7 Exemplos Numéricos do Caso Não-Linear

84 7 Exemplos Numéricos do Caso Não- Neste capítulo é apresentada uma série de exemplos numéricos mostrando a influência da não-linearidade da fundação na resposta do sistema, tanto para o caso de resposta simétrica (baixas velocidades), quanto para o caso de resposta assimétrica (altas velocidades), desenvolvendo para isto, um estudo paramétrico similar ao realizado no Capítulo5. 7.. Influência da Não-linearidade da Fundação no Caso simétrico, Para Carga Distribuída Constante Nesta seção analisa-se a influência da não-linearidade da fundação para o caso de velocidades inferiores à velocidade crítica. Apresentam-se na Tabela 7- os parâmetros adimensionais presentes na equação (6.6) que são considerados nos exemplos a seguir. A integração é feita considerando um comprimento de 2.5m a cada lado do centro do carregamento i.e.: L = 2.5m (7.) Tabela 7- Parâmetros adimensionais para análise do comportamento simétrico. Parâmetro Adimensional Símbolo Valor Parâmetro de massa Τ 0.7888 Parâmetro de amortecimento crítico C cr 08.666 Parâmetro de rigidez da β fundação elástica linear 8296.27944 Parâmetro de intensidade de Q carga -.288 Parâmetro de extensão da carga α 0.06096

85 7... Influência do sinal do parâmetro de rigidez não-linear da fundação O sinal positivo ou negativo do parâmetro adimensional de rigidez nãolinear β se reflete respectivamente em um ganho ou perda de rigidez do sistema. A seguir, estuda-se a variação do deslocamento máximo (centro do carregamento) em função da intensidade da carga estática Q para diversos valores de β, sendo estes resultados comparados com o caso linear, i.e., β nulo. 0.04 0.05 Deslocamento vertical máximo 0.0 0.025 0.02 0.05 0.0 NL Não, linear β B=000B = β 0.005 NL Série, β = 500β NL Série4, β = 250β 0 0 400 800 200 600 Q Figura 7. Variação de deslocamento máximo em função da carga para valores positivos de β : ζ = 0, C = 0.05C cr, f = 0, P = 0, ρ = 0, N=5. Na Figura 7., observa-se a variação do deslocamento máximo para valores positivos de β. A flecha máxima decresce à medida que β cresce e o sistema vai se tornando cada vez mais rígido até se tornar insensível a incrementos de β. A Figura 7.2 mostra um comportamento não-linear da relação carga-deslocamento para valores negativos de β. Neste caso a flecha máxima cresce à medida que β cresce, tornando-se o sistema cada vez mais flexível.

86 0.05 0.045 0.04 Deslocamento vertical máximo 0.05 0.0 0.025 0.02 0.05 0.0 0.005 NL, β = 50β Não linear B=000B NL, β = 00β Série NL, β = 50β Série4 0 0 400 800 200 600 Q Q Figura 7.2 Variação de deslocamento máximo em função da carga para valores negativos de β, (ζ=0), C =0.05C cr, f =0, P =0, ρ=0 N=5. Nos próximos exemplos são usados valores negativos de β, já que isto representa o comportamento da maioria dos solos. 7..2. Influência na fase transiente. Analisa-se nesta seção a influência da não-linearidade da fundação na resposta transiente da viga. Considera-se um fator de velocidade baixo, o que garante a simetria na resposta. Deslocamento Vertical Não- t(s) Figura 7. Fase transiente do deslocamento em ζ=0. C = 0.0C cr, f = 20, 8 P = 0, ρ = 0, N = 5 e β = 82.96 x0.

87 A Figura 7. mostra como a consideração de um parâmetro não-linear influencia a fase transiente do movimento. Observam-se no caso não-linear picos maiores que no caso linear. Ambas as respostas são rapidamente amortecidas. No entanto, convergem para valores distintos. Como esperado, o caso não-linear converge para um deslocamento superior ao deslocamento da análise linear, em virtude da perda de rigidez no sistema, conseqüência do sinal negativo de β. 7... Influência na configuração deformada na fase permanente. Na Figura 7.4 é analisada a influência da não-linearidade da fundação no campo dos deslocamentos verticais da viga em coordenadas móveis adimensionais na fase permanente do movimento. Considera-se a presença de força axial e baixa velocidade de deslocamento da carga. 0. Deslocamento vertical Adimensional (x0^) 0-0. -0.2-0. -0.4 -.000-0.500 0.000 0.500.000 ζ Não Figura 7.4 Deslocamentos adimensionais na fase permanente: f = 40, ρ = 0, 8 C = 0.05C cr, P = -.748, N = 5, β = 82.96 x0.

88 Observa-se, como previsto, um incremento nos deslocamentos com respeito à analise linear, com um aumento mais pronunciado no centro do carregamento (ζ=0). Comportamento similar foi encontrado por Nguyem & Duhamel (2008) na sua análise de um trilho de comprimento infinito submetido à ação de uma carga concentrada móvel, usando o método dos elementos finitos e a teoria de Euler- Bernoulli. 7..4. Influência da não-linearidade e da inércia rotacional nos deslocamentos na fase permanente. Estuda-se agora o comportamento do sistema quando, além da nãolinearidade da fundação, é considerada a inércia rotacional. Na Figura 7.5 é mostrada uma comparação entre a configuração da viga na fase permanente para dois valores distintos do parâmetro de inércia rotacional ρ. -0.0 D eslocamento vertical A dimensional (x0^) -0. -0.2-0., ρ=0 NL, ρ=0, ρ=0.04 NL, ρ=0.04-0.4 -.000-0.500 0.000 0.500.000 ζ Figura 7.5 Influência da não-linearidade e da inércia rotacional da viga nos deslocamentos na fase permanente: C = 0.05C cr, f = 40, P = -.748, N = 6 5, β = 82.96 x0.

89 A Figura 7.5 mostra que, tanto para o caso linear como para o não-linear, há um incremento no valor dos deslocamentos à medida que ρ aumenta. A Figura 7.6 mostra a variação do deslocamento máximo para o caso linear e não-linear em função da variação do parâmetro adimensional de inércia rotacional ρ. 0.59 D e s lo c a m e n to v e r tic a l A d im e n s io n a l m á x im o (x 0 ^ ) 0.56 0.5 0.5 0.47 0.44 0.4 0.8 0.5 Nao Diferença (x 0) 0.2 0 0.05 0. 0.5 ρ Figura 7.6 Deslocamento máximo em função de ρ: C = 0.05C cr, f = 40, 8 P = -.748, N = 5, β = 82.96 x0. A Figura 7.6 mostra que, além do incremento no deslocamento máximo, à medida que ρ aumenta, a diferença entre o deslocamento máximo linear e nãolinear cresce de forma exponencial com o aumento de ρ. A curva tracejada mostra a diferença entre os deslocamentos lineares e não-lineares. Na Figura 7.6 a diferença está multiplicada por dez para melhor visualização.

90 7.2. Influência da Não-linearidade da Fundação para Altas Velocidades e Carga Distribuída de Amplitude Constante. Nesta seção é analisada a influência da não-linearidade da fundação para os casos de assimetria na resposta que, como visto na análise linear, corresponde a valores de velocidade próximos ou maiores que velocidade crítica. Também é importante salientar que a configuração do campo dos deslocamentos para essas velocidades tem valores significativos em uma zona mais extensa que no caso de baixas velocidades, onde a deformação da viga é importante em apenas uma zona muito próxima da carga. Em virtude disso, é necessário adotar um trecho de integração maior para conseguir descrever de melhor maneira o comportamento do sistema submetido a altas velocidades da carga móvel. Portanto, nos exemplos analisados nesta seção adota-se o seguinte comprimento de discretização: L=8m (7.2) Definem-se na Tabela 7-2 os parâmetros adimensionais presentes na equação (6.6) que são considerados nos exemplos desta seção. Tabela 7-2 Parâmetros adimensionais para análise do comportamento assimétrico. Parâmetro Adimensional Símbolo Valor Parâmetro de massa Τ.8 Parâmetro de amortecimento C cr crítico 08.666 Parâmetro de rigidez da fundação β elástica linear 869927.948 Parâmetro de rigidez não-linear β -55.67x0 0 da fundação elástica Parâmetro de intensidade de carga Q -69.89 Parâmetro de extensão da carga α 0.0905 Definidos os parâmetros adimensionais é possível agora realizar a análise paramétrica que permita conhecer a influência da não-linearidade da fundação quando se tem altas velocidades. Para isto são usadas as expressões apresentadas no item 6..2.

9 7.2.. Influência da não-linearidade da fundação na configuração deformada da fase permanente Nesta seção é analisada a influência da não-linearidade da fundação no campo dos deslocamentos verticais da viga em coordenadas móveis adimensionais, na fase permanente do movimento. 0.75 D e s lo c a m e n to v e rtic a l A d im e n s io n a l (m /m x 0 ^ ) 0.25 0.25 0-0.25-0.25-0.75 Não -0.5-0.5-0.25 0 0.25 ζ Figura 7.7 Deslocamento vertical adimensional para velocidade crítica: C = 0.04C r, f = 25.25(f = f cr ), P = -5.69, N = 5, ρ = 0. A Figura 7.7 mostra a diferença no campo de deslocamentos verticais obtidos pela análise linear e não-linear para o caso em que a velocidade da carga móvel é igual ao valor crítico linear. Pode-se observar que a influência da nãolinearidade se reflete em um aumento no valor do deslocamento máximo assim como em um ligeiro deslocamento do mesmo para a esquerda. Observa-se também que à esquerda da origem os deslocamentos não-lineares possuem maiores amplitudes de onda que nos deslocamentos lineares.

92 Agora é analisada a influência da não-linearidade da fundação para um valor de velocidade superior ao valor crítico linear, considerando os mesmos parâmetros do exemplo mostrado na Figura 7.7. 0.2 0.5 Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0^) 0. 0.05 0-0.05-0. -0.5 Não -0.2-0.625-0.5-0.75-0.25-0.25 0 0.25 0.25 0.75 0.5 0.625 ζ Figura 7.8 Deslocamento adimensional para velocidade superior à crítica: C = 0.04C cr, f = 25.0 (f =.2 f cr ), P = -5.69, N = 5, ρ = 0. A Figura 7.8 mostra que a não-linearidade adotada, para um fator adimensional de velocidade f =.2f cr, tem pouca influência nos deslocamentos. 7.2.2. Influência da não-linearidade e variação de velocidade Neste item é analisada a influência da não-linearidade da fundação e da velocidade de deslocamento da carga no valor do deslocamento máximo. A Figura 7.9 mostra a variação do deslocamento máximo em função da variação da velocidade, considerando presença de força axial compressiva e a influência da inércia rotacional no sistema. Observa-se que a influência da não-linearidade é importante na zona próxima à velocidade crítica. Para baixas velocidades e para

9 velocidades muito maiores que a crítica, as respostas lineares e não-lineares são praticamente coincidentes. A diferença entre o deslocamento máximo linear e não-linear, indicada pela curva tracejada, reflete tal comportamento. Isto é esperado já que a não-linearidade torna-se mais importante à medida que os deslocamentos vão aumentando. É importante salientar que estes resultados estão condicionados ao coeficiente de rigidez não-linear da fundação usado neste exemplo. Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0^2) 0.0600 0.0500 0.0400 0.000 0.0200 Não Diferença (x0) 0.000 0.0000 5.00 0.00 5.00 20.00 25.00 0.00 5.00 40.00 Figura 7.9 Deslocamento máximo em função da velocidade. C = 0.04C cr, P = -5.69, N = 5, ρ = 0.0. ff 7.. Análise Não- com Carga Harmônica Nesta seção é analisada a influência da não-linearidade da fundação para o caso em que a amplitude da carga varia de forma harmônica com o tempo. A influência de uma carga harmônica foi estudada no caso linear por Kim (2005) e no caso não-linear por Nguyem & Duhamel (2008).

94 Nesta seção é apresentada uma análise paramétrica mostrando a influência da não-linearidade da fundação em conjunto com a freqüência de excitação da carga harmônica, seguindo uma metodologia similar à usada pelos autores acima citados. A análise divide-se em duas partes. Inicialmente considera-se uma carga harmônica estacionária (V = 0), e a seguir, estuda-se o caso de uma carga harmônica movendo-se com uma velocidade constante. O carregamento harmônico na forma adimensional é definido por: α α [ H( ζ + ) H( ζ )] sen( ω ) q( ζ, t) = Q 2 2 t (7.) onde ω é a freqüência circular de excitação da carga dada em rad/s, ou: α α [ H( ζ + ) ( ζ )] q( ζ, t) = Q 2 H 2 sen(2πf.t) (7.4) em que f é a freqüência da excitação da carga. A equação (7.4) define a função adimensional de carregamento que é usada nos exemplos desenvolvidos nesta seção. 7... Análise não-linear com carga harmônica estacionária Para o caso da uma carga harmônica estacionária uniformemente distribuída a resposta é sempre simétrica. Portanto, podem ser usadas as expressões deduzidas no item 6... que correspondem à formulação não-linear considerando simetria nos deslocamentos. Para os exemplos desenvolvidos nesta seção, a integração no espaço é feita considerando L=0m e os parâmetros adimensionais apresentados na Tabela 7-. Tabela 7- Parâmetros adimensionais para análise de carga harmônica estacionária. Parâmetro Adimensional Símbolo Valor Parâmetro de Massa Τ 2.864 Parâmetro de Amortecimento Crítico C cr 08.666 Parâmetro de Rigidez linear da β fundação elástica 22847.5 Parâmetro de Rigidez Não-linear β da fundação elástica -22.8.x0 0 Parâmetro de intensidade de carga Q -722.449 Parâmetro de extensão da carga α 0.0524

95 7... Influência na fase transiente e fase permanente Analisa-se nesta seção a influência da não-linearidade da fundação na resposta transiente e permanente do movimento. Apresenta-se na Figura 7.0 e na Figura 7. respectivamente a fase transiente e permanente da resposta dinâmica da viga. Nestas figuras mostra-se a variação da flecha em ζ = 0 com o tempo. Deslocamento Vertical (m/mx0) Não Figura 7.0 Fase transiente do deslocamento em ζ = 0, C = 0.0C cr, f = 0, P = 0, N = 20, ρ = 0, f = 70 Hz. Observa-se na Figura 7.0 que, tanto na fase transiente linear quanto na fase transiente não-linear, é possível identificar duas freqüências de vibração claramente diferenciadas, uma de período maior que vai amortecendo com o tempo e que depende das propriedades de rigidez do sistema, e outra, de menor período, que depende da freqüência de excitação. Cabe salientar que na fase transiente o período de vibração não-linear é menor que o período correspondente ao caso linear. Isto devido a influência do coeficiente negativo do fator de rigidez

96 não-linear da fundação que torna o sistema mais flexível, portanto com menores freqüências de vibração. Deslocamento Vertical (m/mx0) Não Figura 7. Fase Permanente do deslocamento em ζ = 0: C = 0.0C cr, f = 0, P =0, N = 20, ρ=0, f = 70 Hz. Nas Figuras 7.0 e 7. observa-se o principal efeito da não-linearidade da fundação que é o aumento no valor dos deslocamentos. A Figura 7. mostra que o comprimento das ondas na fase permanente do movimento é de 0.0428s, que, como esperado, coincide com o período da excitação da carga harmônica que tem freqüência de 70 Hz. Comportamento similar foi encontrado por Nguyem & Duhamel (2008). 7...2. Influência da freqüência de excitação nos deslocamentos máximos Analisa-se agora o efeito da não-linearidade da fundação no cálculo dos deslocamentos máximos no sistema quando há variação da freqüência de excitação do carregamento harmônico. São considerados dois valores de inércia rotacional.

97 0.0060 0.0050, ρ=0 Não, ρ=0, ρ=0.04 Não, ρ=0.04 Deslocamento vertical Adimensional (m /m x0) 0.0040 0.000 0.0020 0.000 0.0000 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 00.00 20.00 40.00 60.00 Frequência de Excitação f(hz) Figura 7.2 Variação do deslocamento máximo em função de f: f =0, P = 0, C = 0.05C cr, 0 β = 22.8x. 0 Na Figura 7.2, observa-se que, para o caso em que não é considerada a inércia rotacional, i.e., ρ = 0, à medida que aumenta a freqüência da excitação o valor do deslocamento máximo cresce até atingir um máximo correspondente à freqüência crítica, que, para o caso linear, é de 8Hz. No caso não-linear o pico sofre um pequeno deslocamento para a esquerda, com o máximo deslocamento ocorrendo para 77Hz. Observa-se também, ainda na Figura 7.2, que, quando se considera um raio de giração de ρ = 0.04, o pico de ressonância se desloca para a esquerda, ocorrendo o valor máximo para 6 Hz no caso linear e 59 Hz no caso não-linear. Além disto, há um aumento no valor do deslocamento máximo com respeito ao sistema sem inércia rotacional. Também é observada a existência de um pico de menor valor localizado à direita do pico de maior valor. Isto mostra que, para o valor de fator ρ adotado neste exemplo, a inércia rotacional torna-se importante dando origem a uma segunda freqüência de ressonância. Para altas freqüências os deslocamentos máximos do sistema com ρ=0.04 são menores que para o sistema sem inércia rotacional.

98 7..2. Análise não-linear com carga harmônica móvel Nesta seção é analisado o caso de carga harmônica com velocidade de deslocamento não nula. Neste caso a probabilidade de se ter assimetria nos deslocamentos é maior que no caso de carga de amplitude constante, mesmo para baixas velocidades. Portanto, para os exemplos desenvolvidos nesta seção são usadas as expressões deduzidas no item 6..2., que correspondem à análise nãolinear com assimetria na resposta. A integração no espaço é feita considerando os mesmos parâmetros adimensionais da Tabela 7-. 7..2.. Influência nos deslocamentos para baixas velocidades Nesta seção é analisada a influência da não-linearidade da fundação na configuração do campo dos deslocamentos verticais na fase permanente do movimento, para um valor de tempo no qual acontece maior amplitude (pico da onda), para o caso de carga harmônica com baixa velocidade de deslocamento. Considera-se neste exemplo uma força axial e a inércia rotacional. 0.5 Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0^4) 0-0.5 - -.5 Não -2-0.4-0.2 0 0.2 0.4 ζ Figura 7. Deslocamento vs ζ: C = 0.05C cr, f = 5, P = -8.9, ρ = 0.008, f = 50Hz, t = 0.505s (tempo onde há um máximo de amplitude).

99 Na Figura 7., observa-se que, para uma freqüência de excitação de 50 Hz e fator de velocidade f = 5, a configuração do campo dos deslocamentos da viga já possui assimetria, diferente do sistema submetido a uma carga de amplitude constante, onde, para baixos valores de velocidade, a resposta é simétrica. A influência da não-linearidade considerada para este exemplo se reflete num incremento dos deslocamentos na zona próxima ao deslocamento máximo e próximo às primeiras ondas seguintes ao deslocamento máximo, sendo praticamente imperceptível no resto do domínio analisado. 7..2.2. Influência nos deslocamentos para altas velocidades É analisada neste item a influência da não-linearidade da fundação para o caso de carga de amplitude harmônica com alta velocidade de deslocamento. 0.8 0.4 Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0^4) 0-0.4-0.8 Não -.2 - -0.5 0 0.5 ζ Figura 7.4 Deslocamento vs ζ: C = 0.05C cr, f = 0, P = -8.9, ρ = 0.008, f = 50Hz, t = 0.506s (tempo onde há um máximo de amplitude). A Figura 7.4 mostra a configuração do campo dos deslocamentos verticais na fase permanente do movimento para um valor de tempo no qual acontece maior

00 amplitude. Observa-se que, para uma freqüência de excitação de 50 Hz e fator de velocidade de f = 0, a configuração do campo dos deslocamentos na viga tem uma configuração totalmente assimétrica, similar à configuração do sistema quando a velocidade é superior à velocidade crítica, o que supõe que o valor de f = 0 é superior a f cr. Portanto, o valor de f cr se encontraria entre 5 e 0, havendo uma importante redução no valor do fator de velocidade crítico, f cr, com respeito ao caso de carga de amplitude constante, onde para os mesmos parâmetros adimensionais o valor deste fator de velocidade crítico é de 6. Neste caso a não-linearidade da fundação considerada neste exemplo não tem influência substancial no valor dos deslocamentos, já que estes são praticamente iguais tanto no caso linear quanto no caso não-linear. 7..2.. Influência da velocidade nos deslocamentos máximo A Figura 7.5 mostra a relação entre o deslocamento máximo e a velocidade, considerando inércia rotacional e força axial; para uma freqüência de excitação de 50 Hz. Nesta figura pode ser observado que a não linearidade na fundação aumenta os deslocamentos máximos. Em ambos os casos, linear e não linear, destaca-se a presença de dois picos. O maior deles em torno de f = 70 e outro de menor tamanho para um valor de f em torno de 25. Portanto, identificam-se duas velocidades críticas para este caso, isto pela consideração da inércia rotacional. A consideração da não linearidade de sinal negativo traduz-se em um incremento acentuado no valor dos deslocamentos na vizinhança da primeira velocidade crítica.

0 0.0025 0.002 Deslocamento vertical Adimensional (m/m x0) 0.002 0.009 0.007 0.005 0.00 0.00 0.0009 Não- 0.0007 0.00 50.00 00.00 50.00 200.00 250.00 00.00 50.00 400.00 f x0 Figura 7.5 Deslocamento máximo em função da velocidade: P = -8.9, C = 0.05Ccr, ρ = 0.008, f = 50Hz.