida por f([a] 12 )=[a +1] 12. o) f : (R;+)! (R 6=0 ; ) definida por f(x) := a x, sendo a 2 R 6=0 um elemento qualquer fixo. p) f :(R >0 ; )! (R;+) definida por f(x) :=ln(x). ½ 1 se x>0 q) f :(R 6=0 ; )! (f 1, 1g ; ) definida por f(x) := 1 se x< ) Considere os grupos (R;+, 0) e (C 6=0 ;, 1). Mostre que a relação f : (R;+, 0)! (C 6=0 ;, 1) definida f(x) :=e ix éummorfismo de grupos ) Considere a relação f : R! R definida por f(x) :=x 2 1. a) Mostre que é uma aplicação. b) Defina duas operações α e β de modo que f seja um morfismo de (R; α) para (R; β). c) Determine dois grupóides de modo que f seja um isomorfismo entre eles ) Considere a aplicação f : C 6=0! R 6=0,definida por f (z) =jzj. a) Mostre que f éummorfismo do grupo (C 6=0 ;, 1) no grupo (R 6=0 ;, 1). b) Determine explicitamente os elementos de Ker(f) edeim(f). c) Represente geometricamente os elementos de f 1 (f2g) ) Sejam G um grupo e a relação f : G! G definida nas seguintes alíneas por: i) f (x) =x 1. ii) f (x) =x 2. a) Verifique que f nãoé,emgeral,ummorfismo de grupos. 15

21 b) Estabeleça uma condição necessária e suficiente para que f seja um morfismo de grupos ) Seja S 1 := fz 2 C : jzj =1g. a) Mostre que S 1 é subgrupo de (C 6=0 ;, 1). b) Verifiqueseaaplicaçãof :(R;+, 0)! (S 1 ;, 1), definida por f (x) =cisx éum morfismo de grupos. c) Determine f 1 (f1g) ) Considere o morfismo f : Z 6 ;+, 0! (S 3 ; ±, id), talquef 1 6 = a) Determine Ker (f). b) Determine Im(f). c) Será possível determinar um isomorfismo entre Z 6 ;+, 0 e (S 3 ; ±, id)? 2.3.8) Considere os conjuntos A := f1, 2, 3g e B := fa, b, cg easoperaçõesθ e θ 0 dadas pelas tabelas seguintes: θ θ 0 a b c a b c a, b c a b c a b c Mostre que existe um isomorfismo entre os grupóides (A; θ) e (B; θ 0 ) ) Sejam (G, ), (G 0, ), (G 00, θ) grupos e, f : G! G 0 e g : G 0! G 00 morfismos de grupos. a) Mostre que g ± f éummorfismo de grupos. b) Mostre que, se f e g são isomorfismos, então g ± f éumisomorfismo ) Sejam (M; d) e (M 0 ; d 0 ) dois espaços métricos, onde d : M M! R e d 0 : M 0 M 0! R. Uma isometria é uma aplicação bijectiva f : M! M 0 tal que d 0 (f(x),f(y)) = d(x, y). a) Mostre que o conjunto de todas as isometrias em M, i.e., Isom(M) := f 2 M M : f éumaisometria ª éumgrupo. b) Sejam agora X 6= ; e X µ M. Mostre que o conjunto de todas as isometrias que deixam o conjunto X fixo, ou seja, S M (X) :=ff 2 Isom(M) :f(x) =Xg é um subgrupo de Isom(M). A este grupo, chama-se o grupo da simetria de X em relaçãoaoespaçométricom ) Seja X 6= ; um conjunto qualquer e considere o conjunto X X. a) Considere-se o conjunto S X := Sym(X) := f 2 X X : f 2 Bij(X, X) ª. Mostre que Sym(X) é um grupo. Quando X := f1, 2,...,ngµN representa-se Sym(X) por S n. b) Mostre que (X X ; ±, id) é um monóide ) Sejam X um conjunto qualquer e M (resp., G) um monóide (resp., um grupo). 16

22 a) Mostre que (M X ;,c 1M ) é um monóide. b) Mostre que (G X ;,c 1G ) éumgrupo ) Seja G um grupo. Prove que: a) O conjunto dos endomorfismos de G, End(G), algebrizado com a operação de composição constitui um monóide. b) O conjunto dos automorfismos de G, Aut(G), algebrizado com a operação de composição constitui um grupo ) Considere a aplicação f : N 6=0!f0, 1g definida por: µ k 1 2k , onde k 2 N 6=0. a) Mostre que 8a, b 2 N 6=0, f(ab) =f(a)f(b). b) Será f um isomorfismo entre os grupóides (N 6=0 ; ) e (f0, 1g ; )? ) Sejam A e B grupóides (grupos) e f um morfismo de A para B. Mostreque: a) Se a é um idempotente em A, entãof(a) éumidempotenteemb. b) Se A 0 é um subgrupóide (subgrupo) de A, entãof(a 0 ) é um subgrupóide (subgrupo) de B. c) Se B 0 é um subgrupóide (subgrupo) de B, entãof 1 (B 0 ) é um subgrupóide (subgrupo) de A. Emparticular,Ker(f) v A. d) Se 1 A for o elemento neutro de A, indique condições para que f(1 A ) seja o elemento neutro de B ) Sejam (G;, 1 G ), (G 0 ; 0, 1 G 0) grupos e f : G! G 0 um morfismodegrupos.proveque: a) f (1 G )=1 G 0. b) 8a 2 G, f (a 1 )=(f (a)) 1. c) 8n 2 Z 8a 2 G, f (a n )=(f (a)) n.emparticular,f(a 1 )=(f(a)) 1. d) Ker(f) v G. e) Im(f) v G 0. f) Se H v G, entãof (H) v G 0. g) Se H 0 v G 0,entãof 1 (H 0 ) v G ) Classifique as seguintes aplicações entre grupos: a) f :(R + ; )! (R + ; ) definida por f(x) :=x 2. b) f :(Z;+)! (Z;+) definida por f(x) :=x 2. c) f :(Q;+)! (Q;+) definida por f(x) :=x ) Sejam (Z;, 1) o monóide dos inteiros e f :(Z;, 1)! (Z;, 1) uma aplicação definida por 8x 2 Z, f(x) =0. Mostre que 8x, y 2 Z, f(xy) =f(x)f(y) mas que f não é um morfismo de monóides. 17

23 2.3.19) Dado um grupo G, considere para cada elemento g de G, σ g : G! G definida por σ g (x) :=gxg 1. Prove que 8g 2 G, σ g é um automorfismo (automorfismo interno) de G. O grupo de todos os automorfismos internos representa-se por Inn(G) (subgrupo de Aut(G)). a) Verifique que a aplicação f : G! Aut(G) definida por f(g) :=σ g éummorfismo etalqueker(f) =Z(G) e Im(f) = Inn(G) ) Sejam G, G 0,G 00 grupo abelianos e f 0,f 1,f 2,f 3 morfismos tais que: e Im(f i )=Ker(f i+1 ), i =0, 1, 2. f0g f 0! G f 1! G 0 f 2! G 00 f 3! f0g a) Mostre que f 1 éummorfismo injectivo. b) Mostre que f 2 éummorfismo sobrejectivo ) Seja G um grupo e Z(G) o seu centro. Dado um automorfismo f definido em G, mostre que f(z(g)) µ G ) Sejam f : G! G 0 um morfismo, H v G e H 0 v G 0.Mostreque: a) Se f(h) =H 0,entãof 1 (H 0 )=H Ker(f). b) Se f 1 (H 0 )=H, entãof(h) =H 0 \ Im(f) ) (Teorema de Cayley) Seja S 6= ; um conjunto qualquer. a) Mostre que todo o monóide é isomorfo a um submonóide de S S. b) Mostre que todo o grupo é isomorfo a um subgrupo de Sym(S). c) Conclua que, todo o grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo do grupo S n ) Sejam G, G 0,G 00 grupos, f : G! G 0 e g : G 0! G 00 morfismos. a) Então Ker(g ± f) =f 1 (Ker(g)) e Im(g ± f) =g(im(f)) b) Sejam A, B, C e D grupos e considere o seguinte diagrama h A? C f j - B g? - D comutativo, ou seja, g ± f = j ± h. Mostrequeseh éummorfismosobrejectivoe g éummorfismo injectivo, então Im(f) =g 1 (Im(j)) e Ker(j) =h(ker(f)). 18

24 2.4. Relações de congruência. Coconjuntos 2.4.1) Mostre que a relação ρ definida no conjunto de todos os subgrupóides do grupóide A, por A 0 ρb 0 () A 0 e B 0 são isomorfos é uma relação de equivalência ) Prove que se H é subgrupo de G são equivalentes as seguintes afirmações: i) a 1 b 2 H, ii) ah = bh ) Seja G um grupo e H um seu subgrupo. Mostre que qualquer que seja a 2 G, jhj = jhaj = jahj ) Defina-se uma relação de equivalência no conjunto dos inteiros do seguinte modo: a» b () a e b são ambos negativos ou ambos não negativos. Verifique que ficam determinadas duas classes de equivalência [ 1] e [0]. Do conjunto f[ 1], [0]g 2 para f[ 1], [0]g definaumaoperaçãobinária+ tal que [a]+[b] :=[a + b] por analogia com a definição de + em Z n. Mostre que + assim definida não é uma operação em Z/» ) Seja S um semigrupo em que é válida a lei do corte e com elemento identidade. Seja S 1 uma parte de S e ρ uma relação em S definida por aρb () b 2 as 1. Mostre que ρ é uma relação de congruência se, e só se, S 1 fôr um subgrupo tal que 8x 2 S, S 1 x µ xs ) Seja S um semigrupo e E uma relação de equivalência em S. Defina-se Mostre que: E c := f(a, b) 2 S S : 8x, y 2 S, (xay, xby) 2 Eg. a) E c µ E. b) E c é uma relação de equivalência. c) E c éumarelaçãodecongruência. d) Se µ éumarelaçãodecongruênciatalqueµ µ E então µ µ E c ) Determine as classes associadas direitas de: a) h[4]i em Z 8. b) h[3]i em Z

25 2.4.8) Prove que se H é subgrupo de G a relação definida em G por é uma relação de equivalência em G ) Seja G := S 3 e H := h( 1 3 )i. a» b () b 1 a 2 H a) Determine as classes associadas direitas de H em G. b) Determine as classes associadas esquerdas de H em G. c) Verifique que a colecção das classes associadas direitas é diferente da das esquerdas ) Em S 3 calcule: a) Asclassesassociadasdireitaseesquerdasdeh( )i. b) Verifique que para cada elemento π de S 3 a classe associada direita à qual π pertenceéamesmaqueaclasseassociadaesquerdaàqualπ pertence ) Determine: a) [Z 10 : h[2]i]. b) S 3 : h( 1 2 )i. c) S 4 : h( )i. d) [Z 40 : h[12], [20]i] ) Prove que se H éumsubgrupodeg tal que [G : H] =2e a e b são elementos de G mas não de H então ab 2 H ) Prove que se A e B são subgrupos finitos de um grupo G e jaj e jbj não tem factores comuns além de um, então A \ B = f1 G g ) Determine os elementos do subgrupo H = h( ), ( 1 2 )( 3 4 )i de S 4 everifique que jhj =12equeH não tem subgrupos de ordem ) Seja G um grupo finito e H um seu subgrupo. Mostre que a ordem de H divide a ordem de G. 20

26 2.5. Estruturas monogénicas e geradas 2.5.1) Seja G um grupo e X µ G. Mostreque hxi = 1 G,x ±1 1 x±1 2 x ±1 n : x ª i 2 X _ x 1 i 2 X, i =1,...,n, n 2 N 6=0 é um subgrupo de G. Mostre ainda que hxi verificaoseguinte: 1) X µhxi. 2) 8H v G : X µ H =) hxi µh ) Sejam A e B subconjuntos de um grupo G. Mostreque: a) A µ B =) hai µhbi. b) h;i = f1 G g em que 1 G é o elemento neutro de G. c) Se A ésubgrupodeg, hai = A. Emparticularhf1 G gi = f1 G g e hgi = G. d) Se A µ B µhai =) hai = hbi ) Seja C := f1, 2, 3g. Construa o grupo simétrico, G, sobre C (escreva a tabela de Cayley). Determine todos os subgrupos de G e diga qual a cardinalidade mínima dos conjuntos de geradores de G ) Sejam G um grupo, X µ G e (H i ) i I uma família de subgrupos de G tais que 8i 2 I, H i µ X. OinteriordeX em G édefinido por Cor G (X) :=h [ i I H i i. a) Mostre que Cor G (X) é um subgrupo de G. b) Mostre T que se H v G tal que 8i 2 I, H i µ H, entãocor G (H) é dado por g 1 Hg,ouseja,h S H i i = T g 1 Hg. g G i I g G 2.5.5) Sejam A e B subgrupos de G. Mostreque: ha [ Bi = fa 1 b 1 a 2 b 2 a n b n : a i 2 A, b j 2 B,i,j 2 Ng. Se A e B fossem partes quaisquer de G poder-se-ia dizer o mesmo? Justifique ) Sejam A e B subgrupos de um grupo G tais que AB = BA, provequeha [ Bi = AB ) Sejam f : G! G 0 um morfismo de grupos e G = hxi. a) Mostre que f(hxi) =hf(x)i. b) Se f émorfismo sobrejectivo então f(hxi) =G ) Sejam G um grupo e a 2 G. a) Mostrequeseexistemr, s 2 Z com r 6= s tais que a r = a s, então existe o menor inteiro positivo, n, tal que a n = e. A esse elemento (se existe) chama-se a ordem de a, e representa-se por ord(a). Se tal elemento não existe então diz-se que a ordem de a éinfinita. 21

27 b) Seja t 2 Z, eord(a) =n então tem-se que, a t = e () n j t ) Determine a ordem de cada elemento de: a) (S 3 ; ±, id). b) (S 4 ; ±, id). c) (Z 3 ;+, 0). d) (Z 6 ;+, 0). e) (Z 4 ;, 1) ) Seja G um grupo abeliano. Prove que o subconjunto F, dos seus elementos de ordem finita é um subgrupo de G. SeG não fosse abeliano F seria subgrupo de G? Justifique ) Sejam G um grupo e a um seu elemento de ordem finita. Mostre que a ord(a) = ord(a 1 ) ) Seja G um grupo abeliano. Mostre que: a) Se a e b são elementos de G tais que ord(a) =n e ord(b) =m, então(ab) mn =1 G. b) Se G não é abeliano o resultado anterior pode não se verificar. µ µ Sugestão: Considere em S 3, a := e b := ) Construa a tabela de Cayley para um grupo G := hai com a 6= 1 G e a 5 =1 G ) Considere o subconjunto A := f1, 1, i, ig de C. a) Mostre que (A; ) é um grupo abeliano. b) Verifique se (A; ) é cíclico e em caso afirmativo indique os geradores. c) Indique os subgrupos de (A; ) ) Prove que um elemento diferente da identidade de um grupo tem ordem 2 se, e só se, é igual ao inverso de si próprio ) Dado um grupo cíclico G = hai de ordem 10, indique todos os subgrupos de G ) Seja G := hai tal que a 56 = a 73. a) Supondo a 6= 1 G,qualéaordemdeG. b) Se fosse a 76 = a 72 qual seria a ordem de G ) Mostre que se G éumgrupofinito de ordem n, setema n =1 G qualquer que seja o elemento a de G ) Verifique que Z 12 tem um subgrupo de ordem k para cada divisor, k, de ) Seja G um grupo cíclico gerado por a tal que a 21 = a 6. a) Que pode concluir quanto à ordem de G? b) Qual a ordem do subgrupo gerado por a 7? 22

28 2.5.21) Seja n = p r 1 1 p r 2 2 p r s s a ordem dum grupo cíclico, em que, p 1,p 2,..., p s são números primos diferentes. Verificar que a é sempre o produto de s elementos do grupo cíclico, cujas ordens são p r 1 1,pr 2 2,...,prs s, respectivamente ) Sejam M,M 0 monóides, X um conjunto de geradores de M e f,g : M! M 0 morfismos. Mostre que se 8x 2 X, f(x) =g(x) então f = g ) Mostre que um grupo cíclico infinito tem exactamente dois geradores ) Seja G um grupo cíclico finito de ordem n, gerado por x. Mostre que hx k i = G se, e só se, k éprimocomn ) Seja M um monóide gerado pelo subconjunto X e suponha-se que todo o elemento de X é invertível (em G). Mostre que: a) M éumgrupo. b) Se separar-mos os elementos inversos num conjunto X 0 disjunto de X então M = S hx X 0 i ) Sejam G um grupo cíclico, G 0 um grupóide e g : G! G 0 um morfismo sobrejectivo. Mostre que: a) G 0 também é um grupo cíclico. b) Se G é finito a ordem de G 0 divide a ordem de G ) Seja G um grupo cíclico de ordem n. Mostre que existe uma aplicação bijectiva entre os subgrupos de G e os divisores positivos de n ) Mostre que: a) Cada grupo cíclico de ordem finita n éisomorfoaogrupomultiplicativodasn raízes de 1, em C. b) Cada grupo cíclico infinito é isomorfo a Z ) Seja G um grupo cíclico. Prove que qualquer que seja o subgrupo HvG, e qualquer que seja o endomorfismo f definido em G, tem-sequef(h) µ H ) Seja G = hai um grupo cíclico. Mostre que um endomorfismo f definido em G éum automorfismose,esóse,hf(a)i = G ) Dois grupos cíclicos são isomorfos se, e só se, tiverem a mesma ordem ) Seja G um grupo cíclico de ordem 15. Qual o número de geradores de G. Quantos automorfismos há de G em G? 23

29 2.6. Estruturas normais. Estruturas quociente 2.6.1) Mostre que para um subgrupo H de G são equivalentes as seguintes afirmações: a) H G. b) 8x 2 G, x H = H x. c) 8x, y 2 G, x H y H = x y H. d) 8x, y 2 G, x H y H µ x y H. e) 8x 2 G, x H x 1 = H ) Seja f : G! G 0 um morfismo. Mostre que: a) Ker(f) G. b) Se f éummorfismo sobrejectivo então Im(f) é um subgrupo invariante de G 0. c) Se H G então f(h) Im(f). d) Se f éummorfismo sobrejectivo e H G então f(h) G 0. e) Se H 0 G 0 então f 1 (H 0 ) G ) Seja G um grupo e Z(G) o seu centro. Mostre que Z(G) G ) Mostre que SL n (K) GL n (K). ComoZ(GL n (K)) GL n (K) e Z(SL n (K)) SL n (K) define-se o grupo linear projectivo por: PGL n (K) := e o grupo linear projectivo especial por: PSL n (K) := GL n(k) Z(GL n (K)), SL n(k) Z(SL n (K)) ) Dado um grupo G finito, mostre que todo o seu subgrupo H de G de índice 2, é um subgrupo invariante de G ) Sejam G um grupo qualquer, H, H 0 subgrupos invariantes de G. Mostre que os seguintes subconjuntos são subgrupos invariantes de G: a) H \ H 0. Generalize para um número infinito de subgrupos invariantes. b) HH 0. c) hh [ H 0 i. d) Mostre que o fecho normal de X em G é um subgrupo normal que contêm X e que é igual a hgxg 1 i. e) Mostre que o interior normal de X em G é um subgrupo normal que está contido em X. Mostre ainda que, sendo H v G, entãocor G (H) = T ghg 1. f) Considere-se S, T µ G. 1) Mostre que se 8g 2 G, gsg 1 µ S (note-se que S 5 G) entãohsi éum subgrupo normal que contêm S. g G 24

30 * + S 2) Mostre que gtg 1 é um subgrupo normal e que g G * + [ gtg 1 = ht i. g G 2.6.7) Mostre que se a identidade é o único elemento comum a dois subgrupos invariantes, H e H 0 de um grupo G os elementos de cada um dos subgrupos invariantes são permutáveis com os elementos do outro ) Mostre que se H é subgrupo de G e K G, entãoh \ K H ) Sejam G um grupo e H, H 0 v G tais que K H G. Mostreque8g 2 G, gkg 1 H ) Sejam H e H 0 subgrupos dum grupo G tais que H 0 H. Mostreque: a) Para todo o subgrupo K de G, H 0 \ K H \ K. b) Para todo o N G, H 0 N HN ) Sejam G um grupo e a um elemento de G. Um elemento b de G diz-se conjugado de a, se existe um elemento x de G tal que b = xax 1.Verifique que: a) A relação conjugado de, assim definida, é uma relação de equivalência. b) Um subgrupo H de G é saturado para esta relação se, e só se, H G. (Nota:SejaC um conjunto e ρ uma relação de equivalência definida em C e C/ρ := f[a], [b],...g o respectivo conjunto quociente. Diz-se que uma parte A de C é saturada para a relação ρ se, e só se, sempre que x 2 A, [x] µ A.) ) Sejam G um grupo e H v G. Mostreque: a) H N G (H). b) Mostre que N G (H) é o maior subgrupo de G no qual H énormal ) Diz-se que um subgrupo H G é maximal em G se H 6= G enãoexisteh 0 G, tal que H ( H 0 ( G. Mostreque: a) Um subgrupo H G émaximalemg se, e só se, G/H éumgruposimples. b) Se H 1 e H 2 são subgrupos invariantes maximais distintos, então H 1 H 2 = G e H 1 \ H 2 é invariante maximal em H 1 eemh ) Prove que V := id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) ª é um subgrupo invariante de S 4. Indique um grupo isomorfo a S 4 /V ) Mostre que dado um grupo quociente G/H os subgrupos de G/H são exactamente os grupos A/H em que A é subgrupo de G econtémh ) Mostre que para qualquer grupo quociente G/H os seus subgrupos invariantes são exactamenteosgruposquocienteh 0 /H em que H 0 G equecontémh ) Prove que G/N é abeliano se, e só se, 8a, b 2 G, aba 1 b 1 2 N ) Prove que se f éummorfismo de G sobre H, B H e A := fg 2 G : f(g) 2 Bg, então A G. 25

31 2.6.19) Sejam G um grupo e σ g um automorfismo interno. Então, tem-se que: a) para todo o f 2 Aut(G), f ± σ g ± f 1 = σ f(g). b) Inn(G) Aut(G) ) Seja f : M! M 0 um morfismo entre grupos abelianos. a) Mostre que Coker(f) :=M 0 / Im(f) éumgrupoabeliano. b) Mostre que Coim(f) :=M/ Ker(f) é um grupo abeliano ) Seja f : M! M 0 um morfismo. Considere a relação c : M! Coker(f) definida por c(x) :=[x]. a) Mostre que c éummorfismo entre grupos abelianos. b) Se f éummorfismo sobrejectivo, então c éummorfismo sobrejectivo ) Seja f : M! M 0 um morfismo. Considere a relação k :Ker(f)! M 0 definida por k(x) :=f(x). a) Mostre que k éummorfismo entre grupos abelianos. b) Se f éummorfismo injectivo, então k éummorfismo injectivo. 26

32 2.7. Teoremas do homomorfismo 2.7.1) Seja g : G! G 0 um morfismo sobrejectivo de grupos. Suponhamos que N G e Ker(g) µ N. Proveque: a) g(n) :=N 0 G 0. b) g 1 (N 0 )=N. Considere a aplicação f : G! G 0 /N 0 tal que f(x) :=g(x)n 0 para cada x 2 G. Verifique que: 1) f éummorfismosobrejectivodeg em G 0 /N 0. 2) G/N» = G 0 /N 0 (1. o Teorema do isomorfismo) ) Sejam G um grupo e H, N subgrupos invariantes de G tais que H µ N. a) Sendo ν H e ν N os morfismo sobrejectivos canónicos associados a H ean, respectivamente. Mostre que existe um morfismo sobrejectivo de grupos h : G/H! G/N tal que hoν H = ν N. b) Verifique que Ker(h) =N/H econcluaqueg/n» = G/H N/H (Corolário do 1.o teorema do isomorfismo) ) Suponhamos que H e K são subgrupos de um grupo G equek G. a) Mostre que HK é subgrupo de G equek HK. Considere a aplicação f : H! (HK)/K tal que f(h) :=hk, paracadah 2 H. Verifique que: 1) f éummorfismosobrejectivodeh em HK. K H 2)» H K = H K K (2.o teorema do isomorfismo) ) Sejam G 1,G 2 grupos, N 1 G 1 e N 2 G 2. a) Se N 1» = N2, ter-se-á que G 1 /N 1» = G2 /N 2? E nas mesmas condições, mas sendo G = G 1 = G 2,seráquesetemG/N 1» = G/N2? b) Se N 1 G 1, N 2 G 2, N 1» = N2 e G 1 /N 1» = G2 /N 2 ter-se-á que G 1» = G2? c) Se N 1 G 1, N 2 G 2, G 1» = G2 e G 1 /N 1» = G2 /N 2 ter-se-á que N 1» = N2?Enas mesmas condições, mas sendo G = G 1 = G 2,seráquesetemN 1» = N2? 2.7.5) Use o teorema do homomorfismo para mostrar que se G éumgrupoqualquercom elemento neutro 1 G,entãoG/ f1 G g» = G ) Mostre que se G 1,G 2 são grupos e G 1 f1 G2 g G 1 G 2,então 2.7.7) Mostre que Z 18 /h[3]i» = Z 3. G 1 G 2 G 1 f1 G2 g» = G ) Se H é um subgrupo de G e N G eseh \ N = f1 G g e H [ N = G, mostreque G/N» = H ) Mostre que Inn(G)» = G/Z(G) ) Sejam G um grupo, H 1,H 2,K 1,K 2 v G tais que, K 1 H 1 e K 2 H 2.Mostreque: 27

33 a) (H 1 \ K 2 )K 1 (H 1 \ H 2 )K 1 (Lema da borboleta). b) (K 1 \ H 2 )K 2 (H 1 \ H 2 )K 2. c) (K 1 \ H 2 )(H 1 \ K 2 ) H 1 \ H 2. d) Conclua que (H 1 H 2 ) K 1» (H (H 1 K 2 )K 1 = 1 H 2 )K 2 (K 1 H 2 )K 2. Este resultado usa-se no teorema do refinamento de Otto Schreier ( ) 28

34 2.8. Estruturas actuando sobre conjuntos 2.8.1) Considere o morfismo f : G! Sym(S) sendo S 6= ; um conjunto qualquer, definido por f(a) :=f a. Mostre que cada aplicação f a : S! S é bijectiva se, e só se, se tem a condição f(1 G )=id S ) Considere S := G sendo G um grupo. a) Mostre que deste modo G actua à esquerda em G se definirmos, 8g 2 G, 8x 2 S f g (x) :=g x, esta acção chama-se acção de G em si próprio por multiplicações esquerdas. b) Analogamente, mostre que G actua à direita em G, considerando f g (x) :=x g 1. c) Mostre que G actua à esquerda em G por conjugação, i.e., a acção esquerda de G em G édefinida por 8g 2 G 8x 2 S, f g (x) :=gxg 1. 1) Mostre que o núcleo desta acção é o centro do grupo ) Sejam S o conjunto de todos os subgrupos de um grupo finito G, a 2 G, H 2 S e defina-se f a (H) :=aha 1. Mostre que com esta definição que G actua em S. (Cada subgrupo aha 1 é chamado o conjugado de H em G) ) Sejam S um G-conjunto e s 2 S. Considereoconjunto Stab(s) :=fg 2 G : gs = sg. a) Mostre que Stab(s) é um subgrupo de G. A este subgrupo de G chama-se estabilizador de s. b) Mostre que se S := G, ef actua por conjugação então Stab(s) =C G (s) ) Sejam G um grupo finito actuando num conjunto S e s 2 S. Mostreque: jorb(s)j =[G :Stab(s)] = jgj jstab(s)j ) Sejam S um G-conjunto e considere a seguinte relação para todo o elemento s, s 0 2 S: s» G s 0 () 9g 2 G : gs = s 0. a) Mostre que» G é uma relação de equivalência em S. b) Mostre que a classe de equivalência de um elemnto s 2 S éigualàorb(s) ) Se G actua em S e H é um subgrupo de G então mostre que H actua em S. Verifique que s» H t =) s» G t ) Assumindo que H actua em S equef : G! H éummorfismo sobrejectivo. a) Verifique que G actua em S se g a édefinida por g f(a) para cada a 2 G. b) Verifique que se s, t 2 S, entãos» H t () s» G t ) Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e S o conjunto dos coconjuntos esquerdos de H em G. Paraa 2 G seja f a : S! S definida por f a (xh) :=(ax)h. a) Verifique que deste modo G actua em S. 29

35 b) Mostre que Ker(f) = T xhx 1. x G c) Mostre que Ker(f) é o maior subgrupo normal de G que está contido em H. d) Mostre que a acção de G sobre S é efectiva se, e só se, H só contêm como subgrupo normal de G, f1 G g ) Resolva o exercício anterior por uma acção esquerda de G em B := fhx : x 2 Gg definida por g(hx):=(hx)g ) Seja S um G-conjunto e s, t 2 S e s e t estão na mesma órbita. Mostre que j Stab(s)j = j Stab(t)j ) Sejam S, S 0 dois G-conjuntos. Mostre que S S 0 éum(s S 0 )-conjunto definindo a acçãoesquerdadoseguintemodo:8(x, y) 2 S S 0, ϕ g (x, y) :=(f g (x),f 0 g(y)) ) Sejam S, S 0 dois G-conjuntos e se definirmos a seguinte relação de equivalência para todooelementodes S 0 por: Mostre que S S0 ρ (x, y)ρ(x 0,y 0 ) () 9g 2 G : gx = x 0 ^ gy = y 0. ³ S S éum 0 -conjunto. ρ ) Mostre que se G actua à esquerda num conjunto S, então esta acção induz uma acção esquerda no conjunto potência P(S) definindo-se para um elemento A 6= ;, ga := fgx : x 2 Ag epara;, g; := ; ) Sejam S, T conjuntos e T S o conjunto de todas as aplicações de S em T. Seja G um grupo finito actuando em S. Mostre que G actua em T S se definir-mos para cada aplicação f 2 T S e g 2 G a aplicação 8s 2 S, ϕ g (f) :=f(g 1 s). 30

36 2.9. Grupos-p egruposdesylow 31

37 3. Estruturas livres e apresentações 32

38 Bibliografia [1] A. Monteiro e I. Matos. Álgebra - Um primeiro curso. Livraria Escolar Editora, [2] J. Durbin. Modern Algebra, An Introduction. John Wiley, [3] W. Adkins and S. Weintraub. Algebra, An Approach via Module Theory. Springer- Verlag, [4] S. Lang. Undergraduate Algebra. Springer-Verlag, [5] N. Jacobson. Basic Algebra I. W. H. Freeman, [6] M. Sobral. Álgebra. Universidade Aberta, [7] P. Cameron. Introduction to Algebra. Oxford University Press, [8] T. Hungerford. Algebra. Springer-Verlag, [9] C. Gardiner. Algebraic Structures. Ellis Horwood, [10] A. Kostrikin. Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and Geometry. Gordon and Breach Publishers, [11] F. Ayres. Álgebra Moderna (Colecção Schaum). McGraw-Hill,