Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa? (b) Repita a parte (a) usando as extremidades esquerdas. 2. Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite. f(x) = 4 x, x 6 3. Determine uma região cuja área seja igual ao limite dado. Não calcule o limite. n π iπ lim tan n 4n 4n i= 4. (a) Seja A n a área de um polígono com n lados iguais inscrito em um círculo com raio r. Dividindo o polígono em n triângulos congruentes com ângulo central 2π/n mostre que A n = 2 πr2 sin 2π n (b) Mostre que lim n A n = πr 2. [Sugestão: Use a Equação 3.3.2] Seção 5.2. É dado o gráfico de uma função f. Estime g o f(x)dx utilizando quatro subintervalos com (a) extremidades direitas, (b) extremidades esquerdas e (c) pontos médios. 2. Expresse o limite como uma integral definida no intervalo [π, 2π]. lim π π i= cos x i x x i
3. Demonstre que b a xdx = b2 a 2 2 4. O gráfico de f está mostrado. Calcule a integral 9 f(x)dx interpretando-a em termos das áreas. 5. Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas. (a) 3 ( + 9 x 2 )dx (b) x 5 dx 6. Dado que 3x x 2 + 4dx = 5 5 8, o que é 3u u 2 + 4du? 7. Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular a integral. 2π 24 π/4 π/6 cos xdx 3π 24 8. Use o resultado do exercício 65 [Stewart, vol. 6, pág. 356] para mostrar que. 2π f(x) sin 2xdx 2π f(x) dx 2
Seção 5.3. Seja g(x) = t f(t)dt onde f é uma função cujo gráfico está mostrado. (a) Calcule g(), g(), g(2), g(3), g(4), g(5) e g(6). (b) Em que intervalos g está crescendo? (c) Onde g tem um valor máximo? (g) Faça um esboço do gráfico de g. 2. Esboce a área representada por g(x). A seguir encontre g (x) de 2 maneiras: (a) Utilizando a parte do Teorema Fundamental e (b) Calculando a integral usando a Parte 2 e então derivando. g(x) = 3. Use a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função. (a) g(u) = u 3 x+x 2 dx (b) g(x) = cos x ( + v 2 ) dv x t t 2 dt 4. Calcule a integral. (a) ( + 2 u4 2 5 u9 )du (b) 2 3 t 4 dt (c) 2 2 f(x)dx, onde f(x) = { 2, se 2 x, 4 x 2, se < x 2. 5. O que está errado na equação? 2 ] 2 4 x 3 dx = 2 x 2 = 3 2 3
6. Ache a derivada da função. g(x) = x 2 tan x 2 + t 2 dt 7. Se F (x) = x f(t)dt, onde f(t) = t 2 +u 4 u du, determine F (2). 8. Seja g(x) = x f(t)dt, onde f é uma função cujo gráfico está mostrado. (a) Em que valores de x ocorrem os valores de máximos e mínimos locais em g? (b) Onde g atinge seu valor máximo absoluto? (c) Em que intervalos g é côncavo para baixo? (d) Esboce o gráfico de g. Seção 5.4. Ache a integral geral. (a) ( ) x 2 + + dx x 2 + (b) sin 2x sin x dx 2. Calcule a integral. (a) 2 y+5y 7 dy y 3 (b) 2 (x 2 x )dx 3. As fronteiras da região sombreada são o eixo y, a reta y = e a curva y = 4 x. Ache a área dessa região escrevendo x como função de y e integrando em relação a y. 4. Uma colmeia com uma população inicial de abelhas cresce a uma taxa de n (t) abelhas por semana. O que + 5 n (t)dt representa? 5. A densidade linear de uma barra de comprimento 4m é dada por ρ(x) = 9 + 2 x medida em kg/m, em que x é medido em metros a partir de uma extremidade da barra. Ache a massa total da barra. 4
Seção 5.5. Calcule a integral fazendo a substituição dada. (a) dt ( 6t) 4, u = 6t (b) e sin θ cos θdθ, u = sin θ. 2. Calcule a integral indefinida. (a) dx 5 3x dx (b) tan x +x 2 dx (c) cos x sin 2 x dx (d) cos (π/x) dx x 2 (e) x 2 x dx (f) x 3 x 2 + dx 3. Calcule a integral definida. (a) xe x2 dx (b) 2 (c). e 4 e e /x dx x 2 dx lnx dx 4. Calcule 2 2 (x + 3) 4 x 2 dx escrevendo-a como uma soma de duas integrais e interpretando uma dessas integrais em termos de uma área. 5. Se f for contínua e 9 f(x)dx = 4, encontre 3 xf(x2 )dx. 6. Se f for contínua em R, demonstre que b a f( x)dx = a b f(x)dx Para o caso onde f(x) e a < x < b, faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas. 5
7. Se f for contínua em R, demonstre que b a f(x + c)dx = b+c a+c f(x)dx Para o caso onde f(x), faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas. Problemas. Se x sin πx = x 2 f(t)dt, onde f é uma função contínua, ache f(4). 2. Encontre o valor mínimo da área da região sob a curva y = x + /x de x = a x = a +, 5, para todo a >. 3. Se f for uma função derivável tal que f(x) nunca seja e x f(t)dt = [f(x)]2 para todo x, encontre f. 4. Encontre Seção 6. d 2 dx 2. Encontre a área da região sombreada. x ( sin t ) + u 2 du dt 2. Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então calcule a área da região. (a) y = x 2, y 2 = x (b) y = cos x, x = sin 2x, x =, x = π/2. 3. Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região. π/2 [sin x cos 2x]dx 6
4. As larguras (em metros) de uma piscina em formato de rim foram medidas a intervalos de 2m, como mostrado na Figura. Use a regra do Ponto Médio para estimar a área da piscina. 5. Dois carros, A e B, largam lado a lado e aceleram a partir do repouso. A figura mostra o gráfico de suas funções velocidade. (a) Qual carro estará na frente após min? Explique. (b) Qual o significado da área da região sombreada? (c) Qual carro estará na frente após 2 min? Explique. (d) Estime quando os carros estarão novamente lado a lado. 6. Encontre os valores de c tal que a área da região limitada pelas parábolas y = x 2 c 2 e y = c 2 x 2 seja 576. 7. Para quais valores de m a reta y = mx e a curva y = x/(x 2 +) delimitam uma região? Encontre a área da região. Seção 6.2. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. x = 2 y, x =, y = 9 em torno do eixo y. 2. Veja a Figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada. (a) R em torno de AB. (b) R 2 em torno de OC. 7
3. A integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido. π π/2 [( + cos x) 2 2 ]dx 4. Encontre o volume de uma pirâmide com altura h e base triangular equilátera com lado a (um tetraedo). 5. (a) Escreva uma integral para um toro sólido (o sólido com formato de rosquinha da figura) com raios r e R. (b) Interpretando a integral com uma área, encontre o volume do toro. 6. Ache o volume comum aos dois cilindros circulares, cada qual com raio r, se os eixos dos cilindros se interceptam em ângulos retos. 7. Um buraco de raio r é perfurado pelo centro de uma esfera de raio R > r. Encontre o volume da porção remanescente da esfera. 8
Seção 6.3. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica. (a) y = e x2, y =, x =, x = (b) y = x 2 6x +, y = x 2 + 6x 6 2. Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Esboce a região e uma casca típica. y = x 2, x = y 2, y = 3. Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. x = sin y, y π, x = ; em torno de y = 4. 4. Suponha que você faça anéis para guardanapos perfurando buracos com diferentes diâmetros através de duas bolas de madeira (as quais também têm diferentes diâmetros). Você descobre que ambos os anéis de guardanapo têm a mesma altura h, como mostrado na figura. (a) Faça uma conjectura sobre qual anel tem mais madeira. (b) Verifique sua conjectura. Use cascas cilíndricas para calcular o volume de um anel de guardanapo criado pela perfuração de um buraco com raio r através do centro de uma esfera de raio R e expresse a resposta em termos de h. Seção 6.4. Quanto trabalho é realizado ao se levantar um saco de areia de 4 kg a uma altura de,5 m? 2. Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede /( + x) 2 newtons em um ponto a x metros da origem. Calcule o trabalho realizado a mover a partícula da origem até a distância de 9 metros. 9
3. Uma força de lb é necessária para manter uma mola esticada 4 pol além do seu comprimento natural. Quanto trabalho é realizado para esticá-la do seu comprimento natural até 6 pol além do seu tamanho natural? 4. Um aquário de 2 m de comprimento, m de largura e m de profundidade está cheio de água. Encontre o trabalho necessário para bombear metade da água para fora do aquário. (Use o fato de que a densidade da água é de kg/m 3.) Seção 6.5. Encontre o valor médio da função no intervalo dado. (a) g(x) = x 2 + x 3, [, 2] (b) f(t) = te t2, [, 5] 2. Dado f(x) = (x 3) 3, [2, 5]. Revisão (a) Encontre o valor de f no intervalo dado. (b) Encontre c tal que f med = f(c). (c) Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área é a mesma que a área sob o gráfico de f.. (a) A base de um sólido é um quadrado com vértices localizados em (,), (,), (-,) e (,-). Cada secção transversal perpendicular ao eixo x é um semicírculo. Ache o volume do sólido. (b) Mostre que cortando o sólido da parte (a) podemos rearranjá-lo para formar um cone. Assim, calcule seu volume mais simplesmente. 2. Seja R a região limitado por y = x 2, y = e x = b, em que b >. Seja a região R 2 limitado por y = x 2, x = e y = b 2. (a) Existe algum valor de b tal que R e R 2 tenham a mesma área. (b) Existe algum valor de b tal que R ocupe o mesmo volume quando girado em torno do eixo x e do eixo y. (c) Existe algum valor de b tal que R e R 2 ocupem o mesmo volume quando girados em torno do eixo x. (d) Existe algum valor de b tal que R e R 2 ocupem o mesmo volume quando girados em torno do eixo y.