RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

UNIVERSIDDE DE ÉVOR ESOL DE IÊNI E TENOLOGI - DEPRTMENTO DE ENGENHRI RURL RESISTÊNI DE MTERIIS DEFORMÇÃO DEVID MOMENTO FLETOR INSTILIDDE EM OMPRESSÃO XIL (pontamentos para uso dos lunos) JOSÉ OLIVEIR PEÇ ÉVOR 016 1

INDIE Nota do autor... 3 1. Deformação devida a momento flector... 4 1.1. Deformação em flexão circular recta... 4 1.. Teoremas de Mohr... 4 1.3. Resolução para diversos tipos de apoios e carregamentos... 6 1.3.1. Vigas em consola... 7 1.3.. Vigas bi-apoiadas (apoios nas extremidades)... 7 1.3.3. Vigas bi-apoiadas estendendo-se para além dos apoios... 13 1.4.Tabela... 14 1.5. aderno de problemas de deformação em momento flector... 14 1.5.1. Vigas em consola... 14 1.5.. Vigas bi-apoiadas... 17 1.5.3. Vigas bi-apoiadas estendendo-se para além dos apoios... 19. Instabilidade em compressão axial... 19.1. Generalidades... 19.. arga crítica de Euler... 0.3. Efeito dos diferentes tipos de apoio na carga crítica... 0.4. Expressão geral da carga crítica e coeficiente de esbelteza... 1.5. Domínio de aplicação da carga crítica de Euler....6. Dimensionamento em compressão axial....7. Problema resolvido... 3.8. Problemas não resolvidos... 4.9. aderno de problemas de instabilidade em compressão axial... 6 Referências... 34

Nota do autor Tendo sido interrompido, a partir do ano lectivo de 015/016, o 1º iclo do urso de Engenharia ivil, o autor resolveu reunir toda a informação que foi disponibilizada aos alunos da disciplina de Resistência de Materiais, durante os 8 anos em que o curso funcionou na Universidade de Évora. O presente trabalho versa os temas do Deformação devida a momento flector e da Instabilidade em compressão axial da Resistência de Materiais e é uma edição revista e acrescentada das edições que foram publicadas em 010; 009 e 008. No curso, a disciplina de Resistência de Materiais tinha a duração de um único semestre (4º semestre), pelo que foi necessário selecionar os temas mais relevantes a ensinar dos temas acima referidos. Nos diversos pontos deste trabalho são apresentados os aspectos formais importantes, completados com problemas resolvidos e não resolvidos de aplicação. Estão, ainda, incluídos todos os exercícios de aplicação abordados nas aulas práticas e os que foram alvo de avaliação nas provas de frequência e de exame. 3

1. Deformação devida a momento flector 1.1. Deformação em flexão circular recta s deformações em flexão circular recta (M=constante; T=0; N=0; M t =0) foram abordadas no capítulo III..1. omo se viu na altura, a forma particular da deformada em flexão circular (arco de circunferência), permite conhecer, com base na geometria, o ângulo relativo (φ) entre as secções dos apoios e o valor do deslocamento na vertical (δ). O exemplo seguinte permitirá recordar este tema: P kn P kn a b a P kn δ P kn ρ ρ ρ φ dmitindo que o material tem comportamento elástico linear, então, conhecendo o momento flector (M) podemos facilmente obter o raio da deformada (ρ): 1 M EI O valor do ângulo relativo entre as secções dos apoios será obtido pela expressão: b M b EI Finalmente, atendendo a razões geométricas, facilmente se obtém: cos 1.. Teoremas de Mohr Nos casos mais gerais de flexão simples (M constante; T 0; N=0; M t =0), a forma da deformada não é um arco de circunferência, pelo que há que recorrer a outros métodos para avaliar a deformação. Seguidamente aborda-se um desses métodos, conhecido como os Teoremas de Mohr. 4

1º teorema de Mohr: rotação (φ) relativa de duas secções (a e b), é igual à área () do diagrama de curvaturas entre essas duas secções. z M dz z1 EI z 1 z z a φ b figura anterior mostra a deformada de uma barra sujeita a um momento flector não constante M=f(z). Nessa deformada estão marcadas duas secções a e b. figura anterior mostra, igualmente, o diagrama das curvaturas da barra, o qual é obtido dividindo o momento flector (M) pela rigidez à flexão (EI). º teorema de Mohr: s tangentes à deformada em dois pontos a e b, cruzam a recta perpendicular ao eixo da peça, que passa pelo ponto a, em dois pontos; estes pontos distam entre si o valor igual ao momento estático da área () do diagrama de curvaturas definida entre a e b, em relação à recta perpendicular que passa pelo ponto a. a z z1 M EI z z1 dz da 5

z 1 d a c.g. d b z z φ a b a b De igual modo: as tangentes à deformada em dois pontos a e b, cruzam a recta perpendicular ao eixo da peça, que passa pelo ponto b, em dois pontos; estes pontos distam entre si o valor igual ao momento estático da área () do diagrama de curvaturas definida entre a e b, em relação à recta perpendicular que passa pelo ponto b. z M b z z dz db z1 EI aplicação dos teoremas de Mohr pressupõe o conhecimento de áreas e momento estáticos de áreas que se definem na função M EI f (z). Esta pode ser uma curva do 1º grau (recta), ou de grau superior. No final deste capítulo apresenta-se uma tabela com informação respeitante a curvas mais usualmente encontradas nos problemas. 1.3. Resolução para diversos tipos de apoios e carregamentos Os pontos seguintes mostram exemplos em que a utilização dos teoremas de Mohr permite determinar deslocamentos da barra quando sujeitas a flexão simples provocada por esforços concentrados ou carregamentos contínuos ada um dos exemplos terá uma abordagem diferente na aplicação dos teoremas de Mohr. 6

1.3.1. Vigas em consola Deslocamento em qualquer ponto : plicar o º teorema de Mohr entre e δ c 1.3.. Vigas bi-apoiadas (apoios nas extremidades) No caso das barras bi-apoiadas há ainda que distinguir se o objectivo é a determinação do deslocamento devido à flexão num ponto concreto, ou a determinação do deslocamento máximo. Deslocamento em qualquer ponto plicar o º teor. de Mohr entre e / / { plicar o º teor. de Mohr entre e / } / / δ c / través da semelhança de triângulos calcula-se δ c 7

Deslocamento máximo - δ max l plicar o º teor. de Mohr entre e / / alcular o ângulo φ φ=( / )/l z φ 1º teor. de Mohr entre e φ = f(z) Da expressões anterior (φ é conhecido), obter o valor de z ª teorema de Mohr entre e δ max z δ max Exemplo alcular o deslocamento máximo verificado na barra da figura seguinte 10 kn V 1m 3m 8

Resolução: 10 kn 1m 10/3 kn 0/3 kn 3m T 10/3 kn z M - 0/3 kn z 0/3 knm M EI m 1m Diagrama de curvaturas plicando o º teorema de Mohr entre e : s tangentes à deformada nas secções e cruzam a recta perpendicular ao eixo da peça que passa por b em dois pontos; estes pontos distam entre si o valor ( b ). Recta perpendicular ao eixo da peça distância b é igual ao momento estático da área (sombreada na figura seguinte), em relação à recta perpendicular que passa por b. 9

m 1m Diagrama de curvaturas 1 Recta perpendicular ao eixo da peça b 1 1 1 1 3 3 1 0 3EI 1 0 3EI 1 0 1 3EI 10 3EI 40 b 3EI tendendo à figura seguinte: φ φ tan 40 3 9EI Uma vez que as deformações são sempre muito pequenas, o ângulo φ é pequeno, o que significa que a tangente de φ é muito semelhante ao valor do próprio ângulo φ expresso em radianos: tan φ φ (rad) plicando o 1º teorema de Mohr: rotação (φ) relativa das duas secções (ver figura seguinte), 10

φ Secções é igual à área sombreada do diagrama de curvaturas (figura seguinte). m 1m z 1 Diagrama de curvaturas φ Secções altura do triângulo sombreado pode ser obtido da equação da função M EI f (z), ou neste caso, pela lei da semelhança dos triângulos: 0 3EI 1 obtendo-se: 10z 1 3EI O ângulo φ é igual à área triangular marcada na figura anterior: 1 10z1 z 3EI Igualando as duas deduções do ângulo φ: 1 10z1 6EI 11

plicando o º teorema de Mohr entre e : Recta perpendicular ao eixo da peça a Secções s tangentes à deformada nas duas secções (ver figura anterior) cruzam a recta perpendicular ao eixo da peça, em dois pontos; estes pontos distam entre si o valor a. distância a é igual ao momento estático da área (sombreada na figura seguinte), em relação à recta indicada na figura. 1.633 5.433/EI a =δ Secções altura do triângulo sombreado pode ser obtido da função M EI f (z) ou, neste caso, pela lei da semelhança dos triângulos: 0 3EI obtendo-se: 5.443 EI O valor de a, o qual é igual à deformação máxima da peça, será: 1 5.433 4. 1.633 1.633 89 a EI 3 EI m 1

1.3.3. Vigas bi-apoiadas estendendo-se para além dos apoios No caso de barras vigas bi-apoiadas estendendo-se para além dos apoios, há ainda a distinguir se a extensão tem ou não carregamento. Sem carregamento entre e : plicar o º teorema de Mohr entre e / δ / Da semelhança de triângulos δ δ / om carregamento entre e : plicar o º teorema de Mohr entre e / 1 / Da semelhança de triângulos 1 1 / plicar o º teorema de Mohr entre e / / δ = 1 - / 13

1.4.Tabela a c.g. º grau b/4 b a c.g. º grau 3b/8 b a c.g. 3º grau b/5 b b c.g. a d h 1.5. aderno de problemas de deformação em momento flector 1.5.1. Vigas em consola 1) Para a barra da figura seguinte, com rigidez de flexão igual a EI, calcule a expressão do deslocamento da extremidade. 14

P l Solução: 1 Pl 3 3 EI ) Para a barra da figura seguinte, com rigidez de flexão igual a EI, calcule a expressão do deslocamento da extremidade livre. P a b Solução: Pa a b EI 3 3) consola da figura seguinte, é constituída por um perfil INP 1, sendo que no troço o perfil está reforçado por chapa de secção 70mm 6mm, soldada em ambos os banzos. dmita material com E = 00GPa. alcule o deslocamento da extremidade. 10kN 10kN 0.5m 0.5m Solução: δ=3.6mm 4) consola da figura seguinte, é constituída por um perfil INP 16, sendo que no troço o perfil está reforçado por barra de secção 50mm 0mm, soldada em ambos os banzos. dmita material com E = 00GPa. alcule o deslocamento da extremidade. 15

30kN/m 0mm 1m 1m Solução: δ=11.8mm 5) Para a barra da figura seguinte, calcule o valor do deslocamento da extremidade livre. dmita um perfil com momento de inércia em relação ao eixo neutro I = 4580cm 4 e feito de material com módulo de elasticidade E = 00GPa 30kN 30kN 0.6m 0.6m Solução: δ=.48mm 6) Para a barra da figura seguinte, com rigidez de flexão igual a EI, calcule a expressão do deslocamento da extremidade. Sugere-se a utilização do princípio da sobreposição. 10kN/m 0kN 1.5m 1.5m 157.5 EI Solução: (em metros) 7) Para a barra da figura seguinte, com rigidez de flexão igual a EI, calcule o deslocamento da extremidade. Sugere-se a utilização do princípio da sobreposição. 16

7.5kN 10kN/m m Solução: 0 8) Determine o deslocamento do ponto da viga, admitindo EI como valor de rigidez à flexão: w(kn/m) L/ L/ Solução: 0.107wL 4 EI 1.5.. Vigas bi-apoiadas 9) Determine o deslocamento do ponto D da viga, admitindo: E = 00GPa e I = 16 10-6 m 4. 60kN 100kN 0.9m D.1m 1.8m 4.8m Solução: δ D = 6.17mm 10) onsidere a seguinte viga sujeita a um momento no apoio simples. L M z 17

a) Utilize os teoremas de Mohr para determinar a distância z que localiza, no vão da viga, o ponto onde se dá o deslocamento máximo. b) Determine o deslocamento máximo. Solução a) z = 0.577 L; b) max 0. 064L M EI 11) Determine o deslocamento máximo da viga, admitindo uma rigidez à flexão de EI. qkn/m Solução: 5qL 4 384EI L 1) viga da figura seguinte, é constituída por um perfil I (características abaixo indicadas), reforçado na parte central por chapa de secção 30mm 14mm, soldada em ambos os banzos. dmita material com E = 00GPa. alcule o deslocamento máximo. (5 valores) 180kN 360kN 180kN.4m.4m 4.m 4.m x h I x = 166000cm 4 h = 753mm Solução: δ D = 6.17mm Solução: δ = 1.9mm 18

13) Determine o deslocamento do ponto da viga, admitindo: E = 00GPa e I = 45cm 4. 10kN/m m 4m Solução: δ = 18.44mm 1.5.3. Vigas bi-apoiadas estendendo-se para além dos apoios 14) onsidere a viga da figura e com uma rigidez à flexão de EI: a) alcule o deslocamento a meio vão; (3 valores) b) alcule o deslocamento em. (3 valores) 0kN 0kN 1m m 1m 10 EI Solução: a) ; b) 80 3EI 15) Determine o deslocamento na secção da seguinte viga. dmita um INP00 e um material com E = 06GPa. Sugere-se a utilização do princípio da sobreposição. 30kN/m 10kN e.a. 4m m Solução: δ= - 18.1mm. Instabilidade em compressão axial.1. Generalidades Define-se estabilidade como a capacidade do sistema de recuperar o seu estado inicial, após ter sido perturbado da sua posição de equilíbrio. Se o sistema não possuir esta capacidade é classificado como instável. consola da figura seguinte, comprimida axialmente. ilustra um caso simples de perda de estabilidade: 19

cima de determinada força axial verifica-se uma flexão de toda a barra a barra encurva. força axial acima da qual se dá a encurvadura (buckling) chama-se carga crítica (critical load).. arga crítica de Euler O matemático suíço do século 18 Leonhard Euler deduziu o valor da carga crítica para uma barra apoiada nas duas extremidades, como indicado na figura seguinte: l P crit P crit z P crit EI l carga P crit é conhecida como a carga de encurvadura de Euler. dedução assenta no pressuposto de que o material tem comportamento elástico linear e que as deformações são muito pequenas..3. Efeito dos diferentes tipos de apoio na carga crítica dmitindo um comportamento elástico linear do material e compressão axial (linha de acção da força passa no centro de gravidade da secção) a carga de encurvadura de Euler toma a seguinte expressão geral: P crit EI l l e dá-se o nome de comprimento de encurvadura, o qual depende do tipo de apoio da barra: e l l e = l l e = l l e = 0.5 l l e 0.7 l 0

Por exemplo a carga crítica de Euler para o pilar da figura seguinte, será: encurvadura dar-se-á em torno do eixo (que passa no c.g. da secção transversal) em relação ao qual o momento de inércia é mínimo..4. Expressão geral da carga crítica e coeficiente de esbelteza Denomina-se coeficiente de esbelteza (slenderness ratio): l e - comprimento de encurvadura; i - raio de giração (radius of gration). l e i tendendo à noção de raio de giração (radius of gration): i I I Momento de inércia da secção; Ω - área da secção transversal. carga de encurvadura de Euler toma a seguinte expressão geral: P crit EI l e E Notar portanto que uma peça tem um P crit baixo (e por isso mais fácil de atingir e a peça encurvar) quanto maior for o see coeficiente de esbelteza. tensão crítica (critical stress): P E l crit crit e I crit E i l e E 1

.5. Domínio de aplicação da carga crítica de Euler tensão crítica (critical stress): crit P crit E 1 Tendo em consideração que o material tem comportamento elástico linear, com tensão limite de proporcionalidade (proportional limit stress) σ p : crit E p E p tensão limite de proporcionalidade σ p é, no caso dos aços 0.8 σ Rd. Desta forma é possível determinar o coeficiente de esbelteza a partir do qual a carga crítica de Euler passa a ser determinante em compressão axial. ço σ Rd (MPa) λ Fe 360 35 105 Fe 430 75 96 Fe 510 355 85 Notar, portanto, que para valores de coeficiente de esbelteza indicados na tabela, o cálculo da carga crítica é determinante. Para valores inferiores do coeficiente de esbelteza a carga crítica não é válida porque se ultrapassa a tensão limite de proporcionalidade (deixa de ser válida a fórmula de Euler). Para valores de λ 0, a tensão limite é o valor de cálculo da resistência do material (σ Rd ), pelo que a carga de compressão terá de ser σ Rd Ω..6. Dimensionamento em compressão axial Para E p carga admissível de compressão axial é dada por: de segurança (> 1). Para λ 0 carga admissível de compressão axial é dada por: P adm = σ Rd Ω Para 0 E p Pcrit Padm, onde ψ é o coeficiente carga admissível de compressão axial é dada por: P adm = σ adm Ω O valor de σ adm =f(λ) é retirado de curvas empíricas das quais a mais utilizada para o aço é a recta de Tetmaer.

.7. Problema resolvido Uma barra muito esbelta de secção rectangular 40mm 50mm, articulada em ambas as extremidades, está sujeita a uma compressão axial. barra tem m de comprimento e é feita de material com σ p =30MPa e E=00GPa. Determine a carga crítica. z 5cm x 4cm x l e =l=m Determinação da esbelteza da barra: l e I em que i i No plano xz: 3 4 5 le 00 I 138.6 i 1 1.443cm i 1.443 4 5 No plano z: 3 5 4 le 00 I x x 173.3 i 1 x 1.154cm i 1.154 4 5 x maior esbeltez é encontrada é no plano z. Será nesse plano que se dará encurvadura, caso se atinja a carga crítica: 3

P EI l 6 E 0010 010 173.3 4 131. 5 crit e Verificação da validade de utilizar a carga crítica de Euler neste problema: kn E p 0010 3010 6 3 9.64 173.3 9.64, logo é válido..8. Problemas não resolvidos 1) Uma barra muito esbelta de secção I, articulada em ambas as extremidades, está sujeita a uma compressão axial. barra tem 4m de comprimento e E=00GPa. Determine a carga crítica. Solução: P crit = 495.95kN x h I x = 4410cm 4 I = 40cm 4 Ω = 39.9cm ) Um pilar de comprimento equivalente l e pode ser fabricado unindo firmemente quatro componentes de secção d d/4, tal como indicado na figura. Determine a razão entre os valores da carga crítica da opção (a) e opção (b). (a) (b) Solução: P crit da opção b é.15 vezes o P crit da opção a 3) Um pilar de comprimento equivalente de 6m tem a secção da figura. dmitindo um material com E = 00GPa, determine o coeficiente de segurança usado em relação à encurvadura quando a carga axial admissível for de 16kN. Solução: oeficiente de segurança =.81 4

9.5mm 9.5mm 10mm 80mm 9.5mm 4) O pilar da figura tem secção 100mm 100mm. l Está articulado em ambas as extremidades, e sujeito unicamente a um aumento de temperatura ΔT = 5. dmita que o material tem α = 11.7 10-6 / e E=00GPa. Determine o comprimento l acima do qual haverá encurvadura do pilar. Solução: l 5.3m Nota: Recordar de II.3. Deformações axiais: Se além disso a peça estiver sujeita a uma temperatura diferente da de fabrico ou montagem, o alongamento é dado por: N l T l E sendo ΔT o acréscimo de temperatura relativamente à temperatura de montagem e α o coeficiente de dilatação linear do material (coefficient of thermal expansion of the material). 5) estrutura da figura é feita de perfis circulares de aço (E = 00MPa) com as seguintes dimensões: = 15mm de diâmetro; = 0mm de diâmetro; = 15mm de diâmetro. 5

P 0.5m 0.5m 1m onsiderando a possibilidade de encurvadura no plano da estrutura, determine o valor admissível para a carga P, adoptando um coeficiente de segurança de.6. Solução: P adm = 4kN 6) s barras articuladas e da estrutura da figura são perfis tubulares de alumínio (E = 70MPa) com 10mm de diâmetro exterior e 10mm de espessura. 4m 4m D 3m m 3m Um cabo (D) ligado à estrutura, suspende uma massa m. onsiderando a possibilidade de encurvadura no plano da estrutura, determine o valor admissível para a massa m, adoptando um coeficiente de segurança de 3.5. Solução: m adm = 7855kg.9. aderno de problemas de instabilidade em compressão axial 7) Uma barra muito esbelta de secção rectangular 4cm 10cm está sujeita a uma compressão axial. barra tem m de comprimento e é feita de material com σ Rd =35MPa e E=10GPa. No plano ZY a barra considera-se encastrada na base e articulada no topo. No plano ZX a barra considera-se encastrada na base e livre no topo. Determine a carga crítica. 6

z 10cm x 4cm x Solução: P crit = 431.8kN 8) Um pilar de secção em I tem 5m de altura. Está encastrado na base. Na extremidade superior existem duas placas finas que impedem essa extremidade de se movimentar num dos planos ortogonais da figura, mas não impedem movimentos no outro plano ortogonal. dmitindo um material com E=00GPa e um coeficiente de segurança =.5 z 9.5mm x 9.5mm 10mm 80mm 9.5mm Determine a carga axial admissível. Solução: P adm = 5.8kN 9) Um pilar de secção rectangular tem comprimento l. Está encastrado na base. Na extremidade superior existem duas placas finas que impedem essa extremidade de se movimentar num dos planos ortogonais da figura, mas não impedem movimentos no outro plano ortogonal. a) Determinar a relação a/b entre os lados da secção transversal por forma a se poder ter uma solução de projecto equilibrada em relação à encurvadura; b) om base na resposta anterior, dimensionar a barra, sabendo: L=500mm; E=70GPa; arga axial = 0kN; oeficiente de segurança =.5 7

z x b a Solução: a) a/b= 0.35; b) a=13.9mm; b=39.7mm; 10) Um bloco rígido pesa 16kN e está suportado por dois pilares. 4m a) dmitindo somente a encurvadura no plano da figura, verifique a sua segurança. - dmita que cada pilar é formado por um tubo com diâmetro exterior de 44mm e espessura de 4mm; - dmita E = 00Gpa; - dopte um coeficiente de segurança de.8. b) dmitindo que, para o aço usado, a fórmula de Euler é válida para valores de esbelteza superiores ou iguais a 105, verifique se está no domínio de aplicação da teoria de Euler. Solução: a) P adm = 18.6kN>16kN; λ=197>105, válido. 8

11) Um pilar tem a secção indicada na figura seguinte: 04mm x c.g 90mm 85mm 8mm 1.5mm I x =199.39cm 4 I =884.7cm 4 dmita: - O pilar está biapoiado; - omprimento do pilar = 3m; - E = 00Gpa; - oeficiente de segurança de.. a) alcule a carga de segurança segundo a teoria de Euler; b) dmitindo que, para o aço usado, a teoria de Euler é válida para valores de esbeltez superiores ou iguais a 105, verifique se está no domínio de aplicação desta teoria. Solução: a) P adm = 00kN; b) λ=11.5>105, válido. 1) O pilar suporta uma carga centrada de 65kN. Os cabos e D estão esticados e impedem o movimento do ponto no plano xz, mas não impedem o movimento no plano z. Desprezando o efeito da tracção nos cabos determine o máximo valor admissível para o comprimento L, adoptando um coeficiente de segurança de. e um material com E = 00GPa. O perfil I tem as seguintes características: x I x = 000cm 4 I = 141.9cm 4 9

z 65kN L x D Solução: l 6.3m 13) O pilar da figura (1) tem secção circular cheia com 0mm de diâmetro. Suporta uma carga centrada de 7.5kN. Uma solução alternativa está contemplada na figura (): 0.9m 0.9m (1) () a) Tendo em consideração a figura (1), determine o coeficiente de segurança usado. dmita um material com E = 00GPa. b) Tendo em consideração a figura (), determine o diâmetro mínimo para o pilar, admitindo o coeficiente de segurança da alínea anterior e a mesma carga de 7.5kN. dmita um material com E = 00GPa. Solução: a) Ψ=.55; b) d 16.73mm 30

14) Um pilar tem secção formada pela ligação de dois perfis cantoneira de abas desiguais 100 65 8 (ver dados em tabela anexa), como mostra a figura. 100mm 130mm a) dmita que o comprimento efectivo do pilar (l e ) é de 3m. dmitindo um material com E = 00GPa e um coeficiente de segurança de 1.9, calcule a carga centrada de compressão admissível para o pilar; b) dmitindo que, para o aço usado, a fórmula de Euler é válida para valores de esbeltez superiores ou iguais a 105, verifique se está no domínio de aplicação da teoria de Euler Solução: a) P adm = 166.1kN; b) λ=15.4>105, válido. 15) Um bloco rígido de massa m pode ser suportado por dois pilares, em qualquer das opções indicadas. ada pilar é formado por um tubo com diâmetro exterior de 44mm e espessura de 4mm. dmita E = 70GPa. dmitindo somente a encurvadura no plano da figura e considerando um coeficiente de segurança de.8, calcule a massa m (kg) admissível nas duas opções. m m 4m 4m Nota: o momento de inércia de uma secção circular cheia de diâmetro d é igual a 4 d I 64 Solução: m adm = 319.6kg, à esquerda; m adm = 65.kg, à direita. 31

16) Um bloco rígido pesa 16kN e está suportado por dois pilares. dmita: - encurvadura ocorre preferencialmente no plano da figura; - ada pilar é um tubo com diâmetro exterior de 44mm e espessura de 4mm; - E = 00Gpa; - oeficiente de segurança de.8. a) alcule a altura máxima de cada pilar para que se verifique a segurança segundo a teoria de Euler. b) dmitindo que, para o aço usado, a teoria de Euler é válida para valores de esbeltez superiores ou iguais a 105, verifique se está no domínio de aplicação desta teoria. Solução: a) l=.99m; b) λ=10.4>105, válido. 17) estrutura da figura é constituída por duas bielas de aço: 10kN 1.m 0.5m 0.5m a) onsiderando somente a possibilidade de encurvadura no plano da estrutura, dimensione as barras a ela sujeitas. 3

- dmita que as barras são varões (secção circular cheia); - dmita E = 00GPa; - dopte um coeficiente de segurança de.6. b) dmitindo que, para o aço usado, a fórmula de Euler é valida para valores de esbeltez superiores ou iguais a 105, verifique se está no domínio de aplicação da teoria de Euler. Solução: a) d 1.9cm; b) λ=196.4>105, válido. 18) estrutura da figura é constituída por duas bielas de aço: 68kN 45º 5m 1m 3.5m a) onsiderando somente a possibilidade de encurvadura no plano da estrutura, dimensione a barra a ela sujeita. - dmita que a barra terá de ser um INP; - dmita E = 10GPa; - dopte um coeficiente de segurança de 5. b) dmitindo que, para o aço usado, a fórmula de Euler é valida para valores de esbeltez superiores ou iguais a 105, verifique se está no domínio de aplicação da teoria de Euler. c) x dmitindo para o perfil o sistema de eixos xz, como se mostra na figura anterior, diga como orienta o perfil na estrutura. Pode, por exemplo, indicar qual dos planos xz ou z é que coincide com o plano da estrutura. Solução: a) INP14; b) λ=111.4>105, válido. 19) O pilar da estrutura seguinte tem uma secção rectangular cuja dimensão é a no plano da estrutura e a no plano perpendicular. Sabendo que a secção em não está impedida de se deslocar no plano perpendicular à estrutura, calcule o valor crítico para a carga uniforme q. 33

qkn/m 50a 10a c 40a Solução: Ea q kn/ m 468750 0) alcular a carga admissível para um pilar constituído por um INP0, com 3m de comprimento e articulado nas extremidades. dmita um coeficiente de segurança de 3.8 Solução: 67.6kN 1) Dimensionar a escora, admitindo uma secção formada por dois UNP e um coeficiente de segurança de.7: 30 50kN 4.5m Solução: UNP100, afastados de cm. Referências Dias da Silva, V. Mecânica e Resistência dos Materiais, capítulo IX Deformações em flexão. ª Edição. Edição: ZURI Edição de Livros Técnicos, Lda. 1999. ISN: 97-98155-0-X. Dias da Silva, V. Mecânica e Resistência dos Materiais, capítulo XI nálise de Fenómenos de Instabilidade. ª Edição. Edição: ZURI Edição de Livros Técnicos, Lda. 1999. ISN: 97-98155-0-X. William Nash Resistência de Materiais, capítulo 14 olunas. Edição: McGraw-Hill. 001. ISN: 97-773-090-6. 34