MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - JUROS SIMPLES - DESCONTO SIMPLES: RACIONAL E COMERCIAL - TAXAS EQUIVALENTES: TAXAS DE JUROS E DE DESCONTO SIMPLES PROF.: LUIZ ERNESTO BOTH

MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. DEFINIÇÕES: 1.1 - CAPITAL: é um bem econômico capaz de ser aplicado para se obter nova produção. 1.2 - JURO: lucro, calculado sobre determinada taxa, de dinheiro emprestado ou de capital empregado. 1.3 - TAXA: é a razão do juro. 1.4 - PRAZO (período) : é o espaço de tempo durante o qual deve ser aplicado um capital (tempo decorrido entre duas datas ou dois fatos). 1.5 - JUROS SIMPLES: diz-se do juro que não se soma ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. 1.6 - JUROS COMPOSTOS: é aquele que se soma ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. 1.7 - MONTANTE: corresponde à soma de um capital e seu juro. 1.8 - PERÍODO FINANCEIRO: é o período a que se refere a taxa de juros. Por exemplo, se tivermos uma taxa de juros de 10% ao ano, o período financeiro será anual, mas se a taxa for de 5% ao semestre o período financeiro será semestral. Nos problemas envolvendo a Matemática Financeira, utilizamos dois tipos de taxas de juros (taxa percentual e taxa unitária). Taxa Percentual: representa o juro de 100 (cem) unidades de capital num período determinado tomado como unidade de tempo. Exemplo: 10% ao ano significa que teremos um juro de R$ 10,00 (dez reais) para cada grupo de R$ 100,00 (cem reais) aplicados. Para que esta proporção se verifique, é necessário que o capital esteja aplicado durante um ano. Taxa Unitária: representa o juro de 1 (uma) unidade de capital, num período determinado tomado como unidade de tempo. Exemplo: 0,10 ao ano significa que teremos um juro de R$ 0,10 (dez centavos) para cada real aplicado, num período tomado como unidade de tempo, no caso de 1 (um) ano. Taxa Percentual 10% a. a. 100,00 10,00 Taxa Unitária 0,10 a. a. 1,00 0,10 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 2

2. JUROS SIMPLES: Diz-se que um capital C está aplicado a juros simples quando este capital permanecer constante durante todo o período de aplicação, produzindo, assim, juros constantes, isto é, o juro do primeiro período é igual ao do segundo período, que, por sua vez, será igual ao juro do terceiro período e assim sucessivamente Capital R$ 1.000,00 Taxa 10% a. a. (juros simples) 0,10 a. a. (taxa unitária) Prazo 4 anos Representação Gráfica: C = 1.000,00 1º ano C = 1.000,00 i = 0,10 a. a. j 1 = 1.000,00 x 0,10 j 1 = 100,00 2º ano C = 1.000,00 i = 0,10 a. a. j 2 = 1.000,00 x 0,10 j 2 = 100,00 3º ano C = 1.000,00 i = 0,10 a. a. j 3 = 1.000,00 x 0,10 j 3 = 100,00 4º ano C = 1.000,00 i = 0,10 a. a. j 4 = 1.000,00 x 0, 10 j 4 = 100,00 Pelos desenvolvimentos acima, determinamos que o capital permaneceu constante durante todo o período de aplicação, resultando juros iguais. j 1 = j 2 = j 3 = j 4 = 100,00 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 3

2.1. FÓRMULA PARA O CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES: j = C i n Onde: Observação: j = juros simples C = capital i = taxa de juros simples n = prazo Na aplicação desta fórmula, o período da taxa deve coincidir com a unidade do prazo da aplicação, isto é, na mesma unidade: i = taxa anual n = prazo anual i = taxa trimestral n = prazo em trimestrais Exemplo: A importância de R$ 3.800,00 foi aplicada, a juros simples, à taxa de 8% ao ano. Determine os juros produzidos no prazo de 4 meses. Solução: HP - 12C C = 3.800,00 i = 8% ao ano n = 4 meses = 4/12 j = 3.800 x 0,08 x 4/12 j = 101,33 f clear FIN visor 3.800,00 CHS PV (-) 3.800,00 8 i 8 120 N 120 n de dias f INT 101,33 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 4

2.2. FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO CAPITAL: C = J i n Exemplo: Quanto deverá ser aplicado, a juros simples, à taxa de 1,2% ao mês, para produzir R$ 450,00 de juros no prazo de 45 dias? Solução: 450,00 C = 0,012 x 45/30 C = 25.000,00 2.3. FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA: i = J C n Exemplo: A importância de R$ 45.000,00 produziu R$ 4.785,00 de juros simples, no prazo de 3 meses. Qual a taxa de juros utilizada nesta aplicação? Solução: 4.785,00 i = 45.000,00 x 3 i = 0,03544 Taxa unitária mensal i = 3,544% ao mês / ou i = 42,533% ao ano. 2.4. FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRAZO: n = J C i Exemplo: Determine o prazo necessário para um capital de R$ 78.500,00 produzir R$ 8.831,25 de juros, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 30% a. a.. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 5

Solução: 8.831,25 n = 78.500,00 x 0,30 n = 0,375 período anual n = 0,375 x 360 135 dias 2.5. FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO MONTANTE: Montante é o somatório entre o valor aplicado (capital) e os rendimentos (juros). M = C + j Substituindo j pela equação demonstrada anteriormente, para o cálculo dos juros simples, teremos: M = C + C i n Que resulta na fórmula: M = C ( 1 + i n ) Exemplo: Uma dívida no valor de R$ 65.000,00 será paga no prazo de 5 meses, acrescida de juros simples de 15% ao semestre. Determine o valor da dívida da data do seu vencimento. Solução: C = 65.000,00 i = 15% ao semestre n = 5 meses M = 65.000,00 ( 1 + 0,30 x 150/360 ) M = 65.000,00 ( 1 + 0,125 ) M = 73.125,00 HP - 12C f clear FIN visor 65.000,00 CHS PV (-) 65.000,00 30 i 30 150 N 150 n de dias F INT 8.125,00 Juros + 73.125,00 Montante POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 6

EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES 1. A quantia de R$ 1.275,00 foi aplicada a juros simples a taxa de 34% ao ano. Determine o valor dos juros, sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 4 meses e 5 dias. 2. Determine o prazo em que estiveram aplicados R$ 2.800,00 à taxa de juros simples de 10% ao trimestre se produziu um juro e R$ 606,70. 3. Uma loja vende uma mercadoria por R$ 4.200,00 à vista. A prazo, vende mediante uma entrada de R$ 1.000,00 e mais um pagamento de R$ 3.920,00 no prazo de 45 dias. Determine a taxa de juros simples mensal operada pela loja. 4. No dia 20/03/99 foram aplicados R$ 12.500,00 a juros simples à taxa de 20% ao mês. Determine o total dos juros produzidos bem como o montante, avaliando-os em 10/06/99. 5. Determinada pessoa solicitou um empréstimo no valor de R$ 6.000,00 no dia 05/03/99 para ser pago acrescido de juros simples de 12% ao mês. Sabendo-se que deseja pagar um total de R$ 3.500,00 de juros, determine a data para resgatar o empréstimo. 6. Sendo a taxa de juros simples de 20% ao trimestre, em quanto tempo um capital duplicará de valor? 7. Determinado capital de R$ 5.000,00, aplicado a juros simples à taxa de 40% a. a., produziu no dia 22 de julho de 1999 um montante de R$ 5.675,00. Determine a data da aplicação. 8. A importância de R$ 12.850,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 15% ao mês, no dia 15/03/99. Se o resgate ocorreu no dia 05/06/99, qual foi o juro recebido? 9. Um capital de R$ 7.230,00 rendeu R$ 1.042,00 de juros. Sabendo-se que a aplicação foi em 10/03/99 à taxa de juros simples de 60% a. a., determine a data do resgate. 10. Um capital, aplicado à taxa de juros simples de 8% ao mês, rendeu, no prazo de 10 meses e 20 dias, um juro de R$ 18.320,00. Qual o capital aplicado? POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 7

3. DESCONTO SIMPLES: Representação Gráfica: data data data emissão da nota do do promissória desconto vencimento A N Onde: N Valor Nominal: é a importância que está indicada na Nota Promissória, isto é, a quantia a ser paga (resgatada) no seu vencimento. n A Valor Atual: D Desconto: n Prazo: é o valor líquido recebido pela NP ao efetuar uma operação de desconto. é a quantia retida na operação, isto é, a diferença entre o valor nominal e o atual. corresponde ao período de tempo entre a data do desconto e a data do vencimento. i Taxa de Juros Simples: d Taxa de Desconto Simples: 3.1. DESCONTO SIMPLES RACIONAL: No método do desconto simples racional, também chamado de matemático ou por dentro, o valor do desconto é calculado aplicando-se a taxa de juros simples sobre o valor atual da Nota Promissória (título). Diz-se que, neste caso, o desconto corresponde ao juro simples produzido pelo valor líquido (atual) da Promissória, ou seja: D r = A r i n A r = D r i n n = D r A r i POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 8

i = D r A r n Se: D r = N ( - ) A r Então: A r = N ( - ) D r Que substituído na fórmula do desconto acima, teremos: D r = ( N - D r ) i n D r = N i n - D r i n D r + D r i n = N i n D r = N i n ( 1 + i n ) O que possibilita calcular o desconto sobre o valor da Nota Promissória. Exemplos: 1º) Um título no valor de R$ 48.000,00 foi descontado à taxa de juros simples de 15% ao semestre, faltando 120 dias para o seu vencimento. Determine o valor do desconto: Solução: N i n onde N = 48.000,00 D r = i = 15% ao sem. = 30% a. a. ( 1 + i n ) n = 120/360 = 0,3333 D r = 48.000,00 x 0,30 x 0,3333 ( 1 + 0,30 x 0,3333 ) D r = 4.800,00 1,0999999 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 9

D r = 4.363,64 2 ) Uma Nota Promissória no valor de R$ 13.000,00 foi descontada por R$ 10.500,00, faltando 65 dias para o seu vencimento. Determine o valor da taxa de juros simples mensal. Solução: N = 13.000,00 65 dias n = A r = 10.500,00 30 D r = 2.500,00 i = D r A r n 2.500,00 2.500,00 i = i = 10.500,00 x 65/30 22.750,00 i = 0,1098901 i = 10,98901 % ao mês 3 ) Uma duplicata foi descontada por R$ 80.000,00, faltando 45 dias para o seu vencimento. Determine o valor do desconto e o valor da duplicata, utilizando a taxa de juros simples de 30% ao semestre. Solução: D r = A r i n A r = 80.000,00 i = 30% ao semestre n = 45/180 D r = 80.000,00 x 0,30 x 45/180 D r = 6.000,00 D r = N ( - ) A r N = A r + D r N = 80.000,00 + 6.000,00 N = 86.000,00 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 10

3.2. DESCONTO SIMPLES COMERCIAL: Neste método, o valor do desconto é obtido aplicando-se a taxa de desconto simples sobre o valor nominal da Nota Promissória ( título), isto é: D c = N d n N = D c d n d = D c N n n = D c N d Se, D c = N - A c então A c = N - D c e substituindo D c por N d n, temos: A c = N - N d n A c = N ( 1 - d n ) e N = A c ( 1 - d n ) POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 11

Exemplos: 1º) Um título no valor de R$ 6.500,00, emitido no dia 10/03/99 e com seu vencimento para o dia 29/07/99, foi descontado à taxa de desconto simples de 30% ao trimestre no dia 10/05/99. Determine o valor do desconto e o valor líquido recebido na operação. Solução: data emissão data resgate data vencimento 10/03/99 10/05/99 29/07/99 n = 80 dias N = 6.500,00 d = 30% ao trimestre t = 80/90 D c = N d n D c = 6.500,00 x 0,30 x 80/90 D c = 1.733,33 D c = N - A c A c = 6.500,00 ( - ) 1.733,33 A c = N - D c A c = 4.766,67 Cálculo do prazo ( nº de dias) HP - 12C Número de dias entre 10/05/99 a 29/07/99: f clear REG g D. MY 10.051999 enter 29.071999 365 dias g DYS 80 N = 80 dias POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 12

2 ) Uma Nota Promissória de R$ 18.000,00 foi descontada 90 dias antes do seu vencimento, à taxa de desconto simples de 40% ao ano. Determine o valor do desconto simples comercial. Solução: D c = N d n N = 18.000,00 d = 40% ao ano t = 90 dias D c = 18.000,00 x 0,40 x 90/360 D c = 1.800,00 3º) Uma Promissória de R$ 7.200,00 foi descontada por R$ 5.126,40 no dia 14/05/99. Utilizando a taxa de desconto simples de 12% ao mês, determine a data marcada para o vencimento. Solução: N = 7.200,00 A c = 5.126,40 D c = 2.073,60 d = 12% ao mês D c = N d n 2.073,60 = 7.200,00 x 0,12 x n n = 2,40 do mês 2,40 x 30 = dias n = 72 dias Data do Vencimento: 14.05.1999 + 72 dias 25/07/1999 HP - 12C g D. MY 14.051999 enter 72 g DATE 25.07.1999 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 13

3.3. TAXAS EQUIVALENTES: Equivalência entre a taxa de juros simples e a taxa de desconto simples: Quando a redução ao valor atual de uma Nota Promissória, descontada pelo método racional, for igual ao valor atual da mesma nota, descontada pelo método comercial, diz-se que as duas taxas (juros e desconto) são equivalentes. Sobre a mesma Nota Promissória ( N ) A r = A c Se: N A r = e A c = N ( 1 - d n ) ( 1 + i n ) Teremos: N ( 1 + i n ) = N ( 1 - d n ) Tomando-se N = 1: ( 1 + i n ) Donde se conclui que: 1 = ( 1 - d n ) i = d ( 1 - d n ) e d = i ( 1 + i n ) Exemplo: 1º) Uma Nota Promissória no valor de R$ 5.000,00 foi descontada à taxa de desconto simples de 15% ao mês faltando 48 dias para o seu vencimento. Determine o valor da taxa de juros simples mensal equivalente. i = 0,15 1-0,15 x 48/30 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 14

i = 19,7368 % Prova: Se for descontada pelo método comercial, teremos: A c = 5.000,00 ( 1-0,15 x 48/30 ) A c = 3.800,00 Que será igual ao valor atual pelo método racional: A r = 5.000,00 ( 1 + 0,197368 x 48/30 ) A r = 3.800,00 Então: A c = A r 2 ) Uma instituição financeira adota uma taxa de desconto simples de 18% ao mês, numa operação de desconto com 60 dias de prazo. Determine o custo desta operação para o cliente caso fosse tomado com empréstimo. i = 0,18 ( 1-0,18 x 2 ) i = 28,125 % ao mês 3º) Determine a taxa de desconto simples, equivalente à taxa de juros simples de 23 % ao mês, no prazo de 80 dias. d = 0,23 ( 1 + 0,23 x 80/30 ) d = 0,14256 a. m. 14,256 % a. m. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 15

EXERCÍCIOS - DESCONTO SIMPLES 1. Uma Nota Promissória no valor de R$ 8.400,00, com vencimento em 29/09/99, foi resgatada em 10.06.99. Determine o valor do desconto, sabendo-se que a taxa de desconto simples utilizada foi de 2% ao mês. 2. O desconto simples de uma promissória foi de R$ 1.280,00, adotando-se uma taxa de juros simples de 12 % ao mês. Se o valor da nota era de R$ 5.200,00, determine o prazo que estava faltando para o seu vencimento. 3. Um título no valor de R$ 2.000,00 foi descontado à taxa de desconto simples de 1,2 % ao mês, faltando 145 dias para o seu vencimento. Determine o valor da taxa de juros simples mensal equivalente. 4. Uma Nota Promissória no valor de R$ 9.500,00 foi descontada à taxa de desconto simples de 2 % ao trimestre, faltando 5 meses e 10 dias para o seu vencimento. Determine valor do desconto e o valor recebido pela Nota Promissória. 5. Uma Nota Promissória foi emitida em 15.03.99 com seu vencimento para o dia 30.07.99. Em 12.06.99 foi descontada, à taxa de desconto simples de 36 % ao trimestre, por R$ 4.580,00. Qual o valor do desconto? 6. Uma NP no valor de R$ 15.350,00 emitida em 10.06.99, com seu vencimento marcado para o dia 20.02.00, foi descontada em 15.12.99, à taxa de desconto simples de 15 % ao mês. Determine o valor recebido pelo título na data do desconto e a taxa de juros simples equivalente. 7. Qual o valor da taxa de desconto simples, equivalente à taxa de juros simples de 4 % ao semestre, num período de 120 dias? 8. Determine a taxa de juros simples, equivalente à taxa de desconto simples de 18 % ao mês, num prazo de 75 dias? 9. Um título no valor de R$ 2.800,00 foi descontado faltando 129 dias para o seu vencimento, à taxa de desconto simples de 10 % ao bimestre. Determine a taxa de juros simples equivalente e o valor recebido pela nota na data do desconto. 10. A taxa de desconto simples de 3 % ao trimestre equivale à taxa de juros simples de... % ao trimestre no prazo de 90 dias. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 16

MATEMÁTICA FINANCEIRA 2. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA - JUROS COMPOSTOS - TAXAS EQUIVALENTES: EFETIVA E NOMINAL - CONVENÇÃO : LINEAR E EXPONENCIAL PROF.: LUIZ ERNESTO BOTH POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 17

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 1. COMENTÁRIOS INICIAIS Chamamos a atenção de que a unidade do período de aplicação ( n ) deverá coincidir com a capitalização da taxa, isto é: - Se a taxa ( i ) for capitalizada anualmente ( n ) corresponde ao período de aplicação medido em anos. Neste caso chamamos de capitalização ANUAL. - Se a taxa ( i ) for capitalizada mensalmente ( n ) corresponderá ao período em meses. - Se a taxa ( i ) for capitalizada trimestralmente ( n ) corresponderá a trimestres. Nestes dois exemplos a capitalização é chamada de SUBANUAL. Como os procedimentos de cálculos são iguais em ambas as capitalizações, não faremos a demonstração para cada uma delas, mas, sim de forma genérica. Portanto, convém lembrar que: - Quando o período da taxa for igual ao período da capitalização, chamamos de taxa efetiva. - Quando o período da taxa não coincidir com o da capitalização, chamamos de taxa nominal. Exemplificando: a) 80% a. a. com capitalização anual taxa efetiva b) 42% a. a. com capitalização mensal taxa nominal c) 3,5% a. m. com capitalização mensal taxa efetiva 2. JUROS COMPOSTOS Diz-se que um capital C está aplicado a juros compostos quando o juro do primeiro período ( j 1 ) é acrescido ao capital primitivo ( C ), formando um novo capital ( C 1 ), que, por sua vez, produzirá um novo juro ( j 2 ) no período seguinte. Este juro ( j 2 ) será acrescido ao capital ( C 1 ) formando novo capital ( C 2 ), e assim sucessivamente. Diz-se que nesta operação os juros produzem novos juros. Exemplificando: C = capital, capital inicial, capital primitivo, valor atual i = taxa de juros compostos n = período de aplicação ( período de capitalização) C n = montante ou capital final POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 18

Representação Gráfica: C C j 1 = C i C 1 = C + j 1 C 1 = C + C i C 1 = C ( 1 + i ) j 2 = C 1 i C 2 = C 1 + j 2 C 2 = C 1 + C 1 i C 2 = C 1 ( 1 + i j 3 = C 2 i C 3 = C 2 + j 3 C 3 = C 2 + C 2 i C 3 = C 2 ( 1 + i ) 2.1. CÁLCULO DO MONTANTE Pelo desenvolvimento apresentado anteriormente, determinamos: j 4 = C 3 i C 4 = C 3 + j 4 C 4 = C 3 + C 3 i C 4 = C 3 ( 1 + i ) C n = C n 1 ( 1 + i ) Ou, substituindo uma fórmula em outra, C 1 = C ( 1 + i ) C 2 = C 1 ( 1 + i ) C 2 = C ( 1 + i ) 2 C 3 = C 2 ( 1 + i ) C 3 = C ( 1 + i ) 3 e assim sucessivamente, concluímos que: POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 19

C n = C ( 1 + i ) n ou FV = PV ( 1 + i ) n isto é, o montante ( FV ), num período ( n ) qualquer, é igual ao capital primitivo ( PV ), devidamente capitalizado ao longo do prazo de aplicação. ( 1 + i ) n fator de capitalização Exemplos: 1 ) Um capital no valor de R$ 14.000,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 6% a. a., com capitalização anual. Determine o montante avaliando-o no prazo de 11 anos. Solução: PV = 14.000,00 i = 6% a. a. c/ cap. anual n = 11 anos FV =? FV = PV ( 1 + i ) n FV = 14.000,00 ( 1 + 0,06 ) 11 FV = 14.000,00 x 1,898298 FV = 26.576,18 Montante = 26.576,18 HP - 12C F clear Fin Visor 14.000,00 CHS PV - 14.000,00 6 i 6 11 n 11 FV 26.576,18 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 20

2 ) A importância de R$ 7.500,00 foi emprestada por um período de 3 anos. Sabendo-se que foram estabelecido juros compostos na base de 9% ao trimestre, capitalizados trimestralmente, determine o valor a pagar pelo empréstimo no vencimento. Solução: PV = 7.500,00 i = 9% ao trim. c/ cap. trimestral n = 12 trimestres ( 3 anos ) FV =? FV = PV ( 1 + i ) n FV = 7.500,00 x ( 1,09 ) 12 FV = 7.500,00 x 2,812665 FV = 21.094,99 HP - 12C Montante = 21.094,99 f clear Fin Visor 7.500,00 CHS PV - 7.500,00 12 N 12 9 i 9 FV 21.094,99 2.2. CÁLCULO DO CAPITAL Partindo-se da fórmula do montante: FV = PV ( 1 + i ) n e isolando o capital, teremos PV = FV ( 1 + i ) n ou POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 21

PV = FV ( 1 + i ) - n onde: ( 1 + i ) n = fator de descapitalização 3 ) Uma dívida foi paga no final de 3 anos com R$ 5.800,00. Se a taxa de juros compostos aplicada foi de 48% a. a. com capitalização mensal, determine o valor da dívida na data em que foi contraída. Solução: FV = 5.800,00 i = 4% ao mês c/ cap. mensal n = 36 meses PV =? FV = PV ( 1 + i ) n 5.800,00 = PV ( 1 + 0,04 ) 36 PV = 5.800,00 PV = 1.413,28 4,103932 ou PV = FV ( 1 + i ) n PV = 5.800,00 ( 1,04 ) 36 PV = 5.800,00 x 0,243668 PV = 1.413,28 Capital = 1.413,28 HP - 12C f clear Fin Visor 5.800,00 FV 5.800,00 36 N 36 4 i 4 PV - 1.413,28 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 22

2.3. CÁLCULO DO PRAZO Tomando-se a fórmula do montante: concluímos que: FV = PV ( 1 + i ) n n = FV log PV log ( 1 + i ) 4 ) Carolina, tendo encontrado quem lhe oferecesse R$ 10.000,00 emprestado, propôs o pagamento da dívida em uma única parcela no valor de R$ 16.105,10. Se a taxa de juros compostos cobrada foi de 10% ao mês capitalizada mensalmente, determine o prazo para a liquidação da dívida. Solução: PV = 10.000,00 FV = 16.105,10 i = 10% ao mês com capitalização mensal n =? 16.105,10 log 10.000,00 log 1,61051 n = n = log 1,10 log 1,10 n = 5 meses Prazo = 5 meses HP - 12C f clear Fin Visor 10.000,00 CHS PV - 10.000,00 16.105,10 FV 16.105,10 10 i 10 N 5 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 23

2.4. CÁLCULO DA TAXA FV = PV ( 1 + i ) n FV PV = ( 1 + i ) n FV PV 1/n = ( 1 + i ) 1/n FV i = - 1 PV Taxa Unitária 5 ) Um equipamento está à venda por R$ 15.000,00 à vista. Existe uma proposta de compra mediante um único pagamento de R$ 41.160,00 no prazo de 9 meses. Determine a taxa trimestral capitalizada trimestralmente utilizada. Solução: PV = 15.000,00 FV = 41.160,00 n = 3 trimestres i =? 1/n FV i = - 1 PV 1/3 41.160,00 i = - 1 15.000,00 i = ( 2,744 ) 1/3-1 i = 1,40-1 i = 0,40 ao trimestre POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 24

Taxa = 40% ao trimestre com capitalização trimestral HP - 12C f clear Fin Visor 15.000,00 CHS PV - 15.000,00 41.160,00 FV 41.160,00 3 N 3 i 40 3. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas efetivas, capitalizadas em períodos diferentes, são equivalentes quando, aplicadas sobre um mesmo capital, vierem a produzir um montante igual durante o mesmo período de aplicação. Exemplificando: A taxa de 10% ao mês, capitalizada mensalmente, é equivalente à taxa de 21% ao bimestre com capitalização bimestral, pois se aplicadas sobre um mesmo capital ( R$ 100,00 ), vão produzir montantes iguais no prazo de 1 ano. C 12 = 100,00 ( 1 + 0,10 ) 12 C 6 = 100,00 ( 1 + 0,21 ) 6 C 12 = 313,84 e C 6 = 313,84 comparando, os cálculos acima, concluímos que: ( 1,10 ) 12 = ( 1,21 ) 6 ou seja ( 1 + i m ) 12 = ( 1 + i b ) 6 para um período de 1 ano. ou POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 25

( 1 + i m ) 2 = ( 1 + i b ) para um período de 2 meses. Estendendo-se este procedimento para outras capitalizações, sempre num período de 1 ( um ) ano, chegamos às seguintes igualdades: ( 1 + i m ) 12 = ( 1 + i b ) 6 = ( 1 + i t ) 4 = ( 1 + i q ) 3 = ( 1 + i b ) 2 = ( 1 + i a ) Através destas igualdades, tomando-se uma determinada taxa efetiva, podemos calcular outra taxa efetiva. Exemplos: 1 ) Determine a taxa trimestral capitalizada trimestralmente, que eqüivale à taxa de 20% ao semestre com capitalização semestral. Solução: ( 1 + i t ) 4 = ( 1 + i s ) 2 HP - 12C ou ( 1 + i t ) 2 = ( 1 + i s ) ( 1 + i t ) 2 = ( 1 + 0,20 ) ( 1 + i t ) = ( 1,20 ) ½ 1 + i t = 1,0954451 i t = 0,0954451 ( taxa unitária ) i t = 9,5445% ao trimestre com capitalização trimestral f clear Fin Visor 120 FV 120 100 CHS PV - 100 2 N 2 i 9,5445 9,5445% ao trimestre com capitalização trimestral (efetiva) 38,178% ao ano com capitalização trimestral (nominal) 2 ) Determine a taxa trimestral que produz o mesmo rendimento que a taxa de 30% ao bimestre. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 26

( 1 + i t ) 4 = ( 1 + i b ) 6 ou ( 1 + i t ) 2 = ( 1 + i b ) 3 ( 1 + i t ) 2 = ( 1 + 0,30 ) 3 1 + i t = 1,30 3/2 1 + i t = 1,482228053 i t = 0,482228 ao trimestre ( taxa unitária ) HP - 12C f clear Fin Visor STO EEX C 100 CHS PV - 100 130 FV 130 2/3 N 0,66666 i 48,2228 48,2228% ao trimestre com capitalização trimestral (efetiva) 192,8912% ao ano com capitalização trimestral (nominal) i = 48,2228 % ao trimestre com cap. trimestral 4. PERÍODO FRACIONÁRIO Antes de analisarmos o capítulo seguinte, vamos revisar o prazo de aplicação. Tomemos um prazo de 3 anos e 5 meses: 1 ) Se a capitalização dos juros se processar trimestralmente, teremos: 13 períodos trimestrais inteiros ( 3 anos e 3 meses ) e 2/3 do trimestre, com período fracionário ( 2 meses ). 2 ) Caso a capitalização seja quadrimestral, teríamos: - período inteiro = 10 quadrimestres ( 3 anos e 4 meses ) - período fracionário = 1/4 de quadrimestres ( 1 mês ) O prazo também poderá ser calculado da seguinte forma: 1 ) Exemplo: 3 anos e 5 meses transformar em trimestres 1 ano 4 trimestres POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 27

3 anos e 5 meses x trimestres ( prazo ) prazo = 4 ( 3 anos + 5 meses ) ou prazo = 4 ( 3 + 5/12 ) prazo = 12 + 20/12 prazo = 12 + 1,6666 Prazo = 13,6666 trimestres Onde: 13 trimestres inteiros 0,6666 = fração do trimestre = 2/3 2 ) Exemplo: 3 anos e 5 meses transformar em quadrimestres 1 ano 3 quadrimestres 3 anos e 5 meses x quadrimestres ( prazo ) prazo = 3 ( 3 anos + 5 meses ) ou prazo = 3 ( 3 + 5/12 ) prazo = 9 + 15/12 prazo = 9 + 1,25 Prazo = 10,25 quadrimestres Onde: 10 quadrimestres inteiros 0,25 = fração do quadrimestre = 1/4 5. JUROS COMPOSTOS QUANDO O PRAZO NÃO FOR UM PERÍODO INTEIRO Quando o prazo da aplicação não for um período inteiro, teremos dois métodos para calcular os juros: a) Convenção Exponencial e b) Convenção Linear 5.1. CONVENÇÃO EXPONENCIAL Na convenção exponencial, calculamos juros compostos tanto no período inteiro como na fração do período. Exemplo: Capitalização anual prazo de 3 anos e 5 meses POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 28

n = n + p/q onde n = 3 período inteiro p/q = 5/12 período fracionário n = 3 + 5/12 PV 1 a 2 a 3 a FV 5 m Juros Compostos Juros Compostos FV = PV ( 1 + i ) n ( 1 + i ) p/q ou FV = PV ( 1 + i ) n + p/q Onde: n período inteiro p/q período fracionário Exemplo: A importância de R$ 25.000,00 foi aplicada a juros compostos à taxa de 15% a. a. com capitalização anual. Determine o montante, calculando-o no prazo de 3 anos e 5 meses (convenção exponencial). Solução: FV = PV ( 1 + i ) n + p/q 3 a 5 m = 3,416666 anos FV = 25.000,00 ( 1 + 0,15 ) 3,416666 FV = 25.000,00 x 1,612071 FV = 40.301,78 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 29

HP - 12C f clear Fin Visor STO EEX c ( * ) 25.000,00 CHS PV - 25.000,00 15 i 15 3,416666 N 3,416666 FV 40.301,78 Montante pela convenção exponencial R$ 40.301,78 ( * ) Digitando o comando STO EEX aparecerá no visor ( parte inferior ) C, indicando a convenção exponencial. Quando não aparecer o C, estará no modo de convenção linear. 5.2. CONVENÇÃO LINEAR Exemplo: Na convenção linear utilizamos juros compostos somente no período inteiro e juros simples no período fracionário. Capitalização anual prazo de 3 anos e 5 meses PV 1 a 2 a 3 a FV 5 m Juros Compostos Juros Simples FV = PV ( 1 + i ) n ( 1 + i p/q ) Onde: n período inteiro p/q período fracionário POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 30

Exemplo: A importância de R$ 25.000,00 foi aplicada a juros compostos à taxa de 15% a. a., com capitalização anual. Determine o montante, avaliando-o no prazo de 3 anos e 5 meses (convenção linear). Solução: FV = PV ( 1 + i ) n ( 1 + i p/q ) 3 a 5 m = 3,416666 anos 3 = inteiros 0,416666 = fração FV = 25.000,00 ( 1,15 ) 3 ( 1 + 0,15 x 0,416666 ) FV = 25.000,00 x 1,520875 x 1,06249999 FV = 40.398,24 HP - 12C f clear Fin Visor STO EEX não aparece o C 25.000,00 CHS PV - 25.000,00 15 i 15 3,416666 N 3,416666 FV 40.398,24 Montante pela convenção linear R$ 40.398,24 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 31

EXERCÍCIOS - JUROS COMPOSTOS 01. Um capital de R$ 373,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 40% a. a. com capitalização anual. Determinar o montante avaliado de prazo de 15 anos. 02. Qual o valor que aplicado a juros compostos, à taxa de 20% a. a. com capitalização anual produziu, no prazo de 8 anos, o montante de R$ 17.270,00? 03. Determinar a taxa anual capitalizada anualmente, necessária para que o capital de R$ 41.900,00 venha produzir, no prazo de 10 anos, um montante de R$ 75.036,52. 04. Determine o prazo necessário para que o capital de R$ 22.200,00 venha produzir um montante de R$ 69.673,11, sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 10% a. a. com capitalização anual. 05. Qual o valor do capital que, no prazo de 3 anos, 7 meses e 20 dias, produziu o montante de R$ 24.280,00, sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada foi de 6,5% a. a., com capitalização anual ( convenção exponencial e convenção linear )? 06. Um capital de R$ 33.800,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 16% a. a. com capitalização anual. Determine o montante avaliando-o no prazo de 5 anos e 8 meses (convenção exponencial e convenção linear). 07. Determine a taxa trimestral com capitalização trimestral que equivale à taxa de 15% a. a. com capitalização anual. 08. Determine a taxa efetiva anual que equivale à taxa de 30% a. a. com capitalização mensal. 09. Determine a taxa anual com capitalização anual que equivale à taxa de 1,5% ao mês com capitalização mensal. 10. Determine a taxa anual com capitalização trimestral que equivale à taxa de 28% a. a. com capitalização anual. 11. Determine a taxa quadrimestral capitalizada quadrimestralmente que equivale à taxa de 15% ao trimestre capitalizada trimestralmente. 12. Qual o valor da taxa anual, capitalizada bimestralmente, que equivale à taxa de 2% ao mês com capitalização mensal? POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 32

13. Conhecendo-se a taxa de 40% a. a., com capitalização trimestral, determine a taxa anual capitalizada bimestralmente equivalente. 14. O capital de R$ 4.780,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 36% a. a. com capitalização mensal. Determine o montante avaliando-o no prazo de 3 anos e 5 meses. 15. Determine o valor do capital que, aplicado à taxa de juros compostos de 7% ao trimestre com capitalização trimestral, produziu, no prazo de 4 anos e 9 meses, o montante de R$ 14.275,00. 16. Determine o valor da taxa quadrimestral, capitalizada quadrimestralmente, necessária para o capital de R$ 20.000,00 produza o montante de R$ 375.761,81 no prazo de 8 anos. 17. Qual o prazo de aplicação para que o capital de R$ 15.800,00 produza o montante de R$ 46.219,12, sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada foi de 20% a. a. com capitalização trimestral? 18. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a juros compostos durante o prazo de 6 anos. Qual a taxa semestral necessária para produzir o montante de R$ 24.089,52. 19. Determine o valor do capital que, aplicado à taxa de juros compostos de 4% ao bimestre, com capitalização bimestral, produziu o montante de R$ 200.000,00 no prazo de 5 anos e 3 meses (convenção exponencial e convenção linear). 20. Determine o prazo necessário para um capital qualquer triplicar de valor, sabendo-se que foi aplicado, a juros compostos, à taxa de 9% ao trimestre com capitalização trimestral (convenção exponencial). 21. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 18.000,00, aplicado à taxa de 30% a. a., com capitalização trimestral, no prazo de 3 anos, 5 meses e 10 dias (convenção exponencial e convenção linear). POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 33

MATEMÁTICA FINANCEIRA 3. SÉRIES DE PAGAMENTOS - IMEDIATAS E DIFERIDAS - POSTECIPADAS E ANTECIPADAS PROF.: LUIZ ERNESTO BOTH POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 34

SÉRIES DE PAGAMENTOS É a capitalização múltipla. Aparece quando uma pessoa tem que efetuar uma série de depósitos (ou pagamentos) em datas previamente estabelecidas e que se destinam a constituir um capital (montante) ou a amortizar uma dívida ( valor atual ). Exemplo: 0 i 1 2 3 4 5 (n) PV FV PMT PV = valor atual n = nº de depósitos (pagamentos) FV = montante i = taxa do período PMT = valor dos pagamentos ou depósitos MONTANTE ( FV ): é uma parcela única, que equivale a todos os depósitos ( estes devidamente capitalizados ) no final do fluxo. É a soma dos montantes dos respectivos depósitos que compõe a série. VALOR ATUAL ( PV ): é uma parcela única que equivale ( ou que substitui ) todos os pagamentos ( devidamente descapitalizados ) no início do fluxo. É a soma dos valores atuais dos respectivos pagamentos que compõe a série. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 35

CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS IMEDIATAS POSTECIPADAS ANTECIPADAS TEMPORÁRIAS DIFERIDAS POSTECIPADAS ANTECIPADAS CERTAS IMEDIATAS POSTECIPADAS ANTECIPADAS PERPÉTUAS DIFERIDAS POSTECIPADAS ANTECIPADAS RENDAS IMEDIATAS POSTECIPADAS ANTECIPADAS TEMPORÁRIAS DIFERIDAS POSTECIPADAS ANTECIPADAS ALEATÓRIAS IMEDIATAS POSTECIPADAS ANTECIPADAS PERPÉTUAS DIFERIDAS POSTECIPADAS ANTECIPADAS POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 36

1. DEFINIÇÕES: Rendas Certas: quando a duração da série não depende de nenhuma eventualidade externa, mas obedece a um acordo previamente estabelecido. Temporárias: quando possuem um número limitado de pagamentos (depósitos). 0 1 2 3 4 5 PMT Perpétuas: quando possuem um número ilimitado de pagamentos (depósitos). 0 1 2 3 4 5...... PMT Imediatas: quando os pagamentos (depósitos) ocorrem a partir do primeiro período do prazo da renda. 0 1 2 3 PMT ou 0 1 2 3 PMT POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 37

Diferidas: quando os pagamentos (depósitos) ocorrem numa data futura. 0 1 2 3 4 5 6 ( diferimento inicial ) PMT ou 0 1 2 3 4 5 6 PMT ( diferimento final ) Postecipadas: quando os pagamentos (depósitos) ocorrem no fim de cada período. 0 1 2 3 4 PMT Antecipadas: quando os pagamentos (depósitos) ocorrem no início da cada período. 0 1 2 3 4 PMT POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 38

2. RENDA CERTA TEMPORÁRIA IMEDIATA POSTECIPADA (END) Representação Gráfica: PV FV 0 1 2 3 4 PMT 2.1. MONTANTE (FV) : FV = PMT ( 1 + i ) 3 + PMT ( 1 + i ) 2 + PMT ( 1 + i ) 1 + PMT FV = PMT ( 1 + i ) n - 1 i f ( i %, n ) = ( 1 + i ) n - 1 i Fator múltiplo de capitalização da renda postecipada FV = PMT. f ( i %, n ) 2.2. VALOR ATUAL (PV) : PV = PMT ( 1 + i ) 1 + PMT ( 1 + i ) 2 + PMT ( 1 + i ) 3 + PMT ( 1 + i ) -4 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 39

PV = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n. i p ( i %, n ) = ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n. i Fator de redução ao valor atual da renda postecipada PV = PMT. p ( i %, n ) 3. RENDA CERTA TEMPORÁRIA IMEDIATA ANTECIPADA (BEGIN) Representação Gráfica: PV FV 0 1 2 3 4 PMT 3.1. MONTANTE (FV) : FV = PMT ( 1 + i ) 4 + PMT ( 1 + i ) 3 + PMT ( 1 + i ) 2 + PMT ( 1 + i ) POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 40

( 1 + i ) n - 1 FV = PMT ( 1 + i ) i ou FV = PMT. f ( i %, n ) Onde : f ( i %, n ) - fator múltiplo de capitalização da renda antecipada. 3.2. VALOR ATUAL (PV) : PV = PMT + PMT ( 1 + i ) 1 + PMT ( 1 + i ) 2 + PMT ( 1 + i ) 3 PV = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n 1. i ou PV = PMT. p ( i %, n ) Onde : p ( i %, n ) - fator de redução ao valor atual da renda antecipada. Exemplos: 1 ) Determinada pessoa deposita R$ 250,00 mensalmente durante 10 meses, à taxa de juros compostos de 12% ao mês com capitalização mensal. Determine o montante destes depósitos, avaliando-os na data do último investimento. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 41

Solução: Fluxo: FV? 0 1 2 10... PMT a) Matemático: FV = PMT ( 1 + i ) n - 1 i FV = 250,00 ( 1,12 ) 10-1 0,12 ou FV = 250,00. f ( 12 %, 10 ) FV = 250,00 x 17,548735 FV = 4.387,18 b) HP - 12C f clear FIN g END Visor 250,00 CHS PMT - 250,00 12 i 12 10 n 10 FV 4.387,18 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 42

2 ) Uma loja está vendendo um artigo esportivo por R$ 8.345,00 à vista. A mesma mercadoria poderá ser adquirida a prazo, em 6 prestações mensais de R$ 2.029,72, sem entrada. Determine a taxa de juros utilizada na compra a prazo. Solução: PV 0 1 2 6 Fluxo:... a) Matemático: PMT PV = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n. i PV = PMT. p ( i %, n ) 8.345,00 = 2.029,72 ( 1 + i ) 6-1 ( 1 + i ) 6. i ou 8.345,00 = 2.029,72. p ( i %, 6 ) Para calcularmos a taxa de juros, podemos utilizar dois processos: binômio de Newton ou calculadora financeira. Pela complexidade do primeiro, resolveremos pela utilização de calculadora financeira. b) HP - 12C f clear FIN g END Visor 8.345,00 PV 8.345,00 2.029,72 CHS PMT - 2.029,72 6 n 6 i 12 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 43

3º) Depositando-se R$ 420,00 mensalmente, à taxa de juros compostos de 10% ao mês, com capitalização mensal, tem-se um capital final de R$ 4.383,07, 30 dias após o último investimento. Determine o número total de depósitos. Solução: 0 1 2 n 1 FV Fluxo:... n =? PMT a) Matemático: 4.383,07 = 420,00. f ( 10 %, n ) ( 1 + i ) n - 1 FV = PMT x ( 1 + i ) i ( 1,10 ) n - 1 4.383,07 = 420,00 1,10 0,10 1,94871710 = ( 1,10 ) n Por logarítimo: n = 7 b) HP - 12C f clear FIN Visor g BEGIN 420,00 CHS PMT - 420,00 10 i 10 4.383,07 FV 4.383,07 n 7 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 44

4 ) A condição de venda a prazo de um aparelho eletrônico é: - entrada de R$ 380,00 e mais 6 prestações mensais de igual valor ( 6 x 380,00 ). Se a taxa de juros compostos for de 9 % ao mês com capitalização mensal, determine o preço à vista deste equipamento. Solução: Fluxo: PV =? 0 1 2 5 6... PMT a) Matemático: PV = PMT. p ( i %, n ) PV = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n 1. i PV = 380,00 ( 1,09 ) 7-1 ( 1,09 ) 6. 0,09 PV = 2.084,64 b) HP - 12C f clear FIN g BEGIN Visor 380,00 CHS PMT - 380,00 7 n 7 9 i 9 PV 2.084,64 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 45

4. RENDAS CERTAS TEMPORÁRIAS E DIFERIDAS DIFERIMENTO FINAL 4.1. POSTECIPADA = END Representação Gráfica: FV FV 1 2 PMT y = diferimento FV 1 = PMT ( 1 + i ) n - 1 i FV 2 = FV 1 ( 1 + i ) y FV 2 = PMT ( 1 + i ) n - 1 i ( 1 + i ) y ou FV 2 = PMT. f ( i %, n ) ( 1 + i ) y 4.2. ANTECIPADA = BEGIN Representação Gráfica: FV FV 1 2 PMT y = diferimento POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 46

( 1 + i ) n - 1 FV 1 = PMT ( 1 + i ) i FV 2 = FV 1 ( 1 + i ) y ( 1 + i ) n - 1 FV 2 = PMT ( 1 + i ) y + 1 i ou PV 2 = PMT. f ( i %, n ) ( 1 + i ) y 5. RENDAS CERTAS TEMPORÁRIAS E DIFERIDAS DIFERIMENTO INICIAL 5.1. POSTECIPADA = END Representação Gráfica: PV PV 2 1 y = diferimento PMT PV 1 = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n. i POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 47

PV 2 = PV 1 ( 1 + i ) y PV 2 = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n + y. i ou PV 2 = PMT. p ( i %, n ) ( 1 + i ) y 5.2. ANTECIPADA = BEGIN Representação Gráfica: PV PV 2 1 y = diferimento PMT ( 1 + i ) n - 1 PV 1 = PMT ( 1 + i ) ( 1 + i ) n. i PV 2 = PV 1 ( 1 + i ) y PV 2 = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n. i ( 1 + i ) ( 1 + i ) - y POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 48

PV = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n + y 1. i ou PV 2 = PMT. p ( i %, n ) ( 1 + i ) - y Exemplos: 1 ) Foram depositados R$ 2.000,00 mensalmente, nos meses de janeiro/ 99 à abril/ 99 à taxa de juros compostos de 10 % am/m. Determine o valor equivalente, avaliando-o em agosto/ 99. JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO 20 20 20 20 SOLUÇÃO : HP - 12C g END Visor f clear FIN 2.000,00 CHS PMT ( - ) 2.000,00 4 N 4 10 i 10 FV 9.282,00 f clear FIN CHS ( - ) 9.282,00 PV ( - ) 9.282,00 4 N 4 10 i 10 FV 13.589,77 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 49

ou g BEGIN Visor f clear FIN 2.000,00 CHS PMT ( - ) 2.000,00 4 N 4 10 i 10 FV 10.210,20 f clear FIN CHS ( - ) 10.210,20 PV ( - ) 10.210,20 3 N 3 10 i 10 FV 13.589,77 2 ) Um financiamento de R$ 35.000,00 será amortizado em 10 prestações mensais, obedecendo o fluxo abaixo e mais um reforço, - 3 prestações mensais de R$ 4.500,00-4 prestações mensais de R$ 6.000,00-3 prestações mensais de R$ 6.500,00 Se a taxa de juros utilizada for de 15 % a. m./m., determine o valor do reforço, sabendo-se que será pago juntamente com a 6º prestação. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 50

Solução HP - 12C f clear FIN Visor 35.000,00 g Cfo 35.000,00 4.500,00 CHS g CFj - 4.500,00 3 g Nj 3 6.000,00 CHS g CFj - 6.000,00 4 g Nj 4 6.500,00 CHS g CFj - 6.500,00 3 g Nj 3 15 i 15 f NPV 7.883,05 f clear FIN CHS PV ( - ) 7.883,05 15 i 15 6 N 6 FV 18.233,97 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 51

EXERCÍCIOS - SÉRIES DE PAGAMENTOS 01. Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: 10 prestações mensais, vencíveis em 30, 60,... 300 dias, no valor de R$ 860,00 cada uma. Sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada é de 11 % ao mês com capitalização mensal, determine o preço à vista desta mercadoria. 02. Quantos investimentos mensais de R$ 1.200,00 são necessários para, à taxa de 12 % ao mês, com capitalização mensal, produzir um montante de R$ 409.715,33 um mês após o último investimento? 03. Foram depositados R$ 248,00 nos meses de outubro/98 até agosto/99. Utilizando a taxa de juros compostos 30 % a. a. com capitalização mensal, determine o valor acumulado, avaliando-o no mês de setembro/99. 04. Determinada pessoa depositou R$ 2.500,00 nos meses de janeiro a agosto do mesmo ano, à taxa de juros compostos de 9 % ao mês com capitalização mensal. Determine o montante avaliando-o na data do último depósito. 05. Um empréstimo no valor de R$ 4.850,00 será amortizado no prazo de 2 anos, mediante prestações trimestrais, efetuadas no fim de cada trimestre. Determine a taxa de juros compostos trimestral capitalizada trimestralmente, sabendo-se que o valor das prestações é de R$ 1.080,82. 06. Um aparelho está à venda por R$ 2.236,17 à vista. A prazo, poderá ser adquirido com R$ 400,00 de entrada e mais 12 prestações mensais de R$ 250,00. Determine a taxa mensal capitalizada mensalmente utilizada pela loja. 07. Quanto terá que ser depositado trimestralmente, durante o prazo de 6 anos, à taxa de 14 % ao trimestre com capitalização trimestral, para obter um montante de R$ 24.300,00, 90 dias após o último investimento? 08. Um eletrodoméstico está à venda por R$ 4.638,00 à vista. Sabendo-se que a loja o coloca à venda mediante 8 prestações mensais, sem entrada, qual o valor das prestações, admitindo-se uma taxa de juros compostos de 1,8 % ao mês com capitalização mensal. 09. Antônio, ao abrir uma conta bancária, depositou R$ 450,00. Em seguida efetuou 10 depósitos mensais de R$ 128,50 cada um. Qual o valor acumulado na data do último depósito, sabendo-se que a taxa de juros compostos utilizada é de 11 % ao mês com capitalização mensal? POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 52

10. Determine o número de parcelas mensais antecipadas, no valor de R$ 420,00 cada uma, necessário para amortizar uma dívida de R$ 1.972,28. Utilizar a taxa de juros compostos de 11 % ao mês com capitalização mensal. 11. Depositando-se a importância de R$ 1.350,00 no fim de cada mês, durante 8 meses, tem-se um montante de R$ 14.888,44. Qual a taxa de juros compostos mensal capitalizada mensalmente? 12. A importância de R$ 580,00 foi depositada mensalmente nos meses de março a dezembro/98. Determine o valor acumulado, avaliando-o em junho/99. Utilizar a taxa de juros compostos de 15 % ao mês com capitalização mensal. 13. Um empréstimo será amortizado mediante uma entrada de R$ 2.580,00 e mais 12 prestações mensais de R$ 1.350,00 cada uma. Utilizando-se a taxa de juros compostos de 16 % ao mês com capitalização mensal, qual o valor do empréstimo. 14. O preço à vista de um artigo é de R$ 837,50. Qual o valor que deve ser dado de entrada para financiar o saldo em 6 prestações mensais de R$ 120,00, sabendo-se que a 1º prestação vence 90 dias após a data da compra e que a taxa de juros compostos é de 15 % ao m./m.. 15. A quantia de R$ 120,00, foi investida mensalmente durante 20 meses à taxa de juros compostos de 12 % ao m./m.. Determine o valor final, avaliando-o 6 meses após o último investimento. 16. Um empréstimo será amortizado em 15 prestações mensais, sendo as 4 primeiras de R$ 120,00 cada uma, as 6 seguintes de R$ 180,00 cada e as restantes de R$ 250,00 cada uma. Qual o valor do empréstimo, se a taxa de juros compostos for de 9 % ao m./m.? 17. Uma dívida no valor de R$ 2.500,00 será paga em 8 prestações mensais, se a taxa de juros compostos for de 10 % ao m./m. e que a 1º prestação vence 120 dias após ter contraído a dívida. Determine o valor das prestações. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 53

MATEMÁTICA FINANCEIRA 4. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES -SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA (sistema francês) -SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE PROF.: LUIZ ERNESTO BOTH POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 54

AMORTIZAÇÃO É o processo pelo qual se extingue gradualmente uma dívida por meio de pagamentos periódicos. Tipos de Amortizações 1. Sistema de Amortização Progressiva ( Sistema Francês ) 2. Sistema Americano de Amortização ( Fundo de Amortização ) 3. Sistema de Juros Antecipados ( Sistema Alemão ) 4. Sistema de Amortização Constante ( SAC ). SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA - SAP ( SISTEMA FRANCÊS ) Este sistema caracteriza-se pelas seguintes convenções financeiras: a) as prestações pagas pelo devedor ao fim de cada período são iguais (constantes); b) os juros sobre o saldo devedor são pagos por períodos vencidos, isto é, são pagos no fim de cada período. Pelas convenções acima, concluímos que: 1. Trata-se de uma série de pagamentos postecipados ( END ), com prestações ( PMT ) iguais ao longo do período de amortização. Exemplo: PV 1 2 3 n = 4 i PMT PMT PMT PMT onde: PV valor da dívida ( empréstimo ) PMT valor das prestações POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 55

n número de prestações i taxa de juros compostos Observação: A particularidade de se ter prestações mensais é chamada de Sistema (ou tabela) Price. 2. Cada prestação será desdobrada em: uma parcela denominada de juro e outra chamada de quota de amortização. Exemplo: PMT = Prestações PMT = Juros + Quota de Amortização PMT = J 1 + A 1 1º prestação PMT = J 2 + A 2 2 prestação..... PMT = J p + A p prestação de qualquer ordem..... PMT = J n + A n última prestação 1. CÁLCULO DA PRESTAÇÃO PV PMT PMT PMT PMT Como já mencionamos, o Sistema Francês corresponde a uma série de pagamentos postecipados ( END ), donde concluímos que a prestação será calculada da seguinte forma: PV = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n. i POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 56

PMT = PV. ( 1 + i ) n. i ( 1 + i ) n - 1 ou PMT = PV. 1 p ( i %, n ) 2. CÁLCULO DO JURO PAGO NA PRIMEIRA PRESTAÇÃO Como os juros são calculados sobre o saldo devedor e no fim de cada período, o juro pago na primeira prestação será determinado segundo a expressão a seguir: J 1 = PV. i 3. PRIMEIRA QUOTA DE AMORTIZAÇÃO A primeira prestação ( PMT ) será desdobrada em parcela de juros ( J 1 ) e quota de amortização ( A 1 ), temos: Substituindo PMT = J 1 + A 1 PMT por PV. ( 1 + i ) n. i ( 1 + i ) n - 1 e J 1 por PV. i POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 57

( 1 + i ) n. i PV. = PV. i + A 1 ( 1 + i ) n - 1 onde: A 1 = PV ( 1 + i ) n. i ( 1 + i ) n - 1 - PV. i A 1 = PV ( 1 + i ) n. i ( 1 + i ) n - 1 - i A 1 = PV 1 p ( i %, n ) - i 4. QUOTA DE AMORTIZAÇÃO DE UMA PRESTAÇÃO QUALQUER Comparando a primeira prestação com a segunda, teremos: 1ª prestação = 2ª prestação PMT = PMT A 1 + J 1 = A 2 + J 2 como J 1 = PV. i J 2 = ( PV - A 1 ). i A 1 + PV. i = A 2 + ( PV - A 1 ). i POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 58

A 1 + PV. i = A 2 + PV. i - A 1. i A 1 ( 1 + i ) = A 2 A 2 = A 1 ( 1 + i ) Concluímos que a segunda quota de amortização é igual à primeira multiplicada por ( 1 + i ). Se utilizarmos o mesmo raciocínio para as demais prestações, concluiremos que: A 3 = A 2 ( 1 + i ) A 3 = A 1 ( 1 + i ) 2 A 4 = A 3 ( 1 + i ) A 4 = A 1 ( 1 + i ) 3 A p = A p 1 ( 1 + i ) e os substituindo teremos a fórmula final: A p = A 1. ( 1 + i ) p-1 5. JUROS PAGOS NUMA PRESTAÇÃO QUALQUER Como: PMT = A p + J p Concluímos que: J p = PMT - A p ou J p = PV p - 1. i onde, PV p 1 corresponde ao saldo devedor no momento p 1. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 59

6. MONTANTE JÁ PAGO APÓS O PAGAMENTO DE UMA PRESTAÇÃO QUALQUER Aqui, o montante FV p se refere ao valor total pago do principal (empréstimo) até uma prestação qualquer. PV 0 1 2 3 4... p n PMT PMT PMT PMT... PMT... A 1 A 2 A 3 A 4... A p FV p = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 +... + A p FV p = A 1 + A 1 (1 + i ) + A 1 (1 + i ) 2 + A 1 (1 + i ) 3 +... + A 1 (1 + i ) p 1 donde se conclui: FV p = A 1 ( 1 + i ) p - 1 I ou FV p = A 1. f ( i %, p ) onde p corresponde à ordem de uma prestação qualquer. 7. SALDO DEVEDOR APÓS O PAGAMENTO DE UMA PRESTAÇÃO QUALQUER O saldo devedor ( PV p ) corresponde ao valor do principal que falta pagar. Podemos estabelecer três métodos para o cálculo do saldo devedor. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 60

1ª PV p = PV - FV p 2ª PV 0 1 2 3 p n 1 n... PMT PMT PMT... PMT Prestações que ainda não foram pagas ( n - p) PV p = PMT ( 1 + i ) n p - 1 ( 1 + i ) n p. i ou PV p = PMT. p ( i %, n - p ) 3ª PV 0 1 2 3 p n 1 n... PMT PMT PMT... PMT Prestações já pagas POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 61

PV p = PV ( 1 + i ) p - PMT ( 1 + i ) p - 1 i ou PV p = PV ( 1 + i ) p - PMT. f ( i %, p ) 8. PRESTAÇÕES PAGAS ANTECIPADAS Supondo que queiramos efetuar o pagamento da 21ª, 22ª e da 23ª prestações juntamente com a 20ª e na data desta última. 20 21 22 23 *... PMT PMT PMT PMT 20ª PMT 21ª PMT ( 1 + i ) 1 22ª PMT ( 1 + i ) 2 23ª PMT ( 1 + i ) 3 ou POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 62

20 21 22 23...... PMT PMT PMT PMT 1 2 3 4 ( 1 + i ) n - 1 PV = PMT ( 1 + i ) ( 1 + i ) n. i ( n = 4 inclusive a 20ª prestação ) PV = PMT ( 1 + i ) n - 1 ( 1 + i ) n. i ( n = 3 exclusive a 20ª prestação ) 9. PRESTAÇÕES PAGAS COM ATRASOS Supor o pagamento da 30ª, 31ª e da 32ª prestações, juntamente com a 33ª e no vencimento desta. 30 31 32 33 34...... PMT PMT PMT PMT PMT 33ª PMT ( 1 + i ) 1 32ª PMT ( 1 + i ) 2 31ª PMT ( 1 + i ) 3 30ª POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 63

ou FV = PMT ( 1 + i ) n - 1 i ( n = 4 inclusive a 33ª prestação ) ( 1 + i ) n - 1 FV = PMT ( 1 + i ) i ( n = 3 exclusive a 33ª prestação ) EXEMPLO Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será amortizado pelo SAP ( Sistema Francês ) no prazo de 2 anos, em prestações mensais, à taxa de juros compostos de 6% ao m/m. Determine: a) o valor das prestações; b) os juros pagos na 1ª prestação; c) a 1ª quota de amortização; d) a 15ª quinta quota de amortização; e) os juros pagos na 20ª prestação; f) o saldo devedor após o pagamento da 22ª prestação. RESOLUÇÃO COM USO DA CALCULADORA HP-12C f clear REG VISOR g END 15.000,00 CHS PV ( 15.000,00 ) 24 N 24 6 i 6 PMT 1.195,19 Prestação. 1 f AMORT 900,00 Juros pagos na primeira prestação. x = y 295,19 Primeira quota de amortização. 13 f AMORT 9.629,26 Juros total pagos ( 2ª +... + 14ª POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 64

prestação). 1 f AMORT 527,80 Juros pagos na 15ª prestação. x = y 667,39 A 15ª quota de amortização. 4 f AMORT 1.686,01 Juros total pagos ( 16ª +... + 19ª prestação). 1 f AMORT 302,07 Juros pagos na 20ª prestação. 2 f AMORT 440,17 Juros total pagos ( 21ª + 22ª prestação). RCL PV (2.191,24) Saldo devedor após o pagamento da 22ª prestação. RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP 12C E MATEMÁTICAMENTE Exemplo: f clear REG VISOR g END 15.000,00 CHS PV (15.000,00) 24 N 24 6 i 6 PMT 1.195,19 Prestação. ( 1 + i ) n. i 1 PMT = PV ou PMT = PV. ( 1 + i ) n - 1 p ( i %, n ) ( 1,06 ) 24. 0,06 1 PMT = 15.000,00 ou PMT = 15.000,00. ( 1,06 ) 24-1 p ( 6 %, 24 ) PMT = 15.000,00. 0,079679 PMT = 15.000,00. 0,079679 PMT = 1.195,19 PMT = 1.195,19 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 65

Exemplo: 1 f AMORT 900,00 Juros pagos na primeira prestação. J 1 = PV. i J 1 = 15.000,00. 0,06 J 1 = 900,00 Exemplo: x = y 295,19 Primeira quota de Amortização. ( 1 + i ) n. i 1 A 1 = PV - i ou A 1 = PV - i ( 1 + i ) n - 1 p ( i %, n ) ( 1,06 ) 24. 0,06 1 A 1 = 15.000,00-0,06 A 1 = PV - 0,06 ( 1,06 ) 24-1 p ( 6 %, 24 ) A 1 = 15.000,00 ( 0,079679-0,06 ) A 1 = 15.000,00 ( 0,079679-0,06 ) A 1 = 15.000,00. 0,019679 A 1 = 15.000,00. 0,019679 A 1 = 295,19 A 1 = 295,19 Exemplo: 13 f AMORT 9.629,26 Juros total pagos ( 2ª +... + 14ª prestação ). 1 f AMORT 527,80 Juros pagos na 15ª prestação. x = y 667,38 A 15ª quota de amortização. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 66

A p = A 1 ( 1 + i ) p-1 A 15 = 295,19 ( 1,06 ) 14 A 15 = 295,19. 2,260903 A 15 = 667,38 Exemplo: 4 f AMORT 1.686,01 Juros total pagos ( 16ª +... + 19ª prestação ). 1 f AMORT 302,07 Juros pagos na 20ª prestação. J p = PMT - A p J 20 = PMT - A 20 A 20 = 295,19 ( 1,06 ) 19 A 20 = 893,11 J 20 = 1.195,19-893,11 J 20 = 302,08 Exemplo: 2 f AMORT 440,17 Juros total pagos ( 21ª + 22ª prestação ) RCL PV (2.191,24) Saldo devedor após o pagamento da 22ª prestação. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 67

( 1 + i ) n p - 1 PV 22 = PMT. ou PV p = PMT. p ( i %, n ) ( 1 + i ) n p. i ( 1,06 ) 2-1 PV 22 = 1.195,19 ou PV 22 = PMT. p ( 6 %, 24-22 ) ( 1,06 ) 2. 0,06 PV 22 = 1.195,19. 1,833392 PV 22 = 1.195,19. 1,833392 PV 22 = 2.191,24 PV 22 = 2.191,24 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 68

EXERCÍCIOS 01. Um empréstimo no valor de R$ 132.800,00 será amortizado através de prestações mensais durante 40 meses à taxa de 5% a.m., com capitalização mensal. Com os dados acima, determine: a) a prestação; b) os juros pagos na 1ª prestação; c) a 1ª quota de amortização; d) a 10ª quota de amortização; e) os juros pagos na 11ª prestação; f) o saldo devedor após o pagamento da 35ª prestação. 02. Uma dívida no valor de R$ 158.000,00 será amortizada em 10 anos, através de prestações trimestrais. Utilizando a taxa de juros de 10% a.a. com capitalização trimestral, determine: a) o valor da prestação; b) os juros pagos na 1ª prestação; c) a 1ª quota de amortização; d) os juros pagos na 3ª prestação; e) a 5ª quota de amortização; f) o saldo devedor após o pagamento da 20ª prestação; g) a 39ª quota de amortização. 03. Um empréstimo de R$ 100.000,00 será amortizado em 10 meses à taxa de juros de 4% a.m. com capitalização mensal. Pede-se: a) o valor da prestação; b) os juros pagos com a 1ª prestação; c) a 1ª quota de amortização; d) o montante já resgatado após o pagamento da 6ª prestação; e) os juros pagos na 7ª prestação; f) a 8ª quota de amortização; g) o saldo devedor após o pagamento da 9ª prestação. 04. O empréstimo de R$ 2.800.000,00 foi amortizado através de prestações mensais durante 6 anos. Sabendo-se que a taxa de juros aplicada foi de 36% a.a. com capitalização mensal, determine: a) a 1ª prestação; b) os juros pagos na 1ª prestação; c) a 1ª quota de amortização; d) os juros pagos na 25ª prestação; e) a 30ª quota de amortização; f) os juros pagos na 32ª prestação; g) o saldo devedor após o pagamento da 40ª prestação; h) a 60ª quota de amortização; i) o saldo devedor após o pagamento da 60ª prestação. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 69

05. Foi contraído um empréstimo no valor de R$ 300.000,00 para ser amortizado em 40 prestações mensais, à taxa de 3% a.m. com capitalização mensal. Pede-se: a) o valor da prestação; b) a 1ª quota de amortização; c) o saldo devedor após o pagamento da 15ª prestação; d) os juros pagos na 22ª prestação; e) os juros pagos na 30ª prestação; f) a 30ª quota de amortização; g) o capital ou montante já resgatado após o pagamento da 35ª prestação. 06. Uma pessoa obtém um empréstimo no valor de R$ 1.500.000,00 para amortizar pelo Sistema Francês, em 12 prestações mensais. Sendo de 9% a.m./m a taxa de juros compostos, determine: a) a prestação; b) os juros pagos na 1ª prestação; c) a 1ª quota de amortização; d) os juros pagos na 4ª prestação; e) o saldo devedor após o pagamento da 7ª prestação; f) a 10ª quota de amortização; g) o montante já resgatado após o pagamento da 10ª prestação; h) o saldo devedor após o pagamento da 11ª prestação; i) o saldo devedor após o pagamento da 12ª prestação. 07. Foi solicitado um empréstimo no valor de R$ 240.000,00 para ser pago em 6 ( seis ) prestações mensais. Se a taxa operada pela financeira é de 20% a.m./m construa a planilha de amortização. 08. Um empréstimo no valor de R$ 25.000,00, será amortizado pelo S.A.P., no prazo de 4 anos, mediante prestações mensais, calculadas com a utilização da taxa de juros compostos de 3 % am/m. Após o pagamento da vigésima oitava prestação, o saldo devedor foi refinanciado em 5 anos, mediante prestações mensais, calculadas com a taxa de juros compostos de 4,5 % am/m. Determine: a) o valor das prestações no refinanciamento; b) o valor total amortizado, após o pagamento da 35ª prestação no refinanciamento; c) após o pagamento da 42 ª prestação, no refinanciamento, e nesta data, deseja-se quitar todas as prestação não pagas em uma única parcela, qual o valor a pagar?; d) construa a planilha de amortização. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 70

RESPOSTAS EXERCÍCIOS SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA 01. a) 7.739,34 b) 6.640,00 c) 1.099,34 d) 1.705,44 e) 5.948,63 f) 33.507,29 02. a) 6.294,12 b) 3.950,00 c) 2.344,12 d) 3.831,33 e) 2.587,47 f) 98.120,13 g) 5.990,84 03. a) 12.329,09 b) 4.000,00 c) 8.329,09 d) 55.246,68 e) 1.790,13 f) 10.960,52 g) 11.854,90 04. a) 95.351,32 b) 84.000,00 c) 11.351,32 d) 72.276,42 e) 26.750,14 f) 66.972,10 g) 1.944.095,81 h) 64.929,61 i) 949.127,47 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 71

05. a) 12.978,71 b) 3.978,71 c) 226.000,25 d) 5.577,13 e) 3.602,61 f) 9.376,10 g) 240.561,29 06. a) 209.475,98 b) 135.000,00 c) 74.475,99 d) 113.027,42 e) 814.788,54 f) 161.753,90 g) 1.131.508,45 h) 192.179,80 i) 0,00 07. PLANILHA 08. a) 713,26 b) 14.423,56 c) 8.673,24 d) PLANILHA POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 72

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Características: - os pagamentos são postecipados; - os juros pagos em cada prestação são calculados sobre o saldo devedor do período anterior; - as quotas de amortização são iguais. Exemplo: Um empréstimo de $ 1.000,00 foi contraído via SAC em 5 prestações anuais à taxa de 10% a.a./a. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. Solução: Primeiramente, calculamos as quotas de amortização (que são constantes) nas prestações. PV 1.000 m = = = n 5 $ 200 - cálculo da 1 a quota de juros: j 1 = 1.000 (0,10) = $ 100,00 - cálculo da 1 a prestação: PMT 1 = m + j 1 = $ 300,00 - cálculo do total amortizado: M 1 = M 0 + m = 0 + 200 = $ 200,00 - cálculo do saldo devedor: A 1 = PV - M 1 = 1000-200 = $ 800,00 - cálculo da 2 a quota de juros: j 2 = 800 (0,10) = $ 80,00 - cálculo da 2 a prestação: PMT 2 = m + j 2 = $ 280,00 - cálculo do total amortizado: M 2 = M 1 + m = 200 + 200 = $ 400,00 - cálculo do saldo devedor: A 2 = PV - M 2 = 1.000-400 = $ 600,00... e assim sucessivamente, obtendo-se a planilha abaixo: p Planilha de Amortização SAC Prestação PMT Juros j Amortização M Total Amortizado M Saldo Devedor A 0 0 1.000 1 300 100 200 200 800 2 280 80 200 400 600 3 260 60 200 600 400 4 240 40 200 800 200 5 220 20 200 1.000 - POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 73

FORMULAÇÕES A) - Quota de Amortização ( m ) Em cada prestação é constante e é dada por: PV m = n B)- Total Amortizado ( M p ) M p = p m C) - Saldo Devedor ( A p ) É uma P.A. de razão PV n Logo, PV p A p = PV p A p = PV (1 ) n n D) - Juros pagos numa prestação ( j p ) São calculados sobre o saldo devedor do período anterior. PV j p = A p 1 i j p = ( n p +1) i n E) - Prestações ( PMT p ) PMT = j + m PV PMT p = [ + n p + i n p p 1 ( 1) ] POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 74

EXERCÍCIOS 1- Um empréstimo no valor de $ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. A taxa de juros da operação é de 4% a.m./m. Determinar: a) o valor das amortizações mensais; R: $ 2.000,00 b) o valor dos juros e da prestação referente ao 22 o pagamento; R: j 22 = $ 1.520,00 ; PMT 22 = $ 3.520,00 c) o valor da última prestação; R: PMT 40 = $ 2.080,00 d) o saldo devedor após o pagamento da 10 a prestação. R: A 10 = $ 60.000,00 2- Um empréstimo de $ 250.000,00 deve ser pago com juros de 8% a.m./m.em 20 parcelas mensais pelo SAC. Calcular os valores do 2 o e do último pagamentos. R: $ 31.500,00 e $ 13.500,00 3- Um empréstimo de $ 10.000,00 foi amortizado mensalmente pelo SAC em 3 anos. Os juros pagos na 1 a prestação foram de $ 450,00. Calcular os juros pagos na última prestação. R: $ 12,50 4- Um automóvel no valor de $ 40.000,00 é comprado sem entrada para ser pago em 5 prestações, com carência de 2 meses, à base de 9 % a.m./m. de juros capitalizados durante a carência. O financiamento foi feito pelo SAC. Apresentar a planilha de amortização. 5- Um empréstimo de $ 5.000,00 será amortizado anualmente pelo SAC em 5 prestações, à taxa de juros de 10% a.a./a. Obter a planilha de amortização, sabendo que os juros são pagos anualmente, mas as amortizações só começam daqui a 3 anos. POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 75

MATEMÁTICA FINANCEIRA - 01/2005 RESPOSTAS : EXERCÍCIOS DO POLÍGRAFO Juros Simples 1. R$ 150,52 6. 450 dias 2. 195 dias 7. 122 dias 22.03.1999 3. 15 % ao mês 8. R$ 5.268,50 4. R$ 6.833,33 e R$ 19.333,33 9. 04.06.1999 5. 146 dias 29.07.1999 10. R$ 21.468,75 Desconto Simples 1. R$ 621,60 6. R$ 10.207,75 e 22,55 % ao mês 2. 82 dias 7. 3,896 % ao semestre 3. 1,2738 % ao mês 8. 32,7272 % ao mês 4. R$ 337,78 e R$ 9.162,22 9. 12,7388 % ao bimestre e R$ 2.198,00 5. R$ 1.088,32 10. 3,092 % ao trimestre Juros Compostos 1. R$ 58.026,90 12. 24,24 % a.a./bim. 2. R$ 4.016,45 13. 39,3613 % a.a./bim. 3. 6 % a.a./a. 14. R$ 16.060,32 4. 12 anos 15. R$ 3.947,16 5. R$ 19.307,52 CE 16. 13 % a.quadrim./quadrim. R$ 19.298,74 CL 6. R$ 78.375,20 CE 17. 22 trimestres R$ 78.563,98 CL 7. 3,5558 % trim./trim. 18. 14 % a.sem./sem. 8. 34,488 % a.a./a. 19. R$ 58.140,64 CE 9. 19,5618 % a.a./a. R$ 58.129,46 CL 10. 25,4636 % a.a./trim. 20. 3 anos, 2 meses e 7 dias 11. 20,4842 % quadrim./quadrim. 21. R$ 48.754,12 CE R$ 48.175,86 CL Séries de Pagamentos 1. R$ 5.064,74 10. 6 2. 32 11. 9 % a.m./m. 3. R$ 3.173,30 12. R$ 27.238,97 4. R$ 27.571,18 13. R$ 9.596,09 5. 15 % trim./trim. 14. R$ 494,11 6. 8,5 % a.m./m. 15. R$ 17.066,25 7. R$ 134,35 16. R$ 1.371,55 8. R$ 627,69 17. R$ 623,72 9. R$ 3.426,52 POLÍGRAFO: MATEMÁTICA FINANCEIRA 2/2005 Prof. LUIZ ERNESTO BOTH 76