LISTA DE GEOMETRIA ESPACIAL CURSO POLIEDRO 017 1. (Fuvest 015) A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é Nota: 1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite é o diâmetro da base do cilindro. ) Adote os valores aproximados de:,g / cm para a densidade da grafita; a) 5 10 b) 1 10 c) 5 10 d) 1 10 1 e) 5 10 1g / mol para a massa molar do carbono; 1 6,0 10 mol para a constante de Avogadro. (Fgv 017) Sob o olhar do juiz, o confronto entre advogados e promotores para convencer sete jurados, cuja decisão traçará o destino dos réus, é a imagem mais conhecida da Justiça. Retratados em filmes e obras literárias, os tribunais do júri são o momento mais aguardado e costumam selar histórias de dor e sofrimento. No Brasil, o júri popular é previsto no Código de Processo Penal para julgar crimes contra a vida. (...) Podem alistar-se para participar de julgamentos os cidadãos maiores de 18 anos de notória idoneidade, ou seja, sem antecedentes criminais (...) No dia do julgamento, devem comparecer ao tribunal 5 jurados, assim como as testemunhas convocadas e o réu (...) Se ao menos 15 jurados convocados comparecerem, são instalados os trabalhos. Adaptado de: http://www.terra.com.br/noticias/infograficos/juri-popular/ São sorteados sete jurados para compor o chamado Conselho de Sentença. O advogado de defesa e o Ministério Público podem recusar os jurados sorteados, até três cada parte, sem motivar a recusa. Considere o cenário apresentado e responda: a) Para a condução do sorteio, utilizam-se pequenas esferas sólidas de raio 1cm. Se 5 esferas forem armazenadas em uma urna em forma de cubo, qual deve ser o valor da aresta desse cubo, de forma que a soma do volume das esferas corresponda a 10% do volume da urna? Utilize a aproximação π. b) Considere que, após os vetos do advogado de defesa e do Ministério Público, tenham restado apenas 9 indivíduos aptos a compor o Conselho de Sentença. Qual é o número de possíveis composições (de 7 jurados cada) para o conselho? c) Suponha que existam 4 mulheres e 5 homens no grupo de indivíduos aptos a compor o Conselho de Sentença. Nessa situação, qual é a probabilidade de que as quatro mulheres participem, juntas, do conselho?. (Fgv 017) a) O volume do cubo da figura é diagonais do cubo. Qual é o volume da pirâmide de vértice V? 64 cm. O ponto V é o ponto de encontro das Página 1 de 7
b) Uma bola de vidro que é uma esfera de centro O se encaixou num copo exatamente como mostra a figura. O raio da bola mede 1 cm e OC 5 cm. O segmento AC é o raio do cilindro. O que tem o maior volume: a bola ou o copo? 4. (Famema 017) Um cilindro circular reto A, com raio da base igual a 6 cm e altura H, possui a mesma área lateral que um cilindro circular reto B, com raio da base r e altura h, conforme mostram as figuras. Sabendo que h 1, H e que o volume do cilindro B é 40π cm, é correto afirmar que a diferença entre os volumes dos cilindros é a) 50 π cm. b) c) d) e) 4 π cm. 45 π cm. 48 π cm. 7 π cm. Página de 7
5. (Fgv 017) O volume do cilindro circular reto que se obtém aumentando-se x metros no raio da base desse cilindro, com x 0, é igual ao do que se obtém aumentando-se x metros na sua altura. Nessas condições, x é um a) produto de dois números primos. b) número primo maior do que 5. c) número irracional. d) divisor de 64. e) múltiplo de 7. 6. (Epcar (Afa) 017) Se uma pirâmide hexagonal regular está inscrita num cone equilátero cujo volume é igual a a) 45 7 b) 15 7 c) 0 7 d) 15 7 10 cm, 7 π então o volume dessa pirâmide, em cm, é igual a 7. (Unesp 017) Um cone circular reto, de vértice V e raio da base igual a 6 cm, encontra-se apoiado em uma superfície plana e horizontal sobre uma geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que passa por V, deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, sem escorregar, conforme mostra a figura. O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base ter efetuado duas voltas completas πr h de giro. Considerando que o volume de um cone é calculado pela fórmula, o volume do cone da figura, em cm, é igual a a) 7 π b) 48 π c) 6 π d) 18 π e) 1 π 8. (Fuvest 017) Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 1 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu Página de 7
enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente, Dados: - π é aproximadamente,14. - O volume V do cone circular reto de altura h e raio da base r é a) 4 horas e 50 minutos. b) 5 horas e 0 minutos. c) 5 horas e 50 minutos. d) 6 horas e 0 minutos. e) 6 horas e 50 minutos. 1 V r h. π 9. (Ita 017) Um triângulo retângulo com hipotenusa c (1 6) está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em torno do seu maior cateto. 10. (Espcex (Aman) 017) Corta-se de uma circunferência de raio 4 cm, um setor circular de π ângulo rad (ver desenho ilustrativo), onde o ponto C é o centro da circunferência. Um cone circular reto é construído a partir desse setor circular ao se juntar os raios CA e CB. O volume desse cone, em a) b) c) d) e) π 5 π 15 π 15 5 π 5 5 π cm, é igual a 11. (Pucsp 017) O volume de um cilindro de 8 cm de altura equivale a 75% do volume de uma esfera com 8 cm de diâmetro. A área lateral do cilindro, em a) 4 π cm, é Página 4 de 7
b) 6 π c) π d) 4 π 1. (Pucsp 016) Dispõe-se de N tubos cilíndricos, todos iguais entre si, cada qual com diâmetro interno de 4 cm. Se esses tubos transportam a mesma quantidade de água que um único tubo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 1 cm e cujo comprimento é igual ao dobro do comprimento dos primeiros, então: a) N 15 b) 10 N 15 c) 6 N 10 d) N 6 1. (Enem PPL 016) Na reforma e estilização de um instrumento de percussão, em formato cilíndrico (bumbo), será colada uma faixa decorativa retangular, como a indicada na Figura 1, suficiente para cobrir integralmente, e sem sobra, toda a superfície lateral do instrumento. Como ficará o instrumento após a colagem? a) b) Página 5 de 7
c) d) e) 14. (Enem 016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposta por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 0 m. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento. Utilize como aproximação para π. O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é a) 6. b) 16. c) 17. d) 18. Página 6 de 7
e) 1. 15. (Mackenzie 016) Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 6 cm. Rotacionando esse triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de revolução, cujo volume é 18π cm. Nessas condições, a área total da superfície do sólido obtido na revolução, em a) 144π b) 10π c) 80π d) 7π e) 64π cm, é 16. (Epcar (Afa) 016) Considere a região E do plano cartesiano dada por y x 1 E y x 1 x 0 y 0 O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de 70 em torno do eixo Ox em unidades de volume, é igual a a) 6 π b) 6π c) 1 π d) 1 π 17. (Ita 016) Uma esfera S, 1 de raio R 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S, de raio r, com 0 r R, está contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera S 1 e à superfície lateral de K. O volume de K é igual a a) b) c) d) e) 5 R. r(r r) 5 R. r(r r) 5 R. r(r r) 5 4R. r(r r) 5 5R. r(r r) 18. (Espcex (Aman) 016) Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu 9 R, 16 então o raio da esfera mede Página 7 de 7
a) R b) R 4 c) 4 R 9 d) 1 R e) 9 R 16 19. (Enem ª aplicação 016) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, 4 em frascos esféricos de raio R, com volume dado por (R). π Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base R, cujo volume será dado por π R h, sendo h a altura da nova embalagem. Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a a) R. b) 4R. c) 6R. d) 9R. e) 1R. 0. (Fuvest 016) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta. b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica. Note e adote: cos 56 0,56; sen 56 0,8; cos 16 0,96; sen 16 0,8 Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 48 W Latitude e longitude de Moscou: 56 N e 7 E Raio da Terra: 6.400 km 1. (Enem ª aplicação 016) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio cm, conforme ilustra a Figura. Página 8 de 7
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim? a) 1 b) 10 5 10 c) d) e) 10. (Fac. Albert Einstein - Medicin 016) Sobre uma artéria média, sabe-se que o diâmetro externo de uma seção reta e a espessura da parede medem 0,04 dm e 1mm, respectivamente. Considerando que uma seção reta dessa artéria, obtida por dois cortes transversais distantes 1,5 cm um do outro, tem a forma de um cilindro circular reto, quantos mililitros de sangue ela deve comportar, em relação ao seu diâmetro interno? (Considere a aproximação: π ) a) 0,018 b) 0,045 c) 0,18 d) 0,45. (Enem PPL 015) Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões: - Pote I: raio a e altura b - Pote II: raio a e altura b - Pote III: raio a e altura b - Pote IV: raio 4a e altura b - Pote V: raio 4a e altura b O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. Página 9 de 7
4. (Enem 015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com m de altura e m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81m de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize,0 como aproximação para π. Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado? a) 0,5 b) 1,0 c),0 d),5 e) 8,0 5. (Fgv 015) Determinada marca de ervilhas vende o produto em embalagens com a forma de cilindros circulares retos. Uma delas tem raio da base 4cm. A outra, é uma ampliação perfeita da embalagem menor, com raio da base 5cm. O preço do produto vendido na embalagem menor é de R$,00. A embalagem maior dá um desconto, por ml de ervilha, de 10% em relação ao preço por ml de ervilha da embalagem menor. Nas condições dadas, o preço do produto na embalagem maior é de, aproximadamente, a) R$,51. b) R$,6. c) R$,1. d) R$,81. e) R$,5. 6. (Enem PPL 015) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 0% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço? a) 1,44 b) 6,00 c) 7,0 d) 8,64 e) 6,00 7. (Enem PPL 015) Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V. Página 10 de 7
A medida da altura desconhecida vale a) 8 cm. b) 10 cm. c) 16 cm. d) 0 cm. e) 40 cm. 8. (Espcex (Aman) 015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em a) 1. π b). π c) 4. π d) 8. π e) π. cm ) é igual a 9. (Ita 015) Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de a) h. b) 1. c) ( 1)h. d) h. e) h. 0. (Unicamp 015) Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a R, tem a mesma área de superfície total que uma esfera de raio a) R. b) R. c) R. d) R. 1. (Fuvest 015) Diz-se que dois pontos da superfície terrestre são antípodas quando o segmento de reta que os une passa pelo centro da Terra. Página 11 de 7
Podem ser encontradas, em sites da internet, representações, como a reproduzida abaixo, em que as áreas escuras identificam os pontos da superfície terrestre que ficam, assim como os seus antípodas, sobre terra firme. Por exemplo, os pontos antípodas de parte do sul da América do Sul estão no leste da Ásia. Se um ponto tem latitude x graus norte e longitude y graus leste, então seu antípoda tem latitude e longitude, respectivamente, a) x graus sul e y graus oeste. b) x graus sul e (180 y) graus oeste. c) (90 x) graus sul e y graus oeste. d) (90 x) graus sul e (180 y) graus oeste. e) (90 x) graus sul e (90 y) graus oeste. Página 1 de 7
Gabarito: Resposta da questão 1: [C] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] Cálculo do volume da grafita: cilindro cilindro cilindro cilindro grafita 1 1 1 diâmetro mm de espessura 10 m 10 cm raio 1 mm de espessura 10 m altura 15 cm V (Área da base) (altura) V π r h V π (10 ) 15 V d 1 cm 0,471 cm, g / cm, g 0,471 cm mgrafita m grafita 1,06 g 1 g de grafita 1,06 g de grafita x 5,18 10 átomos de carbono 6,0 10 átomos de carbono x [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] Tem-se que o volume de grafite é dado por d 0, π h,14 15 0,47cm. Daí, sabendo que a densidade da grafita é m, 0,47 1,0 g., g cm, vem que a massa de grafite é igual a Portanto, sendo n o número de átomos de carbono presentes nessa grafite, temos 1 n 1,0 n 5 10. 6 10 Resposta da questão : a) A soma dos volumes das 5 esferas equivale a 10% do volume do cubo: 4 10 5 π 1 a 100 4 10 5 1 a 100 a 1.000 a 10 cm Página 1 de 7
b) de um conjunto de nove elementos devemos escolher um subconjunto com sete elementos. 9 9! 6 7 7!! c) considerando que o corpo de jurados será formado por todas as mulheres, iremos precisar de homens que serão escolhidos entre os 5 homens do grupo. Portanto a probabilidade P 5 10 5 pedida será dada por: P 6 6 18 Resposta da questão : a) Calculando: a 64 a 4 a h h cm 1 1 V a h 4 V b) A bola. Calculando: AC r raio da base cilindro r 5 1 r 1 4 Vbola π1 99,πcm Vbola Vcilindro Vcilindro π1 0 880π cm Resposta da questão 4: [D] Como os cilindros possuem a mesma área lateral podemos escrever que: h π 6 H πr h 6 r 6 1, r r 5 cm H h 1, h 1, H H O volume do cilindro B é 40π cm, logo: π 5 h 40 π h 9,6 cm e H 8 cm Portanto, a diferença entre os volumes será dada por: VA VB π 6 8 40 π 48 π cm Resposta da questão 5: ANULADA Questão anulada no gabarito oficial. Sejam r e h, respectivamente, o raio e a altura do cilindro original. Assim, temos π(r x) h πr (h x) r h rhx x h r h r x r(r h) x. h Página 14 de 7
Daí, sabendo que x, r e h são reais positivos, temos r h. Porém, nada mais pode se afirmar sobre x, a não ser que é um número real. Resposta da questão 6: [A] Calculando: 10π 1 10 1 0 Cone πr R R 7 7 7 R (hexágono regular) Pirâmide h R (cone equilátero) 1 V B h 1 1 R 18 0 0 90 45 V B h 6 R V 4 1 7 7 14 7 Resposta da questão 7: [A] Se g é a geratriz do cone, então πg π6 g 1cm. Logo, sendo h a altura do cone, vem h 1 6 h 6 cm. A resposta é dada por π 6 6 7 πcm. Resposta da questão 8: [C] De acordo com o enunciado: Considerando: Página 15 de 7
V volume total do cone v ' volume cheio (tronco) v '' volume vazio (topo) H 1 altura total h 6 altura topo / altura tronco Pode-se calcular: V H 1 V V 8v '' v '' h 6 v '' V 7 v ' v '' V v ' V v ' V 8 8 1 1 V π R H,14 4 1 V 00,96 7 7 v ' V 00,96 v ' 175,85 m 8 8 Tempo : 500 L / min 0,5 m / min 1min t 0,5 m 175,85 m t 51,7 min 5h e 50 min Resposta da questão 9: hipotenusa a b cateto maior a 1 cateto menor b 1 a b 1 6 6 a b a 1 b 1 ab a b 1 6 1 6 Supondo, x 6 x 6 0 Por Girard, raízes a e b a 6 b 1 6 Cone S S S total total total lateral base total S πrg πr S π 6 6 π 6 S π 9 6 u.a. Página 16 de 7
Resposta da questão 10: [C] Comprimento do arco AB (circunferência da base do cone de raio R). π 4 π R R 1cm 4 Calculando, agora, a altura do cone, temos: h 1 4 h 15 cm Logo, o volume do cone será: 1 15 π V π 1 15 cm Resposta da questão 11: [C] Calculando: Vcilindro πr h 8πR 4 4 56 Vesfera πre π 4 π 56 Vcilindro 0,75 Vesfera 8πR 0,75 π R 8 R Slateral πr h π 8 π cm Resposta da questão 1: [A] Página 17 de 7
Considerando que o volume (V ) é N vezes o volume 1 (V 1), podemos escrever a seguinte equação: NV1 V N π h π 6 h N 18 Portanto, N 15. Resposta da questão 1: [A] Envolvendo o cilindro com o adesivo em questão este apresentará o ponto Y sobreposto ao ponto médio do segmento XZ. Portanto, a alternativa correta é a letra [A]. Resposta da questão 14: [D] O volume do silo é dado por 1 π 1 π 4 7 51m. Portanto, se n é o número de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo, então 51 n 17,55. 0 A resposta é 18. Resposta da questão 15: [A] Página 18 de 7
Calculando o volume do cone, temos: 1 R 6 18 R 64 R 8 π π Determinando a geratriz do cone, temos: g 6 8 g 10 Logo, sua área total será dada por: AT π Rg π R π 810 π 8 144πcm Resposta da questão 16: [C] Reescrevendo as duas primeiras inequações como equações, tem-se: y x y x 1 1 y x y x 1 y x 1 y 1 x Tendo estas duas equações de retas e sabendo que x 0 e y 0, pode-se construir o gráfico a seguir, que apresenta a região E (em rosa) indicada no enunciado: Rotacionando a área E (em rosa) em 60 em torno do eixo x teremos um cone oco de altura e raio, com uma concavidade também em formato de cone, de altura e raio igual a 1 (região indicada em azul). Assim, para se conseguir o volume somente do sólido gerado pela rotação da área rosa E, podemos calcular o volume total do cone de altura e raio (que chamaremos de V) e subtrair dele o volume do cone gerado pela rotação da área representada em azul (que chamaremos de V. Assim, o volume do sólido gerado pela rotação da área E (V E) será: VE V Vazul azul Sendo o volume de um cone de revolução dado pela fórmula 1 Vcone R h, π temos que: Página 19 de 7
1 1 π 6π VE π π 1 1 9π VE Porém, o solicitado no enunciado não é uma rotação de 60 em torno do eixo x, mas sim uma rotação de 70. Nesse caso, o volume final ' 6π 78π ' 1π VE VE V 4 E 4 1 ' V E será correspondente a V. 4 E Ou seja: Resposta da questão 17: [B] Consideremos a secção meridiana do cone mostrada na figura abaixo:. Considerando que O é o centro da esfera inscrita no cone e C o centro da outra esfera tangente à superfície lateral do cone e à esfera inscrita neste cone. Considere também que o segmento CD é paralelo ao segmento EF. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo COD, temos: CD (R r) (R r) CD Rr Considerando que os triângulos ACE e COD são semelhantes, podemos escrever: x r r (R r) x R r R r R r Portanto, a altura h do triângulo será dada por: R h x R r R h R r Considerando, agora, que os triângulos COD e COD são semelhantes, escrevemos: R r R r R y R y Rr R r Portanto, o volume do cone será: Página 0 de 7
5 1 1 R R π R V π y h π R r R r r (R r) Resposta da questão 18: [B] Considerando que x seja o raio da esfera e escrevendo que o volume da esfera é igual ao volume da água deslocada, pode-se escrever: 4 9R 7R π x πr x x R 16 64 4 Resposta da questão 19: [E] Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico deverá ser tal que R 4 π h π R h 1R. Resposta da questão 0: a) Com os dados do enunciado, pode-se desenhar a figura a seguir, sendo o ponto O o centro da Terra, o ponto B a localização de Brasília e o ponto M a localização de Moscou: Considerando a Terra como uma esfera, sabe-se que os arcos BA e CM são iguais e delimitados pelo raio R da terra e um ângulo de 7 (56 16 ). Assim, pode-se calcular a distância vertical percorrida por ambos os aviões: Página 1 de 7
7 R R BA CM π π 180 5 Para calcular a distância horizontal BC basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de B até o eixo da terra e por um ângulo de 85 (48 7 ). Assim, pode-se escrever: distbeixo distbeixo cos16 0,96 distbeixo 0,96R R R 85π 0,96R 16,πR BC BC 180 6 Para calcular a distância horizontal AM basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de A até o eixo da terra e por um ângulo de 85 (48 7 ). Assim, pode-se escrever: distaeixo distaeixo cos56 0,56 distaeixo 0,56R R R 85π 0,56R 9,5πR AM AM 180 6 Por fim, pode-se calcular a distância percorrida por cada um dos aviões: πr 9,5πR 119,6πR Avião 1 BA AM 5 6 180 16,πR πr 15,6πR Avião BC CM 6 5 180 Logo, conclui-se que o segundo avião percorreu a maior distância. b) A diferença das distâncias percorridas será igual a: 15,6πR 119,6πR 4πR 4π 6400 Avião Avião 1 108,9 π km 180 180 180 180 Resposta da questão 1: [E] Considere a figura. Seja D o pé da perpendicular baixada de O sobre AC. Assim, como CD cm e CO 7cm, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos d 7 d 10 cm. A resposta é 10 10. Resposta da questão : [B] Página de 7
O diâmetro externo da artéria mede 0,04 dm 0,4 cm. A espessura da parede da artéria mede 1mm 0,1cm. O diâmetro interno da artéria será igual a 0,4 0,1 0, cm, e o raio interno será igual a 0,1cm. O volume aproximado de sangue de uma seção reta dessa artéria com comprimento de 1,5 cm, em mililitros, será de: V π 0,1 1,5 0,01 1,5 V 0,045 cm 0,045 m Resposta da questão : [A] O volume do cilindro é dado pela área da base multiplicado pela altura. A maneira mais simples de duplicar o volume do mesmo é manter a área da base (ou seja, base a) e duplicar sua altura (ou seja, b). Resposta da questão 4: [C] O volume da cisterna é igual a π 9 m. Mantendo a altura, o raio r da nova cisterna deve ser tal que 81 π r, ou seja, r m. Em consequência, o aumento pedido deve ser de, aproximadamente, 1 m. Resposta da questão 5: [A] A razão de semelhança entre os cilindros é 5. Logo, se V é o volume da embalagem maior e 4 V 5 15 15 v é o volume da embalagem menor, então, implicando em V v. v 4 64 64 Sabendo que o preço por ml de ervilha na embalagem menor é R$,00, e que foi dado um 15 desconto de 10% na embalagem maior, tem-se que a reposta é 0,9 R$,5. 64 Resposta da questão 6: [B] Sendo r e h as dimensões do cone e R e H as dimensões do poço, calculando o volume do poço e do cone, tem-se: 1 1 Vcone π r h π R,4 Vcone 7,πR poço V π R H Pelo enunciado, sabe-se que o volume do cone é 0% maior do que o volume do poço cilíndrico, logo, pode-se escrever: 1, Vpoço Vcone 1, πr H 7,πR H 6 m Página de 7
Resposta da questão 7: [B] Fazendo os cálculos: V1 π 6 4 V π x V1 1,6 V π 6 4 1,6 π x 144 14,4x x 10 cm Resposta da questão 8: [D] Considerando O o centro da esfera, temos: No triângulo AOD, temos: 8 1 4 ΔADO ΔABC r cm 4 r 8 AD 1 AD 8cm Portanto, o volume V do cone será dado por: 1 1 4 8 π V πr h π 4 cm 8 Resposta da questão 9: [C] Página 4 de 7
Admitindo que x seja a altura pedida, v o volume do líquido de altura h e utilizando a razão entre os volumes de cones semelhantes, temos: x h v x h x h ( 1). h v h Resposta da questão 0: [D] Seja r o raio da esfera. Tem-se que 4πr πr (R R) r R. Resposta da questão 1: [B] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] O antípoda do ponto dado tem latitude x graus sul e longitude (180 y) graus oeste. [Resposta do ponto de vista da disciplina de Geografia] Como a latitude é definida pela distancia à Linha do Equador, o antípoda do ponto com latitude x graus norte será de x graus sul. Já a longitude é definida pela distancia ao Meridiano de Greenwich num intervalo entre 180 leste e 180 oeste e, portanto, se a longitude do ponto é de y graus leste, sua antípoda será 180 y a oeste. Página 5 de 7
Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 8/09/017 às 1:09 Nome do arquivo: lista curso geometria espacial 017 Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1... 1589... Média... Matemática... Fuvest/015... Múltipla escolha... 165591... Média... Matemática... Fgv/017... Analítica... 167418... Baixa... Matemática... Fgv/017... Analítica 4... 171994... Média... Matemática... Famema/017... Múltipla escolha 5... 16756... Baixa... Matemática... Fgv/017... Múltipla escolha 6... 1674... Média... Matemática... Epcar (Afa)/017... Múltipla escolha 7... 171189... Baixa... Matemática... Unesp/017... Múltipla escolha 8... 165946... Elevada... Matemática... Fuvest/017... Múltipla escolha 9... 166688... Elevada... Matemática... Ita/017... Analítica 10... 16509... Média... Matemática... Espcex (Aman)/017... Múltipla escolha 11... 16646... Baixa... Matemática... Pucsp/017... Múltipla escolha 1... 1591... Média... Matemática... Pucsp/016... Múltipla escolha 1... 17195... Baixa... Matemática... Enem PPL/016... Múltipla escolha 14... 16555... Baixa... Matemática... Enem/016... Múltipla escolha 15... 15660... Média... Matemática... Mackenzie/016... Múltipla escolha 16... 14880... Média... Matemática... Epcar (Afa)/016... Múltipla escolha 17... 15114... Elevada... Matemática... Ita/016... Múltipla escolha 18... 14861... Média... Matemática... Espcex (Aman)/016... Múltipla escolha 19... 1660... Baixa... Matemática... Enem ª aplicação/016... Múltipla escolha 0... 1577... Elevada... Matemática... Fuvest/016... Analítica 1... 16600... Baixa... Matemática... Enem ª aplicação/016... Múltipla escolha... 149574... Média... Matemática... Fac. Albert Einstein - Medicin/016 Múltipla escolha Página 6 de 7
... 154619... Baixa... Matemática... Enem PPL/015... Múltipla escolha 4... 1499... Baixa... Matemática... Enem/015... Múltipla escolha 5... 1740... Baixa... Matemática... Fgv/015... Múltipla escolha 6... 154608... Média... Matemática... Enem PPL/015... Múltipla escolha 7... 15461... Baixa... Matemática... Enem PPL/015... Múltipla escolha 8... 14945... Elevada... Matemática... Espcex (Aman)/015... Múltipla escolha 9... 17177... Média... Matemática... Ita/015... Múltipla escolha 0... 1585... Baixa... Matemática... Unicamp/015... Múltipla escolha 1... 15917... Baixa... Matemática... Fuvest/015... Múltipla escolha Página 7 de 7