CONFIABILIDADE EM ENGENHARIA

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA DEPARTAMENTO DE PROJETO MECÂNICO Dscpla: IM 46 CONFIABILIDADE EM ENGENHARIA Auora: Profa. Dra. Kaa Lucches Cavalca Revsão: Zlda de Casro Slvera Campas, ovembro de 000.

SUMÁRIO. INTRODUÇÃO...4. PERSPECTIVA HISTÓRICA...6 3. CONFIABILIDADE E QUALIDADE...7 3. ALGUMAS DEFINIÇÕES IMPORTANTES...8 4. PROBABILIDADES E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS... 4.. MEDIDAS DE CONFIABILIDADE... 4.. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS... 4... Varáves aleaóras dscreas...4 4.. Varáves aleaóras coíuas...5 4.3. RANK MEDIANO E MÉTODO DAS PROPORÇÕES...6 4.3.. Méodo do Rak Medao para Curva de Moraldade...6 4.3.. Méodo das Proporções para Curva de Moraldade...9 5. FUNÇÃO TAXA DE FALHAS...0 6. TEOREMAS DE PROBABILIDADES... 6.. TEOREMA DE BAYES...5 6.. PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES...7 6... Teorema Bomal...8 7. MODELOS DE FALHAS CATASTRÓFICAS E FUNÇÕES CONFIABILIDADE...9 7. RELAÇÃO ENTRE AS DIFERENTES FUNÇÕES EM CONFIABILIDADE...30 7.. RELAÇÕES ENTRE AS DIFERENTES FUNÇÕES DE CONFIABILIDADE...3 7.3. TEMPO MÉDIO ATÉ FALHA (MTTF)...3 8. DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS E SUAS APLICAÇÕES EM CONFIABILIDADE...34 8.. A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL...35 8.. A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON...38 8.3. A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL...40 8.4. A DISTRIBUIÇÃO RETANGULAR...4 8.5. A DISTRIBUIÇÃO DE RAYLEIGH...43 8.6. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL...45 8.7. A DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL...48 8.7.. Deermação dos parâmeros de Webull...49 8.8. DISTRIBUIÇÃO GAMMA...5 8.9. A DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL...53 8.0. DISTRIBUIÇÃO BETA...55 8.. DISTRIBUIÇÕES COM VALORES EXTREMOS...57 9. MODELAGEM DA REGIÃO DE DESGASTE...60 9.. PROBABILIDADE DE FALHA POSTERIOR A UM TEMPO DE VIDA...60 0. CONFIABILIDADE E MANUTENÇÃO...64 0.. MODELO DE CONFIABILIDADE COM MANUTENÇÃO PREVENTIVA...64 0.. MODELO DE CONFIABILIDADE COM REPARO IDEAL...65 0.3. REPARO IDEAL E MANUTENÇÃO PREVENTIVA...67. ASPECTOS COMBINATÓRIOS DE CONFIABILIDADE DE SISTEMAS...69.. ESTRUTURA EM SÉRIE...69.. ESTRUTURA EM PARALELO...70.3. ESTRUTURA R-EM-N...70.4. ESTRUTURA DELTA-ESTRELA...7

.5. REDUNDÂNCIA TRI-MODULAR...7.6. REDUNDÂNCIA STAND-BY...73. TÉCNICAS GERAIS PARA ESTIMATIVA DA CONFIABILIDADE DE SISTEMAS COMPLEXOS NÃO-CONVENCIONAIS...75.. INSPEÇÃO...75.. MÉTODO ESPAÇO-EVENTO...76.3. CAMINHO DO SUCESSO...77.4. DECOMPOSIÇÃO...77.5. GRUPO MÍNIMO DE CORTE...80.6. GRUPO MÍNIMO DE LIGAÇÃO...8.7. MATRIZ DE CONEXÃO...8.8. ÁRVORE DE EVENTOS...84.9. ÁRVORE DE FALHAS...85 3. CONFIABILIDADE E ECONOMIA...90 3.. INTRODUÇÃO...90 3.. A ECONOMIA DA REDUNDÂNCIA...90 3...Esmava de cuso para redudâca de ssemas...9 3... Esmava de cuso para redudâca de udades...9 3..3. Mmzação de cusos para redudâca de udades...9 3.. ANÁLISE DE DISPONIBILIDADE...94 4. ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO DE AMOSTRAS...97 7. NÍVEL DE CONFIANÇA...98 5. ENSAIOS ACELERADOS...03 5.. ACELERAÇÃO REAL...03 5.. CONSIDERAÇÕES SOBRE AS FUNÇÕES DE CONFIABILIDADE...04 5.3. ACELERAÇÃO FÍSICA E DISTRIBUIÇÃO DE FALHA...05 5.3.. Dsrbução Expoecal...05 5.3.. Dsrbução de Webull...05 5.3.3. Dsrbução Log-ormal...06 5.3.4. Dsrbução Gamma...07 5.4. MODELOS DE ACELERAÇÃO...08 5.4.. Modelo de Arrheus...08 5.4.. Modelo de Eyrg...09 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...0 3

. INTRODUÇÃO Devdo ao elevado padrão da ecologa aual, meddas que assegurem um bom desempeho de compoees e ssemas, bem como sua omzação, são cosderações dspesáves a cocepção e o desevolvmeo de projeos de máquas e ssemas. Dero dese coexo, o coceo de cofabldade em grade mporâca, uma vez, que é a capacdade de um em desempehar uma fução especfcada, sob codções e ervalos de empo pré-deermados. Porao, o coceo de cofabldade camha ao ecoro da omzação do desempeho de compoees e ssemas, ecaxado-se perfeamee o coceo geral de qualdade. A oção de cofabldade é ulzada, mesmo sem o cohecmeo écco, o codao de cada pessoa desde o íco da cvlzação, gerado éccas de adequação dos produos dspoíves o mercado às ecessdades do públco cosumdor. Em um sedo mas amplo, raa-se de uma medda de desempeho. Por exemplo, espera-se que uma pessoa cofável seja deermada, scera e cossee em seus aos e opões. Ereao, é muo dfícl raçar uma lha de demarcação que separe pessoas cofáves de pessoas ão-cofáves. E ada mas dfícl é aalsar dos dvíduos e coclur qual deles é mas cofável. O grau de eresse e o ível de cofabldade a ser alcaçado, quado aplcada para quafcar a performace de ssemas, esão esreamee lgados às eveuas coseqüêcas que um comporameo ão cofável pode causar. A mplemeação de créros de cofabldade ceramee ecarecem o objeo de esudo, porém, eses mesmos créros ormalmee salvam ão só o dhero, mas ambém vdas. A pergua correa a ser fea durae o projeo é: "Ese projeo é sufceemee cofável?". A resposa desa quesão requer, obvamee, uma quafcação da cofabldade, alcaçada aravés de eoras de probabldades e esaísca. A relação ere cofabldade ou axa de falhas, cusos de maueção e operação, e cusos de produção e/ou aqusção, bem como cuso oal, é esquemazada a Fgura.. O ambee da cofabldade é vaso, e suas aplcações se esedem sobre odas as áreas da cêca e da egehara. Assocados ao coceo de cofabldade, esão os coceos de maeabldade e dspobldade, ou seja, a coservação da qualdade o desempeho por meo de erferêcas éccas apropradas, bem como a prevsão da vda úl de operação do em em quesão. Todos os ssemas de egehara, do mas smples ao mas complexo, podem ober beefícos aravés da egração dos coceos de esmava da cofabldade desde o seu plaejameo, aé o projeo e a fase operacoal. O desevolvmeo ecológco produz dsposvos cada vez mas complexos e de elevado cuso de produção e, coseqüeemee, ada mas dspedosos se eveualmee falharem, ão operado como projeados. Uma esmava da performace ulzado éccas de aálse de cofabldade vem assumdo mporâca cada vez mas crescee em projeos de egehara bem suceddos. 4

Cuso IM 46 Cofabldade de Ssemas A êfase dedcada a qualdade e a cofabldade de produos, especalmee o seor da ala ecologa, reforça ada mas a ecessdade do esudo, da quafcação, da ovação, e do projeo para garar a cofabldade de ssemas em egehara. Cuso de Produção e Aqusção Cuso oal Cuso de operação e maueção Cofabldade O projeo de um produo ou compoee com vda permaee é mpossível e coveee sob város aspecos ecoômcos, por exemplo, o da obsolescêca com o passar do empo, devdo ao coíuo e crescee desevolvmeo ecológco. A preocupação cosae com as falhas de um deermado em ou ssema se reflee dreamee as suas respecvas fases de cocepção, projeo e produção, vsado adequar sua vda úl às asprações do públco alvo em quesão, bem como do fabrcae dero do mercado cocorree. FIGURA. - RELAÇÃO ENTRE CONFIABILIDADE E CUSTOS GERAIS. Ese jogo de eresses relacoa uma cera durabldade e fucoaldade dero de ceros parâmeros de qualdade, perme uma recolocação em servço ou uma subsução do produo após um cero empo de operação, bem como esabelece créros de forecmeo, ou ada, asssêca écca, que por sua vez maém os íves de produção e faurameo. Dero dese cclo, procura-se esabelecer ormas e defções éccas e maemácas para os coceos de cofabldade, maeabldade e dspobldade, de maera a egrar eses parâmeros como pare fudameal o projeo de ssemas mecâcos. A vda úl esá dreamee lgada a axa de falhas de um compoee ou ssema. Assm, as codções para o levaameo da axa de falhas para um em qualquer exge a aplcação de procedmeos ormalzados, ou seja, eses de falhas padrozados para os dversos casos possíves de serem aalsados. Uma vez obda a curva de moraldade, procede-se com a aálse do poo de vsa da fução desdade de probabldade de falha, do empo médo aé ou ere falhas, e dos parâmeros esaíscos da equação de Webull, amplamee ulzada a represeação maemáca dos processos de falhas. 5

. PERSPECTIVA HISTÓRICA Após a a. Guerra Mudal, durae a expasão da dúsra aeroáuca, foram pela prmera vez roduzdos e ulzados os coceos de cofabldade. Icalmee, udo era qualavo. Com o aumeo do úmero de moores aeroáucos em 930, a cofabldade fo leamee sedo quafcada aravés da axa méda de falha e do úmero médo de falhas em aeroplaos ou drgíves. Em 940, as exgêcas para os moores aeroáucos passaram a ser descras em ermos de axas de acdees ( por mlhão de horas de vôo). Na Alemaha, o desevolvmeo dos mísses V- e V- muo corbuíram a aplcação dos coceos de cofabldade. Durae seus desevolvmeo e eses, observou-se que um grade úmero em sére de er-coexões muo fores pode ser meos cofável que uma smples coexão se uma cofaça é assocada a odas elas. A ão dspobldade de equpameos elerôcos durae a guerra da Coréa desecadeou o eresse mlar dos Esados Udos a cofabldade. A relação ere os requsos de cofabldade, cuso, e maueção oraram-se exremamee mporaes, de al modo que os coraos mlares começaram a coer cláusulas evolvedo bôus ou pealdades assocados ao grau de cofabldade verfcado durae a sére de eses. Com o desevolvmeo da dúsra uclear a década de 50, os coceos de cofabldade foram gradavamee sedo empregados os projeos de usas de eerga uclear, bem como em seus ssemas de corole. Nese período, os fudameos da eora da cofabldade foram eão, bem rabalhados e esudados, e a ecologa da cofabldade fo sedo aplcada em desevolvmeos da época, cludo mssões espacas, recohecmeo, ssemas de eerga elérca, compuadores, sofwares complexos, usas de processameo químco e hardware de aplcação mlar. O grade blackou de 965 os Esados Udos, resulou um fore mpulso à aplcação mas séra dos coceos de cofabldade o projeo e a expasão dos ssemas de eerga elérca. Exemplos de ssemas de ala cofabldade esão a ossa vola, desde ssemas aeroáucos, esações de geração de eerga elérca, usas químcas; aé ssemas de elecomucações, compuadores e ework. 6

3. CONFIABILIDADE E QUALIDADE Defe-se cofabldade como a probabldade de um dsposvo desempehar suas fuções adequadamee, por um deermado período de empo, sob codções de operação esabelecdas. Os quaro elemeos báscos da defção de cofabldade são: Probabldade - assocada a coceos esaíscos. Desempeho - assocado a um padrão, cujas varações de valores em oro do mesmo são desgadas olerâcas que, por sua vez, defem as especfcações em egehara. Tempo esperado - pode ser eeddo, assocado a medções amosras, como empo oal de ese ou período de ese, empo médo de ese ou empo médo de reparo; ou ada, assocado a resrções ou posções gerecas, como empo permdo de repouso ou empo permdo de operação. Codções de operação - assocadas a codções de carga, capacdade, ou mesmo codções ambeas que, eveualmee, possam fluecar os resulados. Assm sedo, o eucado compleo para cofabldade de um em será: o compoee opera com 95% de cofabldade, a 90% de sua capacdade de carga, durae 00 hs, a emperaura ambee e ível de umdade feror a 60%. Os defeos presees um produo ou processo, podem ser dferecados como defeos de qualdade e defeos de cofabldade. Os defeos de cofabldade esão assocados a uma medda de desempeho operacoal emporal, equao que os defeos de qualdade relacoam-se ao grau de coformdade do em com especfcações e padrões prácos, ão cludo uma refereca emporal. Nese úlmo caso, exsem rês caegoras prcpas de defeos de qualdade: o defeo críco, que afea dreamee a usabldade do produo; o defeo de maor grau, que pode afear a usabldade; e, falmee, o defeo de meor grau, que ão afea a usabldade, mas sm a veabldade do produo. Os defeos de cofabldade ocorrem um referecal emporal, resulado em falhas, ou abldade em proceder com o desempeho da fução requerda, que podem ser caasrófcas ou aleaóras (quebras), ou ada por desgase, cuja propagação lea pode forecer uma dcação preva da mêca da falha. A qualdade oal do produo relacoa város parâmeros o aspeco qualavo, que garaem um resulado fal amplamee sasfaóro. A qualdade operacoal de um em (compoee ou ssema) é um dos parâmeros fudameas, em se raado de qualdade oal em egehara, esado foremee assocada ao coceo de vda úl do mesmo, ou ada, à sua qualdade emporal. Parâmeros operacoas fracos compromeem a durabldade do em em quesão, provocado sgfcavas e excessvas falhas de íco de operação, empo para reparos prologados, cusos de maueção excessvos, compromemeo da seguraça de operação, redução o empo de uso efevo, ec. 7

Por sua vez, a defção de qualdade emporal egloba arbuos mesuráves como: probabldade de sobrevvêca (cofabldade) ou moraldade de um em, probabldade de recolocação ou reparo (maeabldade), probabldade de uso efevo (dspobldade). A prcpal caracerísca da Qualdade Temporal de um em (compoee, ssema ou produo) é a sua Dspobldade, que se raduz em empo real de fucoameo ou ulzação, descoadas eveuas paradas por quebra ou maueção. Uma correa avalação da qualdade emporal de um em evolve os segues aspecos: Para o coceo de probabldade deve-se assocar um ível de seguraça. É mporae defr precsamee, dero do coceo de bom fucoameo, o que se eede por falha e por reparo. O objeo em esudo deve ser bem defdo (produo, compoee, ssema). Codções operacoas relacoadas ao ambee (emperaura, vbração), a ulzação (sobrecargas) e a maueção (po, méodo) devem ser observadas. 3. Algumas Defções Imporaes Vsado roduzr um pouco mas o leor o campo da cofabldade em egehara, pode ser de grade ajuda percorrer as defções segues aes de um maor aprofudameo os coceos e méodos a serem ulzados. Amosragem: deve ser aleaóra e homogêea, sedo represeava do uverso de proveêca. Amosragem aleaóra sgfca que cada em, perecee a população aalsada, apresea gual chace de ser selecoado para a amosragem. Homogeedade sgfca que odos os grupos presees o uverso são represeados a amosra, maedo as mesmas proporções em que ocorrem de fao. A ecessdade de se rabalhar com amosras se raduz em rês es prcpas: a vabldade de realzar 00% de speção, alo cuso evolvdo, pos de esaos desruvos, rsco de vda durae a speção de produos de ala perculosdade, para um meor umero de speções obém-se uma maor precsão dos valores meddos. Aceação de amosragem: é o procedmeo para se ober uma amosra a parr de um grupo de es smlares que, uma vez esados, formam se acear ou rejear o grupo como um odo. Teses de aceação são empregados quado o úmero de es é demasadamee elevado para serem dvdualmee esados, ou ada, se os eses empregados são de alo cuso ou desruvos. Falha Caasrófca: esa compoee surge quado ocorrem salo do ível de desempeho para um lme exremo o qual o em ora-se fora de uso. Falhas caasrófcas sgfcam que um em ão pode ser reparado, ou ada, que um reparo desde em ão mas resulara em sucesso da mssão fal evolvedo o compoee. Modo-comum de falha: é a falha smulâea ou saída de operação de váras udades devdo a uma causa comum como cêdos, echees, ec. 8

Moraldade de juveude: São as falhas de íco de operação de um ssema ou compoee. Tas falhas dmuem com o passar do empo, devdo a localzação e solução de problemas assocados a mplemeação e operacoalzação do em. Vda úl: é uma compoee referee à pare da vda do objeo de aálse que se esede ere a fase das falhas de juveude e das falhas de velhce. Normalmee, durae a vda úl, as falhas são aleaóras e as axas de falha são aproxmadamee cosaes. Falhas de velhce: são falhas que ocorrem devdo ao desgase provocado pelo uso do equpameo ou compoee, após o fal do período de vda úl do mesmo. Fução axa de acdees λ(): exbe os dferees cclos de vda de um compoee clara e dsamee. Curva da bahera: é a forma ípca da ploagem fução axa de falha x empo de vda (horas, cclos, qulômeros, ec.). Esa axa decresce o íco da operação, sedo as falhas cohecdas como falhas de juveude (problemas a salação e operacoalzação de equpameos ovos). Durae o empo de vda úl do equpameo, a axa de falhas permaece aproxmadamee cosae, orado a crescer rapdamee o fal da vda úl, ode ocorrem as falhas por velhce do equpameo devdo a quebras ou desgase. Cofabldade R(): é a probabldade de um ssema operar com sucesso um ervalo de empo ere 0 e. O sucesso da operação é defdo como o desempeho do ssema a fução preedda, um deermado ervalo de empo, sob ceras codções esabelecdas. Por exemplo, em ssemas ão-reparáves, como uma plha elérca ão recarregável, a dspobldade D() correspode quaavamee a cofabldade R(), pos ão exse maueção, mas apeas uma subsução. Se esa plha aua como foe de eerga de um ssema como um brquedo, a maueção do mesmo evolve clusve a roca de plha. Desa forma, a dspobldade dese ssema será a resulae da sua cofabldade e dos créros de maeabldade adoados, eão, R() < D(). Dspobldade: é a probabldade de um ssema esar operado com sucesso um deermado empo. O regme esacoáro da dspobldade de um ssema é dado por: D lm D(). Compoees Báros: ocorrem quado exsem somee duas suações possíves, a saber, sucesso ou fracasso. Maeabldade M(): é a capacdade de maer ou recolocar um compoee ou uma udade um esado que perma seu bom desempeho sob ceras codções de uso para as quas esão desgados. A maueção evolvda deve, eão, respear deermadas codções, ulzado procedmeos e recursos especfcados. Maueção correva: evolve uma ação o sedo de resaurar um em logo após uma falha, para uma codção especfcada. Maueção preveva: evolve uma ação peródca o sedo de maer um em operado uma codção especfcada. Tas ações evolvem speções ssemácas, dagose e deecção de problemas, bem como preveção de falhas apeas o íco de formação. 9

Tempo médo ere falhas (MTBF): é o valor médo ou esperado de uma varável aleaóra chamada empo ere falhas. Se o empo de reparo é muo curo comparado ao valor do empo ere falhas, ese úlmo esará muo próxmo ao valor do empo médo ere falhas. Caso coráro, o empo médo ere falhas será a soma do empo médo aé falhas e o empo médo de reparo. Tempo médo aé falhas (MTTF): é o valor médo ou esperado de uma varável aleaóra chamada empo aé falhas. Tempo médo aé reparo (MTTR): é o valor médo ou esperado de uma varável aleaóra chamada empo aé reparo. Esruura em sére: descreve um ssema cujo sucesso depede do sucesso de odos os seus compoees. Tas elemeos ão devem esar ecessaramee em sére físca ou opologcamee. Ese ssema é ambém cohecdo como ssema ão redudae. Esruura Paralela: descreve um ssema que pode operar com sucesso quado pelo meos um dos compoees aua com sucesso. Também cohecdo como ssema redudae. Ssema r-em-: cosse em compoees depedees dêcos, dos quas pelo meos r < deses compoees devem operar com sucesso para que o ssema desempehe com sucesso. Tas ssemas são ambém cohecdos como parcalmee redudaes. Para r, oram-se redudaes e, para r, oramse ssemas em sére. Redudâca ava: quado odos os compoees do ssema esão operado ou aquecdos por odo empo, de modo a poder erar em servço quado ecessáro. Por exemplo, duas bombas auado a mea poêca: quado uma falha a oura assume medaamee a carga oal, maedo o ssema em fucoameo. Redudâca passva (sad-by): ocorre quado a redudâca do ssema ão opera aé a falha da udade prcpal, resulado em seu coseqüee acoameo. Compoees eráros: podem exsr em rês esados dos quas um deles é o sucesso. Os demas correspodem a dos modos de falha, a saber, falha de aberura e falha súba. Dodos e válvulas hdráulcas são exemplos de compoees eráros. Precsão Esaísca: e mporae efazar a mporâca de se rabalhar com precsão de quaro casas decmas, em se raado de gradezas esaíscas. Por exemplo, dos processos de fabrcação, de um mesmo produo, apreseam dos dferees íves de cofabldade: R 0.9900 e R 0.9947. Tas valores podem parecer próxmos, se aalsados o sedo absoluo. Porem, relavamee, se a quadade produzda e de 0000 udades, o umero de falhas NF assocado a cada processo, respecvamee, será: NF 0000-9900 00 falhas. NF 0000-9947 53 falhas. Ou seja, os íves de cofabldade, apareemee próxmos, fazem com que o prmero processo gere quase o dobro de falhas em relação ao segudo. 0

4. PROBABILIDADES E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 4.. Meddas de Cofabldade As prcpas são axa de falhas, vda méda, e probabldade de sobrevvêca. Taxa de falhas λ represea o úmero de falhas por udade de empo, sedo expresso como: λ f (4.) Sedo que f represea o umero de falhas ocorrdas um ese e, o empo de falha de cada udade. A vda méda pode esar assocada à população (m), a méda amosral ( m ), ao empo médo ere falhas MTBF (com reparo), ou ada, ao empo médo aé a falha MTTF (udades sem reparo). No caso de méda amosral, em-se: m f λ (4.) A probabldade de sobrevvêca correspode a própra probabldade de ão ocorrêca de falhas, ou ada, a cofabldade, podedo ser represeada por Ps, P, Rs, ou R. Cálculo do empo oal de ese de uma amosra: Para uma amosra de amaho, sedo f o umero de falhas e f, o empo de cada falha, podem ocorrer quaro suações dsas: Tese com empo lmado, cujas falhas são reparadas e recolocadas em ese:. (4.3) Tese com empo lmado, o qual as falhas ão são recuperadas, porém os empos de falhas são regsrados: + ( f ) f (4.4)

Tese com empo lmado, ode as falhas ão são recuperadas, e os empos de falha ão são regsrados: Deve-se assumr que cada udade falha exaamee a meade do ese. f. + ( f ) (4.5) falhar: Tese de falha sem cesura, ode odas as udades são esadas ae f (4.6) 4.. Varáves aleaóras O eresse o esudo de cerezas e feômeos aleaóros vem crescedo juamee com o aumeo a demada sobre ao desempeho do ssema. Ese crescmeo em coduzdo dscplas de dversas áreas ao uso da probabldade e da esaísca a quafcação e erpreação de eveos e resulados. É comum defroar-se em egehara com problemas evolvedo hsórcos ou grupos de dados acumulados relavos a feômeos aleaóros, como a ocorrêca de falhas, por exemplo. Tas feômeos apreseam, coudo, uma cera regulardade esaísca e, porao, se adequam aos esaíscos. Se um eveo A ocorre N a vezes em rages, a freqüêca relava p(a) é dada por: p(a) N a /. A probabldade de ocorrêca do eveo A é, eão: N P( A) lm (4.7) Assm sedo, quado ora-se sufceemee grade, p(a) se aproxma de P(A). Porao, a probabldade é relava ao feômeo físco em ermos mprecsos. Ereao, a eora da probabldade é uma dscpla exaa desevolvda logcamee e com bases claramee defdas. A esaísca procede com o agrupameo e processameo de dados probablíscos, realzado prevsões físcas baseadas os mesmos. Assm, a esaísca é aplcada para se ober modelos a parr de dados reas, aplcado a eora da probabldade para esmar ceras quadades que, aalsadas esascamee, assumem um dado sedo físco. A freqüêca de ocorrêca pode ser grafcamee represeada de rês maeras: a

Freqüêca Freqüêca Valor meddo Valor meddo a. Hsograma ou dagrama de barras. b. Polígoo de frequêcas. Freqüêca Valor meddo c. Curva de dsrbução de freqüêca. FIGURA 4.(a) (b) (c) - REPRESENTAÇÃO DA FREQÜÊNCIA DE OCORRÊNCIA. Cosdera-se um expermeo cujas saídas são defdas e agrupadas um cojuo deomado espaço amosral. depededo do expermeo, pode-se desgar um valor de probabldade assocado a cada uma das saídas. Em seguda, para odo elemeo do espaço amosral ou para cada saída, pode-se desgar um úmero real específco. Esas desgações podem ser cosderadas como um mapeameo de odo elemeo do espaço amosral o exo real. Tal mapeameo é deomado varável aleaóra. Porao, a varável aleaóra é uma fução cujo domío é o espaço amosral e o campo é um cojuo de úmeros reas. Por exemplo: o empo ecessáro para reparar um compoee, a velocdade do veo em meros por segudo, a volagem de uma foe aleaóra, o comprmeo de uma pare maufaurada, ec. As varáves aleaóras podem ser dscreas (quado assumem apeas um valor dero de um cojuo dscreo de valores) ou coíuas (quado podem assumr um úmero fo de valores). Exemplos de varáves aleaóras dscreas: gro de uma moeda ou de váras, cor de uma bola rerada de um cojuo de bolas colordas. 3

Exemplos de varáves aleaóras coíuas: comprmeo de uma peça maufaurada, empo de falha de um compoee, empo de reparo, duração de uma empesade, ec. Fuções desdade de probabldade ou dsrbução cumulava são ulzadas a descrção de modelos de varáves aleaóras. A fução desdade (f) e a fução dsrbução (F) cosuem um par egro-dferecal e é ecessáro apeas uma delas para que se possa faclmee ober a oura. 4... Varáves aleaóras dscreas. No caso fo, a varável X assume ceros valores dscreos x, x, x 3...x. A fução desdade de probabldade f(x) é defda como: f ( x ) P( X x ) P( x ) (4.8) x : Desde que o espaço amosral seja cosuído somee por elemeos x aé f(x) x x x3 x - x X P S f x P x A fução dsrbução cumulava F(x) é defda como: (4.9) F( x ) P( X x ) (4.0) 4

F(x).0 x x x3 x - x X 4.. Varáves aleaóras coíuas. Se a varável aleaóra X pode assumr qualquer valor dero de um úmero fo de valores, a fução dsrbução cumulava F(x) é defda como: F ( x ) P ( X x ) (4.) lm F( x) x lm F( x) 0 x (4.) A fução desdade de probabldade é válda fscamee desde que egrada dero de um ervalo lmado [a,b]: f( x) df( x) dx (4.3) b P( a X b) f( x) dx F( b) F( a) a (4.4) 5

f(x) F(x) x.0 x 4.3. Rak Medao e Méodo das Proporções Uma grade lmação para aplcação de créros de cofabldade em projeo mecâco é a dmesão das amosras, bem como os empos de ese dspoíves para esudos. Assm sedo, o campo da egehara mecâca, as amosrages serão ormalmee de pequeo amaho e, mesmo assm, em sempre odas as udades são esadas ae a falha. Tora-se, porao, de fudameal mporâca adequar os pos de eses aplcados, bem como o raameo esaísco dos dados, a esa caracerísca do osso espaço amosral. Além dsso, quado o caso em esudo deve-se esar odas as pares evolvdas aé falha, o melhor méodo para obeção das curvas de dsrbução de falhas é o méodo Rak. 4.3.. Méodo do Rak Medao para Curva de Moraldade O prcípo do méodo Rakg é descro a Fgura 4.. 6

Proporção da amosra 33% dsrbução geral eses de falha para amosras de 3 íes méda 50% a. falha a. falha 3a. falha Tempo de falha FIGURA 4. - EXEMPLO DE TESTES PARA TRÊS TIPOS DE FALHAS DE UM COMPONENTE. Na fgura 4. foram realzados eses smulâeos em rês amosras dsas. Temos as dsrbuções para as rês amosras de rês elemeos, cada uma com seu empo médo de falha. Porem, coforme dcado, as rês prmeras falhas ão ocorrem a prmera amosra, como sugerem as dsrbuções parcas. O prcpo da caegora medaa rabalha com o coceo de ordem de ocorrêca de falhas, depedeemee de sua proveêca amosral, coforme o dagrama úco, eglobado as rês curvas parcas. De acordo com o méodo Rakg, ambém cohecdo como caegora medaa, emos as dsrbuções orgas para a prmera, a seguda e a ercera falhas. A melhor esmava para o empo de falha é o empo médo de vda. Porao, omado os eses das rês pares, esabelecemos uma ordem de ocorrêca das falhas cohecda como úmero de ordem rak ou rak medao. j rj 0. 3 + 0. 4 (4.5) sedo que j: é o úmero de ordem rak e é o amaho da amosra. 7

Por exemplo, a abela 4., emos a esmava da porceagem acumulada de falhas, assocada aos respecvos empos de falhas, pelo méodo rak: Tempo de vda ae falha (horas) Numero de falhas Numero de elemeos esados Numero de falhas esperadas para a amosra cal Numero de ordem Rak Curva de moraldade em valores perceuas 4 0.0 0.346 337 77 364 76 54 65 76 56 765 53 940 44 986 43 0 35..35 0.907 77 0 3. 3.70.467 35. 76 0 36. 4.470.060 0. 65 0 4. 46 5.740.638 7. 56 0 5. 73 7.00 3.30 8. 53 0 7. 0 8.370 3.987 35. 44 0 8. 36 9.70 4.654 35. 43 TABELA 4. - CURVA DE MORTALIDADE PELO MÉTODO RANK. Exsem rês pos de esaos, para obeção dos empos de falha e do rak medao, aplcados a amosras de o mímo cco elemeos, a saber: ) Esaos sem cesura: quado odos os es são esados aé falharem. Nese caso, j max. ) Esaos u-cesurados à drea: quado os es são esados aé um empo lme a parr do qual os esaos são errompdos. Nese caso, j max. 3)Esaos com cesura múlpla: quado as amosras eveualmee suspesas durae o esao ambém são cosderadas a aálse esaísca dos resulados. Nese caso, o úmero de ordem j da amosra sucessva é deermado somado-se um cremeo ao úmero de ordem da amosra aeror. O cremeo Ij é dado por: + o. de ordem da falha aeror I j + quadade de íes aerores (4.6) N j I j + + Q j N j N j + I j (4.7) 8

ode Nj é o úmero de ordem da falha aual. r j N j 0. 3 + 0. 4 (4.8) é o rak medao calculado para esas codções de ese. 4.3.. Méodo das Proporções para Curva de Moraldade Ese méodo somee pode ser ulzado quado os elemeos da amosra ão são odos esados aé a falha. Nese caso, a porceagem acumulada de falhas (ou moraldade) e a razão ere o úmero de falhas acumuladas e o úmero de elemeos da amosra 0. TABELA 4. - CURVA DE MORTALIDADE PELO MÉTODO DAS PROPORÇÕES. Tempo de vda ae falha (horas) Numero de falhas Numero de elemeos esados Numero de falhas esperadas para a amosra cal Numero acumulado de falhas Curva de moraldade em valores perceuas 4 0.0 0.490 337 77 364 76 54 65 76 56 765 53 940 44 986 43 0 35..35.060 77 0 3. 3.70.60 35. 76 0 36. 4.470.0 0. 65 0 4. 46 5.740.840 7. 56 0 5. 73 7.00 3.470 8. 53 0 7. 0 8.370 4.40 35. 44 0 8. 36 9.70 4.80 35. 43 00 9

5. FUNÇÃO TAXA DE FALHAS Examado a axa de falhas para uma varedade de compoees um deermado período de empo, observa-se que a forma geral da fução λ() é a do perfl de uma bahera, caracerzada por rês regões dsas. A Regão I correspode às falhas de íco de fucoameo, que surgem durae a salação, moagem e operacoalzação do ssema. A Regão II correspode ao empo de vda úl do compoee ou ssema. Durae ese período, as falhas são aleaóras e a axa de falhas é cosae, correspodedo a uma fução desdade f() expoecalmee decrescee. A Regão III correspode à fase de desgase ou fadga, durae a qual a axa de falhas aumea rapdamee com o passar do empo. Muos fabrcaes que rabalham com ala cofabldade submeem seus produos a uma "quema" cal um período, elmado desa forma a regão I de falhas de íco de fucoameo a operacoalzação do equpameo ou compoee ou ssema. É ambém eressae subsur o compoee após ( - ) horas de operação, mesmo que ão eha falhado. Para agr alos íves de cofabldade, odos os compoees devem operar dero de seu período de vda úl. Equpameos elerôcos apreseam um período de vda úl muo logo para elevados valores de ervalo ( - ). No caso de compoees mecâcos, a regão III de desgase ede a predomar. Eses dos casos exremos são lusrados a Fgura 5.. Nos Esados Udos, muos fabrcaes coleam resulados de eses de vda e dados de falhas de seus compoees e os publcam em mauas de dados de axa de falhas. Taxa de Falhas (λ) Regão I Operacoalzação Regão II Operação ou Vda Úl Regão III Desgase Produção Projeo Maueção Lme de Projeo Tempo () FIGURA 5. CURVA DA BANHEIRA PARA COMPONENTES ELETRÔNICOS. Nese coexo, apreseam-se oo recomedações báscas para o projeo em cofabldade: 0

Ober o máxmo de formação da leraura especalzada (lvros, abelas, ormas, ec.). Esabelecer créros de comparação com produos smlares do mercado. Realzar eses para deermação da capacdade de produos já exsees, para ovas aplcações; ou para os mesmos projeos de produo realzados com ovos maeras. Aplcar éccas esaíscas de predção para deermar o créro de projeo. Ulzar o coceo de redudâca para aumear a cofabldade. Prever um programa efcee de maueção para garar a cofabldade. Coceber equpameos de eses para deecar áreas ode falhas em poecal possam ser defcadas e prevedas. Operar o compoee abaxo de sua capacdade de carga, por um empo lmado, de forma a elmar falhas de co de fucoameo. Ese processo e cohecdo por depuração ou quema de falhas.

6. TEOREMAS DE PROBABILIDADES Exsem váras aproxmações a defção e o esudo de probabldades. A aproxmação clássca cohecda é a razão ere o úmero de casos favoráves e o úmero oal de aleravas. Assumdo que os casos favoráves eqüvalem ao sucesso e os casos desfavoráves eqüvalem às falhas: P(sucesso) úmero de sucessos úmero oal de saídas P(falha) úmero de falhas úmero oal de saídas (6.) Se cada ragem resula em sucesso (s) ou falha (f), pode-se ober: s P( sucesso ) p s + f f P( falha ) q s + f (6.) ode p + q Esa é, coudo, uma aproxmação muo lmada pos, em muos casos, ão é possível realzar a repeção do expermeo. Ou ada, se os eses podem ser repedos, exsem muas dúvdas sobre o úmero de repeções ecessáras para represear de maera exaa a probabldade de ocorrêca do eveo. Exsem see eoremas fudameas de probabldades, odos de grade aplcabldade em cofabldade: a) A probabldade de ocorrêca de um eveo ecora-se ere zero e um. A probabldade ula e a cereza de ão ocorrêca do eveo, equao que a probabldade uára e a cereza de sucesso do eveo : 0 P(A). b) A soma de probabldades de uma suação e gual a udade. P(S) S é o eveo deermado, defdo, ambém chamado cojuo uversal ou espaço amosral compleo. c) Tedo presees as defções de eveos exclusvos e eveos depedees, pode-se defr como complemeares dos eveos ode, se um deles ão ocorre, o ouro acoece. O eveo complemear de A é deomado A. A + A S AA

Probabldade de eveo ulo: P( ) P(S ) 0 Probabldade da uão de um eveo e seu complemear: P(A + A ) P(S) P(A) - P(A ) (6.3) (6.4) A A d) Se o eveo A e o eveo B são muuamee exclusvos, eão: P (A+B) P(A) + P(B) ode (A+B), ese caso, sgfca A ou B, ou ada, (A B). Ese eorema pode ser eseddo a um úmero fo de eveos muuamee exclusvos A, A,.... Esa propredade é chamada advdade fa. P (A + A + A3...) P(A) + P(A) + P(A3)... (6.5) e) A probabldade muua de dos eveos depedees e gual ao produo das probabldades de cada eveo. P(AB) P(A)P(B). Esededo o racocío para eveos são odos depedees, eão: (... )... P A A A A P A P A P A P A P A (6.6) 3 3 f) Probabldade de uão de eveos ão-exclusvos: Noa-se faclmee que para os cojuos de eveos ão exclusvos da fgura ocorre a segue uão: ( A + B) ( AB + AB) + ( BA + AB) AB + BA + AB (6.7) 3

AB A BA B AB Como os eveos AB, AB, BA são exclusvos: [ ] P A + B P AB + P BA + P AB + P AB P AB [ ] [ ] P A + B P AB + P AB + P BA + P AB P AB (6.8) s: P( A + B) P( A) + P( B) P( AB) Se os eveos são exclusvos, P(AB) 0, eão: P( A + B) P( A) + P( B) (6.9) Cosderado a probabldade de uão de eveos ão-exclusvos ere [ ] [ ] [ ] + P( A A A 3 ) + P( A A A 4 ) +... + P j k ( A A ja k )... P A + A +... + A P A + P A +... + P A P A A + P A A +... + P A A 3 j j [ ] ( ) P( A A... A ) (6.0) g) Probabldade codcoal ou depedee: A oação P(A/B) deoa a probabldade de ocorrêca do eveo A, sedo cohecda a ocorrêca do eveo B. Por exemplo, em rages o eveo B ocorre [P(B)] vezes, equao que o eveo AB ocorre [P(AB)] vezes. A oação AB sgfca erseção, ou seja: AB A B. Eão, P(AB) P(B).P(A/B) úmero de ocorrêcas de AB P( AB) P( A / B) P( B) úmero de ocorrêcas de B (6.) Iersecção de dos eveos: A ersecção de eveos é a ocorrêca smulâea dos mesmos: P(AB) P(A)P(B/A) P(B)P(A/B). 4

A AB B Se os eveos são exclusvos, eão AB e P(AB) P( ) 0. Sabe-se, ada, que para P(A) 0 e P(B) 0, P(B/A) 0 e P(A/B) 0. Para rês ou mas eveos (A, A, A3), cosdera-se A A e B AA3. P(AB) P(A)P(B/A) P(A)P(AA3/A) (6.) ( 3 ) P( A ) P A A A P A P A A A 3 ( ) P( A ) P A A A P A P A A 3 ( ) P A A P A A ( 3 ) P( A A ) P A A A (6.3) (6.4) ( / ) ( / ) P A A A P A P A A P A A A 3 3 (6.5) Esededo ese racocío para eveos: (... ) ( / ) ( / )... ( /... ) 3 3 P A A A A P A P A A P A A A P A A A A (6.6) 6.. Teorema de Bayes Supodo que a ocorrêca de um eveo A seja depedee de um úmero de eveos B, muuamee exclusvos, sabe-se que: A AB + AB + AB 3 +...+ Ab (6.7) 5

B B3 A B B4 B5 Desde que os eveos erseções sejam exclusvos ere s, obém-se: P(A) P(AB ) + P(AB ) + P(AB 3 ) +...+ P(AB ) (6.8) P A P AB P B P A / B (6.9) ( / A) P B P AB P B P A / B P B P A / B P( A) P( A) P B P A / B (6.0) Cosdera-se, eão, um ssema complexo cuja cofabldade deve ser esmada. O eveo G correspode ao bom desempeho do ssema. Os eveos A, A, A 3...A, são as chamadas cogêcas que devem ocorrer durae o fucoameo do ssema. G A G k A k A G k G A G + A G k ( k ) + P G P A G P A G k ( / ) + ( / ) P G P A P G A P A P G A k k k k k (6.) (6.) (6.3) Se as cogêcas A, A, A 3...A são muuamee exclusvas, mesmo que algumas erseções GA sejam ulas, em-se: 6

G GA + GA +... + GA P P ( G) P( A ) P( G / A ) ( A / G) P ( A ) P( G / A ) P ( A ) P( G / A ) (6.4) As propredades báscas e regras de probabldades podem ser aplcadas a solução de uma vasa gama de problemas evolvedo a ocorrêca de eveos ou de combações de eveos. 6.. Permuações e Combações O desevolvmeo lógco das permuações e das combações fo foremee lgado à eora da probabldade em 600. Tas éccas permem a coagem ssemáca do úmero de camhos em que ceros eveos podem ocorrer, bem como a solução de problemas esaíscos e probablíscos. Agrupameos ordeados de um cojuo de objeos são deomados de arrajos ou combações. Quado ão é cosderada a ordem a qual o cojuo é agrupado, as arrajos são deomados de permuações. Assm, a permuação de objeos pode ser fea de! maeras dferees: P! (6.5) Exse, porém, um úmero muo maor de arrajos ou combações possíves para qualquer grupo de dos ou mas objeos. O agrupameo ordeado, deomado arrajo, de objeos omados em grupos de r, é dado por: A r! (6.6) ( r)! Cosderado-se a possbldade de repeções, por exemplo, r, r,...,r k são semelhaes de modo que podem ser dfereemee permuados dero dos város arrajos possíves e r + r +...+ r k. Eão, r objeos dêcos podem ser agrupados de r! (,,...,k ) maeras dferees dero do mesmo arrajo, que passa a ser deomado de combação. Assm, o úmero de combações possíves, ese caso, será: 7

r! C A C r r r! r!! ( r)! ( r)! (6.7) 6... Teorema Bomal Se a -ésma poêca da soma ( p + q ) pode ser expressa em ermos de coefcees bomas, como: ( ) p + q p + p + p! q! +... + p q +... + q r! ( r)! r r ( p q) + r p r q r C r p r q r 0 r 0 r (6.8) Desde que ( p + q ) ( q + p ), eão é possível escrever: p + q C q p r 0 r r r (6.9) 8

7. MODELOS DE FALHAS CATASTRÓFICAS E FUNÇÕES CONFIABILIDADE A falha de um compoee é cosderada caasrófca se o reparo do mesmo ão for possível, dspoível ou relevae para o fucoameo geral do ssema. Modelos de falhas para as compoees são pcamee baseados em resulados de eses de vda e dados sobre axa de falhas resulaes da eora de probabldades. Embora seja possível, em algus casos, desevolver um modelo de falhas baseado as caraceríscas físcas da falha, al procedmeo é geralmee complexo, evolvedo uma cosderável bagagem de esudos e aálses eórcas e prácas. Supodo um cojuo de N o es dêcos, os quas são colocados em operação o empo 0. Com o passar do empo, algus deses es rão falhar. Se N s () represea o úmero de sobrevvees o empo > 0 (empo ormalmee descro em horas de fucoameo), eão o úmero de compoees que falharam o empo, dado por N f () é: N f () N o - N s () (7.) Defem-se duas fuções coíuas por pares o domío do empo: fução desdade dos dados de falha f d (), e a fução axa de falhas λ d (): f d [ ( + )] N N / N s s o ( ), para < + (7.) [ N ( ) N ( + )] / N ( ) s s s λ d ( ), para < + (7.3) Noe-se que a fução desdade f d () é a razão do úmero de falhas ocorrdas um ervalo de empo pelo amaho oal da população orgal. A fução axa de falha λ d () é a razão ere o úmero de falhas um ervalo de empo pelo úmero de sobrevvees o íco do ervalo cosderado. Iuvamee, f d () é a medda da velocdade oal de ocorrêca de falhas, equao que λ d () é a medda saâea desa velocdade. A fução dsrbução dos dados de falhas Q d () é obda por egração de f d (), sedo coíua por pares o ervalo de 0 a. Tal fução cosse uma soma de fuções rampa: 9

Q f ξ dξ d 0 d (7.4) A fução dsrbução dos sobrevvees ou de sucesso R d (): R d Q d (7.5) Sedo que, eveualmee, odos os compoees devem falhar, a área sob a curva f d () é gual a udade. Coseqüeemee, a medda que aumea, Q d () e R d () 0. A fução axa de falhas ou caásrofes λ() é a mas comumee usada a represeação de um modelo a parr de dados dspoíves, pos descreve claramee os város eságos da vda dos compoees. 7. Relação ere as dferees fuções em cofabldade Traa-se das relações maemácas ere as quaro fuções de cofabldade, a saber: f() λ() Q() R(). R N s N N o N f N f o N o N o R Q (7.6) Desde que: f e N s lm 0 N N R o o N s N ( + ) s N o d d N s (7.7) Eão: f d d R d d Q Além dsso, sabe-se que: (7.8) 30

λ λ ( + ) N N s s lm 0 N s N s No f N f / [ N N ] s s o d d N s λ f R (7.9) Para ober a relação ere a cofabldade R() e a axa de falhas λ(): λ d f d R R R d d [ l R ] λ( ξ) l R dξ + c 0 (7.0) sedo c é a cosae de egração. Elevado ambos os lados como poêca de uma fução expoecal: R e c exp λ( ξ) dξ 0 (7.) Desde que para 0 em-se R(), pode-se coclur que e c e, porao: R exp λ ξ dξ 0 (7.) Como f() λ()r(), obém-se: f λ exp λ( ξ) dξ 0 Q R exp λ( ξ) dξ 0 (7.3) 3

Além dsso: λ d f f d Q R Q Q λ f f Q 0 f ( ξ) dξ (7.4) Sedo que lm R e R exp 0 d λ ξ ξ, observa-se que a 0 área sob a curva λ() ede a fo quado. 7.. Relações ere as dferees fuções de cofabldade f() λ() Q() R() f() f() λ exp λ( ξ) dξ d ( d ) d d λ() f λ() d f ( ξ) dξ Q 0 d d Q() Q() - R() f ( ξ) dξ exp λ( ξ) dξ R() 0 f ( ξ) d ξ exp 0 Q( ) R( ) 0 0 λ ξ dξ 0 ( Q ) l R d - Q() R() 7.3. Tempo médo aé falha (MTTF) O valor esperado da varável aleaóra coíua deomada empo aé falha, é defdo como empo médo aé falha, ou smplesmee, MTTF. Em muas suações prácas, o cohecmeo do MTTF é sufcee para caracerzar a qualdade e a dspobldade de um cero em. MTTF 0 f d Sabedo-se que: (7.5) 3

R() - Q() Obém-se: (7.6) d d R d d Q f ( ) MTTF d R d R R d d 0 0 0 Sabe-se que: R Eão: exp λ ξ dξ 0 (7.7) (7.8) (7.9) lm lmr 0 e R 0 0 Porao: MTTF 0 R d (7.0) 33

8. DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS E SUAS APLICAÇÕES EM CONFIABILIDADE São váras as fuções que podem modelar a dsrbução probablísca de uma varável aleaóra. A escolha do modelo maemáco esaísco a ser ulzado esá dreamee relacoada aos pos de eses de falhas realzados, bem como ao amaho e po de amosragem aalsada. As prcpas fuções ulzadas são: - Dsrbução Bomal. - Dsrbução de Posso. - Dsrbução Expoecal e Modelo de Falha cosae. - Dsrbução Reagular. - Dsrbução de Raylegh. - Dsrbução Normal. - Dsrbução de Webull. - Dsrbução Gamma. - Dsrbução Logormal. - Dsrbução Bea. - Dsrbução dos valores Exremos. Algumas propredades báscas das dsrbuções esaíscas são esmadas de acordo com as segues defções: Momeo da dsrbução: m Porao, para r 0, emos: + r + r x f( x) dx. m f ( x )dx, pos raa-se da área sob a curva f(x). Para r, emos o valor médo esperado dado por: (8.) m + xf ( x)dx (8.) Se a dsrbução sofre raslação da referêca para o valor médo, eão o momeo da dsrbução, em oro da méda, ora-se: + r mr x µ f( x)dx (8.3) 34

Defe-se, porao, varâca, como: ( µ ) dx, o qual o desvo padrão é σ m. (8.4) m x f x + 8.. A Dsrbução Bomal A dsrbução bomal adequa-se a problemas cofablíscos do po combaóro, geralmee aplcada a varáves dscreas e grades amosras. Uma codção mporae para sua aplcação e que o úmeros de esaos ou rages deve ser fxo, com apeas duas possbldades de resposa: sucesso (p) ou fracasso (q). Assm sedo, a probabldade de r sucessos em esaos, será: C r r! r! ( r)! (8.5) p r probabldade de r sucessos. q (-r) probabldade de (-r) fracassos. A probabldade de r sucessos e (-r) falhas e, porao: P r! r p q r! ( r)! ( r ) r ( r) Cr p q (8.6) P r 0 r r ( r)! ( )! ( )! ( ) Crp q q + pq + p q +... + p q p ( p q) r 0 ( )!! ( )! ( )!! + + (8.7) O valor médo e o valor esperado são resulaes dos momeos de prmera e seguda ordem m e m : P r! p q r!! ( r) r ( r) (8.8) 35

( r) ( )! ( r ) ( r) ( ) ( r ) ( r)! r r r r E( X) r.pr r. p q p p q p p r!!!!.!!! r 0 r 0 r 0 r r r q (8.9) Para r-, sedo que r vara de a, emos varado de 0 a (-)m. m ( m)! ( ) ( m)! ( ) m E( X) p p q p p q p P p µ!!! m! 0 0 0 m m (8.0) ( )! ( r) ( )! ( r ) ( r) ( ) ( r ) ( r) r r r r E X r. Pr p r. p q p p q p p r!!!!.!!! r 0 r r 0 r r r q (8.) Para r-, sedo que r vara de a, emos varado de 0 a (-) m. m ( + ) E X p m ( m)! ( ) m m! m p q p ( m )!! 0 ( m)! ( m ) ( m)! ( ) p q!! 0 0 m p q mp p e p q! m!! m! 0 0 m ( m)! ( ) m m m m + p q! m! [ ] E X p p + p p + p (8.) σ [ ] ( ) V X E X E X p p p p pq (8.3) Temos, assm, méda e desvo padrão, respecvamee: µ p e σ pq (8.4) A dsrbução bomal aproxma, para varáves dscreas, a dsrbução ormal para grades amosras e elevado umero de falhas. Algus exemplos de aplcações: p probabldade de defeos: a) probabldade de r defeos em peças:! r ( r) Pr p q r! ( r)! 36

b) probabldade de ecorar o máxmo r defeos: r P( r)! p q!! 0 ( ) ( ) c) probabldade de ecorar o mímo r defeos: P( k r)! k! k! p q k r ( ) k ( k ) (8.5) (8.6) (8.7) A dsrbução bomal fo mplemeada compuacoalmee e as elas serão apreseadas a segur: FIGURA 8. ENTRADA DE DADOS PARA A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL. FIGURA 8. DEFINIÇÃO DO TIPO DE CÁLCULO DE PROBABILIDADE: ACUMULADA OU NÃO. 37

FIGURA 8.3 RESULTADOS PARA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL. 8.. A Dsrbução de Posso A dsrbução de Posso aplca-se a aalse de pares defeuosas, o que correspode essecalmee a um corole de qualdade ulzado para predzer a probabldade de ocorrêca de defeos, um ervalo de empo couo, para melhor corole de produção. Aplca-se a dsrbução de Posso para uma axa de falhas cosae o empo, com reposção saâea do em falhado, deermado a probabldade de x ocorrêcas do eveo o ervalo de empo requerdo. Ulza-se esa dsrbução para varáves dscreas e pequeas amosras. Para um pequeo ervalo de empo d, al que a probabldade de ocorrêca de mas de um eveo seja ula: uma ocorreca o ervalo (, + ) x ocorrecas em ( 0,) ( + ) x ocorrecas em ( 0, + ) λd d P x P d d x [ ] x probabldade de 0 ocorrecas em (, + d) Px [ probabldade de ocorreca em (, + d) ] Px probabldade de ocorrecas em (, + d) P probabldade de x ocorrecas em (, + d) P + d P + x Mas: P ( d) 0 Eão emos: x, + 0 [ ] [ ] + + ( + ) ( λ ) + λ ( + ) λ P d P d P d x x x [ ] P d P d P P x x x x Para x 0, em-se: (8.8) 38

( + ) ( λ ) ( + ) λ 0 λ P d P d 0 0 [ ] P d P d P 0 0 0 dp d λ P P ke 0 0 (8.9) P 0 k P e, que é a cofabldade o ervalo de Para 0 : 0 0 (0 a ). (8.0) Para uma falha: [ ] ( + ) λ P d P d P P 0 ( + ) P d P dp d d + λp λe λ [ P P0 ] λ λ λ λ P ke + e para 0 P 0 k 0 P λe λ Aalogamee, para x, 3, 4...x, emos: x ( λ) e Px x! λ (8.) (8.) (8.3) (8.4) O valor médo e o desvo padrão, fazedo y x-, são: E X P x E X E X x x ( λ ) ( λ) e λ x ( x ) ( λ) x e e xpx λ λ µ!! y! x 0 x 0 ( µ ) x e x! λ λ λ y λ x y 0 x λ x λ x ( λ) e x( λ) e x λ x 0 x! x ( x )! x [( x ) + ]( λ) e ( λ) e ( λ) λ y + ( x ) y x P x 0 λ λ y λ y λ! y 0 y y!! x 0 [ ] V X E X E X λ + λ λ λ Temos, porao, a méda e o desvo padrão: (8.5) (8.6) e λ λ + [ ] (8.7) (8.8) 39

µ λ e σ λ (8.9) A dsrbução de Posso aproxma a dsrbução bomal para pequeas axas de falhas e exesos empos de ese. Para elevado umero de falhas, ora-se smérca e aproxma a dsrbução ormal, sedo porao, aplcável para falhas de co de Operacoalzação e para falhas por desgase. A esmava da cofabldade, aravés desa fução, e calculada para a ocorrêca de ehuma falha (zero falhas) o ervalo (0, ). A ela apreseada a segur faz pare da mplemeação compuacoal da dsrbução de Posso. FIGURA 8.4 ENTRADA E SAÍDA DE DADOS PARA A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL. 8.3. A Dsrbução Expoecal Aplca-se para aalses com axa de falhas cosae, ou ada, durae o empo de vda úl do em aalsado. Muo efcee para compoees elerôcos, cuja vda úl predoma foremee a curva da bahera. Traa-se de fução uparamérca, ode o parâmero prcpal e a própra axa de falhas λ. λ( ) λ f λe λ R e λ Q e λ O valor médo e o desvo padrão são: e E. e d.e d.e + e d λ λ λ λ λ.e 0 λ λ λ 0 0 λ 0 0 MTTF λ µ 40

4 (8.30) λ σ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ....... 0 0 0 0 0 0 + V V e e E d e d e e d e d e E (8.3) µ λ σ λ e A ela apreseada a segur faz pare da mplemeação compuacoal da dsrbução expoecal. λ() λ f() λ R() Q()

FIGURA 8.5 RESULTADOS PARA UM ENSAIO SEM CENSURA PELA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL. 8.4. A Dsrbução Reagular Esa dsrbução de aplcação resra, refere-se aos casos em que a desdade de probabldade f() é cosae um ervalo de empo (, ). É uma dsrbução b-paramérca, ode os parâmeros e devem ser defdos. f ( ) Q f d ( ) (8.3) λ ( ) f() Q R ( ) (8.33) /(-) Valor esperado e varaça: 4

E d + ( ) µ 3 3 d + 3 3( ) 3( ) E (8.34) (8.35) λ() Q() A ela apreseada a segur faz pare da mplemeação compuacoal da dsrbução reagular. FIGURA 8.6 RESULTADOS PARA UM ENSAIO CENSURADO À DIREITA PELA DISTRIBUIÇÃO RETANGULAR. 8.5. A Dsrbução de Raylegh 43

E uma aproxmação smplfcada para regões da curva da bahera, como as de falhas cas e por desgase. Nesa dsrbução, a axa de falhas cresce learmee com o empo, raado-se, ambém ese caso, de uma fução uparamérca, defda pela clação da axa de falhas k. λ k f k e k R Q e k e k Valor esperado e varaça: E( X) π k e V ( X) ( π 4 ) k (8.36) A ela apreseada a segur faz pare da mplemeação compuacoal da dsrbução Raylegh. FIGURA 8.7 RESULTADOS PARA UM ENSAIO SEM CENSURA PELA DISTRIBUIÇÃO DE RAYLEIGH. λ() Ko Ko - K K( - o) Ko/K o 44

λ() f() R() Q() 8.6. A Dsrbução Normal A dsrbução ormal cosu a mas mporae le das probabldade em esaísca, e forma o fudameo eórco para muas ouras dsrbuções de probabldades. Em cofabldade, a dsrbução ormal e ulzada para aalsar produos durae o co de vda e a fase de degradação aural, ou ada, falha por fadga ou desgase. Também cohecda como dsrbução Gaussaa. Esa dsrbução aplca-se a feômeos auras, como medções, caraceríscas de grades amosras e populações, degradação ou desgase, ec. Traa-se de dsrbução b-paramérca, edo como padrões prcpas o valor médo e o desvo padrão. As dsrbuções, em geral, podem ser smércas, lepokúrcas, plakúrcas, b-modas, e com dsorção a drea (posva) e a esquerda (egava). As dsrbuções b-modas são aquelas que apreseam dos valores ceras e que, ormalmee, orgam-se de dos uversos dsos. Como dsrbuções ormas, podem ser classfcadas as smércas, as lepokurcas (com fore edêca ceral e pequeo desvo padrão), e as plakurcas (com fraca edêca ceral e alo valor de desvo padrão). Meddas de edêca ceral, em esaísca, sgfca o cero ou valor médo ere algumas gradezas. Ocorrem quaro pos prcpas de valores ceras. * Méda Arméca: e o mas comum e aplcável dos valores ceras. Traa-se da soma de odos os valores, dvdda pelo umero oal de valores dspoíves. * Modo: represea o valor com o maor umero de leuras ou ocorrêcas. * Medaa: raa-se da meda ere os valores exremos da dsrbução. * Méda geomérca: deermada por sucessvas mulplcações de um grupo de valores, com medaa exração da -ésma raz do produo resulae. 45

x Méda Arméca: x x Medaa: x max + x m Méda Geomérca: MG x (8.37) (8.38) (8.39) Assm sedo, e caracerísca de dsrbução ormal quado a méda arméca, o modo e a medaa são cocdees. f() f() Dsrbução ormal (Gaussaa) Modo Medaa Méda Defe-se por dspersão a medda de varabldade dos valores meddos em oro do valor ceral. Pode ser caracerzado de rês formas: faxa de valores, desvo padrão e varâca. Faxa de valores: FV x x max m (8.40) Desvo Padrão: s x x para pequeas amosras. (8.4) σ Varâca: s ou σ. x µ para populações ou grades amosras. (8.4) A fução dsrbução de falhas apresea a forma: 46

( x µ ) f ( x) exp σ π σ (8.43) Curva Normal Padrozada e aquela que desloca o valor ceral para o zero do ssema de refereca, com um desvo padrão uáro. A área sob a curva, que forece a porceagem de falhas acumuladas, e ese caso, gual a udade. x z µ e f ( z) σ π e z (8.44) Com esa dsrbução, pode-se rabalhar com os valores abelados que forecem dreamee o valor da área correspodee ao valor de z. A dsrbução -sude cosse de uma dsrbução ormal, devdamee ajusada para mmzar erros de amosras pequeas. Seus parâmeros abelados são: α,- varável depedee do amaho da amosra. α área sob a curva. 0.4 α,- x µ σ x valor desejado ou meddo. -3 - - 0 A ela apreseada a segur faz pare da mplemeação compuacoal da dsrbução Normal. FIGURA 8.8 RESULTADOS PARA UM ENSAIO SEM CENSURA PELA DISTRIBUIÇÃO NORMAL. 47

8.7. A Dsrbução de Webull A dsrbução de Webull é, geralmee, uma dsrbução b-paramérca. Esmado adequadamee o parâmero de escala α (empo esperado de vda úl ou vda caracerísca) e o parâmero de forma, ou clação de Webull, β, a varação de forma das curvas pode ser ulzada para ajusar os dados expermeas. Assm sedo, ese modelo de dsrbução é amplamee ulzado em cofabldade. A fução axa de falhas para a dsrbução de Webull é dada por: λ β β α β ode: α > 0 β > 0 e 0. A correspodee fução desdade de falha é: f β β exp β α α β (8.45) As fuções cofabldade e dsrbução de falhas são, respecvamee: R exp α β (8.46) Q exp α β (8.47) Caso especal : Para β, a dsrbução de Webull se reduz a uma dsrbução expoecal com uma axa de falha cosae gual a /α. λ α f exp α α MTTF α (8.48) Caso especal : Para β, a dsrbução de Webull se reduz a uma dsrbução de Raylegh com k / α. 48

λ α f exp α α (8.49) De um modo geral, o valor de β feror a udade represea uma fução axa de falha decrescee, um valor superor a udade represea uma fução crescee e, falmee, um valor gual a udade represea uma fução cosae. Para β gual a 3.4, a dsrbução de Webull aproxma a ormal (geralmee ese valor vara ere.7 > β >3.7). 8.7.. Deermação dos parâmeros de Webull Pode-se ober a curva de Webull a forma de uma rea represeado a mesma uma escala b-logarímca. Q exp α β (8.50) Sedo α, para o empo esperado de vda úl em-se uma probabldade de falha de: Q e α 0. 63 ou 63% Exrado o logarmo desa equação por duas vezes segudas: β Q exp α ( Q ) e β α l Q α β β l l l β l β l l Q α α [ α] (8.5) Desa forma, o parâmero de forma β é o coefcee agular da rea obda, equao que o empo esperado de vda úl α correspode ao valor de Q(a) 0.63. 49

A Fgura 8.7 esquemaza a curva de Webull em escala b-logarímca, bem como a localzação dos parâmeros α e β. Ll (/(-Q())) 0 L α L βl α FIGURA 8.9 - CURVA DE WEIBULL E PARÂMETROS DE FORMA E TEMPO DE VIDA ÚTIL. λ() β3 β f () λ β λ β β3 β< β< R() Q() β> β< β< β< As elas apreseadas a segur faz pare da mplemeação compuacoal da dsrbução de Webull. 50

FIGURA 8.0 RESULTADOS PARA UM ENSAIO CENSURADO À DIREITA PELA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL. FIGURA 8. GRÁFICO EM ESCALA BI-LOGARÍTMICA PARA DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL. 8.8. Dsrbução Gamma 5

Muo smlar a dsrbução de Webull, ambém cosu uma dsrbução b-paramérca, com parâmero de escala α e parâmero de forma β. Ulzada, prcpalmee, a modelagem de reparo deal, com empo ere falhas dsrbuído expoecalmee, e a esmava de lmes de cofaça por fução χ. Codções de aplcação: β f exp β α Γ β α α 0 β 0 0 (8.5) A egral da fução probabldade f(), que forece a dsrbução acumulada de falhas Q(), e do po complea, como o caso da dsrbução ormal, sedo obda aravés de abelas. α β z Q z e dz Γ β 0 (8.53) fução Gamma complea egral por abelas. Valor médo e desvo padrão: µ α β e σ α β (8.54) Da mesma forma que a dsrbução de Webull, a dsrbução Gamma apresea uma dsrbução expoecal para β. Se β é um úmero ero, a fução faoral ora-se: ( β ) Γ β! (8.55) Sedo uma fução faoral. β f! exp β α β α (8.56) Sedo uma dsrbução Erlageaa. A fução Erlageaa modela um úmero de eságos dêcos em sére, com dsrbução ão expoecal dos emos de falha, o modelo de Markov; bem como modelo de falhas aleaóras, com reparo deal em maueção correva, para dsrbução expoecal dos empos de falha (período de vda úl). 5

Para j β- e sabedo-se que a cofabldade R() assoca-se a f() por: R λ f (8.57) Se o empo de falhas e dsrbuído expoecalmee, eão a fução axa de falhas e cosae: λ / α R exp α β j j 0 α j! (8.58) 8.9. A Dsrbução Logormal O logarímo aural da varável aleaóra dsrbu-se ormalmee, com méda m e desvo padrão s, porém ão da varável, mas de l(). Sua aplcação fudameal e os empos de reparo para uma maueção ormal de falhas por desgase. ( l µ ) f exp σ π σ 0 (8.59) Sedo que é o empo de reparo de um grupo de compoees. A egral de f() forece a fução probabldade acumulada de falhas Q(): Q l µ σ z exp π dz (8.60) Iegral complea solução por abelas. O valor médo e o desvo padrão são dados por: µ µ σ exp + e σ exp µ + σ exp µ + σ ( ) ( ) (8.6) As elas apreseadas a segur faz pare da mplemeação compuacoal da dsrbução Logormal. 53

FIGURA 8. RESULTADOS PARA UM ENSAIO SEM CENSURA PELA DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL. λ() σ0.3 f() σ.0 σ0.3 σ.0 R() Q() σ.0 σ.0 σ0.3 σ0.3 54

A dsrbução dos Valores Exremos modela valores máxmos e mímos para um grupo de varáves aleaóras. Resumdo, para varáves dscreas emos uma cofabldade assocada a um corole de qualdade por padrozações, cujo modelo para o úmero de falhas pode ser uma dsrbução bomal, se em relação ao amaho cal da amosra; ou uma dsrbução de Posso, se em relação ao empo de produção. As varáves coíuas, como empo de falha, podem ser modeladas por dsrbução expoecal durae o período de vda úl; por dsrbução de Raylegh ou Gaussaa durae o período de vda em desgase; por dsrbução de Webull para falhas aleaóras; por dsrbução Gamma para compoee com reparo deal; ou ada, por dsrbução log-ormal para empo de reparo. No caso de compoees mecâcos, em algus casos, os períodos de vda úl, de falha em desgase e de falhas aleaóras ão se dsguem ere s, ou podem suceder smulaeamee. Neses casos, deve-se modelar os empos de falha por váras dsrbuções e proceder com uma aálse de coefcee de correlação e, em seguda, de ível de cofaça dos resulados. 8.0. Dsrbução Bea A dsrbução Bea modela varáves aleaóras delmadas o espaço amosral, ou seja, com lmes superores e ferores cohecdos. Nese po de dsrbução há dos parâmeros, que represea modelos sasfaóros para um grade úmero de varáves aleaóras de grade mporâca em aplcações prácas que são lmadas por valores cohecdos dero de uma faxa superor e feror. Um exemplo de al dsrbução, sera deermar a dsâca de uma exremdade de uma hase aé o poo o qual ocorre uma fraura, quado submedo à uma deermada esão. Ouro exemplo, sera a deermação de uma porceagem de uma faxa eára de dades específca sobre uma deermada pesqusa quaava. Não mpora se os lmes são ferores ou superores, assm como se são fos ou ão, sempre podem ser dervada uma varável aleaóra correpodee, que possu valores ere 0 e, aravés de procedmeos aceáves de ormalzação. Por exemplo, se X é uma varável aleaóra com a x b, eão (Xa)/(b-a) é a varável de eresse correspodee com valores ere 0 e. A fução desdade para a dsrbução Bea é: γ ( ) f B( γ, β ) 0 Na qual a fução Bea é defda como: β para para 0 qualquer (8.6) Γ( γ + ) Γ( β + ) B( γ, β ) Γ( γ + β + ) (8.63) com γ, β > -. 55

Para a escolha dos dferees valores de γ e β, como há uma grade varedade de fuções desdade, podem ser escolhdas as segues codções: γ 0 e β 0 Dsrbução uforme γ β e β γ Smérca sobre 0.5 γ < 0 ou β < 0 Ifamee ampla para 0 e, respecvamee γ < 0 e β 0 Decresce em com formao côcavo γ 0 e β < 0 Aumea em com formao côcavo γ < 0 e β < 0 Formao de U; famee amplo para 0 e γ > 0 e β > 0 Possu um úco pco. A dsrbução cumulava correspodee é: β ξ ( ξ ) Q( ) dξ B( γ, β ) 0 0 para para para > 0 < 0 (8.64) A egral apreseada acma é cohecda como Fução Bea Icomplea. As abelas com valores para esa fução são faclmee ecorada em Mauas Maemácos. A méda e a varaça da dsrbução Bea são, respecvamee: σ γ + µ γ + β + ( γ + )( β + ) ( γ + β + ) ( γ + β + 3) (8.65) (8.66) As expressões para γ e β podem ser dervadas em ermos de µ e σ para essas relações, sedo: µ ( µ ) γ µ σ (8.67) µ ( µ ) β ( µ ) σ (8.68) 56

8.. Dsrbuções com Valores Exremos Os coceos de dsrbuções com valores exremos (valores máxmos e mímos) para um cojuo de varáves aleaóras, podem ser represeadas pcamee para aplcações que se referem à cargas e capacdades. Assumr suações, as quas as dsrbuções são dêcas e as varáves depedees ão correspodee à realdade dos dados prácos, que quase sempre são pequeos. Ereao, para o caso de um muo grade, ceras dsrbuções de valores exremos assócas podem ser ulzadas para um modelo de valores máxmos e mímos. Há rês pos de dsrbuções com valores exremos assócas: Tpo I ou dsrbução de Gumbel que é ulzada quado as varáves aleaóras são obdas para qualquer valor ere - e +. Essa codção pode ser mosrada pelas dsrbuções ascedees ormal e expoecal resulaes da dsrbução de valores exremos máxmo o lme, quado se ora grade. As dsrbuções ascedees com aparêca expoecal aumeam as dsrbuções de valores exremos mímos do po I. Se a varável aleaóra é lmada pelo lado esquerdo do zero, eão ora-se maor e a dsrbução com valores exremos máxmos edem a ora-se uma dsrbução do po II. Smlarmee, se as varáves aleaóras são lmadas pelo lado dreo de zero, eão a dsrbução com valores exremos mímos edem a ser oram uma dsrbução do po II. Por ouro lado, se a varável aleaóra é lmada pelo lado dreo ou esquerdo por algus valores fos de y, eão a dsrbução por valores exremos máxmos e mímos edem a se orarem uma dsrbução do po III, quado ora-se maor. Tpo I: Cosderado que y m assuma o mesmo valor de y, o qual é o poo máxmo da fução desdade F Y (y) e cosderado β > 0, em-se uma cosae que descreve a dspersão de uma varável aleaóra. Eão: y y FY ( y) exp exp β z y FZ ( z) exp exp β m m (8.69) (8.70) Para - y ou z e para β > 0. Tpo II 57

y FY ( y) exp β m z FZ ( z) exp β m (8.7) (8.7) Para y 0, z 0, β>0. Tpo III y y FY ( y) exp β m (8.73) z y Fz( z) exp β m (8.74) Para y y, y z, β > 0 e m > 0. Um caso especal que acompaha ese po de dsrbução é dado pela fução desdade de falhas: f() e. e -e, para - < < +. A fução de cofabldade ecorada aravés de: e de rsco pode ser faclmee R ξ e e e ξ dξ 0 (8.75) R( ) e e (8.76) λ() e 58

(8.77) A forma mas geral da fução de rsco, ambém chamada de modelo expoecal de rsco: α λ Ke com α > 0 (8.78) Essa fução vara leamee e ecora-se próxma de uma cosae cal, porém em um crescmeo poseror rápdo, como mosra os gráfcos a segur. λ () R().0 K Se a população cresce expoecalmee e se algum rsco é proporcoal à população, eão o modelo expoecal de rsco ora-se aplcável. As fuções de desdade e cofabldade assocadas são: α K α f Ke exp ( e ) α (8.79) K α R( ) exp ( e ) α (8.80) 59

9. MODELAGEM DA REGIÃO DE DESGASTE 9.. Probabldade de Falha Poseror a um Tempo de Vda Cosderado o período de vda úl, em-se a dsrbução expoecal dos empos de vda. λ R Q f λ e λ e λe λ λ Para o ervalo ( T, T + ), em-se a dsrbução da desdade de probabldade: f() B ou Q f d cojuo A cojuo B T T + B + B Defe-se, eão: Eveo B probabldade de sobrevvêca aé o empo T, ou ehuma falha o ervalo ( 0, T ) Eveo A probabldade de falha o ervalo ( T, T + ) A B probabldade de sobrevvêca aé o empo T, com falha poseror o ervalo ( T, T + ) T + λξ e P A B λ e d ξ λ λ λξ λt λ( T + ) ( ) e e T T + T 60

P B λ e λξ d ξ e T λt (9.) (9.) A probabldade de falha poseror a um empo de vda Qc() é defda como a probabldade de falha o ervalo (T, T+), dada a sobrevvêca aé o empo T. Q P A B c ( B) P( B) λ P A e e e λ T T + λt e λ (9.3) Noe-se que a probabldade de falha poseror Qc() é depedee do empo de operação precedee T, depededo somee da duração do ervalo. Iso porque assume-se falhas aleaóras e axa de falha cosae durae o período de vda úl, o que equvale a dzer que o compoee ão sofre degradação esa fase. Assm sedo, a probabldade de falha poseror a um empo de vda, ese caso, é a própra probabldade acumulada de falhas o período de empo : Q Q e c λ (9.4) A dsrbução expoecal dos empos de falha é da sem memóra e aplca-se esramee a regões com axa de falha cosae. Se λ ão é cosae, emos a expressão: Q c T + T T f f ( ξ) ( ξ) dξ dξ (9.5) Desa forma, pode-se propor a modelagem da regão de desgase, após um cero período de vda úl. A regão de desgase correspode a um crescmeo expoecal, geralmee aceuado, da axa de falha, após o período de vda úl. As dsrbuções esaíscas que melhor se adequam à modelagem desa regão são a dsrbução de Raylegh e a dsrbução Normal ou Gaussaa. λ() A fução desdade de probabldade para dsrbução ormal é da forma: 6

f ( µ ) exp σ π σ (9.6) Ode a varável represea a dade do compoee. Normalmee, o valor esperado de vda em desgase µ devera ser muo meor que o empo médo ere falhas MTTF, mas o verso ambém pode ocorrer. Cosderado um período de vda de um compoee, a parr do empo T, sabe-se que durae o ervalo (T, T+) ocorrem falhas aleaóras com axa de falha cosae (cofabldade Rc()) e, smulaeamee, falhas por desgase com axa de falhas expoecalmee crescee. Rc e λ para o período de vda úl e depedee do empo de vda precedee. Q w T + T T f f ( ξ) ( ξ) dξ dξ (9.7) Porao, a probabldade de ão ocorrêca de falhas ere (T, T+) é: T + ( ξ) ( ξ) ( ξ) f dξ f dξ R T T T + w Rw Qw Rw f dξ f dξ T T ( ξ) ( + ) ( T) Icludo o modelo a probabldade de falhas aleaóras smulâeas: (9.8) R R R e c w λ ( + ) ( T) R T w R w (9.0) Se o íco da aálse procede o empo 0, eão: R Rc Rw e λ Rw (9.) Segue esquema gráfco da fução desdade para dsrbução ormal dos empos de falha, bem como a curva esmada de cofabldade a regão de desgase. Também são lusrados dos casos de eresse, a saber: quado a vda méda em desgase é bem feror ao empo médo ere falhas (µ<<mttf), quado a curva expoecal doma uma faxa de empo abaxo da méda µ, para em seguda ser sobreposa pelo efeo da aceuada queda de cofabldade mposa 6

pela dsrbução ormal; o segudo caso é quado o empo médo ere falhas é feror ao empo médo em desgase (µ>mttf), quado, eão, a curva expoecal doma pracamee em oda faxa de empo aalsada. f() Dsrbução ormal da fução desdade de probabldade de falhas R w (T).0 R w () R w ( + ) ( T) R T w R w R w (T + ) 0.5 µ T (T + ) µ R w () R w ().0 R() R c () e -λ 0.5 µ MTTF.0 R w () R w () R c () R() 0.5 MTTF µ Para agr maores íves de cofabldade, algumas regras geras são roduzdas: ) Submeer o ssema cal a uma quema de falhas, seguda de um processo de deecção de problemas. ) Aplcar severos créros de speções em maueção preveva de modo a assegurar que o ssema ão ere em falhas por desgase. Subsudo perodcamee os compoees crícos, o ssema é recolocado a regão de operação com baxas probabldades de falhas. 63

0. CONFIABILIDADE E MANUTENÇÃO Exsem duas caegoras báscas de maueção: ) Maueção Programada ou Preveva; ) Maueção Correva ou Forçada. A maueção preveva se desevolve em ervalos cosaes de empo, mesmo se o ssema ada se ecora rabalhado sasfaoramee. Tal processo prologa a vda do compoee, dmu o úmero de falhas, cremeado o empo médo ere falhas MTTF do ssema. A maueção correva, por sua vez, segue as falhas em servço. Em ouras palavras, ada é feo aé a ocorrêca da falha. A maueção correva pode resular em reparo ou em subsução medaa do compoee, reorado o equpameo a sua codção ormal de operação. 0.. Modelo de Cofabldade com Maueção Preveva Cosderado um compoee ão reparável, porém preservado aravés de maueção preveva. al processo é do deal se o empo decorrdo a subsução é pracamee ulo em relação ao empo decorrdo ere falhas, e o compoee é recolocado em um esado como ovo após a falzação do processo de maueção. Embora o compoee ão reparável seja descarado após a falha, o emprego da maueção preveva eses casos vsa prologar o empo de vda dos compoees de forma a raspor o seu empo de falha. Se o compoee apresea uma axa de falhas cosae, os empos de falhas apreseam uma dsrbução expoecal, ou seja, coforme verfcado aerormee, raa-se de um modelo sem memóra, cujo empo de vda precedee ão flueca a axa de falhas poseror ao empo de vda do equpameo. No caso de falhas de íco de operacoalzação, a axa de falhas decresce, ou seja, melhora com o passar do empo. Nese caso, a recolocação como ovo aravés de uma maueção preveva ão é vaajosa. Porao, a maueção preveva ou programada é coveee o caso de axa de falhas crescee o empo, como ocorre a grade maora dos compoees mecâcos. Além dsso, cosdera-se que a maueção preveva se desevolve apeas em equpameo em operação: f T fução desdade de falha T M ervalo de empo fxo ere erveções de maueção f f T para 0 TM 0 fora dese ervalo 64

R() fução cofabldade do compoee. ( ) f R T f M 0 T f T R T M M ( ) f T R T M M 3 ( 3 ) f T R T M 4 ( 4 ) f T R T M M M T M T M 3T M 4 T M Pardo-se de uma dsrbução de desdade de probabldade resulae f T (), que por sua vez depede do poo de parda da fução cofabldade após cada erveção preveva, obém-se a geeralzação das fuções parcas por período, devdo à edêca expoecal da curva de cofabldade quado combadas as falhas aleaóras com as falhas por desgase. λ R e T R T e M λ TM λtm ( M ) [ ] [ ( M )] T R T e e R T M k ( ) f f kt R T T k 0 M M M λtm (0.) (0.) Noa-se a edêca expoecal da fução desdade de probabldade após erveção preveva, daí a exesa aplcação de modelos expoecas em cofabldade para algus compoees mecâcos operado esas codções. 0.. Modelo de Cofabldade com Reparo Ideal O reparo deal pressupõe duas codções báscas: O empo de duração do reparo após a falha é sufceemee pequeo para ser desprezível se comparado ao empo decorrdo ere falhas. Após o reparo, cosdera-se o compoee recolocado como ovo. 65

A dfereça básca ere reparo deal e maueção preveva deal é que a seguda se desevolve durae a operação da máqua, equao que a prmera evolve um empo de parada que segue a falha aleaoramee. A varável aleaóra coíua será o empo de vda do compoee T. Redefdo a fução desdade de probabldade: f T P T [ ] lm < ( + ) 0 (0.3) A fução desdade parcal aé a prmera falha f () pode ser defda aalogamee a expressão acma, porém a quesão é como fca esa fução para o empo decorrdo aé a seguda falha. Para uma prmera falha ocorrda dero do ervalo τ e a seguda falha esado ere (, + ), > τ : [ f ( τ) τ] [ f ( τ) τ] f (0.4) No lme, para odos os possíves valores de τ meores que : f f ( τ) f ( τ) d 0 Para a k-ésma falha, emos: τ (0.5) f k f ( τ) f ( τ) dτ,k 0 k, ou seja, é a k-ésma covolução de f (). (0.6) Para odas as k falhas ocorrdas o ervalo (, + ) a soma das probabldades deve ser cosderada. ). L() probabldade de odas as k falhas ocorrdas o ervalo(, + k + k ( ) L f f f τ f τ dτ k k 0 (0.7) 66

L() f 3 () M M 3M 4M 5M Para o caso especal de dsrbução expoecal dos empos de falha durae o período de vda úl, f k () rasforma-se a dsrbução especal Gamma com β ero, a saber, a dsrbução Erlageaa. A aplcação dese coceo durae o período de vda úl é exremamee coveee, pos esa fase a maueção correva aede bem as falhas aleaóras em curso. f f λe f λe λe dτ λ e 3 f 3 ( λ τe ) λe dτ λ e Geeralzado; f k 0 0 T k λ ( k ) λ λ λ τ λ λ λ τ λ k e! λ Para β k e α /λ. A fução desdade de probabldade complea L(): k k L f k ( λ λ e ) λ λ e e e k k ( k ) λ λ λ! λ (0.8) (0.9) Ou seja, a desdade de probabldade de falha o período é cosae e gual a axa de falhas do compoee. 0.3. Reparo Ideal e Maueção Preveva 67

Para compoees com axa de falhas crescee, a maueção peródca ou preveva aumea o MTTF, resulado um modelo de desdade de probabldade de falhas com edêca expoecal. Se a possbldade de reparo deal for cosderada, o resulado líqudo sedo a maueção será o de reduzr a freqüêca de reparos. Assumdo maueção deal em ervalos de empo T M, a freqüêca de reparos f R será gual a desdade méda das falhas o ervalo de maueção. f R L d T M T M 0 (0.0) Com a maueção correva deal aplcada aos ervalos de maueção preveva, os períodos aumeam e a freqüêca oal de reparos dmu, aumeado o MTTF, como recíproco da freqüêca de reparos. 68

. ASPECTOS COMBINATÓRIOS DE CONFIABILIDADE DE SISTEMAS Ssemas complexos são geralmee decomposos em edades fucoas composas de udades, ou compoees com o propóso de realzar uma aálse de cofabldade. Téccas de modelagem ework e aspecos combaóros são ulzados para coecar compoees em sére, paralelo ou esruuras msas, ou ada uma combação de odas elas. Os coceos de cofabldade são eão empregados para compuar a cofabldade do ssema em ermos das cofabldades de suas sub-udades... Esruura em Sére Um cojuo de compoees é cosderado dsposo logcamee em sére do poo de vsa da cofabldade se o sucesso da operação do compoee depede do sucesso da operação de odos os seus compoees. Os compoees ão ecessam esar fscamee dsposos em sére, mas é de fudameal mporâca que odos eles fucoem para que o ssema fucoe. Causa Efeo Se x represea o sucesso de um eveo para a -ésma udade, emos que a probabldade de sucesso do ssema é dada por: (... ) ( / ) ( / )... ( /... ) P x x x x P x P x x P x x x P x x x x 3 3 Se as udades ão eragem, eão os eveos são depedees: (.) (... )... P x x x x P x P x P x P x 3 3 (.) Se a cofabldade é a medda de bom desempeho do ssema, eão se refere a probabldade de sucesso do mesmo. Assm: R R R... R R s (.3) 69

.. Esruura em Paralelo Um cojuo de compoees é cosderado dsposo logcamee em paralelo do poo de vsa da cofabldade se o sucesso da operação do compoee depede do sucesso da operação de pelo meos um dos seus compoees. Causa Efeo Os compoees ão ecessam esar fscamee dsposos em paralelo, mas é de fudameal mporâca que pelo meos um deles fucoe para que o ssema fucoe. Se x represea o sucesso de um eveo para a -ésma udade, emos que a probabldade de sucesso do ssema é dada por: ( + + 3+... + ) (... ) P x x x x P x x x (.4) ( + +... + ) ( / ) ( 3 / )... ( /... ) P x x x P x P x x P x x x P x x x x Se as udades ão eragem, eão os eveos são depedees: ( + +... + ) ( ) ( 3)... ( ) P x x x P x P x P x P x (.5) (.6) Se a cofabldade é a medda de bom desempeho do ssema, eão se refere a probabldade de sucesso do mesmo, equao que a dsrbução de falhas Q se refere ao fracasso. Assm: R Q Q... Q Q Q p p (.7).3. Esruura r-em- Sedo que a esruura em paralelo fo aalsada como uma aplcação da dsrbução bomal, se p é a probabldade de sucesso de cada compoee, a cofabldade do ssema é: 70

R Ckp p k r k k (.8) Causa Efeo Noe-se que, se r o ssema é paralelo, se r o ssema é em sére. No caso de redudâcas passvas, era em jogo a cofabldade dos coecores ou dos chaveameos..4. Esruura Dela-Esrela Um ssema cosuído por rês compoees pode esar coecado em cofguração dela ou esrela. Na maora das vezes, a cofguração dela dfcula foremee a redução da esruura fal. Neses casos, faz-se a rasformação de cofguração dela para cofguração esrela por equvalêca de cofabldades ere os ermas. AB B A BC CA C Para a cofabldade compuada ere os ermas A e B, ou aravés do elemeo AB: R R R R R A B AB BC CA Aalogamee, as cofabldades aravés de BC e CA: (.9) 7

R R R R R B C BC CA AB R R R R R C A CA AB BC (.0) (.) Esas rês equações devem ser resolvdas smulaeamee para expressar as cofabldades esrela equvalees: R A ( R R )( R R ) A B C A R R B C R B ( R R )( R R ) A B B C R R A C R C ( R R )( R R ) B C C A R R A B Para o caso especal: RAB RBC RCA R e RA RB RC RY. RY R + R R 3 (.) (.3) Assm sedo, são ecessáros compoees de cofabldade mas elevada uma esruura esrela que uma esruura dela..5. Redudâca Tr-modular Aplcada ao projeo de compuadores, cosse uma combação de rês udades dêcas de almeação com erada uma ceral, sedo que as rês udades redudaes apreseam uma úca varável lógca (báro). Porao, são ecessáras duas eradas posvas para ober-se uma saída. udade udade udade 3 ceral 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 em rês: Icalmee, para uma ceral perfea, são ecessáras duas udades boas 3 k ( ) ( 3 ) k R C R R R R TMR 3 3 k k 7

ode R é a cofabldade de cada udade. (.4) C 3 Para ceral mperfea de cofabldade R C, emos: R R R 3 R TMR C (.5).6. Redudâca Sad-by Traa-se de uma esruura em paralelo passva, ou seja, a udade redudae somee e avada quado a oura falha. A axa de falhas, a udade de espera, e auralmee mas baxa que aquela da udade em operação. Causa Uo Ur Efeo Sedo Q a probabldade de falha do ssema: Q Q( Uo). Q( Ur / Uo) Uo Sucesso de Uo Ur Fracasso de Uo 73

Para eveos depedees, Q Q(Uo).Q(Ur) Qo.Qr Cosderado a possbldade de sucesso (Pch) ou fracasso o chaveameo de uma udade para oura, emos: Falha do ssema Prob. de falha c/ sucesso de chaveameo x Pch + Prob. de falha c/ fracasso de chaveameo x (-Pch) ( ) ( ) Q Q Q P + Q P Q Q P Q o r ch o ch 0 0 ch r (.6) Se a chave, ou coecor, ão e perfeo, eão sua cofabldade, ou moraldade, deve egrar o ssema. ( ) R Q R ch (.7) ode Rch e a cofabldade da coexão ou da chave. 74

. TÉCNICAS GERAIS PARA ESTIMATIVA DA CONFIABILIDADE DE SISTEMAS COMPLEXOS NÃO-CONVENCIONAIS Na práca, muos ssemas apreseam esruuras complexas que fogem aos padrões aé aqu abordados. A esmava da cofabldade de as ssemas requer a aplcação de éccas mas geras e poderosas. Os procedmeos mas cohecdos são: speção méodo espaço-eveo camho do sucesso decomposção grupo mímo de core grupo mímo de lgação marz de coexão árvore de eveos árvore de falhas.. Ispeção Esa aproxmação é aplcável somee para pequeos úmeros de compoees evolvdos a esruura, e cosse o procedmeo radcoal de redução de subssemas sére e/ou paralelo, sucessvamee, aé ober um úco compoee equvalee a esruura. S a Causa c Efeo b d Rs p p p p + p p p S S (.) 75

R p R p p p p p s s 3 [ ] ( s ) ( ) R p R p p + p p 3p + p + p s 3 4 3 (.) (.3).. Méodo Espaço-Eveo Nese méodo, odas as ocorrêcas logcamee possíves são lsadas ssemacamee, sedo a lsagem separada em eveos favoráves e desfavoráves. Assm, a cofabldade do ssema é obda somado as probabldades de ocorrêca de odos os eveos favoráves (ou sucessos). Numa lsagem complea e adequada, ehum eveo é eglgecado, sedo odos os eveos lsados muuamee exclusvos. Para um ssema composo por compoees, ode cada compoee pode ser bom ou rum, a oaldade de eveos será gual a eveos o oal. Tal procedmeo ora-se exremamee oeroso para superor a 5 ou 6 compoees. Se o úmero de eveos desfavoráves é meor que o úmero de eveos favoráves, eão a cofabldade do ssema pode ser compuada, subrado da udade a soma das probabldades de ocorrêca de odos os eveos desfavoráves. a Causa b c d Efeo Grupo 0 falhas Grupo falha Grupo falhas Grupo 3 falhas Grupo 4 falhas abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd Os fracassos esão assalados por círculos: [ rreca de falhas] R Q probabldade de oco s s [ ] R p p + 3 p p + p p 3p + p + p s 3 4 4 3 (.4) 76

R s [ probabldade de sucessos] [ ] R p + 4 p p + 5 p p + p p p 3p + p + p s 4 3 3 4 3 (.5).3. Camho do Sucesso Nese méodo, defca-se odos os camhos favoráves, uma malha de eveos, ere a erada e a saída, ou ada, ere causa e efeo. Cada camho favorável represea um sucesso. Rs P (uão de odos os eveos favoráves) Para camhos favoráves, em geral, obém-se ( - ) ermos a expasão da probabldade de sucesso. Vale oar que em odos eveos favoráves devem ser muuamee exclusvos. Tal procedmeo evolve mua álgebra, orado-se oeroso para um úmero de eveos maor que 5 (>5). a Causa P a P bc P bd 3 b c d Efeo Rs P P P P P P + P P + P P P P P P P P P P P + P P P P 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 4 Rs P P P P3 p + p + p p p p + p p + p 3 p + p (.6) (.7).4. Decomposção Nese procedmeo, ambém cohecdo como aproxmação para probabldade codcoal, Rs é defda aplcado-se, sucessvamee, o eorema de probabldade codcoal (Bayes). Icalmee, selecoa-se um compoee chave A, que amarra a esruura de probabldades do problema proposo. Assm, a probabldade é esmada como: 77

[ ( sucesso do ssema compoee A bom) ] ( sucesso do ssema compoee A rum) P A Rs P P A + [ P ] Aalogamee, a moraldade do ssema pode ser expressa como: s s [ ( falha do ssema compoee A bom) ] ( falha do ssema compoee A rum) P A Q R P P A + [ P ] Assm, o procedmeo decompõe o ssema complexo em dos subssemas mas smples. Para grades esruuras, deve-se decompor sucessvamee o ssema em subesruuras aé a redução máxma. A escolha adequada do compoee chave resula a aceleração do processo de covergêca, porém, o méodo deve fucoar para qualquer que seja o compoee chave. 3 4 5 Cosderado o compoee 3 como elemeo chave: [ ( / 3 bom )] [ ( / 3 rum )]( ) ( ) R s P ssema bom p + P ssema bom p P p + P p Sabe-se que, se o compoee 3 é rum, a probabldade de sucesso é P p, eão, Rs P( ssema bom / 3 ) p + p p P p + bom p p. [ ] 4 5 Por ouro lado, emos o cálculo de P. 78

4 5 P [ P ( ssema bom / bom )] p + [ P ( ssema bom / rum )]( p ) P 3 p + P 4( p ) (.8) Para o cálculo de P3 emos que o sucesso do compoee 4 é dferee para o sucesso do ssema: 4 5 P p p p 3 (.9) Para calcular P4 cosderamos a fgura abaxo: [ ] P p p p p 4 3 4 5 (.0) Desa forma, podemos calcular P: P p p p + p p p 4p 4p + p 3 3 4 Porao, a cofabldade fal do ssema é: (.) 79

3 4 5 4 3 Rs 4p 4p + p p + p p p 4p + 3p + p (.).5. Grupo Mímo de Core A meodologa do grupo mímo de core é uma écca poderosa que cosu a base para muos dos méodos de esmava de redes para compuar a cofabldade de ssemas, sedo de fácl mplemeação compuacoal. O Grupo Mímo de Core cosse um cojuo de compoees de ssemas al que, se odos os compoees do grupo falham, o ssema ambém falha. Porém, se qualquer um dos compoees ão se ecora em falha, o ssema coua fucoado. Porao, pela defção, odos os compoees do grupo mímo de core devem esar fucoado para que o ssema fucoe, ou ada, odos devem falhar para que o ssema falhe. Deomado o grupo de core C, C, C3,... C e P(C), a probabldade de falha de odos os compoees C, a moraldade do ssema é dada por: Q P C + C + C + + C s 3... ode o sal posvo deoa uão de eveos. Qs P C C C3...... C (.3) R s Q é a cofabldade do ssema. s Assm sedo, para dos eveos, emos: Qs P C + P C P C P C (.4) A expasão da probabldade de uão de eveos depedees coém, a realdade, ( - ) ermos. Ereao, uma boa aproxmação para o lme superor da fução moraldade pode ser obdo por: Qs P C + P C (.5) Equao que uma aproxmação para o lme feror da cofabldade do ssema sera: [ ] Rs P C + P C (.6) Geeralzado para eveos: Qmax P C + P C + P C + + P C s 3... (.7) 80

[ ( )] R P C + P C + P C3 +... + P C s (.8) A expressão de cofabldade é uma boa aproxmação para compoees com elevada cofabldade dvdual (próxma a udade). a Causa b c d Efeo C ab C acd 3 4 Qs P C + P C P C P C P ab + P acd P abcd q + q q (.9).6. Grupo Mímo de Lgação A meodologa do grupo mímo de lgação é uma écca complemear a do grupo mímo de core, sedo que, pelo fao de ão defcar dreamee o modo de falha do ssema, ão é ulzada freqüeemee. O Grupo Mímo de Lgação cosse um cojuo de ramfcações, ou smplesmee ramos do ssema coecado a erada e a saída do mesmo, al que em cada ramo ocorra a passagem por um úco ó de cada vez. Assm, os elemeos de cada ramo do grupo de lgação esão coecados em sére, e se um dos compoees do ramo falha, ese ramo ambém falha. Porém, basa um ramo avo para que o ssema coue fucoado. Porao, pela defção, odos os compoees de cada ramo do grupo mímo de core devem esar fucoado para que os ramos fucoem, ou ada, odos os ramos devem falhar para que o ssema falhe. Deomado o grupo de core T, T, T3,... T e P(T), a probabldade de sucesso de odos os compoees T, a cofabldade do ssema é dada por: R P T + T + T + + T s 3... ode o sal posvo deoa uão de eveos. Rs P T T T3...... T Q s R é a moraldade do ssema. s 8

Assm sedo, para dos eveos, emos: Rs P T + P T P T P T (.0) A expasão da probabldade de uão de eveos depedees coém, a realdade, ( - ) ermos. Ereao, uma boa aproxmação para o lme feror da fução cofabldade pode ser obdo por: [ ( 3 )... ( )] R P T + P T + P T + + P T s (.) A expressão de cofabldade é uma boa aproxmação para a regão de baxa cofabldade (próxma a zero). a Causa T a T bc T3 bd b c d Efeo Rs P T + P T + P T P T P T P T P T P T P T + P T T T 3 3 3 3 3 3 3 4 4 3 Rs p + p + p p p p + p p 3p + p + p (.) (.3).7. Marz de Coexão A écca da marz de coexão evolve a moagem de uma marz M para um ssema e, eão, empregado remoção odal ou marz de mulplcação, ober a rasmssão fal ere erada e saída. A marz é cosruída com base os elemeos poscoados ere os ós, sedo que exsem apeas um ó de erada e um ó de saída, com fluxo de eveos uma úca dreção. 8

a Causa c 3 Efeo b d A marz de coexão da esruura acma é defda como: para o ó: 3 b a M do o 0 + 3 0 0 ( c d) Aplcado-se o méodo de remoção odal, faz-se a remoção de odos os ós ermedáros do ssema, exceo dos ós de erada e saída, de acordo com a expressão abaxo: N 0 N + N N, com, j k j j k kj (.4) Para remoção do ó : 0 N N + NN + b 0 0 3 N N + N N a + b c + d a + bc + bd 3 3 N 0 N3 + N3N 0 + 0 0 0 3 0 33 N N33 + N3N3 + 0 c + d M 3 a + bc + bd 3 0 Porao a cofabldade do ssema é: Rs P( a + bc + bd) Rs P( a bc bd) P( a) + P( bc) + P( bd) P( abc) P( abd) P( bcd) + P( abcd) (.5) 3 3 3 4 4 3 Rs p + p + p p p p + p p 3p + p + p (.6) 83

.8. Árvore de Eveos O espaço-eveo compleo, cosuído por odas as ocorrêcas possíves em um ssema, é represeado grafcamee em um dagrama deomado árvore de eveos. A aplcação da árvore de eveos ora-se mas oerosa quado o úmero de compoees é superor a cco. Para um ssema com compoees, assumdo que cada compoee possa ser bom ou rum, exsem camhos possíves ere sucessos e fracassos. Por exemplo, para ses compoees o úmero de camhos possíves é de 64. Além dsso, para compoees eráros (rês esados de fucoameo) ese úmero va a 3. Para ssemas em regme de operação coíua, os compoees podem ser cosderados em ordem arbrára. Porém, se o ssema evolve udades sad-by ou seqüêca lógca, a ordem de ocorrêca dos eveos deve ser cosderada croologcamee. a R c R d S Causa b c Efeo R b Q c Q d R d S S d R a R c Q d R d S S Q b Q c Q d R d S S Erada R c Q d R d S S R b Q c Q d R d S S Q a R c Q d R d F F Q b Q c Q d R d F F Q d F 84

Cofabldade do ssema: R s probabldade de ocorreca de odos os camhos de sucesso Porém, a árvore de eveos aqu aalsada, exsem 5 (cco) camhos que resulam o fracasso do ssema. Desa forma, é mas fácl a esmava da cofabldade como complemear dos fracassos possíves: R s probabldade de ocorreca de odos os camhos de fracasso Q Q R Q Q + Q Q R R + Q + Q Q Q R + Q s a b c d a b c d d a b c d d Q R Q Q + Q Q R + Q Q R Q Q + Q Q a b c d a b c c a b c d a b pos R + Q e R + Q d d c c 3 3 4 Qs p p + p p p + 3p p 3 4 Rs p + p 3 p + p (.7) (.8).9. Árvore de Falhas A árvore de falhas represea smbolcamee as codções que podem causar falha de um ssema, podedo evdecar poos crícos do ssema uma forma vsível. Porao, aua como ferramea vsual formado e erpreado S poos de falha do ssema, e forecedo supore para decsões e esudos de desempeho de mercado, ou ada, deermado a adequação do projeo do ssema. Na cosrução de uma árvore de falhas, aplca-se uma lógca versa àquela empregada para árvore de eveos, pardo-se de uma deermada falha ou eveo desejado e rabalhado-se uma ramfcação de cma para baxo, a fm de explorar odas as combações de eveos que podem resular em falhas. O procedmeo básco para desevolver uma árvore de falhas é o segue: Idefcar o eveo desejado, ou codção de falha, deomado op eve, para o ssema em aálse; Esudar e eeder o ssema aalsado, bem como a aplcação para a qual fo projeado; Deermar as causas fucoas de ordem mas elevadas que podem causar a falha calmee defcada. Deermar, ambém, as relações lógcas de eveos de ordem feror que podem resular em eveos fucoas de ordem superor; 85

Cosrur a árvore de falhas ulzado o cojuo de blocos báscos de esruuras. Esa árvore lusra grafcamee as dferees combações e seqüêcas dos eveos que coduzem ao op eve. Todas as eradas de falhas de eveos devem ser caracerzadas em ermos de falhas báscas ou fucoas, depedees ou secudáras e defcáves ou de comado. Esmar e reduzr a árvore de falhas qualavamee ou quaavamee, coforme desejado. Os rês grupos de falhas são: Falhas Prmáras: falhas fucoas claramee defcáves, para equpameo fucoado dero dos parâmeros de projeo, como fala de eerga, quema de fusíves, falha de coexão, ou quebra de válvulas. Um eveo resulae de uma combação lógca é represeado por um reâgulo. Falhas Secudáras: são falhas devdo ao excessvo sress ambeal ou operacoal sobre o compoee; Falhas de Comado: são falhas decorrees da própra operação do compoee, porém em lugar e momeo adequados. As relações lógcas são represeadas por lgações lógcas do po soma (ou), ersecção (e), exclusão, prordade, bção e espera. Símbolos especas são ulzados para eveos compleos, codcoas e do po rgger. Eveo de falha básca ou fucoal Eveo resulae de uma combação lógca de eveos falha lgados aravés de coexões lógcas Ao A. A Coexão de ersecção (e) a saída ocorre se e somee se odos os eveos ocorrem A A 86

Ao A + A Coexão de soma (ou) a saída ocorre se um ou mas eveos ocorrem. A A Ao Coexão exclusva OU ão ocorre saída a meos que uma e somee uma das eradas ocorra. A A Ao Coexão prordade E o eveo A deve ocorrer aes do eveo A para que o eveo Ao ocorra A A Saída Codção de erada Erada Coexão com bção a saída ocorre somee quado a codção de erada é sasfea. saída espera Coexão de espera a saída ocorre após um deermado ervalo de empo. erada 87

Eveo compleo ão oalmee desevolvdo por fala de eresse ou formação. Eveo rgger um eveo falha cuja ocorrêca é esperada lógca Eveo codcoal codção ou resrção aplcada a coexão Eveo falha que requer maor desevolvmeo Segue um exemplo de aálse para árvore de falhas, cosderado os eveos cohecdos e depedees ere s, com probabldade de ocorrêca gual a p ¼. Deve-se esmar a cofabldade de ocorrêca do eveo deomado op eve T. 88

T Top Eve T C T A B D T 3 E F G A solução do ssema é dada por: T TCT A + B C T + D A + B C EFG + D 3 P( T) P( A + B) P( C) P( EFG + D) [ ] [ ] P T P A + P B P A P B P C P EFG + P D P DEFG (.9) P( T ) + + 469 0. 0865 865%. 4 4 6 4 64 4 56 6384 89

3. CONFIABILIDADE E ECONOMIA 3.. Irodução São poos de quesoameos comus em egehara decsões sobre o quao aumea o desempeho de um produo, para um cero ível de vesmeo, ou ada, qual o mímo cuso evolvdo para agr deermado ível de desempeho. Vsado sempre agr o objevo proposo, a decsão de mporâca fudameal e medaa passa a ser ode colocar ou vesr recursos, ecoomzar em algum poo para melhorar ouros. Dero desa lha de racocío, surge ouro problema a ser solucoado, a saber, deve-se respoder a quesão de como comparar o desempeho do produo em aalse, com o de projeos cocorrees. Uma das soluções, ou resposas, raa da aalse de falhas de compoees smlares, baseado-se o fao de que esas falhas (prcpalmee se de aureza caasrófca) são coseqüêcas alamee desejáves, e que faclmee podem ser raduzdas em ermos ecoômcos. Para reduzr a cdêca de falhas, e fudameal o cremeo da cofabldade, o que sgfca, em ermos ecoômcos, aumeo de cusos. Eses úlmos devem, por sua vez, ser ecoomcamee jusfcados para sua aprovação formal. Porao, a por codção para aceação da proposa de vesmeo em cofabldade, e que a queda do cuso das falhas deve gualar o gaso para aumeo de cofabldade. Algumas opções eressaes para aumear R(): redudâca adcoal; projear para codção ou capacdade ambeal; desevolver eses ambeas. Dero do objevo dese capulo, será aalsada a relação ere ecooma e cofabldade. 3.. A ecooma da redudâca Exsem dos pos báscos de redudâcas avas: a redudâca de ssemas (ou cofguração paralelo-sére), e a redudâca de udades (ou cofguração sére-paralelo). 3 3 ESTRUTURA PARALELO - SÉRIE 90

3 3 CONFIGURAÇÃO SÉRIE - PARALELO 3...Esmava de cuso para redudâca de ssemas Defdo p como a cofabldade da udade, e c como o cuso de cada udade, emos para a esruura em sere: R o p e C o c (3.) Para a redudâca de ssemas, m vezes: m m R s Q oj ( R o ) p j C m C m c s o Para udades dêcas: c c e p p C mc e R p s s m m (3.) (3.3) (3.4) 3... Esmava de cuso para redudâca de udades Para udades e m redudâcas, com..., emos as relações: m [ ( ) ] m R u R Q j p j C u m c Para udades dêcas: m [ ( ) ] C c m e R p u u Para um mesmo umero de redudâcas: m m m [ ( ) ] C mc e R p u u (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) 9

3..3. Mmzação de cusos para redudâca de udades Pardo do ssema básco, Ro e Co, objeva-se agr um ível de cofabldade R a um cero cuso C. Para ao, duas decsões mporaes devem ser avaladas:. Quaas udades redudaes m de cada compoee devem ser ulzadas para mmzar o cuso oal?. Qual o cuso mímo? m [ ( ) ] R R p u C C m c cuso a ser mmzado. u Para m udades redudaes, ode,, 3,...: R α m [ ( p ) ] α R R α α α α R R R R R ( α α α α 3 + + 3+... +... ) α ou α 0 Subsudo a expressão orgal, emos: m α ( p ) R α m l( p ) l( R ) α l( R ) m l( p ) Falmee, emos o cuso oal para redudâca de udades: C u c l α ( R ) ( p ) l f α com,,... (3.9) (3.0) (3.) (3.) O problema resume-se, porao, em mmzar o cuso sob a resrção do parâmero dexado α. 9

( α ) C f,... cuso u α 0 resrcao (3.3) Traa-se de um problema de omzação, cuja solução e fea aravés do méodo dos mulplcadores de Lagrage: f (,,..., ) α ( R ) ( p ) l α α α c + k α l k mulplcador de Lagrage. (3.4) f α 0 para odo Porao, para cada -esma udade : k c R α l R α ( R ) l( p ) (3.5) Para R e R, emos: α lm l R R R α α (3.6) Assm sedo: c k α l ( p ) Para a resrção em α: c α k l p α c - l - p O mulplcador de Lagrage é, porao: (3.7) (3.8) (3.9) 93

c k l ( p ) (3.0) Desa forma, calcula-se α e m para qualquer,, 3,... : c α l ( p ) l c ( p ) m l l α ( R ) ( p ) (3.) De posse deses valores, pode-se esmar a cofabldade R e o cuso mímo C a ela assocado. 3.. Aálse de Dspobldade A relação cuso/beefco básca ere o ível de dspobldade e o produo e que o aumeo da dspobldade melhora a produvdade. Como proposção de melhora de produvdade, deve-se avalar, ambém, os segues cusos: cofabldade maeabldade dspobldade empos de paradas cclo de vda Lembrado que MTTR e a medda de maeabldade e MTTF e a medda de cofabldade, a combação e a eração deses dos parâmeros os forece a déa de dspobldade, coforme apreseado o capulo 4.. A MTTF MTTR + MTTF µ λ + µ (3.) A relação ere MTTR e MTTF e a equação de uma rea: ( A) MTTR A MTTF (3.3) Os segues faores devem ser defdos: A dspobldade desejada A; O empo mímo de falha aceável MTTF; 94

O empo máxmo de reparo possível MTTR. Exse uma esrea relação ere cusos e dspobldade, assocada ao desempeho do projeo. A fgura abaxo mosra como o desempeho do projeo de alera em relação a perfs cosaes de cuso e de dspobldade. MTTR / µ Dspobldade A - fxo c.a. (-A)/A Dspobldade MTTF / λ Noa-se claramee que exsem varas soluções de projeo para dferees íves de desempeho. Para dspobldade cosae, ocorrem rês possíves soluções, que varam de baxo cuso e baxo desempeho (P), a elevados íves de ambos, cuso e desempeho (P3). MTTR / µ A fxo c.a. (-A)/A MTTRmax Regão ecoomcamee vável Meor Cuso MTTFm MTTF / λ 95

Dspobldade B A Dspobldade cosae Perfs de cuso cosae P P P3 Desempeho de Projeo O perfl úmero pode ser coveee, pos proporcoa um cuso razoável, podedo combar valores médos de performace e de dspobldade. A decsão ere os poos A e B, porem, deve evolver uma aalse sobre a permua, ou relação de roca, ere desempeho e dspobldade. Para elevados íves de desempeho e excelee dspobldade, ereao, os cusos serão sempre muo alos. 96

4. ACEITAÇÃO E REJEIÇÃO DE AMOSTRAS Um problema de decsão, o qual um ou dos argumeos devem ser selecoados, e defdo como um problema de ese esaísco de hpóeses. Neses casos, faz-se ecessáro omar decsões sobre parâmeros de populações, baseadose em formações obdas de um grupo amosral aleaóro, a parr da população aalsada, assumdo que a amosra e a população possuem a mesma dsrbução. Porem, para amosras pequeas, ão há evdecas sufcees para ese julgameo, sedo ecessáro um cohecmeo suplemear, o que e facível posulado a hpóese e, eão, verfcado se a esaísca da amosra e comparável aos resulados observados da população. Assm sedo, o ese de uma hpóese esaísca e um procedmeo que leva a decsão de rejear ou acear a hpóese em cosderação, ou ada, rejear ou acear a amosra. Nos eses esaíscos são cosderadas duas hpóeses: uma hpóese cal Ho, que será submeda ao ese; e uma hpóese alerava H. Procede-se com a observação e, se os dados de prova se correlaam com Ho, eão Ho e acea; caso coraro, será rejeada. Porao, se Ho e al que µ µ h (hpoéca meda da população), H poderá ser µ > µ h, µ < µ h, ou µ µ h. Exemplo: Um fabrcae de ubulações ulza maeral com lme de escoameo médo µo 00 kps e desvo padrão σ 0 kps. Selecoa-se para ese uma amosra para verfcação do valor médo. Se a meda amosral for muo próxma a 00 kps, eão Ho e verdadera e a amosra e acea. Porem, formações obdas de amosras em sempre represeam a população, podedo duzr a dos pos de erros: Tpo I: rejear a hpóese cal, quado esa e verdadera. A probabldade de rejear uma amosra, equao represeava, chama-se ível de sgfcâca α, e mplca em rscos para o fabrcae, que pode, ese caso, rejear um loe perfeo. Tpo II: acear a hpóese cal, equao falsa. A probabldade de comeer ese erro deoa-se por β, o que sgfca rsco para o cosumdor de adqurr um produo de loe defeuoso. Normalmee, os projesas corolam o erro po I, fxado a um ível bem baxo, ere 0.0 e 0.05. Os passos são os segues: Defr a hpóese: Ho e µ µ h ; H e µ µ h. Decdr o ível de sgfcâca α. Selecoar o amaho da amosra. Tesar a hpóese esascamee, por exemplo: z x x µ σ h (4.) 97

Defr a regão de rejeção para o valor de α esabelecdo. Realzar o ese expermeal com a amosra, calculado o valor médo e o desvo padrão, para em seguda, subsur a expressão de z x. Observar se z x se localza a regão de rejeção. 0.4 α/ (-α) α/ - z -3 - - 0 3 Iervalo de cofaça 7. Nível de Cofaça Coforme colocado o parágrafo precedee, o valor médo esmado a parr de uma amosra devera represear a população de proveêca do espaço amosral. Ereao, somee o poo esmado ão forece uma solução complea do problema. Tora-se ecessáro saber o quão precsa ou ajusada e al esmava, ou ada, o quao a amosra e represeava da população. Os ervalos de cofaça são a solução medaa para al problema, cosudo-se de faxas de valores dero dos quas pode-se esmar o valor médo correo, por exemplo. Iervalos de cofaça sempre esão assocados a íves de probabldades. Por exemplo: o valor médo da população ecora-se ere 5 e 35, com 95% de ível de cofaça. Os valores que lmam ese ervalo são chamados lmes de cofaça, e a probabldade assocada, ível de cofaça, raduzdo a probabldade do valor esmado realmee se ecorar dero da faxa de cofaça. Assm sedo, o ível de cofaça e a probabldade complemear do ível de sgfcâca α. Nível de cofaça - α O valor perceual do ível de cofaça pode ser deermado aravés da dsrbução Gamma, em sua forma ch-quadrada (χ ), para grau de lberdade (ou umero de falhas) feror a 30. Se o umero de falhas for superor, o ível de cofaça deve ser esmado pela dsrbução ormal. Os quaro parâmeros prcpas assocados ao ível de cofaça são: vda meda, empo lme de operação, lme feror de cofabldade e o própro ível de cofaça. Os lmes de cofaça podem ser ulaeral ou blaeras. 98

Por exemplo, submeedo 0 amosras a um ese e obedo um valor de MTTF gual a 00 horas e, em seguda, repedo o mesmo esao 5 vezes para 5 dferees grupos de 0 amosras, resulado deses esaos os valores de 300, 900, 950, 600, e 000 horas, como sera a esmava fal para o empo médo aé falhas MTTF. Sabe-se que o valor de MTTF obdo dos eses correspode ao valor esperado ou méda m para cada grupo de amosras cosderado. Nese caso, o coceo de ível de cofaça de modo a forecer um perceual de erro, ou rsco, a esmava dese valor, mado dero de deermados lmes aceáves. Ou ada, o ível de cofaça correspode a proporção de amosras com lmes de cofaça que coém o real valor de m MTTF. m5 m5 m5s m4 m4 m4s m3 m3 m3s m m ms m m ms mverdadero Defdo N como úmero oal de amosras e Nc como o úmero de amosras que coém o valor verdadero da méda m, em-se: CL lm NT Nc NT (4.) Assm sedo, a razão do úmero de amosras que ão coém o valor verdadero de m, pelo úmero oal de amosras, os forece o ível de rsco α. Epse e Sobel observaram que a dsrbução ch-quadrada, para r graus de lberdade, se aplca a relação da varável empo oal de ese Ta com a méda m. Ta m (4.3) Porao, para a méda m Ta / r, ode r é o úmero de falhas: rm P χ α / ; r χα/ ; r CL α m 99

(4.4) rm f m CL - α α/ α/ rm m α / ; r rm m α/ ; r Lmes de cofaça A equação aeror pode ser re-arrajada para ceralzar o m: rm rm P < m < χ χ α/ ; r α / ; r CL α (4.5) Assm, o lme de cofaça feror de m é: m rm χ α/ ; r m T χ a α/ ; r E o lme de cofaça superor é: (4.6) 00

m s χ rm α / ; r m s χ T a α / ; r os valores de χ são abelados. (4.7) Como exemplo, cosdera-se um ese com um úmero pré-deermado de falhas e úmero acumulado de horas de ese de 6000 hs. Os lmes de cofaça feror e superor para 95% de ível de cofaça é esmado como segue abaxo: T a 6000 hs. r 0 CL 95% α 5% O lme de cofaça feror é dado por: m Ta 6000 000 35horas χ χ 347 α/ ; r 0. 05; 0. O lme de cofaça superor é dado por: m s Ta 6000 000 5horas χ χ 959 α/ ; r 0. 975; 0. Porao, a probabldade de que o verdadero valor do MTTF eseja ere 35 hs e 5 hs, é de 95% (ível de cofaça da amosra). Valores de χ correspodees à algumas probabldades. 0

χ e ; GL GL/θ 0,995 0,99 0,975 0,95 0,90 0,0 0,05 0,05 0,0 0,000039 0,0006 0,00098 0,0039 0,058,7 3,84 5,0 6,63 0,000 0,00 0,0506 0,06 0,07 4,6 5,99 7,38 9, 3 0,0077 0,5 0,6 0,35 0,584 6,5 7,8 9,35,34 4 0,07 0,97 0,484 0,7,064 7,78 9,49,4 3,8 5 0,4 0,554 0,83,5,6 9,4,07,83 5,09 6 0,676 0,87,4,64,0 0,64,59 4,45 6,8 7 0,989,4,69,7,83,0 4,07 6,0 8,48 8,34,65,8,73 3,49 3,36 5,5 7,53 0,09 9,73,09,70 3,33 4,7 4,68 6,9 9,0,67 0,6,56 3,5 3,94 4,87 5,99 8,3 0,48 3,,60 3,05 3,8 4,57 5,58 7,8 9,68,9 4,73 3,07 3,57 4,40 5,3 6,30 8,55,03 3,34 6, 3 3,57 4, 5,0 5,89 7,04 9,8,36 4,74 7,69 4 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79,06 3,68 6, 9,4 5 4,60 5,3 6,6 7,6 8,55,3 5,00 7,49 30,58 6 5,4 5,8 6,9 7,96 9,3 3,54 6,30 8,85 3,00 8 6,6 7,0 8,3 9,39 0,86 5,99 8,87 3,53 35,8 0 7,43 8,6 9,59 0,85,44 8,4 3,4 34,7 37,57 4 9,89 0,86,40 3,85 5,66 33,0 36,4 39,36 4,98 30 3,79 4,95 6,79 8,49 0,60 40,6 43,77 46,98 50,89 40 0,7,6 4,43 6,5 9,05 5,8 55,76 59,34 63,69 60 35,53 37,48 40,48 43,9 46,46 74,40 79,08 83,30 88,38 0 83,85 86,9 9,58 95,70 00,6 40,3 46,57 5, 58,95 0

5. ENSAIOS ACELERADOS Ssemas complexos de ala cofabldade ecessam de compoees exremamee cofáves. Tas compoees geram dfculdades quao a esmava de sua performace (ou cofabldade) um período de empo razoável, aravés de amosrages e esaos realíscos. Em algus casos, ão é possível esperar um acúmulo de dados de falha, resulaes de modfcações de campo. Tas compoees, devdo ao excelee desempeho, apreseam empos de vda úl exremamee logos, de modo que o empo ecessáro à colea de dados sera sufcee para que o compoee se orasse obsoleo. Uma aproxmação razoável é acelerar o processo de falha, submeedo o compoee a codções de ese (esão, cclos, emperaura, ec.) muo mas rgorosos que as ormas. Tas resulados são, eão, ajusados por modelos aceáves de dsrbuções esaíscas que, udas aos modelos acelerados, esmam as axas de falhas em codções ormas de uso. Teses de esões podem ser aplcados separadamee ou em combação. O ível das esões pode ser cosae, crescee em ervalos, ou progressvamee crescees. Não são esados compoees sob esões que alerem o esado do maeral, ou ada, que ão ocorrem sob codções de uso comum. Um parâmero mporae é o úmero mímo de compoees, para um dado ese acelerado, ecessáro para valdação do modelo, ese caso, gual ao úmero de parâmeros a serem esmados. 5.. Aceleração Real O melhor exemplo de aceleração real é o comado FF - fas forward ulzado em vídeos, ou seja, o processo é acelerado de modo que odos os eveos ocorram a mesma seqüêca, porém acelerados, um meor ervalo de empo. No caso de falhas, em-se o efeo de acelerar o processo de falha sem aleração do mecasmo de falha, em da seqüêca de eveos, deomado aceleração real. Sob aceleração real, somee ocorre uma rasformação a escala do empo, que será aplcada somee sobre um ervalo lmado de esões. Quado uma úca esmava, bem cohecdo da fução desdade, pode ser ulzada como modelo de aceleração real, assume-se a codção de leardade devdo à sua aplcabldade maemáca. Sob aceleração lear real, cada empo de falha é mulplcado pela mesma cosae, bem como cada dsrbução perceual, de modo a ober os valores correspodees a dferees íves de esões, por exemplo. A aceleração do processo de falha é quafcada aravés do faor de aceleração: Α a (5.) 03

a qual: é o empo de falhas em codções ormas, e a é o empo de falhas em esaos acelerados. 5.. Cosderações sobre as Fuções de Cofabldade Para a fução desdade de probabldade de falhas f(): Α a f( ) fa( a) fa Α Α Α (5.) (5.3) Para um empo real geérco : f Α Α f a (5.4) Em seguda, egrado-se a fução desdade de probabldade de falhas para obeção da fução acumulada de falhas, em-se: Q ( ) f d fa d f a Α Α Α Α 0 0 0 Q ( ) f f f Q a a a a a a Α Α Α Α Α Α Α (5.5) Para um empo real geérco: Q Q a Α R Q Q a Α ou ada (5.6) Para a fução axa de falhas: λ f f R Q (5.7) 04

λ fa Α Α Q a Α (5.8) λ λa Α Α (5.9) As expressões f(), Q() e λ() são geras e váldas, equao as codções de aceleração lear real ocorrem. 5.3. Aceleração Físca e Dsrbução de Falha Sedo obdos dados de falha para uma codção de aceleração lear real, deve-se ober a dsrbução para váras ouras codções, eveualmee ormas de operação. 5.3.. Dsrbução Expoecal Quado os eses acelerados apreseam dsrbução expoecal, em-se λa cosae. exp[ λ a ] Q a (5.0) Q Q a a a cos e exp λ ode λ λ Α a Α Α exp[ λ ] Q (5.) (5.) A dsrbução de falhas, em codções ormas, permaece expoecal. 5.3.. Dsrbução de Webull Quado os eses acelerados apreseam uma dsrbução de Webull, emos os parâmeros de forma βa e de escala αª Q a exp αa βa (5.3) Para codções ormas de uso, emos: Α ou ada a a Α 05

Q Q a Α (5.4) a Q β β a exp exp Αα α (5.5) Coua dsrbução de Webull com α Aαa, se e somee se, ambas dsrbuções, com aceleração e em empo ormal, apresearem o mesmo parâmero de forma β βa. Se β é dferee de βa, para dos íves de solcação dferees, eão exsem duas possbldades: a) ão é uma dsrbução de Webull; b) ão ocorre aceleração lear real. λ a β β β β β a β α α a a λ a λ Α Α (5.6) λ βa Α β a Α α a β a β β λ a a λ β Α ( Αα ) (5.7) Ou seja, a relação ere as fuções axa de falha acelerada e ormal somee será lear se βa (dsrbução expoecal). β 5.3.3. Dsrbução Log-ormal Defe-se, ese caso, Ta como empo médo aé falha o esao acelerado. ( l µ ) a fa exp µ a l T a σa π σa (5.8) Para aceleração lear real, cosdera-se T ATa com mesma varaça da dsrbução log-ormal: f l fa( Α) exp Α Α σa π Α ( Α) Ta Α l Α σ a (5.9) 06

f f f ( l lα l( Ta )) exp σa π σ ( l ( lα + µ a) ) exp σa π σ ( l µ ) exp σ π σ a Ou seja, σ σ e µ µ + lα. a a a (5.0) A aceleração lear real ão alera o parâmero de forma, ou varaça σ; mas o parâmero de escala é alerado por A. A faor de aceleração. eão: Se as varaças dferem ere s, para dos dferees íves de esões, a) a dsrbução ão é log-ormal; b) ão ocorre aceleração lear real. 5.3.4. Dsrbução Gamma A desdade de falha para esao acelerado é da forma: f a β a exp β a α Γ β α a a a (5.) f ( Α) fa Α β a Α β a Α α a Γ( βa) exp Αα a (5.) f β a ( β a ) exp exp β Αα Γ β Αα α Γ β α β a a a (5.3) Ou seja, a fução desdade de falha em empo ormal apreseará dsrbução Gamma se os parâmeros de forma forem guas, e se o parâmero de 07

escala respoder learmee de acordo com o faor de aceleração: β β e α Αα. a a 5.4. Modelos de Aceleração 5.4.. Modelo de Arrheus Aplcado a falhas por processo de degradação químca ou devdo a varação de emperaura (dsposvos elerôcos e solameo elérco). Nese caso, a aceleração do processo de falha ocorre por elevação de emperaura. A aplcação do modelo de Arrheus mplca as segues codções: * as esões mas sgfcaes são érmcas; * os empos de vda em dsrbução log-ormal para qualquer emperaura; * o desvo padrão depede da emperaura; * o valor médo do logarímo da varável empo l() é expresso como fução da emperaura: µ A + B T T (5.4) A e B depedem do maeral evolvdo e do po de ese realzado. Sabedo-se que µ Tm (ou empo médo de falha), defe-se para emperaura de ese T o empo médo Tm. T m A exp µ e e T ( B T ) Para emperaura de ese T, emos: (5.5) A ( B T ) Tm exp µ e e T (5.6) Para aceleração real, o faor de aceleração para coduzr eses a emperaura T ao vés de T: T > T e Tm>>Tm T m Α exp B Tm T T (5.7) 08

Deermação de B deve evolver um úmero de equações e de íves de esões gual ao úmero de parâmeros a se deermar. l Α B T T B l Α T T Tm B l Tm T T (5.8) Ode A é o faor de aceleração, B é o parâmero de ese assocado ao maeral, T é a emperaura de ese e Tm, o valor médo. 5.4.. Modelo de Eyrg Aplcado para esões érmcas combadas com esões de oura aureza ( pos). A emperaura méda obedece a segue relação: ([ ] ) ( B T) exp ( ) T e A T α e k + k T S m (5.9) Ode α, A e B são parâmeros de emperaura e S são esões adcoas. Se α 0 e 0, eão o modelo de Eyrg ede ao modelo de Arrheus. Por exemplo, para esão érmca mas uma adcoal: ([ ] ) ( B T) T e A T α e k + k T S m exp (5.30) Porao, são rês parâmeros para esão érmca, mas dos parâmeros para cada esão adcoal S. 09

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RAMAKUMAR, R. Egeerg Relably: Fudameals ad Applcaos. Oklahoma: Prece-Hall Ieraoal, 48p. 993. LEWIS, E.E. Iroduco o relably egeerg. Joh & Wley & Sos, Ic. 435p. 996. BERGAMO, V. Cofabldade: básca e práca. São Paulo: Edgard Blücher Lda.08p. 997. SMITH, C. O. Iroduco o relably desg. McGraw-Hll. 63p.976. DOTY, L.A. Relably for he echologes. New York: ASQC Qualy Press Book. 307p. 989. POMPAS-SMITH, J.H. Mechacal Survval: he use of relably daa. Lodo: McGrawHll. 99p. 973. 0