Linguagem Básica de Conjuntos

Capítulo 1 Linguagem Básica de Conjuntos 1.1 A Noção de Conjunto A teoria dos conjuntos surgiu com os trabalhos de George Cantor no século XIX. Entretanto, tal teoria não se preocupava com muito rigor ou formalidade. Considerava-se que o leitor sabia do que se estava falando, por exemplo, entendendo conjunto como uma caixa (coleção) que contém algum objeto (elemento) e sabendo-se de que caixa se estava falando (garantindo a existência de tal tipo de coleção). Cantor costumava definir um conjunto através de seus elementos ou através de uma propriedade que era comum aos seus elementos. Estes primeiros estudos receberam o nome de Teoria Ingênua dos Conjuntos. Com o passar do tempo, viu-se que, para não chegarmos a paradoxos (contradições), precisava-se de uma teoria mais formal onde questões como, se a validade de axiomas dentro de certas estruturas são garantidas ou não, foram levantadas, chegando-se a teoria axiomática dos conjuntos ( mais relacionada com a lógica). ( Paradoxo de Russel: Considerar o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si próprio. Este conjunto é ou não elemento de si próprio?(se é, não pode ser, pela própria definição do conjunto; se não é, tem de ser, também pela própria definição do conjunto). 1

Considerando a abordagem de Cantor, a noção de conjunto é uma noção primitiva, isto é, aceita sem definição e é a mesma que se usa na linguagem comum: agrupamento, coleção, classe. Cada membro ou objeto de um conjunto é chamado de elemento (que também é uma noção primitiva). Assim, podemos dizer que Um conjunto }{{} noção primitiva é formado por elementos }{{}. noção primitiva Tais elementos podem ser escolhidos arbitrariamente mas, em Matemática, normalmente consideramos conjuntos numéricos ou conjuntos de pontos que são as formas geométricas, e derivamos outros conjuntos destes como conjuntos de funções, matrizes, etc. Exemplo 1.1.1. 1. Conjunto dos números ímpares positivos com os elementos 1, 3, 5, 7, 9, 11,... 2. Conjunto dos planetas do sistema solar com os elementos Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. 3. Conjunto dos números pares entre 3 e 7 com os elementos 4 e 6. 1.2 Descrição e Representação de um Conjunto Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula (A, B, C, D,...) e um elemento com uma letra minúscula (a, b, c, d,..., x, y,...). Utilizamos de dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos: 1. Descrição pela citação dos elementos: O conjunto é dado pela enumeração de seus elementos. Devemos indicá-lo escrevendo os elementos entre chaves. Por exemplo: Conjunto das vogais {a, e, i, o, u} Conjunto dos inteiros positivos impares {1, 3, 5, 7, 9, 11,...} Conjunto dos divisores positivos de 100 {1, 2, 5, 10, 20,..., 100} 2

Observação 1: Note que no item 2 trata-se de um conjunto com infinitos elementos. Assim, escrevemos alguns elementos que evidenciam a lei de formação e em seguida colocamos reticências. No item 3, o cojunto é finito porém com grande número de elementos. Escrevemos os elementos iniciais, colocamos reticências e indicamos o último elemento. 2. Descrição por uma propriedade: Descrevemos um conjunto A por meio de uma propriedade característica P de seus elementos x. A = {x x tem a propriedade P } e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P ". Por exemplo: A = {x x é divisor inteiro de 7} = {-7, -1, 1, 7} B = {x x é vogal} = {a, b, c, d, e} 1.3 Relação de Pertinência Dado um conjunto A e certo elemento a (ou objeto) só existe uma questão a ser feita sobre eles: se tal elemento pertence ou não a esse conjunto, ou seja, se tal objeto é um elemento do conjunto. A relação de pertinência também é uma noção primitiva. Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento do conjunto A dizemos que x A (lê-se x pertence a A). Caso contrário, diz-se que x / A (lê-se x não pertence a A). Os conjuntos substituem as "propriedades"e as "condições". Assim, em vez de dizermos que o "o objeto x goza da propriedade P "ou que "o objeto y satisfaz a condição C", podemos escrever x A onde A = Conjunto dos objetos que gozam da propriedade P e y B onde B = Conjunto dos objetos que satisfazem a condição C. Este é um dos motivos do porquê estudar conjuntos. A linguagem dos conjuntos permite descrever conceitos e proposições de forma precisa e geral, mas de certa forma, mais simples, mais concisa. 3

Exemplo 1.3.1. Sejam P a propriedade de um número inteiro x ser par (isto é, divisível por 2) e C a condição sobre o número real y expressa por y 2 3y + 2 = 0. Por outro lado sejam, A = {..., -4, -2, 0, 2, 4, 6,...} e B = {1, 2}. Então, tanto faz dizer que x goza da propriedade P e y satisfaz a condição C como afirmar que x A e y B. Existe uma importante ligação entre os conceitos de pertinência e igualdade que é estabelecida pelo seguinte axioma: Axioma da Extensão: Dois conjuntos são iguais se e somente se eles têm os mesmos elementos. O Axioma da Extensão nos diz que não podemos distinguir dois conjuntos formados pelos mesmos elementos. 1.4 Conjunto Unitário, Vazio e Universo Conjunto Unitário: É um conjunto que possui um único elemento. 1. A = {x x é par compreendido entre 9 e 11} = {10} 2. B = conjunto das soluções da equação "3x + 1 = 10"= {3} Conjunto Vazio: É um conjunto que não possui elemento algum. O símbolo usual para o conjunto vazio é ou { }. Para mostrar que um conjunto X não é vazio, deve-se simplesmente encontrar um objeto x tal que x X. 1. A = {x x 2 = 9 e x é par} = 2. B = {x x > 0 e x < 0} = 3. C = {x x x} = Observação 2: { } pois { } possui um elemento (tem-se { }) e é vazio. Conjunto Universo: É um conjunto especificado que contém todos os elementos de interesse para um determinado problema. 4

A = { x U x tem a propriedade P } Por exemplo, quando procuramos por soluções reais de uma equação, o conjunto universo é R. 1.5 Diagrama de Euler-Venn É uma maneira de visualizar as relações entre conjuntos. Os conjuntos são representados por regiões planas interiores a uma curva fechada simples. 1.6 A Relação de Inclusão Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A também for um elemento de B, então dizemos que A é um subconjunto de B, que A está contido em B ou que A é parte de B. Para indicar este fato, usa-se a notação: A B (lê-se A está contido em B) ou B A (lê-se B contém A) A relação A B chama-se relação de inclusão. Veja alguns exemplos: {x x é inteiro e par} {x x é inteiro} ou {x x é inteiro} {x x é inteiro e par} T = conjunto dos triângulos e P = conjunto dos polígonos do plano. Todo triângulo é um polígono, logo T P. Diz-se que A é subconjunto próprio de B quando se tem A B, com A e A B. Temos duas inclusões óbvias, A A e A. Se A não for um subconjunto de B, escrevemos A B (lê-se A não está contido em B). Isto significa que nem todo elemento de A pertence a B, ou seja, existe algum x A tal que x / B. Também podemos escrever B A (lê-se B não contém A). Por exemplo, sejam A o conjunto dos números pares e B o conjunto dos múltiplos de 3. Tem-se A B porque 2 A mas 2 / B. Também B A porque 3 B mas 3 / A. Outro exemplo, {1, 2} {3, 4, 5, 6} ou {3, 4, 5, 6} {1, 2}. 5

Conjunto das partes: Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A (notação P(A)) ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A: P(A) = {X X A}. Veja alguns exemplos: 1. A = {a} P(A) = {{a}, } 2. A = {a, b} P(A) = {{a}, {b}, {a, b}, } 3. A = {1, 2, 3} P(A) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, } Note que: {1, 2} A e {1, 2} P(A) Se A tem n elementos então P(A) tem 2 n elementos. A relação de inclusão entre conjuntos está estreitamente relacionada com a implicação lógica. Vejamos como. Sejam P e Q propriedades referentes a um elemento genérico do conjunto U. Essas propriedades definem os conjuntos A, formado pelos elementos de U que gozam de P, e B o conjunto formado pelos elementos de U que têm a propriedade Q. Diz-se então que a propriedade P implica (ou acarreta) a propriedade Q, e escreve-se P Q para significar que A B. Há diferentes maneiras de se ler a relação P Q. Pode-se dizer "P implica Q", "se P então Q", "P é condição suficiente para Q", "Q é condição necessária para P "ou "P somente se Q". Exemplo 1.6.1. 1. Seja U o conjunto dos quadriláteros convexos do plano. Designemos com P a propriedade de um quadrilátero ter seus quatros ângulos retos e por Q a propriedade de um quadrilátero ter seus lados opostos paralelos. Então podemos escrever P Q. Com efeito, neste caso, A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos paralelogramos, logo A B. Podemos dizer: "ser retângulo implica ser paralelogramo", "se x é um retângulo então x é um paralelogramo". 6

2. Sejam C a condição sobre o número real x expressa por x 2 +x 1 = 0 e D a condição sobre o número real x expressa por x 3 2x+1 = 0. Podemos escrever a implicação P Q, ou seja, x 2 +x 1 = 0 x 3 2x+1 = 0. Ela significa que toda raiz da equação x 2 + x 1 = 0 é também raiz de x 3 2x + 1 = 0. 1.6.1 Propriedades de Inclusão A relação de inclusão goza de quatro propriedades fundamentais. Dados quaisquer conjunto A, B e C tem-se: 1. A 2. reflexividade: A A 3. anti-simetria: se A B e B A então A = B 4. transitividade: se A B e B C então A C A propriedade anti-simétrica é constantemente usada quando se deseja mostrar que os conjuntos A e B são iguais. A = B se, e somente se, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. Logo para mostrar que A = B, devemos provar que A B e B A (Axioma da Extensão). A implicação Q P chama-se recíproca de P Q. Evidentemente, a recíproca de uma implcação verdadeira pode ser falsa, pois A B não implica necessariamente que B A. Nos exemplos dados acima as recíprocas são falsas: nem todo paralelogramo é retângulo e x = 1 é raiz da equação x 3 2x + 1 = 0 mas não da equação x 2 + x 1 = 0. Quando são verdadeiras ambas as implicações P Q e Q P, escrevese P Q e lê-se "P se, e somente se, Q", "P é equivalente a Q"ou "P é necessária e suficiente para Q". Sejam os conjuntos A, formado pelos elementos de U que gozam de P, e B o conjunto formado pelos elementos de U que têm a propriedade Q. Vimos que escreve-se P Q para significar que A B. Assim, se P Q e Q P temos que A B e B A, logo A = B. Isto significa que o conjunto dos elementos que gozam da propriedade P coincide com o conjunto dos elementos que gozam de Q. 7

Exemplo 1.6.2. Sejam P a propriedade de um triângulo, cujos lados medem x y z, ser retângulo e Q a propriedade de valer z 2 = x 2 + y 2. Então P Q. A propriedade transitiva da inclusão é a base do raciocínio lógico dedutivo, sob a forma que classicamente se chama de silogismo. Por exemplo: todo ser humano é um animal (P ), todo animal é mortal (Q), logo todo ser humano é mortal (R). Na linguagem dos conjuntos, isso seria formulado assim: Sejam H = conjunto dos seres humanos, A = conjunto dos animais e M = conjunto dos mortais. Temos H A e A M, logo H M. Assim, se P Q R então P R. A resolução de uma equação é um caso típico de sequência de implicações lógicas. Por exemplo, para resolver a equação podemos seguir os passos abaixo: x 2 x 2 = 0 (P )... x 2 x 2 = 0; (Q)... (x 2)(x + 1) = 0; (R)... x = 2 ou x = 1; (S)... x {2, 1}. Sejam P, Q, R, e S condições impostas sobre o número x, os passos acima significam que P Q R S. Por transitividade, conclui-se que P S, ou seja: Se x 2 x 2 = 0 então x {2, 1} Esta afirmação não significa que as raizes da equação x 2 x 2 = 0 são 2 e -1. O que está dito acima é que se houver raízes desta equação elas devem pertencer ao conjunto {2, -1}. É fácil ver que, no presente caso, valem as recíprocas S R Q P, logo S P. Portanto P S, ou seja, 2 e -1 são de fato as (únicas) raizes da equação x 2 x 2 = 0. 8

1.7 O Complementar de um Conjunto Sejam A um conjunto e U o conjunto universo tal que A U. Chamase complementar de A o conjunto A c formado pelos objetos de U que não pertencem a A. Fixado o conjunto A, para cada elemento x U, vale uma, e somente uma, das alternativas: x A ou x / A. Este fato é conhecido em Lógica como o princípio do terceiro excluído, e o fato de as alternativas x A ou x / A não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo chama-se princípio da não-contradição. Seguem-se dos princípios acima as seguintes regras operatórias referentes ao complementar: 1. Para todo conjunto A U, tem se (A c ) c = A. (Todo conjunto é complementar de se complementar.) 2. Se A B então B c A c. (Se um conjunto está contido noutro, seu complementar contém o complementar desse outro.) 3. A B B c A c. Vamos olhar a equivalência (3) sob o ponto de vista lógico. Sejam P e Q as propriedades que definem respectivamente os conjuntos A e B. Então o conjunto A é formado pelos elementos de U que gozam da propriedade P, enquanto que os elementos de B são todos os elementos de U que gozam da propriedade Q. As propriedades que definem os conjuntos A c e B c são respectivamente a negação de P, representada por P, e a negação de Q, representada por Q. Assim, dizer que um objeto x goza da propriedade P significa (por definição) afirmar que x não goza da propriedade P, analogamente para Q. Dessa forma a relação (3) acima lê-se P Q Q P. Noutras palavras, a implicação P Q equivale a dizer que Q P (a negação de Q implica a negação de P ). A implicação Q P chama-se contrapositiva de P Q 9

Exemplo 1.7.1. 1. Sejam U o conjunto dos quadriláteros convexos, R a propriedade que tem um quadrilátero x de ser um retângulo e P a propriedade de ser um paralelogramo. Então P é a propriedade que tem um quadrilátero convexo de não ser um paralelogramo e R a de não ser um retângulo. As implicações R P e P R se leêm, neste caso, assim: (1) Se x é um retângulo então x é um paralelogramo. (2) Se x não é um paralelogramo então x não é um retângulo. 2. Considere o conjunto U dos números inteiros. Sejam P a propriedade de um número ser primo e maior do que 2, e Q a propriedade de um número ser ímpar. Temos as seguintes implicações: (1) P Q : "Todo número primo maior do que 2 é ímpar"ou "se x é um número primo maior do que 2 então x é ímpar". (2) Q P : "Um número par maior do que 2 não é primo"ou "se x é um número par maior do que 2 então x não é primo". As implicações P Q e Q P são equivalentes. Esta equivalência entre uma implicação e sua contrapositiva é a base das demonstrações por absurdo. 1.8 União e Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) dos conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Chamase intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. Se x A B então x A ou x B. Se x A B então x A e x B. Exemplo 1.8.1. Dizemos que um número x goza da propriedade P quando valer a igualdade x 2 3x + 2 = 0 e que x tem a propriedade Q quando valer x 2 5x + 6 = 0. O conjunto dos números que possuem a propriedade P é A = {1, 2} e o conjunto dos números que gozam de Q é B = {2, 3}. Assim, a afirmação x 2 3x + 2 = 0 ou x 2 5x + 6 = 0 equivale a x {1, 2, 3} e x 2 3x + 2 = 0 e x 2 5x + 6 = 0 equivale a x {2}. Noutras palavras, A B = {1, 2, 3} e A B = {2} 10

1.8.1 Propriedades da União e da Intersecção 1. A A = A e A A = A 2. A = A e A U = A 3. A B = B A e A B = B A (comutativa) 4. (A B) C = A (B C) e (A B) C = A (B C) (associativa) 5. A (B C) = (A B) (A C) (distributiva) 6. A (B C) = (A B) (A C) (distributiva) Sejam A, B e C subconjuntos do universo U. A conexão entre as operações, e a relação de inclusão é dada pelas seguintes equivalências: 1. A B = B A B A B = A 2. A B A C B C e A C B C, para todo C. 3. (A B) c = A c B c 4. (A B) c = A c B c As relações (3) e (4) significam que a negação de "P ou Q"é "nem P nem Q"e a negação de "P e Q"é "não P ou não Q" Observação 4: Se A B = dizemos que A e B são disjuntos. 1.9 "Negação"e "Contrário" Muitas vezes é necessário negar uma implicação P Q. É preciso ter cuidado ao fazer isto. Por exemplo, a negação de "todo homem é mortal"não é "nenhum homem é mortal"mas "existe (pelo menos) um homem imortal". Geralmente, negar P Q significa admitir que existe (pelo menos) um objeto que tem a propriedade P mas não tem a propriedade Q. Isto é bem diferente de admitir que nenhum objeto que tem a propriedade P tem também a propriedade Q. Por exemplo, se P é a propriedade que tem um triângulo de ser isósceles e Q a propriedade de ser equilátero, a implicação P Q significaria que todo triângulo isósceles é equilátero (o que é falso). A negação de P Q é a afirmação de que existe (pelo menos) um triângulo isósceles não-equilátero. 11

1.10 Diferença de Conjuntos e Complementar de B em A Dados dois conjuntos A e B chama-se diferença entre A e B o conjunto A B, isto é, o conjuntos dos elementos de A que não pertencem a B. A B = { x x A e x / B } Dados dois conjuntos A e B, tais que B A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A B, isto é, o conjuntos dos elementos de A que não pertencem a B. Indicamos o complementar B em relação a A com o símbolo: B A Exemplo 1.10.1. = A B "complementar de B em relação a A"= B 1. A = {1, 2, 4} e B = {0, 1, 2, 4, 6, 9} A B = B A = {0, 6, 9} 2. A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e} B A = A B = {a, b} 3. {a, b, c} - {b, c, d, e} = { a } 4. {a, b, c} - {b, c} = { a } 5. {a, b} - {c, d, e} = {a, b} 6. {a, b} - {a, b, c, d} = 1.10.1 Propriedades da Complementação 1. B A B = e B A B = A 2. A A = e A = A 3. A ( B A ) = B 4. (B C) A 5. (B C) A = B A C A = B A C A 12

1.11 Exercícios 1. Considere P, Q e R condições, aplicáveis aos elementos de um conjunto U; e A, B e C os subconjuntos de U dos elementos que satisfazem P, Q e R, respectivamente. Expresse, em termos de implicações entre P, Q e R, as seguintes relações entre os conjuntos A, B e C. (a) A B c C (b) A c B c C (c) A c B C c (d) A c B c C 2. Dê exemplos de implicações, envolvendo conteúdos do ensino médio que sejam a) verdadeiras, com recíproca verdadeira; b) verdadeiras, com recíproca falsa; c) falsas, com recíproca verdadeira; d) falsas,com recíproca falsa. 3. Escreva as recíprocas, contrapositivas e negações matemáticas das seguintes afirmações: a) Todos os gatos têm rabo. b) Sempre que chove, eu saio de guarda-chuva ou fico em casa. c) Todas as bolas de ping-pong são redondas e brancas. d) Sempre que é terça-feira e o dia do mês é um número primo, eu vou ao cinema. 4. Expressões como "para todo"e "qualquer que seja"são chamadas de quantificadores e aparecem sentenças dos tipos: (1) "Para todo x, é satisfeita a condição P (x). (2) "Existe algum x que satisfaz a condição P (x), onde P (x) é uma condição envolvendo a variável x. (a) Sendo A o conjunto de todos os objetos x (de um certo conjunto universo U) que satisfazem a condição P (x), escreva as sentenças (1) e (2) acima, usando a linguagem de conjuntos. (b) Quais as negações de (1) e (2)? usando conjuntos. Escreva cada uma dessas negações 13

5. Para cada sentença abaixo, diga se ela é verdadeira ou falsa e forme sua negação: (a) Existe um número real x tal que x 2 = 1. (b) Para todo número inteiro n, vale n 2 > n. (c) Para todo número real x, tem-se x > 1 ou x 2 < 1. (d) Para todo número real x existe um número natural n tal que n > x. 6. Considere os conjuntos abaixo: F = conjunto de todos os filósofos; M = conjunto de todos os matemáticos; C = conjunto de todos os cientistas; P = conjunto de todos os professores. I. Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos: (a) Todos os matemáticos são cientistas. (b) Alguns matemáticos são professores. (c) Alguns cientistas sao filósofos. (d) Todos os filósofos são cientistas ou professores. (e) Nem todo professor é cientista. (f) Alguns matemáticos são filósofos. (g) Nem todo filósofo é cientista. (h) Alguns filósofos são professores. (i) Se um filósofo não é matemático, ele é professor. (j) Alguns filósofos são matemáticos II. Tomando as 5 primeiras afirmativas como hipóteses, verifique quais das afirmativas restantes são necessariamente verdadeiras. 14

7. Prove que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é ímpar então sua raiz quadrada é ímpar. 8.Uma urna contém sete bolas de cores distintas. Determine o número de conjuntos distintos, não vazios, que podem ser formados com as bolas da urna. 9. Sejam A, B e A B conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente. Determinar o número de elementos do conjunto A B. 10. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: [ ] marca A B C A e B B e C C e A A, B e C nenhuma das três nō de consumidores 109 203 162 25 41 38 5 115 Forneça: a) o número de pessoas consultadas; b) o número de pessoas que só consomem a marca A; c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C; d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas. 1.12 Bibliografia LIMA, E. L. Números e funções reais. MAT). SBM, 2014 (Coleção PROF- 15