Álgebra Matricial - Nota 06 Matrizes

Álgebra Matricial - Nota 06 Matrizes Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org 9 de fevereiro de 2015 A manipulação com números dispostos em linhas e colunas foi muito útil na resolução de sistemas. Vimos que esta forma de dispor os coeficientes de um sistema, aliada ao método de Gauss, tornou possível a aplicação de uma única arma para resolver os mais variados tipos de sistema. Os chineses, pioneiros nessa técnica, estavam com a semente do que mais tarde germinaria como a Álgebra Matricial (MEYER, 2000). As matrizes passaram a ganhar um tratamento algébrico (com a definição de operações e propriedades) apenas com Arthur Cayley (1821-1895). 1 Representação de conjunto de matrizes Nossa primeira ideia de matriz foi a de uma representação organizada dos coeficientes de um sistema de equações lineares. Esta representação consiste da disposição dos coeficientes em linhas e colunas bem determinadas. Podemos trabalhar com coeficientes (e termos independentes) sendo números reais (R) ou complexos (C). Aliás, tais conjuntos podem ser usados para a representação de outros, alguns até visualizáveis geometricamente: R 2 R R {(x 1, x 2 ) ; x i R} - Conjunto dos pares ordenados de números reais. Plano Cartesiano. R 3 R R R {(x 1, x 2, x 3 ) ; x i R} - Conjunto dos ternos ordenados de números reais. Espaço. R n R R... R {(x 1, x 2,..., x n ) ; x i R} - Hiperplano de dimensão n. Por exemplo, o elemento (1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4) pertence à R 8. Um espaço com 8 dimensões e um tanto quanto difícil de se representar geometricamente... Analogamente, podemos usar C para representar os conjuntos C 2, C 3,..., C n. Observação 1 (Números Complexos) Lembremos que um número complexo é um elemento na forma a + bi onde a, b são números reais e i, chamada unidade imaginária, é tal que i 2 1. Assim, a representação geométrica de C já é feita através de um plano, havendo uma correspondência biunívoca entre C e R 2. Tal correspondência também existe entre C 2 e R 4, C 3 e R 6 e, mais geralmente, entre C n e R 2n. Para representar um conjunto de matrizes podemos usar notação semelhante. exemplo, uma matriz qualquer de ordem 2 2, isto é, que possui 2 linhas e 2 colunas: x y A z w Poderíamos representar os elementos de tal matriz em uma lista, da seguinte forma: (x, y, z, w) Considere, por 1

desde que consideremos a ordem em que os elementos aparecem na lista, determinantes da disposição na forma matricial. Por exemplo, a representação da lista como uma matriz de ordem 2 2 seria (3, 4, 1, 5) 3 4 1 5 Diremos, então, que a matriz genérica A descrita acima é um elemento de R 2 2, uma vez que seus elementos podem ser escritos em uma lista de 4 elementos (R 4 ). Mas por que não R 1 4 ou R 4 1? Simples! A notação R 2 2 nos diz exatamente a ordem da matriz que se quer representar. Se escrevêssemos R 1 4, por exemplo, estaríamos afirmando que a matriz tem 1 linha e quatro colunas. Desta forma, R 2 2 {conjunto das matrizes de ordem 2 2 e elementos reais} Exemplo 2 8 0 2 R 2 3, 7 7 4 3 1 5 2 R 4 2, 4 3 5 7 1 0 0 1 4 3 2 1 R3 4 1 2 5 9 Obviamente, no caso de matrizes com elementos complexos, a ideia é a mesma. Exemplo 3 (1 2i) (4 + 2i) C 2 2, (7 7i) (2 4i) 3i 1 5 i 2 + 2i C3 2, 0 i 1 0 0 1 4 3 2 1 C3 4 1 2 5 9 Generalizando, R n m {conjunto das matrizes de ordem n m e elementos reais} C n m {conjunto das matrizes de ordem n m e elementos complexos} Como todo número real é um complexo, isto é, R C, a partir de agora denotaremos o conjunto das matrizes de ordem n m por C n m 1.1 Notação Nem sempre é possível explicitar uma matriz. E, algumas vezes, também é incoveniente escrever por inteiro uma matriz qualquer. Assim, para indicar uma matriz de forma genérica, podemos usar a seguinte notação a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m A... a n1 a n2... a nm cada elemento (ou entrada) da matriz possui um índice duplo. elemento dentro da matriz: a 23 - elemento posicionado na segunda linha e terceira coluna; Esta informação diz a posição do 2

a 18 - elemento posicionado na primeira linha e oitava coluna; a 75,204 - elemento posicionado na septuagésima quinta linha e ducentésima quarta coluna; a rs - elemento posicionado na r-ésima linha e s-ésima coluna. Repare, ainda, que o último elemento da matriz traz em seu índice informações sobre a ordem da matriz. Neste caso, a nm indica que a matriz possui n linhas e m colunas. Em alguns casos, é possível e conveniente condensar ainda mais a representação da matriz. Podemos escrever simplesmente: A [a rs ] n m para indicar uma matriz de n linhas e m colunas. Observe que o primeiro índice, o r, varia de 1 a n, enquanto o índice s, o da coluna, varia de 1 a m. Exemplo 4 Vamos esboçar matriz A [a rs ] 3 2 sabendo que a rs r 2s. Inicialmente vemos que a matriz possui 3 linhas e 2 colunas. Então sua forma será a seguinte: a 11 a 12 A a 21 a 22 a 31 a 32 Para detereminar cada entrada da matriz, basta fazer a conta linha menos duas vezes a coluna : (1 2.1) (1 2.2) 1 3 A (2 2.1) (2 2.2) 0 2 (3 2.1) (3 2.2) 1 1 2 Operações com Matrizes Quando falamos em Álgebra Matricial, estamos falando de operações num conjunto de matrizes. Em alguns momentos, teremos situações similares às experimentadas com números reais ou complexos. Doravante, um escalar nada mais é do que um número real ou complexo. Eles serão extremamente úteis para o porvir. Diremos que duas matrizes A [a rs ], B [b rs ] são iguais quando ambas têm a mesma ordem e elementos correspondentes iguais. Exemplo 5 As matrizes A 1 1, B 0 2 cosπ sen(π/2) log 1 4 são iguais, pois ambas são de ordem 2 2 e a 11 b 11,..., a 22 b 22. Já as matrizes A [ 1 5 ] 1, B 5 embora tenham os mesmos elementos, têm ordens diferentes. Não são iguais! 3

2.1 Soma Desde muito cedo lidamos com operações entre números naturais. Com o passar dos anos, aprendemos como operar números inteiros, racionais, reais e complexos e, nesse último conjunto, vemos uma generalização do que aprendemos desde o início com os naturais. Agora, embora diante de conjuntos diferentes dos números complexos 1 podemos definir operações baseadas nas operações que já conhecemos para os conjuntos numéricos. A primeira delas é a soma. Sejam A [a rs ] e B [b rs ] matrizes de mesma ordem n m. Definimos a soma A + B da seguinte forma: A + B [(a rs + b rs )] n m isto é, a soma de duas matrizes é uma nova matriz (de mesma ordem n m) obtida pela soma elemento a elemento de A e B. Exemplo 6 Sendo tem-se Já para as matrizes 4 2 3 5 A 1 2, B 8 1 5 4 3 3 C 1 3 A + B 9 3 8 7 1 0 1, D 2 1 0 a soma não está definida, pois as ordens são diferentes. 7 6 4 2 Uma vez que a soma de matrizes se baseia na soma de números complexos, é de se esperar que tenhamos as mesmas propriedades neste caso. (1) Associatividade: Sejam A [a rs ], B [b rs ] e C [c rs ] matrizes de mesma ordem n m. Então A + (B + C) [a rs ] + ([b rs ] + [c rs ]) [a rs ] + [(b rs + c rs )] (somando B e C) [a rs + (b rs + c rs )] (somando A e (B+C)) [(a rs + b rs ) + c rs ] (associatividade da soma nos complexos) [(a rs + b rs )] + [c rs ] (separando a soma) ([a rs ] + [b rs ]) + [c rs ] (separando a soma) (A + B) + C (2) Comutatividade: Sejam A[a rs ] e B [b rs ] matrizes de mesma ordem n m. A + B [a rs ] + [b rs ] [(a rs + b rs )] (definição de soma) [(b rs + a rs )] (comutatividade da soma nos complexos) [b rs ] + [a rs ] (separando a soma) B + A 1 Embora possamos pensar em C como o conjunto das matrizes de ordem 1 1. 4

(3) Existência do Elemento Neutro: Na adição de números complexos, o zero aparece como elemento que não altera o valor da operação, isto é, para qualquer número complexo z, a soma z+0 continua sendo z. No caso de uma matriz qualquer A [a rs ], também temos uma matriz que faz as vezes do 0 dos números complexos. Vejamos se há solução para a equação A + X A A + X A [a rs ] + [x rs ] [a rs ] [(a rs + x rs )] [a rs ] a rs + x rs a rs para cada r {1, 2,..., m}, s {1, 2,..., n} x rs 0 para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., m} Portanto, a solução da equação A + X A é X [0] n m e este é o elemento neutro da soma de matrizes. (4) Inverso aditivo: No caso de números complexos, o inverso aditivo de z é o número w tal que z + w 0, já que zero é o elemento neutro da soma. No caso de matrizes, tudo indica que cada A [a rs ] possui uma inversa aditiva. Vejamos se há solução para a equação A + X [0] A + X [0] [a rs ] + [x rs ] [0] [(a rs + x rs )] [0] a rs + x rs 0 para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., m} x rs a rs para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., m} Portanto, para cada matriz A [a rs ] a sua inversa aditiva é matriz [ a rs ]. Observe que pelo fato de cada número complexo possuir somente um inverso aditivo, segue-se que cada matriz A possui, também, única inversa aditiva. Denotaremos a matriz [ a rs ] por A. Exemplo 7 Dada a matriz a sua inversa aditiva é (1 + i) (3 2i) 4 A ( 2 + 2i) (4 1 ) 3 i 2i ( 1 i) ( 3 + 2i) 4 A ( 2 2i) ( 4 + 1 ) 3 i 2i Observação 8 (Subtração) Podemos aproveitar a existência de inverso aditivo no conjunto de matrizes para definir a operação subtração. Dadas duas matrizes A [a rs ] e B [b rs ] de mesma ordem n m, definimos a diferença entre A e B por A B A + ( B) Isso significa realizar a subtração elemento a elemento: A B A + ( B) [a rs ] + [ b rs ] [a rs + ( b rs )] [a rs b rs ] (definição de inverso aditivo nos complexos) 5

Exemplo 9 Considerando as matrizes i 3i (2 i) (4 + 2i) (7 3i) (5 5i) A (1 + 8i) 7 (1 2i), B 2i 6 0 5 4 0 (2 7i) (5 8i) (4 + 8i) temos ( 4 3i) ( 7 + 6i) ( 3 + 4i) (4 + 3i) (7 6i) (3 4i) A B (1 + 6i) 1 (1 2i), B A ( 1 8i) 1 ( 1 + 2i) (3 + 7i) ( 1 + 8i) ( 4 8i) ( 3 7i) (1 8i) (4 + 8i) IMPORTANTE: a subtração de matrizes, em geral, NÃO É COMUTATIVA. 2.2 Produto de matriz por escalar A soma de matrizes é uma operação envolvendo, basicamente, duas matrizes. No entanto, podemos definir operações envolvendo elementos de naturezas diferentes. Exemplo 10 A seguir, um quadro mostrando a variação de preços (em reais) dos produtos P 1, P 2 e P 3 nas cidades C 1, C 2, C 3 e C 4. C 1 C 2 C 3 C 4 P 1 20 35 42 50 Q 1 P 2 200 150 130 130 P 3 3 3 3 2, 5 Devido à variação do mercado, a empresa decidiu reajustar os preços em todas as cidades com um aumento de 20% no valor de cada produto. Desta forma, os preços passam a ser: C 1 C 2 C 3 C 4 P 1 24 42 50, 4 60 Q 2 P 2 240 180 156 156 P 3 3, 6 3, 6 3, 6 3 Considerando às matrizes compostas pelos preços dos produtos, temos 20 35 42 50 24 42 50, 4 60 A 200 150 130 130, B 240 180 156 156 3 3 3 2, 5 3, 6 3, 6 3, 6 3 Qual a relação entre A e B? Lembre que cada produto teve um aumento de 20%, isto é, o preço foi multiplicado por 1,2. Desta forma, todos os elementos de A foram multiplicados por 1,2. A situação descrita acima pode ser generalizada para uma matriz qualquer. Considere uma matriz A de ordem n m e um escalar α. Se multiplicarmos todos os elementos de A pelo escalar α, obtemos uma nova matriz (também de ordem n m): α C, A [a rs ] C n n α.a [(α.a rs )] C n m No Exemplo 10, aconteceu: 20 35 42 50 24 42 50, 4 60 1, 2. 200 150 130 130 240 180 156 156 3 3 3 2, 5 3, 6 3, 6 3, 6 3 O produto por escalar tem algumas propriedades: 6

(1) Se α e β são escalares e A [a rs ] é uma matriz de ordem n m, então De fato, (α.β).a (α.β).[a rs ] (α.β).a α.(β.a) [(α.β).a rs ] (produto de cada elemento da matriz pelo escalar α.β) [α.(β.a rs )] (associatividade do produto nos complexos) α.[(β.a rs )] (definição de produto por escalar) α. ( β.[a rs ] ) (definição de produto por escalar) α. ( β.a ) (2) Distributividade do Escalar: Se α é um escalar e A [a rs ], B [b rs ] são matrizes de mesma ordem n m, então α.(a + B) α.a + α.b pois α.(a + B) α.([a rs ] + [b rs ]) α.[(a rs + b rs )] (soma de matrizes) [α.(a rs + b rs )] (definição de produto por escalar) [α.a rs + α.b rs ] (distributividade do produto com relação a soma nos complexos) [α.a rs ] + [α.b rs ] (separando a soma) α.[a rs ] + α.[b rs ] (definição de produto por escalar) α.a + α.b (3) Distributividade da Matriz: Se α e β são escalares e A [a rs ] é uma matriz de ordem n m, então Com efeito (α + β)a (α + β)[a rs ] (α + β)a α.a + β.a [(α + β)a rs ] (definição de produto por escalar) [α.a rs + β.a rs ] (distributividade do produto com relação a soma nos complexos) [α.a rs ] + [β.a rs ] (definição de soma de matrizes) α.[a rs ] + β.[a rs ] (definição de produto por escalar) α.a + β.a (4) Elemento identidade: Se A [a rs ] é uma matriz de ordem m n e o produto α.a é sempre uma matriz, então deve existir um escalar α 0 tal que α 0.A A. Resolvendo a equação x.a A onde x é um escalar, temos: x.a A x.[a rs ] [a rs ] [x.a rs ] [a rs ] (definição de produto por escalar) x.a rs a rs para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., m} x 1 Portanto, no produto por escalar, o elemento neutro ou identidade é o complexo 1. 7

2.3 Tranposição Considere as matrizes [ ] 1 5 7 A (2 i) (1 2i) 0 1 (2 i) e B 5 (1 2i) 7 0 Alguma semelhança entre elas? Veja que as duas matrizes possuem exatamente os mesmos elementos, mas não na mesma ordem. A primeira linha de A corresponde à primeira coluna de B e, da mesma forma, a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de B. Repare, ainda, que a ordem da matriz A é 2 3. Já a matriz B tem ordem 3 2. A matriz B foi construída depois de transpormos as linhas de A para a posição de coluna. Definição 11 (Transposta de uma matriz) Seja A [a rs ] uma matriz de ordem n m. Se reescrevermos os elementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma de coluna, então a nova matriz obtida terá ordem m n e será chamada transposta de A, cuja notação é A T. Exemplo 12 Se então 2i 7 3/5 2 A 4i (2 6i) 3 i 5 4 2 [ ] 2i 3/5 4i 3 A T 7 2 (2 6i) i 5 2 4 2.3.1 Conjugada de uma matriz Nos complexos, temos o conceito de conjugado, que na representação geométrica nada mais é do que a reflexão de um número complexo em relação ao eixo horizontal. b a+bi a b a bi Figura 1: Representação geométrica do conjugado de um número complexo. No caso de matrizes, podemos usar o conceito algébrico para definir uma matriz conjugada. 8

Definição 13 (Matriz Conjugada) Seja A [a rs ] uma matriz de ordem n m. A matriz conjugada de A é definida por: A [a rs ] onde a rs é o conjugado 2 do número complexo a rs para cada r {1, 2,..., n}, s {1, 2,..., m}. Exemplo 14 Se então A A (1 + 2i) (3 5i) 5 4i (1 2i) (3 + 5i) 5 4i Podemos tomar a conjugada de uma matriz e, em seguida, a sua transposta. Considerando, novamente, a matriz do exemplo acima, teremos: (1 + 2i) (3 5i) (1 2i) (3 + 5i) A A ( A ) T (1 2i) 5 5 4i 5 4i (3 + 5i) 4i Mas nada impede que tomemos a transposta para depois considerar a conjugada, isto é: (1 + 2i) (3 5i) (1 + 2i) 5 (1 2i) 5 A A T A 5 4i (3 5i) 4i T (3 + 5i) 4i Vemos que a conclusão é a mesma. E, de fato, ( A ) T A T para qualquer matriz, pois ( A ) T a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn T a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn a 11 a 21... a m1 a 11 a 21... a m1 a 12 a 22... a m2 a 12 a 22... a m2...... a 1n a 2n... a mn a 1n a 2n... a mn a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn T (A T ) T A matriz conjugada transposta, tem uma notação especial: A : (A T ) Desta forma, se A (1 + 2i) (3 5i) 5 4i 2 Se z a + bi, então o conjugado de z é z a bi. 9

então A [ (1 2i) ] 5 (3 + 5i) 4i Algumas propriedades da transposta e da conjugada transposta merecem registro. (1) Transposta da soma: (A + B) T A T + B T De fato, sendo A [a rs ] e B [b rs ] duas matrizes de mesma ordem m n, temos: (A + B) T (a 11 + b 11 ) (a 21 + b 21 )... (a m1 + b m1 ) (a [(a rs + b rs )] T 12 + b 12 ) (a 22 + b 22 )... (a m2 + b m2 )... (a 1n + b 1n ) (a 2n + b 2n )... (a mn + b mn ) a 11 a 21... a m1 b 11 b 21... b m1 a 12 a 22... a m2 b 12 b 22... b m2 + A T + B T...... a 1n a 2n... a mn b 1n b 2n... b mn (2) Conjugada da transposta da soma: (A + B) A + B (3) A transposta no produto de um escalar por um matriz, age apenas na matriz: (α.a) T α.a T (4) A conjugada transposta no produto de um escalar por um matriz, age em ambos: (α.a) α.a Todas essas propriedades podem ser verificadas como a primeira. 3 Simetrias A transposta ou conjugada transposta de matrizes quadradas podem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremos a seguir. 3.1 Matrizes Simétricas Exemplo 15 Considere a matriz Veja que a matriz transposta é exatamente igual a matriz A. 3 2 1 A 2 4 5 1 5 0 3 2 1 A T 2 4 5 1 5 0 Dentro da própria matriz A observamos que a primeira linha é igual 3 a primeira coluna, a segunda linha é igual a segunda coluna e que a terceira linha é igual a terceira coluna. Em símbolos: A 1 A 1, A 2 A 2, A 3 A 3 3 Igual, aqui, significa que os elementos são iguais e aparecem na mesma ordem. Em símbolos, se L é uma linha de uma matriz quadrada e C uma coluna desta mesma matriz, então dizer que L é igual a C significa, na verdade, que L C T. 10

Denotando a matriz A por [a rs ] observamos, ainda, que a 11 a 11, a 12 a 21, a 13 a 31 e assim por diante. Generalizando, temos: a rs a sr para r, s {1, 2,..., n} Além disso, observamos que a diagonal principal 4 da matriz não muda em A T. Definição 16 (Matriz Simétrica) Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A A T. 3.2 Matrizes Antissimétricas Considere agora o seguinte exemplo. Exemplo 17 Se então 0 4 i A 4 0 2 i 2 0 0 4 i A T 4 0 2 i 2 0 Neste caso não ocorre A A T, no entanto, há uma outra semelhança. Repare que as entradas de A T são iguais às de A a menos do sinal, isto é A T A Na matriz do exemplo acima, vemos que a relação entre linhas e colunas dentro da própria matriz A é A 1 A 1, A 2 A 2, A 3 A 3 enquanto que a relação entre os elementos de A [a rs ] é a rs a sr para r, s {1, 2,..., n} Com relação à diagonal principal, para que a relação acima seja verdadeira, devemos ter: e portanto a 11 a 11, a 22 a 22,..., a nn a nn a rr 0 é uma condição necessária para que ocorra A T A. Definição 18 (Matriz Antissimétrica) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é antissimétrica quando A T A. Importante: Antissimétrica NÃO É o contrário de simétrica!!! Exemplo 19 Uma matriz que não é simétrica, não necessariamente é antissimétrica: 1 2 3 1 2 3 A 2 1 3 AT 2 1 1 3 1 1 3 3 1 Veja que não ocorre A T A, nem A T A. 4 A diagonal principal aparece em matrizes quadradas e é formada pelos elementos do tipo a rr. 11

3.3 Matrizes Hermitianas Outras matrizes com características interessantes aparecem ao considerarmos a transposta conjugada de uma matriz. Exemplo 20 Considere a matriz Sua conjugada transposta é isto é, A A. 2 3 i 2 + 2i A 3 + i 3 5 3i 2 2i 5 + 3i 4 2 3 i 2 + 2i A 3 + i 3 5 3i 2 2i 5 + 3i 4 Lembrando que A r e A s denotam, respectivamente, a linha r e a coluna s da matriz A, vamos usar A r e A s para denotar, respectivamente, a linha [a r1 a r2... a rn ] e a coluna a 1s a 2s. a ns Desta forma, na matriz do exemplo acima, vemos que A r A r ocorre para cada r {1, 2,..., n}. Além disso, vemos que a rs a sr para r, s {1, 2,..., n} e isso significa que os elementos da diagonal principal devem, necessariamente, ser reais puros, pois se a rr α rr + iβ rr então a rr a rr α rr + i.β rr α rr i.β rr β rr β rr β rr 0 isto é, a rr α rr e, portanto, é um real puro. Definição 21 (Matriz Hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. A A. Dizemos que A é hermitiana 5 quando 3.4 Matrizes Anti-hermitianas Como no caso das matrizes antissimétricas, temos uma situação análoga ao considerarmos a conjugada transposta. Exemplo 22 Sendo temos que i (1 + i) 2 A ( 1 + i) 0 (2 + 3i) 2 ( 2 + 3i) 4i 5 Termo em homenagem ao matemático francês Charles Hermite (1822-1901). 12

e percebemos que A A. i ( 1 i) 2 A (1 i) 0 ( 2 3i) 2 (2 3i) 4i No Exemplo 22 vemos que a relação entre linhas e colunas de A é a seguinte: A r A r Consequentemente, a relação entre os elementos da matriz A é a rs a sr para r, s {1, 2,..., n}. Isso faz com que os elementos da diagonal principal tenham a seguinte característica: a rr a rr Isto é, se a rr α rr + i.β rr, então a rr a rr α rr + i.β rr (α rr i.β rr ) α rr + i.β rr α rr 0 e desta forma os elementos da diagonal principal da matriz devem, necessariamente, ser da forma a rr i.β rr Definição 23 (Matriz Anti-hermitiana) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é anti-hermitiana quando A A. Importante: Anti-hermitiana NÃO É o contrário de hermitiana!!! 4 Matrizes e imagens digitais Nos últimos anos, os aparelhos de televisão em LCD (Liquid Crystal Display) ou LED (Light Emitting Diode) tornaram-se objetos de desejo da maior parte da população. A promessa de economia de energia e, principalmente, de melhores imagens, são os fatores que contribuiram para a massificação do produto. Na era da TV de tubo, a preocupação dos consumidores era com o tamanho da tela, mas precisamente com a medida da diagonal (em polegadas) do retângulo onde a imagem era exibida. Assim, por exemplo, uma TV de 29 polegadas tinha uma tela retangular (ainda que um pouco curva) cuja diagonal media 29. Essas TVs realizavam a composição das imagens recebidas pela antena (ou cassete, dvd, video game, etc) projetando pontos luminosos na tela. A disposição desses pontos organizada em linhas (e colunas) gerava a imagem. Eram 640 pontos em cada uma das 480 linhas dividindo a imagem em 307.200 partes. Com o advento das TVs LED e LCD, a imagem passou a ser divida em partes menores, aumentando o número de pixels 6 da imagem. As TVs anunciandas como Full High Definition ou, simplesmente, Full HD, dividem a imagem em 1920 colunas e 1080 linhas, que equivale a mais de 2 milhões de pixels. Atualmente já estão no mercado as TVs Ultra HD ou 4k com resolução 3840 x 2160, isto é, 3840 pontos em cada uma das 2160 linhas gerando 8.294.000 pixels. Assim, as imagens tem qualidade cada vez melhor, uma vez que quanto maior a quantidade de subdivisões, mais fiel ao objeto real (aquele enxergado a olho nu) é a imagem apresentada. 6 Aglutinação de Picture e Element, ou seja, elemento de imagem, sendo Pix a abreviatura em inglês para Pictures 13

Figura 2: A imagem e divida em pontos (pixels) e depois projetada na tela do aparelho de TV segundo uma disposic a o em linhas e colunas. Mas, para que as imagens exibidas nos aparelhos de LCD ou LED tenham tamanha qualidade, e necessa rio que a captac a o dessas imagens sejam realizadas tambe m de maneira adequada. As ca meras digitais (fotogra ficas e filmadoras) tambe m realizam a divisa o da imagem em pixels. As ca meras possuem sensores que captam a luminosidade do objeto que esta a ser fotografado ou filmado. Estes milhares de sensores sa o dispostos no interior da ca mera tambe m em linhas e colunas, cada um deles captando a informac a o de cor do objeto e encaminhando a transformac a o desta informac a o em nu meros. Figura 3: Sensor de uma ca mera digital. A resoluc a o dos sensores geralmente e divulgada levando-se em conta o total de pixels em que a imagem sera dividida. Por isso ouvimos tanto falar em ca mera de 7.2 Mega Pixels, 14 Mega Pixels ou ate 39 Mega Pixels, isto e, mais de 39 milho es7 de minu sculos reta ngulos dividindo a imagem. A disposic a o em linhas e colunas pode variar de acordo com o fabricante e, muitas vezes, o pro prio equipamento da mais de uma opc a o de aspecto para o usua rio, como por exemplo, os formatos 16:9, 4:3 e 3:2, indicando que a imagem tera para cada 16 unidades na largura, 9 unidades na altura; para cada 4 unidades de largura, 3 unidades de altura; e para cada 3 unidades de largura, 2 unidades de altura, respectivamente. Na maioria das vezes, a imagem e captada levando-se em conta a intensidade das cores Vermelho (Red), Verde (Green) e Azul (Blue) de cada ponto visto pelo sensor. E o famoso esquema de cores RGB. Para cada ponto da imagem captada, o sensor mede a intensidade de cada uma das tre s cores e atribui, para cada um deles, valores inteiros entre 0 e 255. Esses valores sa o armazenados em matrizes. 7 1 Mega1024 Kilo 1024 1024 1.048.576 14

Para simplificar o entendimento, vamos supor que a imagem terá uma resolução de 1200x800 pixels (largura de 1200 e altura de 800) e que a informação de cor de cada um dos pixels seja armazenada em uma das matrizes, R [r ij ] 1200 800, G [g ij ] 1200 800, B [b ij ] 1200 800 que indicam, respectivamente, a intensidade de vermelho, verde e azul em cada ponto. Figura 4: Simulação da captação de cores pelo sensor. Por exemplo, se a foto tem pontos totalmente amarelos, então a intensidade de vermelho é total e a intensidade de verde também é total (amarelo vermelho + verde). Não há tons de azul para formar o amarelo. Assim, de acordo com a Figura 4, para o ponto amarelo indicado, a matriz R teria entrada 255, a matriz G teria entrada 255 e a matriz B teria entrada 0. Vamos admitir que para este ponto, cada matriz guarda a informação na posição (4,18), ou seja, na linha 4 e coluna 18. Então r 4,18 255,, g 4,18 255, b 4,18 0 Ainda na Figura 4, vamos supor que as informações de cores do ponto preto sejam guardados na posição (6,9) e as do ponto branco na posição (10,4). Como o preto é ausência de cores, então a intensidade de azul, de verde e de vermelho, é zero. Portanto, para o ponto preto, teremos as seguintes entradas: r 6,9 0,, g 6,9 0, b 6,9 0 Já para o ponto branco, que é a presença de todas as cores, teremos r 10,4 255,, g 10,4 255, b 10,4 255 Portanto, ao fotografármos, estamos a cada clique definindo três matrizes de mesma ordem, com entradas inteiras (variando entre 0 e 255), que guardam as informações de cores de cada ponto da imagem. Câmeras com resoluções maiores, geram matrizes de ordem maiores. Para exemplifcar, considere uma fotografia no formato 16:9 feita com uma câmera que tem resolução de 12 Mega pixels. Então a foto terá exatamente 12 1024 2014 12.582.912 milhões de pixels distribuidos da seguinte forma: para cada 16 unidades de largura (L), 9 unidades de altura (A), isto é, L.A 12.582.912 e L A 16 9 que corresponde a uma resolução de aproximadamente 4730 2660, ou seja, 4730 pontos em cada uma das 2660 linhas. Assim, as matrizes R, G, B pertecem a R 2660 4730 e cada uma delas tem mais de 12 milhões de entradas variando entre 0 e 255 (em valores inteiros). 15

Figura 5: Foto com tons fortes de azul e amarelo. Ja nos programas de edic a o de imagens, os valores nas matrizes R, G, B sa o modificados quando alteramos, por exemplo, a saturac a o de cada cor, ou seja, a sua intensidade. Na Figura 5 temos uma foto de um final de tarde. Ja na Figura 6 a alterac a o a diminuic a o da saturac a o do amarelo resulta em tons de cinza na fotografia. Nas matrizes R e G, isso significa uma diminuic a o dos valores das entradas, ou seja, a multiplicac a o das matrizes R e G por um escalar menor do que 1. Figura 6: Diminuic a o da intensidade de amarelo, isto e, α.r, β.g, com α, β < 1. Outras transformac o es em imagens digitais tambe m fazem uso dos conceitos de matrizes e suas operac o es. A ideia de se armazenar em uma matriz as informac o es sobre cada parte (pixel) da imagem, pode ser usada, inclusive, para mudar a forma da imagem. Por exemplo, emagrecimentos. 5 Exercı cios 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expresso es: 16

(a) 3.X ( 0 3 6 9 ) (b) 2 ( x + 2 y + 3 4 0 ) ( 3 6 y z ) T 2. Uma rede de postos de combustíveis vende álcool e gasolina em 5 estabelecimentos diferentes, num mesmo estado, praticando os preços (por litro) indicados no quadro abaixo. Postos P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 Álcool 2, 50 2, 52 2, 51 2, 60 2, 55 Gasolina 3, 15 3, 15 3, 15 3, 22 3, 30 O governo estadual resolveu criar um imposto sobre a venda de combustíveis. O valor que cada estabelecimento deve repassar ao governo é de 0,02% sobre o valor arrecadado com a venda de combustível. (a) Use matrizes e operação por escalar para exibir um quadro constando a arrecadação de cada posto com álcool e gasolina sabendo que em um determinado intervalo de tempo, cada posto vendeu exatamente 3,5 mil litros de cada tipo de combustível. (b) Faça uma tabela (também usando matrizes e operação por escalar) mostrando a arrecadação do governo com cada tipo de combustível em cada estabelecimento. 3. Identifique cada uma das seguintes matrizes como simétrica, anti-simétrica ou nenhum dos dois. 1 3 3 0 3 3 (a) 3 4 3 (b) 3 0 1 3 3 0 3 1 0 (c) 0 3 3 3 0 3 3 3 1 (d) ( 1 2 0 2 1 0 ) 4. Explique por quê o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem n n é fechado para a adição. Isto é, explique por quê a soma de duas matrizes simétricas de ordem n n é também uma matriz simétrica de ordem n n. O conjunto de todas as matrizes antissimétricas de ordem n n é fechado para a adição? 5. Mostre que se A é uma matriz real e simétrica, então a matriz B i.a é anti-hermitiana. 6. Seja A uma matriz quadrada. (a) Mostre que A + A T é simétrica e que A A T é antissimétrica. (b) Mostre que existe uma, e somente uma, maneira de escrever A como uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. 7. Se A e B são duas matrizes de mesma ordem, mostre que cada uma das sentenças é verdadeira: (a) (A + B) A + B (b) (αa) α.a 8. Mostre que (A T ) T A. 9. Dada uma matriz A C n n, quando ocorre A A T? 10. É possível encontrar uma matriz que seja ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica? E uma matriz que ao mesmo tempo seja hermitiana e anti-hermitiana? Referências [1] MEYER, Carl Dean. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual. SIAM, 2000. 17