Notas de aulas. álgebra abstrata

1 Notas de aulas de álgebra abstrata UEMA LICENCIATURA EM MATEMATICA Elaborada por : Raimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA São Luís Ma MARÇO/2012

2 ÍNDICE 1. Relações... 03 p. 2. Relação de Equivalência... 10 3. Relação de Ordem... 13 4. Aplicações... 17 5. Operações Leis de Composição Interna... 25 6. Grupos e Subgrupos... 35 7. Anéis... 40

3 RELAÇÕES 1. INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO 1 : Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se Produto Cartesiano de A por B ( A x B ), o conjunto formado por todos os pares ordenados( x, y ), onde x A e y B, ou seja : A x B = { ( x, y ) x A e y B }. DEFINIÇÃO 2 : Chama-se Relação Binária de A em B todo subconjunto R de A x B, ou seja, R é uma relação de A em B R A x B. NOTAÇÃO : Se ( a, b ) R, podemos escrever a R b, e se ( a, b ) R, então escrevemos a R b. Os conjuntos A e B são denominados, respectivamente, Conjunto de Partida e Conjunto de Chegada da relação R. EXEMPLOS DE RELAÇÕES : a) Se A = { 0, 1, 2 } e B = { 2, 1, 0, 1, 2 }, então : R 1 = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 1 ) } R 2 = { ( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 0, 1 ) ; ( 1, 0 ) } R 3 = { ( 2, 2 ) } R 4 = b) Se A = B = Z, um exemplo de Relação de A em B é : S = { ( x, y ) A x B x = y }. c) Se A = B = R, podemos ter como exemplo de relação, o conjunto : T = { ( x, y ) A x B y 0 }. 2. DOMÍNIO E IMAGEM Seja R uma relação de A em B. DEFINIÇÃO 1 : Chama-se Domínio de R o subconjunto de A constituído pelos elementos x para cada um dos quais existe algum y em B tal que x R y, ou seja : D( R ) = { x A y B e x R y }.

4 DEFINIÇÃO 2 : Chama-se Imagem de R o subconjunto de B constituído pelos elementos y para cada um dos quais existe algum x em A tal que x R y, ou seja : Im. ( R ) = { y B x A e x R y }. EXERCÍCIO PROPOSTO : Tomando os exemplos anteriores, encontre o Domínio e a Imagem de cada relação. 3. REPRESENTAÇÕES 3.1 GRÁFICO CARTESIANO A grande maioria das relações de que se trata em Matemática, são Relações em que A R e B R, logo é possível representá-la através de um gráfico em um plano cartesiano. EXEMPLOS : a) R 1 = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 1 ) } R 2 = { ( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 0, 1) ; ( 1, 0 ) } b) E = Z, F = Z e S = { ( x, y ) A x B x = y } c) E = R, F = R e T = { ( x, y ) A x B y 0 } 3.2 ESQUEMA DE FLEXAS Quando A e B são conjuntos finitos com poucos elementos, é possível representar uma Relação ( R ) de E em F, por meio de um diagrama de Venn. EXERCÍCIO PROPOSTO : Sejam A = { 0, 1, 2, 4 } e B = { 2, 1, 0, 1, 2 }. Represente as relações em diagrama de Venn. a) R 1 = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 1 ) } b) R 2 = { ( x, y ) A x B y = x 2 } 4. RELAÇÃO INVERSA DEFINIÇÃO : Seja R uma Relação de A em B. Chama-se Relação Inversa de R e indica-se por R 1, a seguinte relação de B em A : R 1 = { ( y, x ) B x A ( x, y ) R }. EXERCÍCIO PROPOSTO : Para cada uma das relações abaixo, encontre a sua inversa : a) A = { 0, 1, 2, 4 } e B = { 1, 0, 1 } e R = { ( 0, 1 ) ; ( 1, 0 ) ; ( 2, 1 ) ; ( 0, 0 ) }

5 b) A = B = R e S = { ( x, y ) R 2 y = 2x + 5 } c) A = B = R e T = { ( x, y ) R 2 y = 3x 4 5 } 4.1 GRÁFICOS A) Se R admite um gráfico cartesiano, então o mesmo ocorre com R 1. EXERCÍCIO PROPOSTO : Seja R = { ( x, y ) R 2 y = 2x 1 }, represente em plano cartesiano R 1. B) Dado um diagrama de Venn de uma relação( R ), obtemos o diagrama de Venn da relação inversa, simplesmente invertendo o sentido das flechas. EXERCÍCIO PROPOSTO : Seja A = { 0, 1, 2, 4 } e B = { 1, 0, 1 } e R = { ( 0, 1 ) ;( 1, 1 ) ; ( 2, 1 ) ; ( 4, 1 ) }, faça um diagrama de Venn de R 1. 4.2 PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA Seja R uma relação binária, então R 1, possui as seguintes propriedades : a) D( R 1 ) = Im ( R ) b) Im( R 1 ) = D( R ) c) ( R 1 ) 1 = R 5. RELAÇÃO SOBRE UM CONJUNTO DEFINIÇÃO : Quando A = B e R é uma relação de A em B, diz-se que R é uma relação sobre A, ou ainda, R é uma relação em A. No estudo das relações sobre um conjunto A, com A finito e tendo poucos elementos, é possível a representação através do esquema de flechas. EXERCÍCIO PROPOSTO : Representar através de um diagrama de flechas a relação em A, R = { ( 1, 2 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 1, 0 ) ; ( 2, 0 ) }, onde E = { 1, 0, 1, 2, 3 }.

6 5.1 PROPRIEDADES Seja uma relação R sobre um conjunto A e x, y e z elementos de A, então R possui as seguintes propriedades : A) REFLEXIVA Dizemos que uma relação R é Reflexiva quando é satisfeita a condição : para todo x x A x R x. EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) Seja A = { 4, 1, 2 } e S = { ( 4, 4 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 2, 1 )}. b) Seja A = { 1, 0, 2, 3 } e T = { ( 1, 1 ) ; ( 0, 0 ) ; ( 3, 3 ) ; ( 0, 2 ) }, não é reflexiva, pois ( 2, 2 ) T. c) Seja A = R e W = { ( x, y ) R 2 x = y } d) Seja A o conjunto das retas do espaço e R a relação de paralelismo em A, ou seja : x R y x // y. B) SIMÉTRICA Dizemos que uma relação R é Simétrica quando é satisfeita a condição : para qualquer que seja x, y A, temos que se : x R y y R x. EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) Seja A = { 0, 1, 2, 3 } e S = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 0 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 3, 2 ) ; ( 0, 1 ) }. b) Seja A = { 2, 1, 4, 5 } e W = { ( 5, 2 ) ; ( 1, 4 ) ; ( 2, 5 ) ; ( 5, 5 ) }, não é simétrica, pois ( 4, 1 ) W. c) Seja A o conjunto das retas do espaço e R a relação de perpendicularismo sobre A, ou seja : x R y x y. C) TRANSITIVA Dizemos que uma relação R é Transitiva quando é satisfeita a condição : para qualquer seja x, y, z A, temos que se : x R y e y R z x R z.

7 EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) Seja A = { 1, 2, 3 } e T = { ( 2, 2 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2, 3 ) }. b) Seja A = { 1, 2, 4 } e S = { ( 1, 4 ) ; ( 4, 2 ) ; ( 1, 1 ) }, não é transitiva pois ( 1, 2 ) S. c) Seja A o conjunto dos triângulos do espaço e R a relação de Semelhança sobre A, ou seja : x R y x y. d) Seja A = N e R definida por x R y x y. D) ANTI SIMÉTRICA Dizemos que uma relação R é Anti Simétrica quando é satisfeita uma das condições : i) para qualquer seja x, y A, temos que se : x R y e y R x x = y, ou então, i i ) para qualquer seja x, y A, temos que se : x y x R y ou y R x EXEMPLOS DE RELAÇÕES ANTI SIMÉTRICASOBRE UM CONJUNTO A. a) Seja A = { 0, 1, 2, 3 } e T = { ( 0, 0 ) ; ( 2, 1 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 1, 1 ) }. b) Seja A = N e R a relação de divisibilidade em A, ou seja : x R y x y. c) Seja A = R e R a relação definida por x R y x y.

8 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Sejam A = { 0, 2, 4, 6, 8, 9 } e B = { 2, 0, 2, 5, 6 }. Enumerar os elementos da relação R = { ( x, y ) A x B y = x 2 }. Encontre o domínio, a imagem e a inversa de R. 2. Para cada uma das seguintes relações de A = { 2, 1, 0, 1, 2 } em B = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 }, encontre os pares ordenados e as represente graficamente. a) R = { ( x, y ) A x B ; x + y = 2 } b) S = { ( x, y ) A x B ; x + y > 0 } c) T = { ( x, y ) A x B ; x = y } 3. A é um conjunto com 5 elementos e R = {( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 3, 4 ) } é uma relação sobre A. Encontre : a) os elementos de A b) o domínio e o conjunto imagem de R c) os elementos, o domínio e o conjunto imagem de R 1 d) os diagramas de Venn de R e R 1 4. Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, enumere os pares ordenados e construa o gráfico cartesiano da relação R em A definida por : R = { ( x, y ) A 2 ; mdc( x, y ) = 2 }. 5. Qual é o domínio da relação : 2 S = { ( x, y ) R x R ; y = 2 4 x }? 6. Se R é a relação binária de A = { x R 1 x 6 } em B = { y R 1 y 4 }, definida por y = 2x, encontre : a) a representação cartesiana de R b) o domínio e a imagem de R

9 7. Seja R = { ( x, y ) R x R ; 4x 2 + 9y 2 = 36 }. Segue-se o esboço de R no diagrama cartesiano. Achar : a) o domínio de R b) a imagem de R c) R 1 8. Dados os conjuntos A = { x R ; 1 x 6 } e B = { y R ; 2 y 10 } e as seguintes relações binárias : a) T = { ( x, y ) A x B ; x = y } b) S = { ( x, y ) A x B ; y = x + 2 } Encontre o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas inversas. 9. Seja R a relação em A = { 1, 2, 3, 4, 5 } tal que R = { ( x, y ) A 2 ; x y é múltiplo de 2 }. Enumere os elementos de R e diga que propriedade possui. 10. Um casal tem 5 filhos : Álvaro, Bruno, Cláudio, Dário e Elizabete. Enumere os elementos da relação R definida no conjunto E = { a, b. c, d, e } por x R y x é irmão de y. 11. Determinar todas relações binárias sobre o conjunto A = { 1, 5 }. a) Quais são reflexivas? b) Quais são simétricas? c) Quais são transitivas? d) Quais são anti-simétricas? 12. Pode uma relação sobre um conjunto E não ser nem simétrica nem anti-simétrica? 13. Esboce o gráfico cartesiano das seguintes relações em R : a) R 1 = { ( x, y ) R 2 ; y 2 = x } b) R 2 = { ( x, y ) R 2 ; y < 3 x } 14. Sejam R e S relações no mesmo conjunto A. Provar que : a) R 1 S 1 = ( R S ) 1 b) Se R e S são transitivas, então R S é transitiva

10 RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA 1. DEFINIÇÃO Uma relação R sobre um conjunto não vazio, é chamada Relação de Equivalência sobre A se, e somente se, R é Reflexiva, Simétrica e Transitiva, ou seja valem as sentenças : i) para todo x x A x R x ii) x, y A, temos que se : x R y y R x iii) x, y, z A, temos que se : x R y e y R z x R z Quando R é uma Relação de Equivalência sobre A, podemos utilizar a notação : a b ( R ) ( a é equivalente a b módulo R ) ou ( a, b ) R. EXEMPLOS DE RELAÇÕES ANTI SIMÉTRICASOBRE UM CONJUNTO A A) Seja A = { a, b, d } e a relação T = { ( a, a ) ; ( a, d ) ; ( b, b ) ; ( d, d ) ; ( d, a ) }, sobre E. B) Seja a relação W = { ( x, y ) R 2 x = y }, sobre R. 2. CLASSE DE EQUIVALÊNCIA DEFINIÇÃO : Seja R uma Relação de Equivalência sobre A. Dado a A, chama-se Classe de Equivalência por ( a ), módulo R, o subconjunto a de E constituído pelos elementos x tais x R a, ou seja : a = { x A x R a } DEFINIÇÃO : O conjunto das Classes de Equivalência módulo R será indicado por A / R e chamado Conjunto Quociente de A por R. EXERCÍCIO PROPOSTO : Seja a relação de equivalência R = { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) ; ( a, c ) ; ( c, a ) }, encontre todas as classes de equivalência de R e o conjunto quociente A / R. 3. PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO DEFINIÇÃO : Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que uma classe F de subconjuntos não vazios de A é uma partição de A se, e somente se : a) dois membros quaisquer de F ou são iguais ou são disjuntos ; b) a união dos membros de F é igual a A

11 EXEMPLOS : a) F = { { 2 } ; { 1, 4 } ; { 3 } } é uma partição do conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } b) Sejam P = { x Z ; x é par } e I = { x Z ; x é ímpar }, então : F = { P, I }. EXERCÍCIO PROPOSTO : Dado o conjunto A = { a, b, c, d, e } e seja a relação de equivalência associada a A : R = { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) ; ( d, d ) ; ( e, e ) ; ( d, e ) ; ( e, d ) }, encontre o conjunto A / R. LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre E = { a, b, c }? a) R 1 = { ( a, a ) ; ( a, b ) ; ( b, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) } b) R 2 = { ( a, a ) ; ( a, b ) ; ( b, a ) ; ( b, b ) ; ( b, c ) } 2. Quais das seguintes sentenças abertas definem uma relação de equivalência em N? a) x R y k Z ; ( x y ) = 3k b) x R y ; x y 3. Seja A o conjunto dos triângulos do espaço euclidiano. Seja R a relação em A definida por : X R Y X é semelhante a Y. Mostrar que R é de equivalência. 4. Seja A = { x Z ; 0 x 10 } e R a relação sobre A, definida por : x R y k Z ; ( x y ) = 4k.Determinar o conjunto quociente A / R.

12 5. Seja R a relação sobre Q definida da seguinte forma : x R y ( x y ) Z. Provar que R é uma relação de equivalência. 6. Sejam P( x 1, y 1 ) e Q( x 2, y 2 ) pontos genéricos de plano cartesiano. Mostre que as relações abaixo são relações de equivalência sobre. a) P R Q x 1. y 1 = x 2. y 2 b) P S Q y 2 y 1 = x 2 x 1 7. Quais são as relações de equivalência sobre E = { 1, 3 }. 8. Sejam E = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 } e R = { ( x, y ) E x E x + x = y + y } uma relação de equivalência, encontre E / R. 9. Sejam o conjunto E = { 0, 1, 2 } e as propriedades : P 1 propriedade Reflexiva P 3 propriedade Transitiva P 2 propriedade Simétrica P 4 propriedade Anti Simétrica Dê exemplos de relações sobre E, tais que : a) satisfaz P 1, P 2 e P 3 c) satisfaz P 2 e não verifica P 1 e nem P 3 b) satisfaz P 1, P 2 e P 4 d) satisfaz P 4 e não verifica P 1 e nem P 2 10. Seja E o conjunto das retas de um plano, seja Q um ponto dado de e seja A uma reta dada contida em. Verificar quais das propriedades P 1, P 2, P 3 ( do exercício anterior ) são verdadeiras para as seguintes relações R definidas sobre E ( X e Y indicam duas retas quaisquer de E ). a) X R Y se, e somente se, X não é paralela a Y b) X R Y se, e somente se, X e Y se cortam num ponto de A c) X R Y se, e somente se, X e Y passam pelo ponto Q ;

13 RELAÇÃO DE ORDEM 1. DEFINIÇÕES DEFINIÇÃO 1 : Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada Relação de Ordem Parcial sobre E se, e somente se, R é Reflexiva, Anti Simétrica e Transitiva, ou seja, se valem as sentenças : i) para todo x x A x R x ii ) x, y A se, x R y e y R x y = x iii) x, y, z A, temos que se : x R y e y R z x R z Quando R é uma Relação de Ordem Parcial sobre A, podemos utilizar a notação : a b( R ) ( a precede b na relação R ) ou ( a, b ) R. Para exprimirmos que ( a, b ) R e a b usaremos a notação a < b( R ) ( a precede estritamente b na relação R ). OBSERVAÇÃO : Quando não houver dúvidas quanto à relação de ordem que está sendo considerada, escrevemos apenas a b ( a precede b ) para indicar ( a, b ) R e a < b( a precede estritamente b ) para indicar ( a, b) R e a b. DEFINIÇÃO 2 : Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto sobre o qual se definiu uma certa relação de ordem parcial. DEFINIÇÃO 3 : Seja R uma relação de ordem parcial sobre A. Os elementos a, b A se dizem comparáveis mediante R se a b ou b a. DEFINIÇÃO 4 : Se dois elementos quaisquer de A forem comparáveis mediante R, então R será chamada Relação de Ordem Total sobre E. O conjunto E, neste caso, é chamado Conjunto Totalmente Ordenado. EXEMPLOS : a) A relação R = { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) ; ( a, b ) ; ( b, c ) ; ( a, c ) } é uma relação de ordem total sobre o conjunto E = { a, b, c }. b) A relação R sobre o conjunto R definida por x R y x y é uma relação de ordem total sobre R. c) A relação R de divisibilidade sobre N : x R y x y é uma relação de ordem parcial sobre N.

14 2. LIMITES SUPERIORES E LIMITES INFERIORES Seja E um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação R. Seja A um subconjunto de E, com A. DEFINIÇÃO 5 : Um elemento L E é um Limite Superior de A se, e somente se, qualquer elemento de A precede L, ou seja : x x A x L. DEFINIÇÃO 6 : Um elemento l E é um Limite Inferior de A se, e somente se, precede qualquer elemento de A, ou seja : x x A l x. 3. MÁXIMO E MÍNIMO Seja A um subconjunto não vazio do conjunto E parcialmente ordenado pela relação R. DEFINIÇÃO 7 : Um elemento M A é um Máximo de A quando M é um limite superior de A, ou seja : x x A x M. DEFINIÇÃO 8 : Um elemento m A é um Mínimo de A quando m é um limite inferior de A, ou seja : x x A m x. 3.1 PROPOSIÇÃO : Se A é um subconjunto do conjunto parcialmente ordenado E, e existe um máximo ( mínimo ) de A, então ele é único. 4. SUPREMO E ÍNFIMO Seja A um subconjunto não vazio do conjunto parcialmente ordenado E. DEFINIÇÃO 9 : Chama-se Supremo de A o menor dos limites superiores do conjunto A. DEFINIÇÃO 10 : Chama-se Ínfimo de A o maior dos limites inferiores do conjunto A.

15 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Se E = R, A = ( 1, 3 ) e a ordem é a habitual, encontre se existirem : a) limite superior b) limite inferior c) o máximo de A d) o mínimo de A e) o supremo de A f) o ínfimo de A 2. Se E = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }, A = { 3, 4, 6 } e a ordem é a divisibilidade, encontre se existirem a) limite superior b) limite inferior c) o máximo de A d) o mínimo de A e) o supremo de A f) o ínfimo de A

16 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Faça um diagrama simplificado da ordem divisibilidade no A = { 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15 }. 2. Dizer se cada um dos seguintes subconjuntos de N é ou não totalmente ordenado pela relação de divisibilidade : a) A = { 2, 4, 6, 12 } b) B = { 5, 15, 30 } 3. Seja o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C. Mostre que R é uma relação de ordem parcial em C. x R y a c e b d. 4. Abaixo está o diagrama simplificado da relação de ordem R sobre E = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j }. Determine os limites superiores, os limites inferiores, o ínfimo, o supremo, o máximo e o mínimo de A = { c, e }. 5. Em N x N define-se ( a, b ) ( c, d ) a c e b d. Sendo A = { ( 2, 1 ) ; ( 1, 2 ) }, encontre os limites superiores, os limites inferiores, ínfimo, supremo, máximo e mínimo de A, se existirem. 6. Seja B = { 1, 2, 3, 4, 5 } e o diagrama simplificado da relação de ordem R sobre B, encontre : os limites superiores, os limites inferiores, o ínfimo, o supremo, o máximo e o mínimo do conjunto A = { 2, 3 }, se existirem.

17 APLICAÇÕES 1. DEFINIÇÃO Seja uma relação de E em F. Dizemos que é uma Aplicação de E em F se : a) D( ) = E b) Dado a D( ), é único o elemento b F de modo que ( a, b ). Se é uma aplicação de E em F, escrevemos b = ( a ) para significar que ( a, b ). Para representarmos em símbolos que é uma Aplicação de E em F escrevemos : E F. O conjunto F é chamado Contradomínio de. OBSERVAÇÕES : a) Se : E F e g : E F, é igual a g se, e somente se : ( x ) = g( x ), x E. b) Se o contradomínio de uma aplicação é um conjunto numérico ( contido em C ) é usual chamar-se de função. EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Sejam E = { 0, 1, 2, 3 } e F = { 4, 5, 6, 7, 8 }, descubra quais das relações abaixo são aplicações de E em F e justifique a sua resposta. R 1 = { ( 0, 5 ) ; ( 1, 6 ) ; ( 2, 7 ) } R 2 = { ( 0, 4 ) ; ( 1, 5 ) ; ( 1, 6 ) ; ( 2, 7 ) ; ( 3, 8 ) } R 3 = { ( 0, 4 ) ; ( 1, 5 ) ; ( 2, 7 ) ; ( 3, 8 )} R 4 = { ( 0, 5 ) ; ( 1, 5 ) ; ( 2, 6 ) ; ( 3, 7 ) } 2. Seja E = F R, e consideremos as seguintes relações de R em R : R 1 = { ( x, y ) R 2 x 2 = y 2 }, R 2 = { ( x, y ) R 2 x 2 + y 2 = 1 } e R 3 = { ( x, y ) R 2 y = x 2 } 2. IMAGEM DIRETA E IMAGEM INVERSA Seja uma aplicação : E F. 2.1 DEFINIÇÃO 1 : Dado A E, chama-se Imagem Direta de A, segundo, e indica-se por ( A ), o subconjunto de F, formado pelas imagens dos elementos de A através de, ou seja : ( A ) = { ( x ) x A }. 2.2 DEFINIÇÃO 2 : Dado B F, chama-se Imagem Inversa de B, segundo, e indica-se por 1 ( B ), o subconjunto de E, formado pêlos elementos de E, que tem imagem em B através de, ou seja : 1 ( B ) = { x E ( x ) B }.

18 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Sejam E = { 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10 }, F = N e : E F é dada por ( x ) = x + 1, encontre ( A ) e 1 ( B ), onde A = { 1, 5, 9 } e B = { 4, 8, 11 }. B) Seja : R R tal que : ( x ) = 0, se x Q 1, se x R Q Encontre ( Q ), ( R Q ), ( [ 1, 2] ), 1 ( [ 2, 1 ] ) 3. APLICAÇÕES INJETORAS E SOBREJETORAS Consideremos uma aplicação : E F. 3.1 DEFINIÇÃO 1 : Dizemos que é uma aplicação Injetora ou uma Injeção quando, para elementos distintos de E têm-se imagens distintas em F, ou seja : para quaisquer x 1, x 2 E, temos que se : x 1 x 2 ( x 1 ) ( x 2 ). 3.2 DEFINIÇÃO 2 : Dizemos que é uma aplicação Sobrejetora ou uma Sobrejeção quando, todo elemento de F é imagem de algum elemento de E, ou seja : para todo y y F x E y = ( x ). 3.3 DEFINIÇÃO 3 : Dizemos que é uma aplicação Bijetora ou que é uma Bijeção, quando é Injetora e Sobrejetora. EXEMPLOS : a) Sejam os conjuntos E = { a, b, c, d } e F = { 1, 2, 3, 5, 8 } e aplicação = { ( a, 2 ) ; ( b, 3 ) ; ( c, 1 ) ; ( d, 8 ) }. b) Sejam os conjuntos E = { a, b, c, d } e F = { 2, 5, 8 } e aplicação = { ( a, 5 ) ; ( b, 8 ) ; ( c, 2 ) ; ( d, 8 ) }. c) A aplicação : R R definida pela lei ( x ) = 3x 4. 4. APLICAÇÃO INVERSA Seja a aplicação : R R. Se 1 é a relação inversa de, então - 1 é também uma Aplicação, chamada de Aplicação Inversa de se, e somente se, é Bijetora.

19 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Sejam os conjuntos E = { 1, 0, 2, 4 } e F = { 1, 3, 4, 5 } e as aplicações E em F, descubra se as mesmas são bijetoras e encontre as suas respectivas inversas. a) = { ( 1, 3 ) ; ( 0, 1 ) ; ( 2, 4 ) ; ( 4, 3 ) } b) g = { ( 1, 5 ) ; ( 0, 3 ) ; ( 2, 1 ) ; ( 4, 4 ) } 2. Sejam as aplicações abaixo, descubra quais são bijetoras, e encontre a sua respectiva inversa. a) : R R e ( x ) = 3x + 2 b) g : R R e g( x ) = x 2 c) h : R R e h( x ) = x 3 3 + 2 d) m : R R e ( x ) = x 1 OBSERVAÇÃO : Pode-se provar que se é bijetora, então 1 também o é. Assim, 1 é Aplicação Inversa de e sendo 1 Bijetora, a relação inversa de 1 também é Aplicação. Como ( 1 ) 1 =, temos que e 1 são Aplicações Inversas entre si. 5. COMPOSIÇÃO DE APLICAÇÕES DEFINIÇÃO : Sejam : E F e g : F G. Chama-se Composta de e g a aplicação ( g o ) de E em G definida por : ( g o ) ( x ) = g( ( x ) ), para qualquer x E. EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Sejam : R R +, tal que ( x ) = 2x e g : R + R e g( x ) = x, encontre g o. b) Sejam : R R, tal que ( x ) = 3x 4 e h : R R, tal que h( x ) = x 3, encontre h o e o g. OBSERVAÇÕES : 1. A composta de e g só é definida quando o contradomínio de coincide com o domínio de g. 2. A composta de e g tem o mesmo domínio de e o mesmo contradomínio de g. 3. Quando E = G, então é possível definir, além de g o, também o g. PROPOSIÇÃO 1 : Se : E F e g : F G são Injetoras, então g o é Injetora. PROPOSIÇÃO 2 : Se : E F e g : F G são Sobrejetoras, então g o é Sobrejetora.

20 6. APLICAÇÃO IDÊNTICA DEFINIÇÃO : Dado E, a Aplicação i : E E, dada pela lei i E ( x ) = x é chamada Aplicação Idêntica de E. Temos que para cada E existe uma aplicação i E. PROPOSIÇÃO 4 : Se : E F é Bijetora, então o - 1 = i F e - 1 o = i E.

21 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Sendo E = { 0, 1, 2, 3 } e F = { 1, 0, 2, 3 }, descubra quais das relações abaixo, são aplicações de E em F. a) R = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 3, 3 ) } b) S = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 3, 3 ) } c) T = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 0 ) ; ( 3, 3 ) } d) V = { ( 0, 2 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 3, 2 ) } 2. Determinar todas as aplicações de E = { 2, 5 } em F = { 1, 3, 7 }. 3. Encontre todo os pares ordenados da função : E F, tal que ( x ) = 1, se x Q, e se ( x ) = 1, se x Q. São Dados E = 0 1 1 7,,, 2,, e F = [ 1, 1 ]. 2 3 4. Seja a aplicação : N x N N tal que ( x, y ) = mdc( x, y ). Determinar ( 6, 2 ) ; ( 12, 9 ) ; ( 3, 1 ) ; ( 4, 9 ) e ( 0, 0 ). 5. Descubra em cada caso se e g são funções iguais. a) Sejam ( x ) = x 1 e g( x ) = 1, 2 } 2 x 1 x 1 funções de A em B, onde A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 1, 0, b) Sejam ( x ) = x 4 onde x R e h( y ) = y 4, onde y [ 2, 0 ]. c) Sejam ( x ) = x 2 e g( x ) = x funções de R em R. d) Sejam ( x ) = x e g( x ) = x funções de R em R. 6. Ao lado está o diagrama representativo de uma função : E F. Determinar ({ 2, 4 } ) e 1 ( { 7, 8 } )

22 7. Seja a função : R R definida por ( x ) = cos x. Determinar 0, 2 e - 1 3 2 8. Sejam A = { 0, 2, 4, 8 } e B = { 0, 1, 2, 3, 4 } e as aplicações abaixo de A em B, quais são injetoras? a) = { ( 0, 1 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 4, 0 ) ; ( 8, 1 ) } b) g = { ( 0, 4 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 4, 1 ) ; ( 8, 2 ) } 9. Quais das seguintes aplicações de E = { 4, 5, 8, 9 } em F = { 1, 2,4 } são sobrejetoras? a) h = { ( 4, 1 ) ; ( 5, 2 ) ; ( 8, 4 ) ; ( 9, 2 ) } b) g = { ( 4, 2 ) ; ( 5, 4 ) ; ( 8, 4 ) ; ( 9, 2 ) } 10. Mostre que os conjuntos A = N e B = N * são equipotentes. 11. Sejam A = { 1, 2, 3 }, B = { 4, 5, 6, 7 } e C = { 8, 9, 0 }. Seja : A B dada por ( 1 ) = 4, ( 2 ) = 5, ( 3 ) = 6 e g : B C dada por g( 4 ) = 8, g ( 5 ) = 0, g( 6 ) = 9 e g( 7 ) = 0. Quais são os pares de g o? A função g o é injetora ou sobrejetora? 12. Sejam, g, h funções reais definidas por ( x ) = x 2, g( x ) = x 2 1 e h( x ) = 2x 3. a) Determinar o g ; o h ; g o h ; g o ; h o ; h o g ; b) Verifique que ( g o ) o h = g o ( o h ) 13. Sejam : R R e g : R R as aplicações assim definidas : x 1, se x 0 ( x ) = e g( x ) = 2x 4. Determinar as compostas o g e g o. x 1, se x 0 14. Sejam as funções reais ( x ) = 2x + 7 e ( o g ) ( x ) = 4x 2 2x + 3. Determinar a lei de formação da função g. 15. Sejam as aplicações : E F e g : F E. Prove que se g o é injetora, então é injetora. 16. Seja : E F uma aplicação e sejam A E e B E. Prove que se A B, então ( A ) ( B ).

23 17. Quais são os valores do domínio da aplicação : R R, definida por ( x ) = x 2 5x + 9 que produzem imagem igual a 3? 18. É dada a função real. Calcule ( 3 + 2 ) sabendo que : a) ( x ). ( y ) = ( x + y ) b) ( 1 ) = 2 c) ( 2 ) = 4 19. Considere a função em R definida por ( x ) = x 3 3x 2 + 2x 1. Qual é a lei que define ( x )? E 1? E ( x 1 )? x 20. Dadas as aplicações reais definidas por ( x ) = 3x + 2 e g( x ) = 2x + b, determine o valor de b de modo que se tenha o g = g o. 21. Dadas as aplicações reais ( x ) = 2x + m e g( x ) = ax + 2, qual é a relação que a e m devem satisfazer para que se tenha ( o g )( x ) = ( g o )( x )? 22. Nas funções seguintes, descubra quais são Injetoras, Sobrejetoras e quais são Bijetoras? a) : R R e ( x ) = 2x 1 b) g : R R + e g ( x ) = 1 x 2 c) h : R R + e h( x ) = x 1 d) m : R R e g( x ) = x 2, se x 0 x, se x 0 23. Considere a aplicação real definida por y = ( x ) = 2 + x. Descubras quais das proposições abaixo são verdadeiras. a) é sobrejetora b) não é injetora c ) a função pode ser representada pelo gráfico abaixo 24. Determine o valor de b em B = { y R y b } de modo que a função de R em B, definida por ( x ) = x 2 4x + 6, seja sobrejetora.

24 25. Os conjuntos A e B tem, respectivamente, m e n elementos. Considere uma função : A B. Qual a condição sobre m e n para que possa ser injetora? 26. O gráfico de uma aplicação é o segmento de reta que une os pontos A( 3, 4 ) e B( 3, 0 ). Se 1 é a aplicação inversa de, determine 1 ( 2 ). 27. Seja a aplicação : R R +, definida por ( x ) = x 2. Encontre a aplicação inversa de. 28. Obtenha a função inversa da função g : A R +, tal que A = { x R x 1 } e g( x ) = ( x 1 ) 2. 29. Obtenha a função inversa da função h : R { 3 } R { 1 }, tal que h ( x ) = x 3. x 3 30. Seja a função : R { 2 } R { 4 }, definida ( x ) = 1 com imagem 5?. 4x 3. Qual é o valor do domínio de x 2 31. Sejam os conjuntos A = { x R x 1 } e B = { y R y 2 } e a função de A em B definida por ( x ) = x 2 2x + 3. Obtenha a função inversa de.

25 OPERAÇÕES LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA 1. DEFINIÇÃO Sendo E um conjunto não vazio, toda Aplicação : E x E E recebe o nome de Operação sobre E ou Lei de Composição Interna. Uma operação sobre um conjunto E associa a cada par ( x, y ) de E x E um elemento x y ( x estrela y ) de E, ou seja, x y = ( x, y ) e também podemos dizer que E é um conjunto munido da operação ( estrela ). O elemento x y chama-se composto de x e y pela operação ; os elementos x e y do composto x y são chamados termos do composto ou ainda, primeiro e segundo termos, respectivamente. Notações que poderão ser usadas para indicar uma operação sobre E : A) ADITIVA Neste caso, o símbolo da operação é ( + ), a operação é chamada Adição, o composto x + y é chamado Soma e os termos são as Parcelas. B) MULTIPLICATIVA Neste caso, o símbolo da operação é (. ), a operação é chamada Multiplicação, o composto x. y é chamado Produto e os termos são os Fatores. C) COMPOSIÇÃO Neste caso, o símbolo da operação é ( o ) e a operação é denominada Composição. D) Outros símbolos poderão ser utilizados para designar operações genéricas, tais como :,,,,, etc. EXEMPLOS DE OPERAÇÕES : a) A aplicação : N x N N tal que ( x, y ) = x + y, é conhecida como operação de Adição sobre N. b) A aplicação : R x R R tal que ( x, y ) = x. y, é conhecida como operação de Multiplicação sobre R. c) Sendo F uma coleção de conjuntos, consideremos a aplicação g : F x F F tal que g( X, Y ) = X Y, que é conhecida com o nome de Reunião sobre F. d) A aplicação : N x N N tal que ( x, y ) = x y, é conhecida como operação de Potenciação sobre N. e) A aplicação : Q* x Q* Q* tal que ( x, y ) = y x, é conhecida como operação de Divisão sobre Q*.

26 f) A aplicação : E x E E, onde E = M m x n ( R ),tal que ( x, y ) = x + y, é a operação de Adição sobre o conjunto das Matrizes do tipo m x n. g) A aplicação : E x E E, onde E = M n ( R ),tal que ( x, y ) = x. y, é a operação de Multiplicação sobre o conjunto das Matrizes do tipo n x n. h) A aplicação : E x E E, onde E = R R = Conjunto da funções de R em R, tal que (, g ) = o g, é a operação de Composição sobre R R. 2. PROPRIEDADES Seja ( estrela ) uma Lei de Composição Interna em um conjunto E. Então esta operação apresentar algumas propriedades notáveis, que veremos agora. A) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA Dizemos que tem a propriedade Associativa quando apara quaisquer que sejam x, y, z E, temos que : x ( y z ) = ( x y ) z. EXEMPLOS : a) As adições em N, Z, Q, R e C são operações associativas. b) A adição em M m x n ( R ) é uma operação associativa. c) A composição de funções de R em R é associativa. CONTRA EXEMPLOS : a) A potenciação em N não é uma operação associativa. b) A divisão em R * não é uma operação associativa. OBSERVAÇÃO : Quando a operação admite a propriedade associativa é possível calcularmos o composto de mais de dois elementos sem o uso de parênteses. B) PROPRIEDADE COMUTATIVA Dizemos que tem a propriedade Comutativa quando apara quaisquer que sejam x, y E, temos que : x y = y x.

27 EXEMPLOS : a) As adições em N, Z, Q, R e C são operações comutativas. b) A adição em M m x n ( R ) é uma operação comutativa. CONTRA EXEMPLOS : a) A potenciação em N não é uma operação comutativa. b) A divisão em R * não é uma operação comutativa. c) A multiplicação em M 2 x 2 ( R ) não é uma operação comutativa. C) ELEMENTO NEUTRO Dizemos que e E é um Elemento Neutro à esquerda para a operação todo x E, temos que : e x = x., quando para Dizemos que e E é um Elemento Neutro à direita para a operação, quando para todo x E, temos que : x e = x. Se ( e ) é Elemento Neutro à direita e à esquerda para a operação, então dizemos que ( e ) é Elemento Neutro para esta operação EXEMPLOS : a) O elemento neutro das adições em N, Z, Q, R e C é o número Zero. 1 0 b) O elemento neutro da multiplicação em M 2 x 2 ( R ) é a matriz. 0 1 CONTRA EXEMPLOS : a) A subtração em Z admite 0( zero ) como elemento neutro apenas à direita. b) A divisão em R * admite 1 ( um ) como elemento neutro apenas à direita. PROPOSIÇÃO 1 : Se a operação tem um elemento neutro ( e ), ele é único.

28 D) ELEMENTOS SIMETRIZÁVEIS Dizemos que x E é um elemento Simetrizável, para a operação, que tem para elemento neutro( e ) se existe x' E, tal que : x' x = e = x x'. O elemento x' é chamado Simétrico de x para a operação. Quando a operação é uma Adição( + ), o simétrico é chamado Oposto de x e indicado por ( - x ). Quando a operação é uma Multiplicação(. ), o simétrico de x é chamado Inverso de x e é indicado por x - 1. EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) 4 é um elemento simetrizável para a Adição em Z e seu simétrico é 4. b) 5 é um elemento simetrizável para a Multiplicação em Q e seu simétrico é 1 5 c) 7 não é um elemento simetrizável para a multiplicação em Z. d) A função ( x ) = 2x + 5 é bijetora de R em R ; logo existe a inversa de, tal que - 1 o = i R = = o - 1. Podemos dizer que é um elemento simetrizável de R R para a composição de funções. PROPOSIÇÃO 2 : Se a operação em E é associativa, tem elemento neutro( e ) e um elemento x E é simetrizável, então o simétrico de x é único. PROPOSIÇÃO 3 : Seja uma operação sobre E com elemento neutro( e ). a) Se x é simetrizável, então x' também é e ( x' ) ' = x. b) Se é associativa e x, y E são simetrizáveis, então x y é simetrizável e ( x y ) ' = y' x'. OBSERVAÇÃO : Sendo uma operação sobre E com elemento neutro( e ), indica-se por conjunto dos elementos simetrizáveis de E para a operação. U ( E ) o D) ELEMENTOS REGULARES Dizemos que um elemento a E é Regular( ou Simplificável ), em relação à operação se : a x = a y x = y e x a = y a x = y, para quaisquer que sejam x, y E. Valendo a igualdade, dizemos que ( a ) é Regular à Esquerda ; valendo a igualdade, dizemos que ( a ) é Regular à Direita. OBSERVAÇÃO : Se é comutativa, regular à esquerda, significa regular à direita e vice-versa.

29 EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) 7 é regular para a Adição em N. b) 8 é regular para a Multiplicação em Q c) 0 não é regular para a multiplicação em Z. 3 1 d) é regular para a adição em M 2x2 ( R ). 6 5 OBSERVAÇÃO : Sendo uma operação sobre E, indica-se R ( E ) o conjunto dos elementos regulares de E para a operação, por exemplo, temos R + ( N ) = N. F) PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA Sejam e duas operações sobre E. Dizemos que é Distributiva em relação a se para quaisquer que sejam x, y, z E, temos que : x ( y z ) = ( x y ) ( x z ) e ( x y ) z = ( x z ) ( y z ) OBSERVAÇÃO : Se é comutativa, então Distributiva à esquerda ou à direita de EXEMPLOS : a) A multiplicação em N é distributiva em relação à adição em N. b) A potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação em Z. são equivalentes. 3. PARTE FECHADA PARA UMA OPERAÇÃO DEFINIÇÃO : Seja uma operação sobre um conjunto E. Seja A um subconjunto não vazio de E, dizemos que A é Parte Fechada de E para a operação, se e somente se, temos : x A e y A x y A, para todo x, y A. EXEMPLOS : a) Os números racionais( Q ) são uma parte fechada para a operação de Adição sobre o conjunto R. b) As funções bijetoras de R em R formam um conjunto fechado para a composição de funções de R R

30 4. TÁBUA DE OPERAÇÃO CONSTRUÇÃO Seja E = { a 1, a 2, a 3,..., a n } ( n 1 ) um conjunto com n elementos. Cada operação sobre E é uma aplicação : E x E E que associa a cada par ( a i, a j ) o elemento a i a j. Podemos indicar o correspondente a i j para cada par ( a i, a j ) por meio de uma tábua de dupla entrada, construída como segue : EXEMPLOS : a) Tábua de operação de multiplicação sobre E = { 1, 3, 5 }. b) Tábua de operação de interseção sobre E = { A, C, E, F } onde os conjunto A, C, E, F são tais que A F C E.

31 c) Tábua de operação de MDC sobre E = { 2, 3, 6, 12 }, isto é ( x, y ) = mdc( x, y ). d) Tábua de operação de composição de funções sobre E = { 1, 2, 3 }, onde as funções 1, 2,f 3 são assim descritas : 1 = { ( a, b ) ; ( b, c ) ; ( c, a ) } 2 = { ( a, c ) ; ( b, a ) ; ( c, b ) } 3 = { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) } OBSERVAÇÃO : Podemos estudar todas as propriedades de uma operação( E = { a 1, a 2, a 3,..., a n } utilizando a sua tábua de operação. ) sobre um conjunto

32 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Em cada caso, considere a operação ( ) sobre E e verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro. a) E = R e x y = x b) E = Q e x y = x + xy c) E = R + e x y = 2 x y 2 2. Considere a operação ( ) sobre Z x Z. Verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro e determine os elementos simetrizáveis. ( a, b ) ( c, d ) = ( a + c, b + d ) 3. Seja a operação x y = m.x + n.x, sobre Z. Encontre os valores que m e n devem assumir para que a operação definida em Z seja : a) associativa b) comutativa c) tenha elemento neutro 4. Dizer quais dos subconjuntos de Z são fechados para a operação de multiplicação. a) Z b) P = { x Z x é par } c) I = { x Z x é ímpar } d) m. Z = { x Z m divide x } 5. Verifique se a lei dada por ( a, b ) ( c, d ) = ( a.c, a.d + b.c ) é distributiva em relação à lei ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ), tudo em Z x Z. 6. Dizer quais dos subconjuntos de Z são fechados para a operação de adição. a) Z b) P = { x Z x é par } c) I = { x Z x é ímpar } d) m. Z = { x Z m divide x } 7. Em cada caso, está definida uma operação ( ) sobre E. Faça uma tábua de operação, verifique se é comutativa e se existe elemento neutro, determine ( E ) e U ( E ). R a) E = { 2, 3, 4, 6 } e x y = mdc( x, y ) b) E = P ( { a, b } ) e X Y = X Y c) E = { 1, i, 1, i } e x y = x. y d) E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } e x y = resto da divisão em Z de x. y por 5

33 8. Seja a tábua, verifique se a operação é comutativa, se existe elemento neutro e que elementos são simetrizáveis. 9. Construir a tábua de uma operação sobre o conjunto E = { a, b, c, d } de modo que : a) seja comutativa b) a seja o elemento neutro c) x a = a, x d) ( E ) = E - { a } R 10. Sejam E = P ( { 1, 4, 5 } ), X E e Y E, encontre a condição para que A = { X, Y } seja fechado em relação à operação de interseção sobre E. 11. Seja o conjunto N munido da operação, definida como a b = a. b 2. Calcule : a) 2 3 b) ( 3 4 ) 5 12. Seja o conjunto A = { A, B, C, D }, cujos elementos são os conjuntos : A =, B = { a, b }, C = { b, c } e D = { a, b, c }. Mostre que a interseção( ) não é uma operação em S. 13. Resolver em N a equação : [ 3 ( x x ) ] + ( 2 x ) = 160, onde é a operação em N definida por a b = a + b + a. b. 14. Seja o conjunto A = { 0, 1, 2, 3 }. Mostre que A é uma parte de Z que não é fechada em relação à operação em Z, definida por a b = a + b a. b. 15. Seja o conjunto A munido de uma operação e que possui a propriedade associativa. Se A é comutativo, mostre que : a ( b c ) = c ( b a ). 16. Mostre que as operações abaixo em E, são comutativas : a) E = R e a b = a b b) E = R x R e ( a, b ) ( c, d ) = ( a + c, b.d )

34 17. Mostre que as operações abaixo em E, são associativas : a) E = R e a. b = 3. a. b b) E = R x R e ( a, b ) ( c, d ) = ( a. c, b. c + d ) 18. Determine o elemento neutro da operação em A = Q definida por : a b = a. b. 2 19. Construir a tábua da operação em A = { 1, 2, 3 } definida pelas seguintes propriedades : a) x x = x, x A b) 2 é o elemento neutro c) 1 é regular 20. Determinar os elementos neutros à esquerda ou à direita par a operação definida por a b = a, no conjunto A = N. 21. No conjunto A = { 1, 2, 3 } munido da operação definida pela tábua de operação abaixo, determine o que se pede : a) o elemento neutro da operação se existir ; b) mostre que o elemento 2 é simetrizável e determine o seu simétrico. 22. Seja o grupóide ( Q, ), a operação em Q sendo definida por a b = a + b a. b. a) Calcular 3 4, 2 ( 5 ) e 7 b) Achar o Elemento Neutro para a operação. 1 2 c) Achar os simétricos dos elementos 3, ( 2 ) e 4 1. d) Determinar ( Q ). U

35 GRUPOS E SUBGRUPOS 1. CONCEITO DE GRUPO DEFINIÇÃO : Sejam G um conjunto não vazio e ( x, y ) x y uma lei composição interna em G. Dizemos que G é um grupo em relação a essa lei se, e somente se : a) a ( b c ) = ( a b ) c, para quaisquer a, b, c G ; b) existe e G de maneira que a e = e a = a, para quaisquer a G ; c) todo elemento de G é simetrizável em relação à lei considerada. Às vezes, por simplificação de linguagem, diz-se apenas " G é um grupo " ou " grupo G ", o que se pressupõe, uma lei de composição interna em G, com as proposições acima citadas. OBSERVAÇÕES : 1. Quando a lei de composição interna for uma "Adição " diremos que o grupo em questão é um " Grupo Aditivo " ; se a lei for a multiplicação " Multiplicação " nos referiremos a ele como " Grupo Multiplicativo ". 2. Na parte da teoria dos grupos aqui desenvolvida usaremos a notação Multiplicativa. 3. Se a lei que faz de G um grupo é dada por ( x, y ) x y também se costuma dizer que o par ( G, ), onde simboliza a operação, é um GRUPO. 2. GRUPOS COMUTATIVOS OU ABELIANOS DEFINIÇÃO : Dizemos que um grupo ( G, ) é Abeliano ou Comutativo se, e somente se a lei ( ) possui a propriedade comutativa, isto é : a b = b a, para quaisquer a, b G. 3. GRUPOS FINITOS TÁBUA DE UM GRUPO FINITO Um Grupo Finito é um grupo ( G, ) no qual o conjunto G é Finito. O número de elementos de G, neste caso é chamado Ordem do Grupo G. A tábua de um grupo finito ( G, ) é a tábua da lei de composição considerada em G. Denotaremos a ordem de um grupo finito G por o( G ). EXERCÍCIO PROPOSTO : Seja o conjunto G = { 1, 1 } e a operação de multiplicação usual. Construir a tábua de operação, verifique se G é um grupo e encontre a ordem, caso G seja um grupo.

36 4. EXEMPLOS DE GRUPOS IMPORTANTES a) Os conjuntos Z, Q, R e C munidos da operação de Adição usual são grupos abelianos. b)os conjuntos Q*, R* munidos da operação de Multiplicação usual são grupos abelianos. c) O conjunto dos números complexos ( C ) munido da operação de Multiplicação usual é grupo abeliano. d) O conjunto das matrizes M m x n ( R ), munido da operação de Adição é grupo abeliano. 5. PROPRIEDADES IMEDIATAS DE UM GRUPO Seja ( G, ) um grupo. As propriedades que já vimos sobre leis de composição interna nos garantem que : a) o elemento neutro é único ; b) existe um único simétrico para cada elemento a G ; c) indicando por x' o simétrico de um elemento genérico x G, temos : ( a b )' = b' quaisquer a, b G ; a', para d) para qualquer a G, temos que ( a' ) ' = a ; e) todo elemento de G é regular em relação a operação ; f) Se a, b G, então a equação a x = b, onde x é uma variável em G, admite uma única solução em G, ou seja : x = a' b. 6. SUBGRUPOS DEFINIÇÃO : Seja ( G, ) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H G é um Subgrupo se, e somente se : a) a b H, para quaisquer que sejam a, b H ; b) ( H, ) também é um grupo. PROPOSIÇÃO : Seja ( G, ) um Grupo. Para que um subconjunto não vazio H G seja um Subgrupo é necessário e suficiente que : a b' H, para quaisquer que sejam a, b H, onde b' é o simétrico de b. OBSERVAÇÃO : Todo Grupo G cujo elemento neutro indicamos por ( e ) admite pelo menos dois subgrupos G e { e }.

37 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo, são grupos e dizer quais são abelianos : a) ( N*, + ) b) ( Z,. ) c) ( Q*, ), onde a b = a. b 2 d) ( R, ), onde a b = a + b 2 2. Considere o grupo ( R *,. ). Mostre que H = { x R x > 0 } é um subgrupo de R*. 3. Considere o grupo ( Q, + ). Mostre que ( Z, + ) é um subgrupo de Q. 4. Mostre que o conjunto E = { a + b 3 R* a, b Q } é um grupo multiplicativo abeliano. 5. Seja G = { e, a, b, c } é um grupo em relação à operação dada na tabela abaixo, complete-a. 6. Sejam G um grupo multiplicativo e a, b, c elementos de G. Provar que : ( a. b. c ) 1 = c 1. b 1.a 1. Resolva a equação em G tal que a. b. c. x = c. 7. Verifique se são subgrupos : a) H = { a Q x > 0 } de ( R*,. ) b) J = { cos + i. sen Q } de ( C*,. ) c) I = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } de ( Z, + ) 3 d) L = { a + b 2 R* a, b Q } de ( R, + ) 8. Mostre que são grupos os conjuntos abaixo : a) A = { 3k k Z, + } b) G = { 2 k k Z,. } 9. Mostre que ( R { 1 }, ) é um grupo abeliano, onde a operação é definida por : a b = a + b a. b.

38 10. Mostrar que E = { 1, 1, i, i }, onde i 2 = 1 é um grupo multiplicativo. 11. Mostre que ( R, ) é um grupo abeliano, onde a operação em R é definida por : a b = 3 a 3 b 3 12. Seja a operação sobre o conjunto G = { x R 1 < x < 1 } definida por : a b = a b. Mostre que ( G, ) é um grupo comutativo. 1 a.b 13. Mostre que (R 2, ) é um grupo, sendo a operação em R 2 definida por : ( a, b ) ( c, d ) = ( a + c, b + d ). 1 14. Sejam as funções 1, 2, 3, 4 : R * : R, assim definidas 1 ( x ) = x, 2 ( x ) =, 3 ( x ) = x, x 1 4 ( x ) = e o conjunto G = { 1, 2, 3, 4 }. Mostre que ( G, o ) é um grupo, sendo " o " a operação x de composição de Funções. 15. Sejam ( G, ) um grupo e a operação em G definida por a b = b a. Mostre que ( G, ) é um grupo. 16. Sejam ( G 1, ) e ( G 2, ) dois grupos. Demonstre que ( G 1 x G 2, ) é um grupo, sendo a operação no produto cartesiano G 1 x G 2 definida por : ( a, b ) ( c, d ) = ( a c, b d ). 17. Seja a operação em R * assim definida por : a b = a.b, a / b, se a 0 se a 0. Mostre que (R *, ) é um grupo. 18. Seja ( G, ) um grupo tal que x x = e, para todo x G,. Mostrar que o grupo ( G, ) é abeliano. 19. Resolver a equação a c x = b, sabendo que é a operação de um grupo ( G, ) e que a, b, c, x G.

39 20. Seja ( G,. ) um grupo sejam a e b dois elementos tais que a 5 = e e a.b = b.a 3. Demonstre que a 2.b = b.a e a.b 3 = b 3.a 2. 21. Mostre que ( H,. ) é um subgrupo do grupo ( Q *,. ), onde H = { 2 n n Z } 22. Mostrar que ( J, + ) é um subgrupo dos grupos (Z, + ), (R, + ) e ( 3. Z, + ), onde J = 12Z. 23. Mostrar que ( G, ) é um subgrupo do grupo (R * x R, ), onde a operação em R * x R é definida como sendo ( a, b ) ( c, d ) = ( a. c, c + d ). 24. Sejam ( H, ) e ( K, ) dois subgrupos do grupo abeliano ( G, ) e seja J o conjunto : J = { x y x H e y K }. Mostre que ( J, ) é subgrupo de ( G, ). 25.Sejam ( H, ) um subgrupo de ( G, ( K, ) é um subgrupo de ( G, ). ) e ( K, ) um subgrupo de ( H, ). Demonstre que

40 ANÉIS 1. ANÉIS Sejam ( x, y ) ( x + y ) e ( x, y ) x.y leis de COMPOSIÇÃO INTERNAS num conjunto A não vazio. Suponhamos que : I) O conjunto A é um grupo abeliano em relação à primeira dessas leis( Adição ), isto é : a) a, b, c de A, temos que : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ; b) a, b de A, temos que : a + b = b + a ; c) Existe elemento neutro para essa Adição. Será ele indicado por 0 A ou 0, quando não houver possibilidade de confusão : é o Zero do anel. Portanto, para todo a A, temos : a + 0 = a. d) Todo elemento de A admite um simétrico aditivo, ou seja, para todo a A existe um elemento em A, indicado por ( - a ), de forma que a + ( a ) = 0( zero ). I I) A segunda das leis consideradas( multiplicação ) é associativa, ou seja, a, b, c de A, temos que : a. ( b. c ) = ( a. b ). c I I I ) A multiplicação é Distributiva em relação à Adição, ou seja, a, b, c de A, temos que : ( a + b ). c ) = a. c + b. c DEFINIÇÃO 1 : Nas condições expostas acima dizemos que o conjunto A é um Anel em relação à Adição e à Multiplicação consideradas. Ainda podemos dizer que, a terna ordenada formada pelo conjunto A, a Adição e a Multiplicação ( A, +,. ) é um Anel. Às vezes diremos apenas " A é um Anel ". 2. EXEMPLOS DE ANEL A) São exemplos clássicos de Anel : a) (Z, +,. ) b) ( Q, +,. ) c) (R, +,. ) d) ( C, +,. ) B) Os conjuntos n. Z = { n. q ; q Z, onde n N e n 1 } C) Os conjuntos M n ( Z ), M n ( Q ), M n ( R ), e M n ( C ), são anéis em relação à Adição e a Multiplicação de matrizes. D) Seja A = Z Z = { ; : Z Z }. Dadas duas funções quaisquer, g A, definindo + g e. g como : + g : Z Z e ( + g )( x ) = ( x ) + g( x ), x Z. g : Z Z e (. g )( x ) = ( x ). g( x ), x Z, então temos definidas uma "Adição" e uma "Multiplicação" em a. Nessas condições A é um Anel.

41 E) Sejam A e B anéis quaisquer. Se definirmos " Soma" e "Produto" de elementos A x B do seguinte modo : ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + b, c + d ) e ( a, b ). ( c, d ) = ( a. c, b. d ), ( a, b ) e ( c, d ) A x B, então ( A x B, +,. ) é um Anel. 3. PROPRIEDADES DE UM ANEL Consideremos um anel ( A, +,. ). DEFINIÇÃO 2 : Dados dois elementos a e b de um Anel A, a diferença entre a e b, que indicaremos por a b, é o elemento a + ( b ). Assim a b = a + ( b ). DEFINIÇÃO 3 : Dados a A e n N*, define-se a n por recorrência do seguinte modo : a 1 = a e a n = a. a n 1, n > 1. I) Quanto à Adição, A é um grupo abeliano, então são verdadeiras as seguintes propriedades : a) o Zero do anel é único ; b) para cada a A existe um único simétrico aditivo ; c) dados a 1, a 2,..., a n A ( n > 1 ), então : ( a 1 + a 2 +... + a n ) = ( a 1 ) + ( a 2 ) +... + ( a n ) ; d) a A, temos que : [ ( a )] = a ; e) a, x, y A, temos que : a + x = a + y x = y ; f) o conjunto solução de uma equação a + x = b, onde a, b A e x é a variável em A é {( a ) + b }; I I ) a A, temos que : a. 0 = 0. a = 0 I I I ) a, b A, temos que : a. ( b ) = ( a ). b = ( a. b ) IV) a, b A, temos que : a. b = ( a. b ) V) a, b, c A, temos que : a. ( b c ) = a. b a. c VI ) a A e m, n N*, temos que : a m. a n = a m + n VII) a A e m, n N*, temos que : ( a m ) n = a m. n

42 4. SUBANÉIS DEFINIÇÃO : Seja ( A, +,. ) um Anel. Dizemos que um subconjunto L A, não vazio, é um Subanel de A se, e somente se : a) L é fechado para ambas as operações de A, isto é, a, b A, temos que : a + b L e a. b L. b) ( L, +,. ) é Anel EXEMPLOS : a) 2. Z é um subanel de Z b) M n ( Z ) é um subanel de M n ( R ) PROPOSIÇÃO : Sejam um Anel e L um subconjunto não vazio de A. Então L é um subanel de A se, e somente se, a, b L temos que : a - b L e a. b L, ou seja, L é fechado para a subtração e para a multiplicação. EXEMPLO : Verifique se a terna ( 2 Z, +,. ) é um subanel do anel ( Z, +,. ). 5. ANÉIS COMUTATIVOS E ANÉIS COM UNIDADE DEFINIÇÃO 1 : Dizemos que um Anel A é um subanel comutativo, se a multiplicação é comutativa, isto é, a, b A, temos que : a. b = b. a. DEFINIÇÃO 2 : Um Anel com Unidade é um Anel A que possui elemento neutro para a multiplicação. Este elemento neutro será indicado por 1 A ou apenas 1 ( hum ), se não houver possibilidade de confusão. Suporemos sempre que 1 A 0 A. Um anel comutativo com unidade é um anel cuja multiplicação é comutativa e para a qual exista elemento neutro. O elemento neutro da multiplicação de um anel é chamado quando existe, de Unidade do Anel.

43 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Mostrar que a terna ( Z,, ) é um anel comutativo, e as operações por : e em Z são definidas a b = a + b 1 e a b = a + b a. b 2. Mostrar que a terna ( Q,, ) é um anel comutativo unitário, e as operações e em Q são definidas por : a b = a + b 3 e a b = a + b 3 1 a. b 3. Mostrar que a terna ( Z 2,, ) é um anel comutativo, e as operações e em Z 2 são definidas por : ( a, b ) ( c, d ) = ( a + b, c + d ) e ( a, b ) ( c, d ) = ( a. c, 0 ). 4. Mostre que são anéis : a) O conjunto Z dotado das leis de Adição usual e a Multiplicação assim definida a. b = 0, a, b Z. b) O conjunto Q com das leis definida por x y = x + y 1 e x y = x + y x.y. 5. Quais dos anéis do exercício anterior são comutativos? Quais tem unidade? Determinar a unidade no caso de existir. 6. Consideremos as operações e em Z definidas por : x y = x + ay 2 e x y = xy + by + d, onde a, b, c, d são números inteiros dados. Determinar a, b, c, d de modo que ( Z,, ) seja um anel. Para que valores obtidos de a, b, c, d a terna ( Z,, ) é um anel com unidade? 7. Sabe-se que A = { a, b, c, d } e ( A, +,. ) é um anel em que os elementos neutros das operações ( + ) e (. ) são respectivamente, a e b. Conhecendo-se os compostos b + b = a e c + c = a e c. d = a, construir as tábuas das duas operações.

44 8. Determinar quais dos seguintes subconjuntos de Q são subanéis : a) Z b) B = { x Q x Z } c) C = a Q b a Z, b Z e 2 b a d) D = n 2 Q a Z e n Z 9. Verifique se são subanéis os conjuntos abaixo : a) L = { a + b 2 a, b Q } do anel R b) Z do anel Q c) 2 Z x 2 Z do anel Z x Z 10. Dê um exemplo de anel A e subanel B de forma que : 1 A, 1 B, 1 A = 1 B. 11. Mostrar que a terna ( G,, ) é uma anel comutativo unitário, onde G = { 0, 1 } e as operações e em G estão definidas pelas tábuas abaixo. 12. Seja M 2 ( R ) o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem 2 da forma : a b b a. Mostre que a terna ( M 2 ( R ), +,. ) é um anel comutativo com elemento unidade. 13. Seja o conjunto A = { a + b. 2 + c. 3 a, b, c Z }. Mostre que a terna ( A, +,. ) não é um anel. 14. Mostre que a terna ( H, +,. ) não é um anel, onde H = { b. i b R e i 2 = 1 }.

45 BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ALENCAR, Edgar de Filho. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA ABSTRATA. 2ª Edição. Editora Nobel. São Paulo, 1980 ALENCAR, Edgar de Filho. TEORIA DAS CONGRUÊNCIAS. Editora Nobel. São Paulo, 1986 ALENCAR, Edgar de Filho. TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS. 2ª Edição. Editora Nobel. São Paulo, 1985 DOMINGUES, Hygino H. e IEZZI, Gelson. ÁLGEBRA MODERNA. 4ª Edição. Editora. Atual. 2003, São Paulo GONÇALVES, Adilson. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA. IMPA/CNPq. 1ª Edição. 1979, Rio de Janeiro. HEFEZ, Abramo. CURSO DE ÁLGEBRA. 2ª Edição. IMPA/CNPq. Rio de Janeiro, 1993 IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR. 7ª Edição. Editora Atual. 1993, São Paulo. SANTOS; José Plínio de Oliveira. INTRODUÇÃO À TEORIA DOS NÚMEROS. 1ª Edição. IMPA/CNPq. Rio de Janeiro, 2000 MONTEIRO, ANTÓNIO J. e MATOS, ISABEL TEIXEIRA. ÁLGEBRA : UM PRIMEIRO CURSO. 1ª Edição. Escolar Editora. Lisboa, 1996 MONTEIRO, L. H. JACY. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA. 2ª Edição. LTC. Rio de Janeiro, 1978