Matemática Financeira (Princípio básico)

Universidade Federal de Itajubá Engenharia Econômica Matemática Financeira 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1 Matemática Financeira (Princípio básico) Não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam nas mesmas datas! 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 2 1

Matemática Financeira O que foi feito? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 3 Matemática Financeira 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 4 2

Matemática Financeira 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 5 A pergunta é: vocês acreditam nisto? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 6 3

De fato o que você tem nas mãos na maioria das vezes! 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 7 Significado dos juros Salário Fatores de Produção considerados em economia Aluguel Trabalho Terra Técnica Administração Capital Royalty Juros Lucros 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 8 4

JUROS: presença no dia a dia compras à crédito; cheques especiais; prestação da casa própria; desconto de duplicata; vendas à prazo; empréstimos. 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 9 Juros Simples: J = P * i * n J: Juros F = P + J i: Taxa de juros F = P + P * i * n n: Número de Períodos P: Principal F: Valor Futuro F = P (1 + i * n) P F F F 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 10 5

Juros compostos: F 1 = P (1 + i) F 2 = F 1 (1+ i) = P (1 + i) 2 F 3 = P (1 + i) 3 J: Juros i: Taxa de juros n: Número de Períodos P: Principal F: Valor Futuro F F3 F = P (1 + i) n P F1 F2 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 11 Exemplo II.1 Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. durante 3 anos, qual o valor futuro para os casos de considerarmos juros simples e juros compostos? Solução: Ano Juros Simples Juros Compostos 0 R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 1 R$ 120.000,00 R$ 120.000,00 Juros de 60,0% 2 3 R$ 140.000,00 R$ 144.000,00 R$ 160.000,00 R$ 172.800,00 Juros de 72,8% 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 12 6

Fluxo de Caixa entradas (receitas) valor residual vida do projeto 0 1 2 3 n ( + ) investimento ( - ) saídas (despesas operacionais, manutenção, etc...) 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 13 Terminologia: Excel i: Taxa de juros Taxa n: Número de Períodos Nper P: Principal VP F: Valor Futuro VF 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 14 7

Relações de Equivalência Relação entre VP e VF VF VP VP: Valor Presente VF: Valor Futuro 0 n VF = VP(1 + i) n 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 15 Relações de Equivalência Relação entre VF e VP VP VF VP: Valor Presente VF: Valor Futuro 0 n VP = VF/(1 + i) n = VF (1 + i) -n 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 16 8

Relações de Equivalência Relação entre VP e VF Exercício II.3 Conseguiu-se um empréstimo de R$10.000,00 em um banco que cobra 5% ao mês de juro. Quanto deverá ser pago se o prazo do empréstimo for de cinco meses? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 17 Relações de Equivalência Relação entre VP e VF Uso do Excel 10000 i = 5% 5 0 VF =? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 18 9

Relações de Equivalência Relação entre VP e VF Uso do Excel 10000 i = 5% 5 0 VF =? Planilha 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 19 Exemplo II.2 Qual o valor de uma aplicação em Fundo de renda fixa de R$ 30.000 a uma taxa de 1,4 % ao mês para um período de 1 ano? Qual o valor dos juros? Quais os juros líquidos, se o IR é de 20%? Qual o valor da rentabilidade líquida mensal? Em relação à poupança esta aplicação é interessante? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 20 10

Uso do Excel Função VF 2. Função 3. Função Financeira 1. Dados e resultado 4. Função Financeira VF 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 21 Uso do Excel Função VF Resultado 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 22 11

Função Taxa 2. Função 3. Função Financeirai 4. Função Financeira TAXA 1. Dados e resultado 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 23 Função Taxa Resultado 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 24 12

Solução pelas fórmulas VF = VP (1 + i) n = 30.000 (1+ 0,014) 12 = 35.446 Juros = 5.446 Juros líquidos = 5.446 20% x 5.446 = 4.357 VF (líquido) = 34.357 34.357 = 30.000 (1 + i) 12 i = 1,14% ao mês 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 25 Lei nº. 11.033, de 21 de dezembro de 2004 O PRESIDENTE DA REPÚBLICA Faço saber que o Congresso Nacional decreta e eu sanciono a seguinte Lei: Art. 1º Os rendimentos de que trata o art. 5º da Lei nº 9.779, de 19 de janeiro de 1999, relativamente às aplicações e operações realizadas a partir de 1º de janeiro de 2005, sujeitam-se à incidência do imposto de renda na fonte, às seguintes alíquotas: I - 22,5% (vinte e dois inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de até 180 (cento e oitenta) dias; II - 20% (vinte por cento), em aplicações com prazo de 181 (cento e oitenta e um) dias até 360 (trezentos e sessenta) dias; III - 17,5% (dezessete inteiros e cinco décimos por cento), em aplicações com prazo de 361 (trezentos e sessenta e um) dias até 720 (setecentos e vinte) dias; IV - 15% (quinze por cento), em aplicações com prazo acima de 720 (setecentos e vinte) dias. 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 26 13

(Taxa Referencial de Juros TR) http://www.yahii.com.br/tr.html 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 27 (Taxa Referencial de Juros TR) http://www.yahii.com.br/tr.html 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 28 14

(poupança) http://www.yahii.com.br/poupanca.html 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 29 (poupança) http://www.yahii.com.br/poupanca.html 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 30 15

(TBF) http://www.yahii.com.br/tbf.html 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 31 (TBF) http://www.yahii.com.br/tbf.html 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 32 16

O que eu faço com este apartamento? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 33 http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/gfi7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigomenu=1092 &codigoret=5489&bread=7_1 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 34 17

http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/gfi7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigomenu=1092 &codigoret=5489&bread=7_1 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 35 http://www21.bb.com.br/portalbb/rentabilidade2/gfi7,2,9085,9089,1.bbx?tipo=01&codigomenu=1092 &codigoret=5489&bread=7_1 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 36 18

http://www.tesouro.fazenda.gov.br/tesouro_direto/rentabilidade.asp 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 37 http://www.bb.com.br/portalbb/home17,129,129,0,0,1,7.bb?codigomenu=1092&codigore t=1443&bread=4 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 38 19

Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO VP PGTO VP: Valor Presente PGTO = Pagamento uniforme 0 n VP = PGTO (1 + i) -1 + PGTO (1 + i) -2 +... + PGTO (1 + i) -n VP = PGTO [ (1 + i) -1 + (1 + i) -2 +... + (1 + i) -n ] 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 39 Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO VP PGTO 0 n VP = PGTO [ (1 + i) -1 + (1 + i) -2 +... + (1 + i ) -n ] Sn a - a.r = 1 n 1- r n (1+ i ) 1 VP = PGTO n (1+ i ) i 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 40 20

Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO VP = PGTO ( 1 + i ) ( 1 + i n ) 1 i n PGTO = VP ( 1 + i ) n ( 1 + i ) n i - 1 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 41 Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO Exercício II.6 Um empresário pretende fazer um investimento no exterior que lhe renderá US$ 100.000 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento, sabendo-se que o empresário trabalha com taxa de 6% ao ano? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 42 21

Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO Excel 100000 0 1 10 VP =? i = 6% ao ano 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 43 Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO Excel 100000 0 1 10 VP =? i = 6% ao ano Planilha 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 44 22

Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO Exercício II.7 O que é mais interessante, comprar uma TV LED por R$ 4.000,00 à vista, ou R$ 4.410,00 em 3 vezes, sendo a primeira prestação no ato da compra? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 45 Solução Quais são as opções de compra? 0 1 2 0 1 2 4000 1470 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 46 23

Solução 4000 2530 1470 1470 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 47 Solução VP 2530 N = 2 O que esta faltando? 1470 PGTO 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 48 24

Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO Excel 2530 1470 Planilha 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 49 Solução i% 10,63% a.m. 2530 A vista ou a prazo? O que significa a taxa? 1470 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 50 25

Relações de Equivalência Relação entre VP e PGTO Exercício II.8 Vale a pena pagar à vista com 20% de desconto ou a prazo em 3 pagamentos iguais, sendo o primeiro hoje? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 51 Solução Quais são as opções de compra? 0 1 2 0 1 2 0,8X X/3 X = preço de etiqueta 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 52 26

Solução 0,8X 0,8X-X/3 X/3 X/3 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 53 Solução VP 0,8X-X/3 N = 2 O que esta faltando? X/3 PGTO 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 54 27

Solução i% 27,47% a.m. 0,8X-X/3 A vista ou a prazo? O que significa a taxa? X/3 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 55 Caso Real IPVA 99 Espírito Santo Veículo: Quantum 1988 Opção 01 à vista: R$ 217,37 (14/10/99) Opção 02 2 vezes: Primeira: R$ 163,77 (14/10/99) Segunda: R$ 89,31 (12/11/99) Qual a taxa de juros para a opção de parcelar? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 56 28

Caso Real IPVA 99 Espírito Santo P = 217,37 163,77 = 53,6 F = P (1 + i) n 89,31 = 53,6 (1 + i) 1 F = 89,31 i = 66,62% a.m. 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 57 Como as lojas divulgam seus preços Sem juros? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 58 29

Algumas taxas http://www.anucc.org.br/servicos/ index/25 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 59 Portal Globo 05/08/2008 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 60 30

Algumas taxas DEMONSTRATIVO DAS TAXAS DE JUROS PRATICADAS EM 2007 Bancos Empréstimo Cheque Especial Pessoal HSBC 4,67% 8,47% Banespa 5,80% 8,38% Bradesco 5,57% 8,01% Banco do Brasil 4,62% 7,68% Caixa Econômica Federal 4,68% 7,20% Itaú 5,95% 8,47% Santander 5,80% 8,38% Nossa Caixa 4,25% 8,10% Real 6,50% 8,40% Unibanco 5,87% 8,39% 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 61 Algumas taxas http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012010.asp 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 62 31

Algumas taxas 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 63 Algumas taxas 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 64 32

Algumas taxas 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 65 Algumas taxas http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012020.asp 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 66 33

Algumas taxas 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 67 Algumas taxas 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 68 34

Algumas taxas http://www.bcb.gov.br/fis/taxas/htms/tx012040.asp 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 69 Algumas taxas 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 70 35

Algumas taxas 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 71 Regulamentação sobre taxas Portaria n 0 14 da Secretaria de Direito Econômico, de 22 de junho de 1998. Lei n 0 8.078/90. (Código do consumidor). Lei da usura - Decreto Lei n 0 22.626 de 7/4/1933. Artigo 192 da Constituição da República Federativa do Brasil. 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 72 36

Todas as vezes que os governos tentam tirar dos ricos para dar aos pobres, os ricos ficam mais ricos e os pobres mais pobres. Abraham Lincoln (1809-1865) 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 73 Relações de Equivalência Relação entre VF e PGTO VF PGTO 0 n VF = PGTO + PGTO (1 + i) 1 + PGTO (1 + i) 2 +... + PGTO (1 + i) n-1 VF = PGTO [1 + (1 + i) 1 + (1 + i) 2 +... + (1 + i) n-1 ] 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 74 37

Relações de Equivalência Relação entre VF e PGTO (1+ i ) VF = PGTO i n 1 PGTO = VF i (1+ i ) n -1 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 75 Relações de Equivalência Relação entre PGTO e VF EXEMPLO II.10 - Quanto deve-se depositar anualmente numa conta a prazo fixo que paga juros de 12% ao ano, para se ter R$ 500.000,00000 daqui a 14 anos? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 76 38

Relações de Equivalência Relação entre PGTO e VF Exercício II.10 i = 12% ao ano VF = 500000 0 1 14 PGTO =? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 77 Séries Infinitas n (1+ i ) 1 VP = PGTO n (1+ i ) i VP = lim n n (1+ i ) PGTO (1+ i ) 1 i n VP = lim n n (1+ i ) PGTO n (1+ i ) i 1 (1+ i ) n i PGTO VP = i 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 78 39

Relações de Equivalência EXEMPLO II.11 - Quanto deverei depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importância anual de R$ 12.000,00 considerando ser a taxa anual de juros igual a 10%? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 79 Relações de Equivalência Séries Perpetuas Exercício II.11 12000 0 1 VP =? i = 10% ao ano VP = PGTO / i VP = 12000 / 0,1 VP = 120000 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 80 40

Relações de Equivalência EXEMPLO II.12 - Qual a menor quantia que um grupo deve cobrar hoje, para dar uma renda anual de R$ 6.000? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 81 Relações de Equivalência Séries Perpetuas Exercício II.12 PGTO = 6000 0 1 VP =? i =? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 82 41

Exemplo extra 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 83 Quais são as opções do financiamento? 0 1 36 0 1 36 500 21,84 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 84 42

500 0 1 36 21,84 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 85 500 VP O que esta faltando? N = 36 0 1 36 21,84 PGTO 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 86 43

i = 2,69% a.m. 500 O que significa a taxa? 0 1 36 21,84 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 87 Exemplo extra 1.499,00 à vista Ou 12 x 124,91 Sem juros Mas, com 15% de desconto: R$ 1.274,15 Qual a verdadeira taxa de juros? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 88 44

Exemplo extra Qual o valor de uma prestação relativa a um financiamento de R$ 1.200,00 para pagamento em 12 parcelas a uma taxa de juros de 3% ao mês? Qual a prestação se a taxa for de 5% ao mês? Qual a prestação se der uma entrada de 400,00? 00? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 89 Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente Equivalência entre Taxas Efetivas VF VF = VP*(1 + i a ) 1 VP 1 ano ou 12 meses VF = VP*(1 + i m ) 12 (1 + i a ) 1 = (1 + i m ) 12 (1 + i a ) = (1 + i sem ) 2 = (1 + i m ) 12 = (1 + i d ) 360 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 90 45

Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente Taxa Nominal O período de capitalização é diferente do expresso na taxa Exemplos: Poupança - 6 % aa com capitalização mensal = 0,5 % am SFH - 12 % aa com capitalização mensal = 1 % am 12 % a.a.c.m. = 12 / 12 meses = 1 % a.m.c.m. = 12,68 % a.a.c.a. Nominal Efetiva Efetiva 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 91 Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente EXEMPLO II.15 - Qual o juro de R$2.000,00 aplicados hoje, no fim de 3 anos, a 20 % ao ano capitalizados mensalmente? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 92 46

Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente Exercício II.15 Calcular os juros VF VP = 2000 3 anos Juros = 1626,26 i = 20% AACM 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 93 Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente Exemplo II.18 - Peço um empréstimo de R$ 1.000,00 ao banco. Cobra-se antecipadamente uma taxa de 15% sobre o valor que é entregue já líquido, e depois de um mês paga-se R$ 1.000,00. Qual a taxa efetiva de juros deste empréstimo? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 94 47

Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente Exercício II.18 Calcular a taxa de juros VP =? 1 mês VF =? 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 95 Taxas Efetiva, Nominal e Equivalente Exercício II.18 Calcular a taxa de juros VP = 850 1 mês VF = VP (1 + i) n VF = 1000 1000 = 850 (1 + i) 1 i = 17,64% a.m. 21/03/2011 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 96 48