Mecânica Geral Básica

Mecânica Geral Básica Cinemáica do Pono Maerial Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração Diz-se que uma parícula que se moe ao longo de uma linha rea esá em moimeno reilíneo. A coordenada de posição de uma parícula é definida pela disância, posiia ou negaia, da parícula a uma origem fia na linha em que ela se desloca.

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração O moimeno de uma parícula é conhecido se a coordenada de posição da parícula é conhecida para cada insane do empo. O moimeno da parícula pode ser epresso sob a forma de uma função, por eemplo, 6 ou na forma de um gráfico de em função de. 3

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração Consideremos uma parícula que ocupa as posições P, no insane, e P, no insane +D, V m D D V ins lim D D D

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração A Velocidade insanânea pode ser posiia ou negaia. A inensidade da elocidade é conhecida como elocidade escalar da parícula.

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração Pela definição de deriada, lim D D D d d por eemplo, 6 3 d d 1 3

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração Consideremos uma parícula com elocidade, no insane, e, no insane +D, Aceleração insanânea a lim D D D

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração A aceleração insanânea pode ser: posiia: correspondendo a um aumeno em uma elocidade posiia ou a uma diminuição em uma elocidade negaia; negaia: correspondendo a uma diminuição em uma elocidade posiia ou a um aumeno em uma elocidade negaia.

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração A parir da definição de deriada: por eemplo: 6 3 1 3 d a 1 6 d a D d d lim D D d d

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração Consideremos uma parícula cujo moimeno é descrio pela equação: 3 6 d d 1 3 a d d 1 d d 6

Moimeno Reilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração 6 3 d d 1 3 a d d 1 6 d d quando =, =, =, a = 1 m/s quando = s, = 16 m, = má = 1 m/s, a = quando = 4 s, = má = 3 m, =, a = -1 m/s quando = 6 s, =, = -36 m/s, a = -4 m/s

Deerminação do Moimeno de uma Parícula Lembremos que o moimeno de uma parícula é ido como conhecido se sua posição for conhecida para cada insane do empo. Mais frequenemene, as condições do moimeno serão especificadas pelo ipo de aceleração que a parícula possui. Porano, para deerminar a elocidade e a posição é necessário efeuar duas inegrações. Três classes comuns de moimeno são aquelas em que: a aceleração é uma dada função do empo, a = f() a aceleração é uma dada função da posição, a = f() aceleração é uma dada função da elocidade, a = f()

Deerminação do Moimeno de uma Parícula a aceleração é uma dada função do empo, a = f() : d a f d f d d f d d f d d d d d d d d

Deerminação do Moimeno de uma Parícula a aceleração é uma dada função da posição, a = f() : d ou d d a d ou a d f d d d d f d d f d 1 1 f d

Deerminação do Moimeno de uma Parícula a aceleração é uma dada função da elocidade, a = f(): d d d a f d d d f f d f d d d a f d d d f f d f

Eemplo 1 Uma bola é arremessada para cima com elocidade erical de 1 m/s de uma janela localizada a m acima do solo. Deermine: a. a elocidade e a eleação da bola acima do solo para qualquer insane, b. a eleação máima aingida pela bola e o correspondene alor de, e c. o insane em que a bola aingirá o solo e a elocidade correspondene.

Eemplo 1 SOLUÇÃO: a. Inegramos a aceleração duas ezes para enconrar () e y(). b. Deerminamos o alor de para o qual a elocidade se iguala a zero (insane em que a eleação é máima) e calculamos a aliude correspondene. c. Deerminamos o alor de para o qual a eleação se iguala a zero (insane em que a bola ainge o solo) e calculamos a elocidade correspondene.

Eemplo 1 a. Inegramos a aceleração duas ezes para enconrar () e y(). d d a d 9,81m s 9,81d 9,81 m s m 9,81 s 1

Eemplo 1 a. Inegramos a aceleração duas ezes para enconrar () e y(). dy d y y 1 9,81 dy 1 9,81 d y y 1 9,81 1 y m s m s m 1 4,95

Eemplo 1 b. Deerminamos o alor de para o qual a elocidade se iguala a zero. m s m s 1 9,81 1,19s

Eemplo 1 b. Calculamos a aliude correspondene. y y m 1 m 1 m s m s m 4,95 s m s 1,19s 4,95 1,19s y 5,1m

Eemplo 1 c. Deerminamos o alor de para o qual a eleação da parícula se iguala a zero e calculamos a elocidade correspondene. y m s m s m 1 4,95 1,43s 3,8s não seaplica

Eemplo 1 c. Deerminamos o alor de para o qual a eleação da parícula se iguala a zero e calculamos a elocidade correspondene. 3,8s 1 m s m 9,81 s m s m s 3,8s 1 9,81 3,8s, m s

Eemplo O mecanismo de freio usado para reduzir o recuo em ceros ipos de arma consise em um pisão preso ao cano e que se moe em um cilindro fio, cheio de óleo. Quando o cano recua com elocidade inicial, o pisão se moe e o óleo é forçado araés de orifícios em seu inerior, causando uma desaceleração do pisão e do cano a uma aa proporcional à elocidade de ambos. Deermine (), (), e (). a k

Eemplo SOLUÇÃO: Inegramos a = d/d = -k para enconrar (). Inegramos () = d/d para enconrar (). Inegramos a = d/d = -k para enconrar ().

Eemplo Inegramos a = d/d = -k para enconrar (). a ln d k d d k d k e k

Eemplo Inegramos () = d/d para enconrar (). d d e 1 e k k k d e d k k k 1 e

Eemplo Inegramos a = d/d = -k para enconrar (). a d d k k d k d d k d k

Moimeno Reilíneo Uniforme Para uma parícula em moimeno reilíneo uniforme, a aceleração é zero e a elocidade é consane. d d d consane d 11-9

Moimeno Reilíneo Uniformemene Acelerado Para uma parícula em moimeno reilíneo uniformemene acelerado, a aceleração é consane. d d a a consane d a d a d d a 1 a d a d 1 a

Moimeno Reilíneo Uniformemene Acelerado Para uma parícula em moimeno reilíneo uniformemene acelerado, a aceleração é consane. 1 consane a a d a d a d d

Moimeno de Muias Parículas Para parículas que se moem ao longo da mesma linha, o empo dee ser conado a parir do mesmo insane inicial e os deslocamenos deem ser medidos em relação à mesma origem e no mesmo senido. B A B A coordenada de posição relaia de B em relação a A B A B A

Moimeno de Muias Parículas A B A B elocidade relaia de B em relação a A A B A B A B A B a a a aceleração relaia de B em relação a A A B A B a a a

Eemplo 3 Uma bola é arremessada ericalmene para cima de uma alura de 1 m de um poço de eleador com elocidade inicial de 18 m/s. No mesmo insane, um eleador de plaaforma abera passa pelo níel de 5 m, subindo com elocidade de m/s. Deermine (a) quando e onde a bola ainge o eleador e (b) a elocidade relaia da bola em relação ao eleador quando a bola o ainge.

Eemplo 3 SOLUÇÃO: Subsiuímos a posição e a elocidade iniciais e a aceleração consane nas equações gerais para o moimeno reilíneo uniformemene acelerado. Subsiuímos a posição inicial e a elocidade do eleador na equação para o moimeno reilíneo uniforme. Escreemos equações para a posição relaia da bola em relação ao eleador e resolemos para a posição relaia zero, ou seja, para a posição em que ambos se chocam. Subsiuímos o alor do insane de empo do impaco nas equações para a posição do eleador e para elocidade relaia da bola em relação ao eleador.

Eemplo 3 a. Subsiuímos a posição e a elocidade iniciais e a aceleração consane nas equações gerais para o moimeno reilíneo uniformemene acelerado. m m B a 18 9,81 s s m m yb y a 1 m 18 4,95 s s 1

Eemplo 3 Subsiuímos a posição inicial e a elocidade do eleador na equação para o moimeno reilíneo uniforme. y E E y m s E 5m m s

Eemplo 3 Escreemos equações para a posição relaia da bola em relação ao eleador e resolemos para a posição relaia zero, ou seja, para a posição em que ambos se chocam. y E 1 18 4,95 5 B,39s 3,65s não seaplica Subsiuímos o alor do insane de empo do impaco nas equações para a posição do eleador e para elocidade relaia da bola em relação ao eleador. ye 5 3,65 y E b. 18 9,81 BE 1.3m B m 19,81 16 9,81 3, 65 E s

Moimeno de Muias Parículas: Moimeno Dependene A posição de uma parícula pode depender da posição de oura parícula ou de árias ouras parículas. Na figura ao lado, a posição do bloco B depende da posição do bloco A. Como a corda em comprimeno consane, em-se que a soma dos comprimenos dos seus segmenos é consane. consane (um A B grau de liberdade)

Moimeno de Muias Parículas: Moimeno Dependene As posições dos rês blocos ao lado são dependenes. A B C consane (dois graus de liberdade) Para parículas cujas posições esão relacionadas linearmene, uma relação semelhane é álida enre as elocidades e as acelerações das parículas. d d d d d d A B C ou A B C d d d d d d A B C ou a A a B a C

Eemplo 4 A polia D esá presa a um cursor que que é puado para baio com elocidade de 7,5 cm/s. No insane =, o cursor A começa a se moer para baio a parir de K com aceleração consane e elocidade inicial nula. Sabendo que a elocidade do cursor A é de 3 cm/s ao passar pelo pono L, deermine a ariação na eleação, a elocidade e a aceleração do bloco B quando o bloco A passar por L.

Eemplo 4 SOLUÇÃO: Colocamos a origem na superfície horizonal superior e escolhemos o senido posiio para baio. O cursor A em moimeno reilíneo uniformemene acelerado. Calculamos sua aceleração e o empo para que passe por L. A polia D em moimeno reilíneo uniforme. ariação da posição no empo. Calculamos a O moimeno do bloco B é dependene dos moimenos do cursor A e da polia D. Escreemos relações enre os moimenos e as resolemos para ober a ariação na eleação do bloco B. Deriamos a relação de moimeno duas ezes para ober equações para a elocidade e para a aceleração do bloco B.

Eemplo 4 Colocamos a origem na superfície horizonal superior e escolhemos o senido posiio para baio. O cursor A em moimeno reilíneo uniformemene acelerado. Calculamos sua aceleração e o empo para que passe por L. A 3 a A cm s A a A A A cm s cm aa,5 A A cm cm 3,5 s s a A 1,333 s

Eemplo 4 A polia D em moimeno reilíneo uniforme. Calculamos a ariação da posição no empo. D D D 7,5 1,333s 1 cm D D cm s

Eemplo 4 O moimeno do bloco B é dependene dos moimenos do cursor A e da polia D. Escreemos relações enre os moimenos e as resolemos para ober a ariação na eleação do bloco B. O comprimeno oal do cabo permanece consane, logo, A D B A D B A A D D B B cm 1cm B B B cm B 4

Eemplo 4 Deriamos a relação de moimeno duas ezes para ober equações para a elocidade e para a aceleração do bloco B. A A 3 cm s D D B B 3 consane 7,5 s B B cm 45 s a A a D a cm,5 s B a B a B cm,5 s

Solução Gráfica de Problemas de Moimeno Reilíneo Dada a cura -, a cura - é igual à sua inclinação. Dada a cura -, a cura a- é igual à sua inclinação.

Solução Gráfica de Problemas de Moimeno Reilíneo A área medida sob a cura a- de 1 a é igual à ariação da elocidade durane esse mesmo ineralo de empo. A área medida sob a cura - de 1 a é igual à ariação da posição durane esse mesmo ineralo de empo.

Ouros Méodos Gráficos O méodo do momeno de área é usado para se deerminar a posição de um parícula em um insane direamene a parir da cura a-. 1 1 1 1 sob a cura área d uilizando d = a d, 1 1 1 1 a d

Ouros Méodos Gráficos 1 a d 1 1 primeiro momeno da área sob a cura a- em relação à linha = 1. 1 abscissa do cenróide sob a cura a- área 1 C

Ouros Méodos Gráficos Méodo para deerminar a aceleração da parícula a parir da cura -: a d d AB an BC Subnormal à cura -

Moimeno Curilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração Uma parícula que se desloca ao longo de uma cura que não é uma linha rea esá em moimeno curilíneo. O eor de posição de uma parícula em um dado insane é definido como um eor que une a origem O de um sisema de referência fio à posição ocupada pela parícula.

Moimeno Curilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração Consideremos uma parícula que ocupa uma posição P definida por r no insane de empo e uma posição P definida por r no insane + D. Para essa parícula emos, Dr dr lim D D d elocidade ins.( eor) Ds ds lim D D d elocidade escalar

Moimeno Curilíneo: Posição, Velocidade e Aceleração Consideremos uma parícula com elocidade no insane e elocidade no insane + D. Para essa parícula emos, a D d lim D d acel. ins. D Em geral, a aceleração não é angene à rajeória e à elocidade da parícula.

Deriadas de Funções Veoriais Para uma função P u da ariáel escalar u, emos dp du lim Du DP Du lim Du P u Du Pu Du Deriada da soma de duas funções eoriais: d P Q du dp du dq du

Deriadas de Funções Veoriais Deriada do produo de uma função escalar por uma função eorial: d f P du df du P f dp du Deriadas do produo escalar e do produo eorial: d d P Q du P Q du dp dq Q P du du dp dq Q P du du

Componenes Reangulares de Velocidade e Aceleração O uso de componenes reangulares é paricularmene eficaz quando os componenes da aceleração podem ser inegrados independenemene como, por eemplo, no moimeno de um projéil, para o qual emos, a a y g a z y z Com as condições iniciais y z z

Componenes Reangulares de Velocidade e Aceleração inegrando duas ezes obemos, y y g z 1 y y g z y O moimeno na direção horizonal é uniforme. O moimeno na direção erical é uniformemene acelerado. O moimeno do projéil pode ser subsiuído por dois moimenos reilíneos independenes.

Moimeno Relaio a um Sisema de Referência em Translação Designemos um sisema de referência como o sisema de referência fio. Todos os demais sisemas não ligados rigidamene a ele são sisemas de referência móeis. Os eores de posição para as parículas A e B em relação ao sisema de referência fio Oyz são r A r. e B

Moimeno Relaio a um Sisema de Referência em Translação r O eor B A que une A a B define a posição de B em relação ao sisema móel A y z e r r r B A B A Deriando duas ezes obemos, B A B A B A elocidade de B em relação ao referencial A. a B a A a B A a B A aceleração de B em relação ao referencial A. O moimeno absoluo de B pode ser obido pela combinação do moimeno de A e do moimeno relaio de B em relação ao referencial móel preso em A.

Componenes Tangencial e Normal O eor elocidade de uma parícula é angene à sua rajeória, mas, em geral, a aceleração não é angene a essa rajeória. Deseja-se enão, epressar a aceleração da parícula em ermos de componenes angencial e normal à rajeória.

Componenes Tangencial e Normal d de e e e e e n n n D D D D D D D D sen lim lim sen Na figura, são eores uniários angenes à rajeória da parícula em P e P. Quando ambos são raçados a parir da mesma origem, e é o ângulo enre eles. Enconramos que a inensidade de é: e e e e e e D D De

Componenes Tangencial e Normal Com o eor elocidade epresso como parícula pode ser escria como: e, a aceleração da a d d d d e de d d d e de d ds d ds d

Componenes Tangencial e Normal Após as subsiuições emos, d d a e en a an d d O componene angencial da aceleração reflee a ariação na inensidade do eor elocidade e o componene normal reflee as mudanças em sua direção. O componene angencial pode ser posiio ou negaio. O componene normal sempre apona para o cenro da curaura da rajeória.

Componenes Tangencial e Normal As relações para as acelerações normal e angencial ambém são álidas para uma parícula que se desloca ao longo de uma cura no espaço. a d d e e n a d d a n O plano que coném os eores uniários angencial e normal é chamado plano osculador. A Normal ao plano osculador é obida a parir da relação e e e n b b e normal e binormal n principal A aceleração não em nenhum componene ao longo da binormal.

Componenes Radial e Transersal Quando a posição de uma parícula é dada em coordenadas polares, é coneniene decompor a elocidade e a aceleração em componenes paralelo e perpendicular à linha OP. r re r de d de d de d r e e r r de d der d d d e de d e d d d d r d d

Componenes Radial e Transersal Nesse caso, o eor elocidade da parícula é d d r e r dr rer e d r e r r de d r dr d e r r d e d De maneira análoga, a aceleração da parícula é a d d d d dr d r e r d er r e d dr de r d d r r er r r e dr d d e d r d e d r d de d d

Componenes Radial e Transersal Quando a posição de uma parícula é dada em coordenadas cilíndricas, é coneniene epressar sua elocidade e sua aceleração uilizando os eores uniários, e e k. e R Verificamos que, nesse caso, o eor de posição é: r R e R z k O eor elocidade é: dr d R e R R e z k E o eor aceleração é: a d d R R e R R e z k R

Eemplo 5 Um moorisa esá percorrendo uma seção cura de rodoia a 96 km/h. Ele, enão, aciona os freios impondo ao carro uma aa de desaceleração consane. Sabendo que após 8 s a elocidade escalar for reduzida para 7 km/h, deermine a aceleração do auomóel imediaamene após os freios erem sido acionados.

Eemplo 5 SOLUÇÃO: Calculamos os componenes angencial e normal da aceleração. Deerminamos a inensidade e a direção da aceleração. 96 km/h 7 km/h 6,67 m/s m/s

Eemplo 5 Calculamos os componenes angencial e normal da aceleração. a a n D D 6,67 8 s 6,67 m s 75m m s m,83 s m,95 s Deerminamos a inensidade e a direção da aceleração.,83,95 m a 1,6 s a a an an a a n,95,83 48, 9

Eemplo 6 O roação do braço OA em orno de O é definida pela relação =,15, onde esá em radianos e em segundos. O Cursor B desliza ao longo do braço de al maneira que sua disância em relação a O é r =,9,1, onde r é epresso em meros. Após o braço er girado 3 o, deermine (a) a elocidade oal do cursor, (b) a aceleração oal do cursor e (c) a aceleração relaia do cursor em relação ao braço.

Eemplo 5 SOLUÇÃO: Deerminamos o empo para o qual = 3 o. Deerminamos os alores de r e, e de suas primeiras e segundas deriadas no insane. Calculamos a elocidade e a aceleração em coordenadas cilíndricas. Deerminamos a aceleração do cursor em relação ao braço.

Eemplo 5 Calculamos o empo para o qual = 3 o.,15 3,54 rad 1,869 s Deerminamos os alores de r e, e de suas primeiras e segundas deriadas no insane r,9,1 r,4 m s,481 m r,4,449m s,15,3,3 rad,54 rad,561rad s s

Eemplo 5 Calculamos a elocidade e a aceleração. r r,449 m r r s,481m,561rad s arcan r,7m s,54m s 31,

Eemplo 5 a a r r r,4 m a,391m s r r,481m,561rad s,481m,3 rad s,449m s,561rad s,359 m a r a s s arcan a a r a,531m s 4, 6

Eemplo 5 Deerminamos a aceleração do cursor em relação ao braço. O moimeno do cursor em relação ao braço é reilíneo e definido pela coordenada r. a B OA r,4m s