Lab. 4 Laboatóio de Resposta em Fequência 1 Análise do Diagama de Bode Constução do Diagama de Bode Diagama de Bode de uma Função Resposta em Fequência Identificação Expeimental da Função Resposta em Fequência Método da Resposta em Fequência Análise do Diagama de Bode Paa constução do diagama de Bode, é conveniente esceve a função esposta em fequência G(j) na foma fatoada, tal como: ( j 11 1)( j 1 1) ( j 1m 1) G( j ) K o ( j 1 1)( j 1 ) ( j n 1) Obseva-se que em (4.1), no caso de não existiem aizes em zeo nos polinômios do numeado e do denominado, K o epesentaá dietamente o ganho de G(j) na fequência ω=0, também conhecido como ganho DC da função esposta em fequência. Uma vez que a metodologia estabelecida paa o taçado do diagama de Bode baseia-se na espostas em fequência de cada um dos temos que compõe (4.1), inteessa-nos analisa o compotamento em fequência das tês classes de temos dadas a segui: 1. K j o (4.). 1 j 1 (4.3) (4.1) 3. j 1 j 1 (4.4) Constução do Diagama de Bode O Matlab possui uma função denominada bode.m paa constui diagamas de Bode. Como paâmetos de entada desta função deve-se passa um veto contendo os coeficientes do numeado da função esposta em fequência e um outo veto contendo os coeficientes do denominado da função esposta em fequência. Exemplo: Considee LTI epesentado pela seguinte função esposta em fequência: 1 Este mateial foi epoduzido pacialmente com base nas notas de aula do cuso Análise de Sistemas de Contole, de autoia dos pofessoes Luís Fenando Alves Peeia e José Felipe Haffne. Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 1
j 10 G( j ) (4.5) ( j 1)( j 100 ) Paa constui o diagama de Bode deste sistema utiliza-se o comando: >> bode(num,den) Onde num = [1 10] é o veto que contém os paâmetos do polinômio do numeado de (4.5), j 10 e den = [1 101 100] é o veto que contém os paâmetos do polinômio do denominado de (4.5), ou seja ( j 1 )( j 100 ) j 101 j 100. Fig. 4.1: Diagama de Bode da função esposta em fequência apesentada em (4.5). Pode-se obseva que a função bode.m poduz automaticamente a escala de fequência em adianos po segundo. Eventualmente pode-se necessita obseva o compotamento da função esposta em fequência em uma escala de fequência mais ampla que a geada automaticamente pela função bode.m. Como a escala de fequência gealmente abange deste valoes muito pequenos até valoes elevados é usual epesentá-la em escala logaítmica. Paa gea o veto de fequências utiliza-se a função logspace.m, ou seja: >> w=logspace(-, 4, 1000); O comando anteio gea o veto w, com 1000 elementos e com a faixa de fequência vaiando de 0.01 ad/s (10 - ) até 10000 ad/s (10 4 ). Sendo assim, os dois pimeios paâmetos da função são os expoentes de dez e o último o númeo de pontos consideado. Utilizando a função bode.m e inseindo o veto de fequência pode-se analisa o diagama de Bode dento da egião especificada (0.01 ad/s até 10000 ad/s), como pode se obsevado na Figua 4.. >> bode(num,den,w) Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia
Fig. 4.: Diagama de Bode da função esposta em fequência (4.5) com a escala de fequência especificada pelo veto w. Além da função bode.m constui o diagama de Bode, ela pode fonece um conjunto de paâmetos de saída que são: mag: epesenta o valo da magnitude da função esposta em fequência paa cada uma das fequências utilizadas paa confecção do diagama de Bode (escala nomal); fase: epesenta o valo da fase da função esposta em fequência paa cada uma das fequências utilizadas paa confecção do diagama de Bode (em gaus); w: epesenta o veto de feqüência utilizado paa gea as cuvas de magnitude e fase. >> [mag, fase, w] = bode(num, den, w); Quando a função bode.m é utilizada na foma mostada acima, ela não gea a figua elativa ao diagama de Bode. Quando é especificada a fequência, o paâmeto de entada e de saída da fequência é o mesmo. Em muitas situações o uso da função bode.m não satisfaz plenamente, e é necessáio constui um scipt paa poduzi o diagama de Bode. O algoitmo deste scipt é: Obs: A função aula4.m, cujo scipt é apesentado no Anexo A, implementa o algoitmo paa contução de diagama de Bodes. 1. Gea o veto de fequência (use logspace.m).. Defini os vetoes num, e den a pati da função esposta em fequência. 3. Gea os dados de magnitude e de fase (use bode.m). 4. Tansfoma a magnitude paa decibéis (use log10.m) >> magdb= 0*log10(mag); 5. Gea o gáfico de magnitude (use semilogx.m) A função semilogx é equivalente a função plot poém utiliza automaticamente uma escala logaítmica no eixo das abscissas. A função.m poduz uma escala logaítmica no gáfico. Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 3
6. Gea o gáfico de fase (use semilogx.m) Constui os gáficos da magnitude e de fase na mesma figua tal como a função bode.m (use o comando subplot) 7. Veifica se o scipt funciona coetamente ( use bode.m) i. Obseva que paa classe de temos (4.3), no ponto de inteseção das assíntotas de baixa e alta fequências, as assíntotas difeem da cuva eal de magnitude em 3.0 db, paa o caso das fequências onde se encontam as aízes do numeado de (4.1) (zeos da função esposta em fequência), e em 3.0 db paa o caso das fequências onde se encontam as aízes do denominado de (4.1) (polos da função esposta em fequência). ii. Obseva paa classe de temos (4.3), que a cuva assintótica tem declividade de 45 o paa 1, e que as cuvas eal e assintótica difeem de +11 o e 11 o paa 0. e 5 espectivamente. iii. Obseva que paa esta classe de temos, fequências uma década abaixo do ponto de queba paticamente não execem influência nas cuvas de magnitude e fase. Fig. 4.3a: Cuva de magnitude assintótica e eal consideando G( j ) 10 j 1. Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 4
Fig. 4.3b: Cuva de fase assintótica e eal consideando G( j ) 10 j 1. A teceia classe de temos epesenta as pacelas da função esposta em fequência compostas po aízes complexas. Paa análise destes temos, algumas infomações seão obtidas da família de cuvas apesentadas na Figua 4.4, obtidas a pati da seguinte função de tansfeência de segunda odem: que pode se convenientemente escita na foma G( j ) (4.6) ( j ) j G( s ) 1 j / j / 1 i. 1 Veifique que em (4.7), na feqüência, G( j ). ii. Detemina a faixa de valoes de coeficiente de amotecimento em que um sinal de entada do tipo u( t ) A sen t, aplicado a (4.7), esultaá em um sinal de saída em 1 (4.7) egime pemanente do tipo y(t ) A sen( t ) com A / A1 1. Utiliza o esquema em Simulink poposto na Figua (4.5). Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 5
Fig. 4.4: Família de cuvas de magnitude e fase de (4.7), consideando pólos complexos, vaiando o coeficiente de amotecimento. Fig. 4.5: Simulação de um sistema de º odem utilizando o Simulink. Identificação Expeimental da Função Resposta em Fequência O método consiste na coleta de dados do pocesso e seu pocessamento. Os dados necessáios consistem da amplitude e fase do sinal de saída do pocesso em elação a um sinal de entada senoidal com amplitude constante e fequência vaiável. Com os dados disponíveis desenha-se o diagama de Bode. Uma vez obtida as caacteísticas da esposta em fequência, a função esposta em fequência do sistema pode se obtida dietamente pela análise dos pontos de queba, das fequências de cote e das declividades dos gáficos de magnitude e fase da função em cada faixa de feqüência. A escolha da fequência de vaedua do sinal de entada deve se compatível com a dinâmica do pocesso. Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 6
Exemplo da Aplicação do Método: Num sistema desconhecido foi levantada a esposta em feqüência, utilizando sinais de 1ad/s até 1000 ad/s. Alguns esultados do teste estão apesentados na Tabela 4.1. Magnitude Fase (gaus) Feqüência (ad/s) 0.1310-10.8498 1.0000 0.0196-04.7406 10.9998 0.0001-4.166 104.8799 0.0000-66.659 1000.0000 Tab. 4.1: Alguns esultados amazenados no aquivo de dados. A função teste.m, cujo scipt é apesentado no Anexo B, implementa todas as etapas ealizadas no pocesso de identificação da função de tansfeência a pati dos dados de magnitude e de fase obtidos empegando o método da esposta em feqüência. 1º Passo : Análise do diagama de Bode do pocesso desconhecido. Veificando o gáfico da fase na Figua 4.5 pode-se obseva a pesença de um pólo duplo ou um pólo complexo na feqüência de 5 ad/s, pois a fase vaia de 0º a 180º em uma década. Fig. 4.6: Diagama de Bode de um pocesso desconhecido. Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 7
No gáfico de magnitude, o pico na cuva de magnitude que ocoe na feqüência de 5.0 ad/s detemina que o polo é complexo e seu fato de amotecimento é calculado com base no valo do efeido pico, isto é G( j ) 1.14 db (4.8) 5.0 ad / s G( j ) 18.59 db (4.9) 1.0 ad / s 10 G 1 5.0 G1.0 / 0 0.4 O pólo complexo pode se epesentado pela seguinte função esposta em fequência G( j ) (4.10) ( j ) j Logo, a pimeia apoximação da função esposta em fequência, sendo c = 5.0 ad/s e =0.4, é dada po: 5 G1( j ) (4.11) ( j ).4 j 5 º Passo: Taça o diagama de Bode ente a difeença dos dados do pocesso e os dados obtidos com a função esposta em fequência apoximada G 1 (jω). Pela análise da Figua 4.7 pecebe-se a existência de um pólo póximo a 90 ad/s. Logo deve-se acecenta um pólo na função esposta em fequência apoximada. A nova função esposta em fequência é a seguinte: 5 90 G ( j ) (4.1) ( j ).4 j 5 j 90 Fig. 4.7: Diagama de Bode ente a difeença dos dados eais e os obtidos atavés de G 1 (jω).. Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 8
3º Passo: Taça o diagama de Bode ente a difeença dos dados do pocesso e os dados obtidos com a função esposta em fequência apoximada G (jω). Pela análise da Figua 4.8 pecebe-se a existência de um pólo póximo a 9.0 ad/s e de um zeo póximo a 30 ad/s. Paa mante o ganho unitáio acescenta-se um fato de 0.30 (9/30). Fig. 4.8: Diagama de Bode ente a difeença dos dados eais e os obtidos atavés de G (jω). Logo deve-se acecenta um pólo e um zeo na função de tansfeência apoximada. A nova função de tansfeência é: 5 90 j 30 G3( j ) 0.3 (4.13) ( j ).4 j 5 j 90 j 9 4º Passo: Taça o diagama de Bode ente a difeença dos dados do pocesso e os dados obtidos com a função de tansfeência apoximada G 3 (jω). Pela análise da Figua 4.9 veifica-se que o eo no gáfico de fase eduziu significativamente, poém existe um eo médio de apoximadamente 19 db (ou 0.11) no gáfico de magnitude. Potanto paa eduzi este eo deve-se ajusta a função esposta em fequência paa 5 90 j 30 G4 ( j ) 0.11 0.3 (4.14) ( j ).4 j 5 j 90 j 9 Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 9
Fig. 4.9: Diagama de Bode ente a difeença do pocesso e G 3 (jω). Reescevendo (4.14) obtém-se 74.5( j 30 ) G4 ( j ) (4.15) ( j 9 )( j 90 )(( j ).4 j 5 ) A Figua 4.10 mosta que o eo ente o pocesso e a função esposta em fequência G 4 (jω) é elativamente pequeno. A Figua 4.11 mosta o diagama de Bode constuido com o os dados do pocesso e com G 4 (jω). Obseva-se que ambas as cuvas são muito semelhantes e pode-se considea G 4 (jω) uma boa apoximação do pocesso. Fig. 4.10: Diagama de Bode do eo ente o sistema e G 4 (jω). Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 10
Fig. 4.11: Diagama de Bode do sistema e da função esposta em fequência G 4 (jω). A título de compaação e validação do método poposto paa a identificação da função esposta em fequência de sistemas LTI, é apesentado na equação (4.16) a função esposta em fequência do sistema 70(s 0) G(s) (4.16) (s 7)(s 70)(s s 5) Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 11
Anexo A Neste anexo são apesentadas as funções do MatLab utilizadas nesta apostila. %1º passo: Constução do veto feqüência. wmin= -; %0.01 ad/s wmax= 3; %1000 ad/s n= 1000; %numeo de pontos do veto feqüência w=logspace(wmin,wmax,n); %º passo: Função de tansfeência. % % s+10 % G(s) = ----------------- % (s+1)(s+100) % num=[1 10]; den=[1 101 100]; %3º passo: Gea os dados de magnitude e de fase. [m,f,w]=bode(num,den,w); %4º passo: 4. Tansfoma a magnitude paa decibéis. mdb=0*log10(m); %5º passo: Gea o gáfico de magnitude figue(1) subplot(,1,1) semilogx(w,mdb) ylabel('magnitude [db]') title('diagama de Bode') axis([0.01 1000-80 0]) % ajusta escala do gáfico %6º passo: Gea o gáfico de fase subplot(,1,) semilogx(w,f,'-w') xlabel('feqüência [ad/s]') ylabel('fase [gaus]') axis([0.01 1000-180 0]) % ajusta escala do gáfico Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 1
Anexo B %1º passo:gea dados do sistema %e plota o diagama de Bode figue(1) b1=conv([1 7],[1 70]); b=conv(b1,[1 5]); a=[70 70*0]; [MAG,PHASE,W]=bode(a,b,1:0.1:1000); MAGdb=0*log10(MAG); magmax=max(magdb); subplot(,1,1) semilogx(w,magdb,'-') title('diagama de Bode') text(10,-1.14,'<--- -1.14') text(0.35, -18.59,'-18.59 --->') ylabel('0log(m)') subplot(,1,) semilogx(w,phase,'-',[5 7],[-100-100],'-',... [7 10],[-100-50],'-') text(10,-50,'5 ad/s') ylabel('fase (gaus)') xlabel('feqüência (ad/s)') %º passo 1º apoximação da FT figue() b1=[1.4 5]; a1=5; [MAG1,PHASE1,W1]=bode(a1,b1,W); MAGdb1=0*log10(MAG1); %magmax=max(magdb); subplot(,1,1) semilogx(w1,magdb-magdb1,... '-',[90 900],[-30-50],'-') text(10,-30,'<--- 0 db/década') title('diagama de Bode') ylabel('0log(m)') subplot(,1,) semilogx(w1,phase-phase1,'-',... [30 300],[-40-85],'-',[10 30],[-40-40],'-',... [300 1000],[-85-85],'-',90,-60,'ok') text(10,-60,'<--- 45º/década') ylabel('fase (gaus)') xlabel('feqüência (ad/s)') %3º passo º apoximação da FT figue(3) b=conv([1 90],b1); a=90*a1; [MAG,PHASE,W]=bode(a,b,W); MAGdb=0*log10(MAG); %magmax=max(magdb); subplot(,1,1) semilogx(w,magdb-magdb,'-',... [1 9 30 1000],[-18.90-18.90-30 -30],'-') text(10,-18.9,'<--- 9 ad/s') text(8,-30,'30 ad/s --->') text(30,-5,'<--- 0db/década') title('diagama de Bode') ylabel('0log(m)') subplot(,1,) semilogx(w,phase-phase,'-') ylabel('fase (gaus)') xlabel('feqüência (ad/s)') %4º passo: 3º apoximação da FT figue(4) b3=conv([1 9],b); a3=a*0.3*[1 30]; [MAG3,PHASE3,W3]=bode(a3,b3,W); MAGdb3=0*log10(MAG3); %magmax=max(magdb); subplot(,1,1) semilogx(w3,magdb-magdb3,'-') title('diagama de Bode') ylabel('0log(m)') subplot(,1,) semilogx(w3,phase-phase3,'-') ylabel('fase (gaus)') xlabel('feqüência (ad/s)') %5º passo: Ajuste do Ganho DC da FT figue(5) b3=conv([1 9],b); a3=a*0.3*0.11*[1 30]; Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 13
[MAG3,PHASE3,W3]=bode(a3,b3,W); MAGdb3=0*log10(MAG3); %magmax=max(magdb); subplot(,1,1) semilogx(w3,magdb-magdb3,'-') title('diagama de Bode') ylabel('0log(m)') subplot(,1,) semilogx(w3,phase-phase3,'-') ylabel('fase (gaus)') xlabel('feqüência (ad/s)') %6º passo: Compaação dos esultados obtidos figue(6) [MAG,PHASE,W]=bode(a,b,1:0.1:1000); [MAG4,PHASE4,W4]=bode(a3,b3,1:0.1:1000); MAGdb=0*log10(MAG); MAGdb4=0*log10(MAG4); subplot(,1,1) semilogx(w,magdb,'-',w4,magdb4,':b') title('diagama de Bode') ylabel('0log(m)') subplot(,1,) semilogx(w,phase,'-',w4,phase4,':b') ylabel('fase (gaus)') xlabel('feqüência (ad/s)') Pofesso: Luís Fenando Alves Peeia 14