1. EXPERIMENTOS FATORIAIS.

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1 Expeimentos Fatoiais 89. EXPERIMENTOS FTORIIS. Nos expeimentos mais simples compaamos tatamentos ou níveis de um único fato, consideando que todos os demais fatoes que possam intefei nos esultados obtidos se mantenham constantes. Po exemplo: quando compaamos tipos de dogas em animais expeimentais, os demais fatoes, como aça, idade, sexo etc. se mantêm constantes, isto é, devem se os mesmos paa todas as dogas estudadas. Entetanto, existem divesos casos em que váios fatoes devem se estudados simultaneamente. Nesses casos, utilizamo-nos dos expeimentos fatoiais, que são aqueles nos quais são estudados, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de fatoes ou tatamentos. Entenda-se po fato uma vaiável independente cujos valoes (níveis do fato são contolados pelo expeimentado. Cada subdivisão de um fato é denominada de nível do fato e os tatamentos nos expeimentos fatoiais consistem de todas as combinações possíveis ente os divesos fatoes nos seus difeentes níveis. Po exemplo: num expeimento fatoial podemos combina doses de um antibiótico com difeentes níveis de vitamina B. Neste caso teemos um fatoial x, com os fatoes ntibióticos ( e Vitamina (V, que ocoem em níveis ( e e níveis (V, V e V, espectivamente, e os x 6 tatamentos são: V V V V V V Outo exemplo: num expeimento fatoial x podemos combina Doses de uma doga (D, D e D, Idades (I e I e teemos x 6 tatamentos, que esultam de todas as combinações possíveis dos níveis dos fatoes, ou seja, D I D I D I D I D I D I Os expeimentos fatoiais não constituem um delineamento expeimental e sim um esquema oientado de desdobamento de gaus de libedade de tatamentos e podem se instalados em qualque um dos delineamentos expeimentais já estudados (DIC, DBC e DQL, po exemplo. Em um expeimento fatoial nos podemos estuda não somente os efeitos dos fatoes individuais, mas também, se o expeimento foi bem conduzido, a inteação ente os fatoes. Paa ilusta o conceito de inteação vamos considea os seguinte exemplo: Suponha que as médias dos x 6 tatamentos deste último exemplo são apesentadas na tabela abaixo: Fato B - Idade Fato - Dose da Doga I 0 I D D 0 5 D 5 5

2 Expeimentos Fatoiais Idade - Fato B b 6 4 Doses da Doga - Fato a Tempo de edução (milisegundos Doses da doga - Fato b 0 Tempo de edução (milisegundos Idade- Fato B Os seguintes aspectos impotantes dos dados na Tabela acima devem se destacados: Paa ambos os níveis do fato B a difeença ente as médias paa quaisque níveis do fato é a mesma; Paa todos os níveis do fato a difeença ente as médias paa os dois níveis de B é a mesma; Uma teceia caacteística é notada po meio do gáfico. Notamos que as cuvas coespondentes aos difeentes níveis de um fato são todas paalelas. Quando os dados da população possuem estas tês caacteísticas listadas acima, dizemos que não existe inteação pesente ente os fatoes. pesença de inteação ente os fatoes pode afeta as caacteísticas dos dados de váias fomas dependendo da natueza da inteação. Vamos ilusta o efeito de um tipo de inteação modificando os dados da tabela apesentada anteiomente a a 0 Fato B - Idade Fato - Dose da Doga I 0 I D D 0 0 D 0 5 Os seguintes aspectos impotantes dos dados na Tabela acima devem se destacados: difeença ente as médias paa qualque dos dois níveis de não é a mesma paa ambos os níveis de B; difeença ente as médias paa ambos os níveis do fato B não é o mesmo nos níveis do fato ; s cuvas dos fatoes não são paalelas, como é mostado nos gáficos abaixo;

3 Expeimentos Fatoiais 9 0 Idade - Fato B 0 8 b 0 8 Doses da Doga - Fato Tempo de edução (milisegundos Tempo de edução (milisegundos a 0 a b 6 a 4 Doses da doga - Fato 4 0 Idade - Fato B Quando os dados da população exibem as caacteísticas exibidas acima, dizemos que existe inteação pesente ente os dois fatoes. Enfatizamos que o tipo de inteação ilustada acima é somente uma das dos muitos tipos de inteação que podem ocoe ente dois fatoes. Em esumo, podemos afima que existe inteação ente dois fatoes se uma modificação em um dos fatoes poduz uma modificação na esposta em um dos níveis do outo fato difeente dos poduzidos nos outos níveis deste fato. s vantagens de um expeimento fatoial são: inteação dos fatoes pode se estudada; Existe uma economia de tempo e de esfoço. Nos expeimentos fatoiais todas as obsevações podem se usadas paa estuda o efeito de cada um dos fatoes investigados. altenativa, quando dois fatoes são investigados, seia o de conduzi dois difeentes expeimentos, cada um paa estuda cada um dos dois fatoes. Se isto é feito, as obsevações somente poduzião infomações sobe um dos fatoes, e o outo expeimento somente foneceá infomação sobe o outo fato. Paa se obte o nível de pecisão dos expeimentos fatoiais, mais unidades expeimentais seiam necessáias se os fatoes fossem estudados po meio de dois expeimentos. Isto mosta que expeimento com dois fatoes é mais econômico que expeimentos com fato. Visto que os váios fatoes são combinados em um expeimento, os esultados têm uma gande amplitude de aplicação.. DEFINIÇÕES INICIIS. Consideemos um expeimento fatoial x, com os fatoes, ntibiótico ( e Vitamina B (B nos níveis: a 0 (sem antibiótico e a (com antibiótico; b 0 (sem Vitamina B e b (com vitamina B, espectivamente, adicionados a uma dieta básica e os seguintes esultados de ganho de peso (g paa os x 4 tatamentos: Fato B Vitamina B Fato - Dose do antibiótico b 0 b Totais a a 5 85 Totais Gaficamente temos:

4 Expeimentos Fatoiais 9 Definições: EFEITO SIMPLES DE UM FTOR: como a medida da vaiação que ocoe com a caacteística em estudo (ganho de peso, neste exemplo coespondente às vaiações nos níveis desse fato, em cada um dos níveis do outo fato. Efeito simples do antibiótico no nível 0 de vitamina B : a b a b 4 8 ( dento de b Efeito simples do antibiótico no nível de vitamina B : a b a b 5 0 ( dento de b 0 Efeito simples da vitamina B no nível 0 de antibiótico : a b a b 4 9 B ( dento de a Efeito simples da vitamina B no nível de antibiótico : a b a b 5 B( dento de a 0 0 EFEITO PRINCIPL DE UM FTOR: é uma medida da vaiação que ocoe com a caacteística em estudo, coespondente às vaiações nos níveis desse fato, em média, de todos os níveis do outo fato. Efeito Efeito pincipal pincipal de de B B ( dento de b0 ( dento de a0 + + B ( dento de b ( dento de a EFEITO D INTERÇÃO ENTRE OS DOIS FTORES: é uma medida da vaiação que ocoe com a caacteística em estudo, coespondente às vaiações nos níveis de um fato, ao passa de um nível a outo do outo fato.

5 Expeimentos Fatoiais 9 ( dento de b ( 0 8 dento de b 0 Efeito da int eação x B 6, ou B( dento de a B( 9 dento de a 0 Efeito da int eação deb x 6, isto é, tanto faz calcula a inteação x B como a inteação B x ainda, s pincipais desvantagens dos expeimentos fatoiais são: O númeo de tatamentos aumenta muito com o aumento do númeo de níveis e de fatoes, tonando paticamente impossível distibuí-los em blocos casualizados, devido à exigência de homogeneidade das pacelas dento de cada bloco. análise estatística é mais tabalhosa (efeitos pincipais e inteação de todos os fatoes e a intepetação dos esultados se tona mais difícil à medida que aumentamos o númeo de níveis e de fatoes no expeimento.. O MODELO MTEMÁTICO O modelo de um expeimento fatoial com dois fatoes, num delineamento inteiamente casualizado com epetições, pode se escito como: y k µ + α + β + ( αβ + ε Sendo: y é a k ésima esposta que ecebeu o nível do fato β ; i j k i ésimo nível do fato α e o µ é uma constante( média comum a todas as obsevações; α i é o efeito do i ésimo nível do fato α com i,..., a; β é o efeito do j ésimo nível do fato β com j,..., b; j αβ é o efeito da int eação do i ésimo nível do fato α com o efeito do j ésimo nível do fato β; ε é o eo exp eimental associado à obsevação y com k,..., k. SUPOSIÇÕES DO MODELO. s suposições associadas ao modelo; s obsevações de cada célula ab constituem uma amosta aleatóia de tamanho etiada de uma população definida pela paticula combinação dos níveis dos dois fatoes; Cada uma das ab populações é nomalmente distibuída; Todas as populações têm a mesma vaiância; ε ~ N( o, σ ; k a e os paâmetos α, β e ( αβ i b a α i β j 0 e ( αβ ( αβ j i i j b j satisfazem as condições 0. Vale obseva que a é o númeo de níveis do fato, b é o númeo de níveis do fato B e é o númeo de epetições de cada um dos ab tatamentos. No total temos ab unidades expeimentais. k j ésimo

6 Expeimentos Fatoiais HIPÓTESES ESTTÍSTICS. s seguintes hipóteses podem se testadas nos expeimentos fatoiais. hipótese de que não existe ou existe inteação B é equivalente às hipóteses H : ( αβ 0 vs H : ( αβ 0 com i,..., a e j,..., b ; 0 B B De maneia análoga as hipóteses de que não existe efeito pincipal do fato e B é a mesma que as hipóteses H0 : α i 0 vs H : α i 0 com i,..., a, H : β 0 vs H : β 0 com j,..., b 0B j espectivamente. B j 5. DETLHES COMPUTCIONIS. pesentaemos alguns passos que facilitam os cálculos das somas de quadados da NOV. Soma de Quadados do Total (SQT a b ( Y+++ ( Y+++ SQT Yk, sendo CM ab ab k i j Soma de Quadados do fato, Yi + + CM ; b Soma de Quadados do fato, B B B Y+ j + CM ; a Soma de Quadados da inteação xb, xb,b--b ou a b xb Y + CM, sendo a,b a soma de quadado i j conjunta, que nos fatoiais com dois fatoes é igual à SQT; Soma de Quadados do Resíduo (SQR SQRSQT--B-xB ou SQR a b k i j Y k Y k + 6. QUDRO D NOV. Calculadas as SQ podemos monta o seguinte Quado da NOV: Fonte de vaiação gl SQ QM F Fato a- QM(/(a- QM(/QMR Fato B b- B QM(BB/(b- QM(B/QMR Int xb (a-(b- xb QM(xB/(a-(b- QM(xB/QMR Tatamentos ab- SQT QMTSQT/ab- QMT/QMR Resíduo ab(- SQR QMR+SQR/ab(- TOTL ab- SQT ;

7 Expeimentos Fatoiais ESTTÍSTIC E REGIÃO CRÍTIC DO TESTE. s estatísticas paa os testes F da NOV são QM( QM( B QM( xb Fc, FcB e FcB, QMR QMR QMR a qual, deve se póximo de se H 0 fo vedadeia, enquanto que valoes gandes dessa estatística são uma indicação de que H 0 é falsa. teoia nos assegua que F c tem, sob H 0 distibuição F Snedeco com (a - e ab(- gaus de libedade no numeado e no denominado, espectivamente. Resumidamente, indicamos: F F, sob H c ~ ( a, ab(, α 0. Rejeitamos H 0 paa o nível de significância α se F >, c F( a, ab(, α sendo, F( a, ab(, α o quantil de odem ( α da distibuição F-Snedeco com (a - e ab(- gaus de libedade no numeado e no denominado De modo análogo temos F cb. Paa a inteação x B a F, sob H cb ~ F( ( a ( b, ab(, α 0 e ejeitamos H 0 paa o nível de significância α se F > F,, cb ( ( a ( b, ab(, α sendo, F( ( a ( b, ab(, α o quantil de odem ( α da distibuição F-Snedeco com (a -(b- e ab(- gaus de libedade no numeado e no denominado espectivamente. 8. EXEMPLO : considee o esquema fatoial x ( dois níveis de antibiótico, dois níveis de vitamina B paa estuda o aumento de peso (Kg diáio em suínos. a 0 sem antibiótico; a com 40 µg de antibiótico b 0 sem vitamina B ; b com 5 mg de vitamina B a 0 a Repetição b 0 b b 0 b,0,6,05,5,9,,00,56,08,9,05,55 Totais,57,66,0 4,6 OBS: neste caso o delineamento expeimental foi o inteiamente casualizado com os tatamentos num esquema fatoial x, com epetições Outa foma de apesentação dos dados Tat. Repetição Totais a 0 b 0,0,9,08,57 a 0 b,6,,9,66 a b 0,05,00,05,0 a b,5,56,55 4,6

8 Expeimentos Fatoiais 96 Calculo das Soma de Quadados: SQT (, 0, 57 SQT , 55, 6 + (, , 55 ( ( (, 0 + 4, 6 + ( 4, 96 ( 4, 96 0, 44; ( ( ( SQR SQT SQT 0, 448 0, 44 0, 094, e então, podemos constui um pimeio quado de análise de vaiância: Fonte de vaiação gl SQ QM F Tatamentos 0,44 0,7 4,5 Resíduo 8 0,094 0,004 TOTL 0,448 0, 448; Como F(, 8; , 59 podemos conclui que pelo menos duas médias de tatamentos difeem significativamente (p<0,0 ente si quanto ao ganho de peso diáio de suínos. continuação da análise pode envolve a compaação das médias dos tatamentos po meio de um dos pocedimentos de compaações múltiplas conhecidos, como os testes de Tukey, Duncan, t-student, Scheffé etc. Uma altenativa de análise mais simples e mais infomativa, está baseada no esquema fatoial dos tatamentos. Utilizando o quado com os totais das combinações dos níveis dos fatoes e B e as fómulas apesentadas anteiomente, podemos constui um novo quado de análise de vaiância que pemitiá testa se existe inteação ente os dois fatoes e se cada um dos fatoes tem efeito significativo sobe o desenvolvimento dos suínos. Quado auxilia com os totais das combinações dos níveis de antibióticos (a 0, a e vitamina B ssim, 7, 7, 7 4, 96 +.(.( 4.( 6, 67 8, 9 4, 96 B + ( ( 4( b 0 b Totais a 0.57,66 7, a,0 4,6 7,7 Totais 6,67 8,9 4,96 0, 0097; 0, 88; xb 0, 44 0, , 88 0, 7. Vale obseva que: SQT + B + xb e que as somas de quadados associadas ao total e ao esíduo pemanecem inalteadas.

9 Expeimentos Fatoiais 97 O novo quado da NOV fica: Fonte de vaiação gl SQ QM F ntibótico ( 0,0097 0,0097 5,7 Vitamina B (B 0,88 0,88 59,6 Int. xb 0,7 0,7 48, Tatamentos ( 0,44 0,7 4,5 Resíduo 8 0,094 0,0067 TOTL 0,448 Da tabela apopiada, temos F (, 8; 0,0 7,59; F (, 8, 0,05 5, ; F (, 8 ; 0,0,6 Compaando os valoes calculados das estatísticas F, podemos conclui que: o teste paa a inteação xb foi significativo (p < 0,0, indicando que o efeito da vitamina B na pesença ou ausência de antibiótico é significativamente difeente..6.5 Níveis de antibiótico a Peso diáio (Kg.4.. a 0..0 b0 b Niveis de vitamina B Gáfico das médias de ganho de peso dos níveis de vitamina B po nível de antibiótico Como a inteação xb esultou significativa (veja o gáfico apesentado acima, as intepetações dos testes dos efeitos simples de ntibiótico ( e de Vitamina B (B pedem o significado. Pecisamos estuda a inteação fazendo os seguintes desdobamentos: a Desdobamento da inteação xb paa estuda o compotamento dos fato dento de cada nível de vitamina B (b 0 e b : dento de b0 ( Y (, , 0 Y+++ ( ( 6, 67 ( 0, 068

10 Expeimentos Fatoiais 98 dento de b ( Y (, , 6 Y+++ ( ( 8, 9 ( 0, 568, ssim, monta-se a seguinte análise de vaiância do desdobamento dos gaus de libedade da inteação x B paa se estuda o efeito do antibiótico no ganho de peso diáio de suínos na ausência e na pesença da vitamina B. F.V. G.L. S.Q. Q.M. F 0,068 0,068 0,0 dento de dento de b 0 0,568 0,568 4,7 b Residuo 8 0,094 0,0067 linha do esíduo é a mesma da NOV anteio. Compaando os valoes calculados da estatística F com o valo tabelado 5 e F, conclui-se que o efeito do fato antibiótico no F(, 8; 0, 05, (, 8; 0, 0, peso diáio de suínos no nível b 0 de vitamina B é significativo (p<0,05 e significativo (p<0,0 no nível b da vitamina B. Ou então, que: Quando se utiliza a dose b 0 de vitamina B existe uma difeença no peso diáio dos suínos. estimativa desta difeença é dado po a b a b, 0, Kg, ( dento de b , E ela é significativa pelo teste F da NOV do desdobamento, indicando que somente o efeito somente do antibiótico pejudica o peso diáio dos suínos. Quando se utiliza a dose b de vitamina B existe uma difeença no peso diáio dos suínos. estimativa desta difeença é dada po a b a b 4, 6, Kg ( dento de b 0, E ela é significativa pelo teste F da NOV do desdobamento, indicando que a combinação dos níveis a do antibiótico e b da vitamina B favoece o peso diáio dos suínos. a Desdobamento da inteação xb paa estuda o compotamento dos fato B dento de cada nível de antibiótico (a 0 e a (peenche os espaços Bdento de a ( Y 0 ( + Y+++ + ( ( Bdento de a ( Y ( + + Y+++ ( (

11 Expeimentos Fatoiais 99 ssim, monta-se a seguinte análise de vaiância do desdobamento dos gaus de libedade da inteação x B paa se estuda o efeito da vitamina B no ganho de peso diáio de suínos na ausência e na pesença de antibiótico: B F.V. G.L. S.Q. Q.M. F dento de a 0 B dento de a Residuo Conclui como no desdobamento anteio Podemos compaa as médias de peso diáio de suínos dos antibióticos, paa cada uma dos níveis de vitamina B, utilizando o Teste de Tukey (a 5%. Paa tanto, calculamos: QMR QMR 0,0067 dms q( a, gl do esíduo: 0, 05 q(, 8 ; 0, 05, 6 0, 40. Quado auxilia com as médias dos antibióticos paa cada um dos níveis da vitamina B, b 0 b a 0.57,66 a,0 B 4,6 B Obs.: médias seguidas pelas mesmas letas maiúsculas, nas colunas, não difeem ente si a 5% de pobabilidade, pelo Teste de Tukey

12 Expeimentos Fatoiais 00 (faze como execício o teste de Tukey a 5%, paa as linhas Notação geal dos totais de um esquema fatoial x oganizados em uma tabela x, do tipo: ( b 0 b Totais a 0 Y + Y + Y + + a Y + Y + Y + + TOTL ++ Y Y s fómulas das Soma de Quadados podem se escitas de uma foma geal: Bibliogafia básica: SQT ( Y SQT ( Y B ( Y ( Y Y+++ ( a( b( ( Y+++ ( a( b( ( Y+++ ( a( b( x B SQT B ( Y+++ ( a( b( VIEIR, S. Estatística expeimental..ed. São Paulo: tlas: p. SMPIO, I.B.M. Estatística aplicada à expeimentação animal. Belo Hoizonte: Fundação de Ensino e Pesquisa em Medicina Veteináia e Zootecnia, 998. p. STEEL, R.G.D., TORRIE, J.H. Pinciples and pocedues of statistics..ed. Nova Yok: McGaw-Hill Book Company, 98. 6p. GILL, J.L. Design and analysis of expeiments in the animal and medical sciences. mes: The Iowa Univesity Pess, 978. Vol. e Vol. MED, R. The designs of expeiments..ed. Cambidge: Univesity Pess p. LIM, C. G. postila de notas de aulas. Faculdade de Zootecnia e Engenhaia de limentos. Depatamento de Ciências Básicas. USP, Piassununga SP. RO, P. V. Statistical Reseach methods in the life science. ITP. US p. ; ;