MODELO DO FEIXE DE TUBOS PARA A PERDA DE CARGA EM LEITOS POROSOS A dedução da equação da perda de carga para um meio poroso baseia-se na modelagem do leito poroso como um feixe de tubos capilares paralelos ao fluxo, pelos quais escoa o fluido. Assim, a perda de carga no leito é igual à perda de carga do escoamento em um dos tubos. Perda de carga em tubulações Pode-se definir a força de arraste que um fluido exerce sobre uma superfície sólida como o produto de uma área característica da interface fluido-sólido e da energia cinética que o fluido possui, relativamente ao sólido (Bird, 2004), Nessa equação, f F é conhecido como o fator de atrito de Fanning (1877). No caso de escoamento em uma tubulação circular, a área é a área molhada do tubo, e a força pode ser obtida pelo produto da perda de carga pela área transversal da tubulação. A perda de carga é entendida como a diferença de pressão, descontado o peso da coluna de fluido. A equação fica: Desse modo, a perda de carga pode ser calculada na forma conhecida por equação de Fanning, onde f F é o fator de atrito de Fanning (Rotava, 49, 50): Essa pode ser também deduzida a partir de um balanço de quantidade de movimento para o escoamento em um tubo horizontal, em qualquer regime, considerando a tensão de cisalhamento na superfície interna do tubo, ou a partir do trabalho para vencer a força de arraste sólido-fluido na parede da tubulação. Darcy-Weisbach reescreveram a equação de Fanning, introduzindo o fator de atrito de Darcy-Weisbach (Rotava, 49, 50), de modo a reconstituir na equação o termo de energia cinética do fluido: Observar que o cálculo da perda de carga em tubulações aplica-se para o perfil de velocidades completamente desenvolvido, ou seja, não inclui os efeitos de entrada da tubulação. O desenvolvimento do perfil ocorre na região de entrada, que tem o comprimento para escoamento laminar e para turbulento (Bird, 2004). Perda de carga em tubulações regime laminar
O balanço diferencial de quantidade de movimento para um fluido newtoniano e incompressível (equação de Navier-Stokes) aplicado ao escoamento em uma tubulação, em regime laminar e permanente, devido à diferença de pressão, resulta em um perfil de velocidades que, quando integrado, permite calcular a diferença de pressão necessária para causar o escoamento de velocidade média v: Essa equação é conhecida como equação de Hagen-Poiseuille (1839, 1841). Alternativamente, como, pode-se escrever Notar que v é a velocidade média do escoamento na tubulação e L é o seu comprimento total. Comparando essa expressão com a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga, tem-se que no regime laminar. O regime laminar é válido para. Perda de carga em tubulações regime turbulento Para regime turbulento, utilizam-se equações empíricas para o fator de atrito em tubulações. Nesse regime, a perda de carga é função também da rugosidade da tubulação. Existem diversas equações na literatura, como por exemplo, a equação de Blasius (1931) para tubo liso, Ou a equação de Miller para tubos rugosos, Onde e é a rugosidade do tubo. Note-se que, para altos valores de Re, o fator de atrito torna-se praticamente constante. Perda de carga em tubulações dutos não circulares Em dutos não circulares, utiliza-se a definição de diâmetro hidráulico, Onde A = área transversal ao escoamento P = perímetro molhado da tubulação
Note-se que, para uma seção circular, e, de forma que. Alternativamente, pode-se usar a definição de raio hidráulico, De forma que e para uma seção circular,. Dessa forma, as equações para perda de carga em dutos circulares podem ser utilizadas para dutos não circulares, usando-se o diâmetro hidráulico no lugar do diâmetro da tubulação. A velocidade do escoamento é a velocidade real, correspondente à seção reta real da tubulação. Perda de carga em meios porosos a equação de Darcy Em 1856 Darcy publicou um estudo clássico de percolação de água através de leitos de areia (Darcy, 1856 ap. Sisson e Pitts, 1988), demonstrando que a vazão percolada é proporcional ao gradiente de pressão através do leito e à viscosidade do fluido, Nessa equação, k é a permeabilidade da matriz porosa ( condutividade hidráulica ). Note-se que a perda de carga é diretamente proporcional à velocidade superficial e à viscosidade do fluido, não dependendo da sua densidade. Fluxos que seguem esse modelo são ditos darcynianos (laminares, viscosos, creeping flow). Em 1901 Forchheimer sugeriu que a relação entre e perda de carga e o fluxo através de um meio poroso é melhor descrito por uma função de segundo grau na velocidade (Forchheimer, 1901). O modelo pode ser descrito pela equação seguinte (Hlushkou e Tallarek, 2006), sendo k F o coeficiente inercial: Perda de carga em meios porosos modelo do feixe de tubos. Nesse modelo, a matriz porosa é tida como um feixe de tubos de pequenas dimensões por onde escoa o fluido, de forma que a perda de carga ao longo do leito é igual à perda de carga em um dos tubos: P
Nessa modelagem, assume-se que: o fluxo é dividido em um feixe de tubos capilares os capilares são irregulares com uma área de passagem média as distribuição de partículas no leito é uniforme não existem caminhos preferenciais o diâmetro das partículas que compõe o leito é pequeno em relação ao diâmetro da tubulação a porosidade é constante ao longo do leito, ou seja, não há variações devido à presença das paredes ou efeitos de entrada e saída do leito o diâmetro da tubulação é constante Postula-se que a perda de carga no leito poroso pode ser calculada por uma relação análoga à de Darcy-Weisbach, Onde f t é o fator de atrito para a matriz porosa D v é o diâmetro volumétrico das partículas que compõe o leito u é a velocidade superficial do fluido que atravessa o leito Nessa definição, observa-se que o diâmetro volumétrico da partícula foi assumido como sendo a dimensão característica do sistema. Comparando com a equação de Darcy- Weisbach, Onde f é o fator de atrito para o escoamento em tubulação D h é o diâmetro hidráulico do tubo v é a velocidade linear do escoamento no tubo observa-se que a definição de fator de atrito para a matriz porosa é feita utilizando o comprimento do leito, o diâmetro das partículas e a velocidade superficial. Com essa abordagem, pode-se deduzir uma relação a partir da qual se possa determinar f t a partir de f. Como a perda de carga no leito poroso é igual à perda de carga em um dos tubos, igualando as duas expressões tem-se que: As velocidades superficial e linear estão relacionadas através do conceito de porosidade:
Como a vazão volumétrica que atravessa o sistema é constante, Tem-se que O diâmetro volumétrico da partícula D V é definido como o diâmetro da esfera que tem o mesmo volume da partícula. A superfície específica é a superfície externa da partícula dividida pelo volume da partícula, Para uma única partícula, tem-se que Onde D S é o diâmetro superficial da partícula (diâmetro de uma esfera que tem a mesma superfície externa da partícula). Na última expressão, considerou-se que, para esferas,, de forma que: Também se pode fazer a dedução baseando-se na área superficial por volume total do leito a vt (Sisson e Pits, 682); nesse caso, a área externa total das partículas A T pode ser calculada de duas formas, De forma que
A equação acima pode ser usada quando se dispõe de dados da área específica por volume de leito. O diâmetro hidráulico pode ser relacionado com a porosidade através de sua definição, Nessa expressão, observar que L é o comprimento do leito de partículas e que a área molhada total é considerada como a área externa das partículas. O numerador da expressão é identificado facilmente como a porosidade, O denominador pode ser relacionado com a porosidade usando o conceito de área específica: Dessa forma, o diâmetro hidráulico pode ser calculado por: Usando a relação entre a v e diâmetro volumétrico, chega-se a Substituindo as relações entre velocidade superficial e linear, diâmetro volumétrico e diâmetro hidráulico na relação entre os fatores de atrito, Usando o conceito de área superficial das partículas por volume de leito, chega-se ao mesmo resultado para as duas últimas expressões. Para o regime viscoso (escoamento laminar), o fator de atrito do tubo é calculado por:
Notar que v é a velocidade real, linear no tubo. Já foi visto que expressão para o diâmetro hidráulico, tem-se e com a Porém, como, Substituindo o fator de atrito do tubo na expressão do fator de atrito para a matriz porosa, Com isso, pode-se calcular a perda de carga no leito por: Nessa dedução, é importante observar que a perda de carga passa a ser função da viscosidade do fluido, não é mais função de sua densidade e é diretamente proporcional à velocidade, característicos do regime viscoso (ou laminar, ou de Darcy). Comparando-se os resultados dessa equação com dados experimentais, observou-se que ela prevê perdas de carga abaixo da real. Para corrigir as simplificações da modelagem, principalmente devido ao caminho tortuoso dos capilares, foi introduzida uma constante empírica na equação, no valor de 25/12, de forma que a perda de carga no regime laminar (por unidade de comprimento de leito) pode ser calculada por: Essa equação é conhecida como equação de Blake-Kozeni (1922, 1927). A constante da equação é empírica e pode assumir outros valores, de forma que pode ser genericamente chamada de constante A. Essa equação é válida para regime laminar, onde e (Bird, 2004). Carman (1937) sugeriu que o comprimento real L e dos capilares é maior que o comprimento L do leito, definindo a tortuosidade como (Du Plessis e Woudberg, 2008, pg 2584): Dessa forma, a velocidade real do fluido no capilar é maior que a utilizada na derivação acima, sendo:
A equação de Hagen-Poiseuille generalizada para a perda de carga em um canal de forma arbitrária é k 0 é um fator de forma da seção transversal do capilar, sendo igual a 2 para seção circular (recaindo nesse caso na equação anterior). Utilizando essa equação no modelo derivado acima, observa-se que o fator surge nas equações, o que resulta na perda de carga calculada por: O produto é conhecido como constante de Kozeni, e Carman (1937) propôs um valor médio de 5,0 para essa constante. A tortuosidade foi calculada partindo da suposição de uma inclinação média dos capilares de 45 o, o que resulta em: Observar que o valor estipulado para e para correspondem a um fator de forma dos capilares de k 0 = 2,5. Dessa forma, surge a equação conhecida como de Carman- Kozeni-Blake, Essa equação tem a mesma forma da equação de Blake-Kozeni, com a constante modificada para 180. Na modelagem de Karman, se forem considerados tubos capilares circulares e paralelos ao fluxo (k 0 = 2 e = 1), obtém-se a constante original 72 de Blake- Kozeni, sendo que nesta última o fator 72 foi empiricamente modificado para 150. Note-se que as duas constantes (150 na equação de Blake-Kozeni e 180 na equação de Karman) têm uma componente empírica, de forma que a diferença entre elas explica-se apenas pela diferença no conjunto dos dados experimentais utilizados para obter a constante empírica. Para o regime inercial (turbulento), o fator de atrito em tubulações torna-se independente do número de Reynolds, passando a ser uma constante que depende apenas da rugosidade relativa da tubulação. Assim, Para o valor do fator de fricção em capilares, em regime altamente turbulento, foi sugerido o valor constante de cte=7/3. Usando a equação acima, a perda de carga pode ser calculada por:
Observe-se que a perda de carga, nesse regime, é função da densidade do fluido e não mais de sua viscosidade, e do quadrado da velocidade. Usando o fator de atrito sugerido acima, a constante B torna-se 1,75, resultando na equação conhecida como de Burke-Plummer (1928), válida para : Ao contrário do escoamento em tubulações, onde a transição entre os regimes laminar e turbulento se dá dentro de uma faixa estreita de número de Reynolds, a faixa de transição em um leito poroso é mais ampla (Hlushkou e Tallarek, 2006). Os estudos de Ergun (1952) mostraram que os dados de diversos investigadores são bem representados pela soma das contribuições das perdas de carga nos dois regimes, tem-se uma equação que pode ser aplicada em todos os regimes de escoamento, Esse modelo resulta em uma equação do tipo de Forchheimer conhecida como equação de Ergun. Notar que, em baixas velocidades, o termo u 2 é pequeno e a parte viscosa da equação predomina, enquanto que para altas velocidades, o inverso é verificado. O regime intermediário, onde ambos os efeitos são significativos, é conhecido como regime de Forchheimer (Hlushkou e Tallarek, 2006). Equação de Ergun para partículas irregulares Segundo Bird (2004), para perda de carga em leitos compostos de partículas irregulares, a definição da área específica da partícula é calculada usando o conceito de esfericidade, que é a relação entre a área de uma esfera de mesmo volume que a partícula e a área externa da partícula, Dessa forma, a área específica é calculada como:
Assim, o fator de atrito para a matriz porosa pode ser calculado por: O fator de atrito para o tubo, com essa definição, fica: E o fator de atrito para a matriz porosa torna-se Substituindo na equação da perda de carga do leito, e corrigindo a constante A da equação conforme feito para esferas, tem-se a equação para regime laminar, onde se observa que a diferença é a esfericidade no denominador da expressão, Para o regime turbulento, é feita uma dedução semelhante, utilizando-se o fator de atrito para o tubo com o valor constante de 7/3 e a expressão do diâmetro volumétrico acima. O resultado é: Somando-se a perda de carga para o regime viscoso com a perda de carga para o regime inercial, obtém-se a equação de Ergun adaptada para partículas irregulares, Nessa dedução, a principal diferença em relação a partículas esféricas é o cálculo da área específica a v, onde se utilizou a esfericidade no cálculo da área externa da partícula. Notese que a v é a grandeza principal que faz a ligação entre a expressão assumida para a perda de carga em leitos porosos (onde a dimensão característica do sistema é tomada como o diâmetro da partícula) e a perda de carga em tubulações (onde a dimensão característica é o diâmetro hidráulico da tubulação). As constantes empíricas A e B da equação são iguais às constantes para leitos de esferas.
Deve-se notar também que o produto Dv é igual ao diâmetro superficial-volumétrico Dsv. Dessa forma, a dedução para partículas não esféricas é equivalente a escolher, como dimensão característica do sistema particulado, o diâmetro superficial-volumétrico. Referências: Bird, R. B.; Stewart, W. E.; Lightfoot, E. N. Fenômenos de Transporte. Ed. LTC, 2 a Edição, 2004. Blake, F. C., Trans. Amer. Inst. Chem. Engrs., 14 (1922), 415-421 Blasius, H. Forschungsarbeiten des Ver. Deutsch. Ing. 131 (1931). Burke, S. P.; Plummer, W. B., Ind. Eng. Chem., 20 (1928) 1196-1200 Darcy, L., Les Fontaines publiques de la ville de Dijon, Victor Delmont, Paris, 1856. Hlushkou, D.; Tallarek, U. Transition from creeping via viscous-inertial to turbulent flow in fixed beds. Journal of Chromatography A, 1126 (2006) 70-85 Du Plessis e Woudberg (2008), Pore-scale derivation of the Ergun equation to enhance its adaptability and generalization, CES 63(2008) 2576-2586 Ergun, S., Chem. Eng. Prog., 48 (1952), 89-94. Fanning, J. T., A practical treatise on hydraulic and water supply enginnering. Van Nostrand, Nova York, 1 a Ed. (1877). Forchheimer, P. H., Z. Ver. Deutsch. Ing. 45 (1901) 1782. Hagen, G., Ann. Phys. Chem., 46 (1839) 423-442 Kozeni, J. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. IIa, 136 (1927), 271-306. Poiseuille, J. L., Comptes Rendus, 11 (1841), 961 e 1041 Rotava, O. (2012). Aplicações Práticas em Escoamento de Fluidos, Ed. LTC, 2012. PERDA DE CARGA EM LEITOS POROSOS CONSIDERANDO O EFEITO DA PAREDE Segundo Metha e Hawley (1969), para sistemas onde o diâmetro do leito é pequeno em relação ao diâmetro da partícula (citando a relação 50:1 como o limite), o raio hidráulico do sistema, a ser usado na dedução da equação de Ergun, deve ser calculado incluindo-se a superfície molhada da parede do leito. O raio hidráulico é definido como
A relação entre área externa e volume de uma partícula esférica é: De forma que Da mesma forma, a relação entre a área lateral de um cilindro e o seu volume é: Logo, Substituindo na definição de diâmetro hidráulico, e lembrando que a relação entre o volume de fluido e o do leito é a porosidade, Para um leito infinito tal como é deduzido na equação de Ergun, sem considerar as paredes, o raio hidráulico é calculado como: Comparando as expressões, o raio hidráulico considerando as paredes pode ser escrito como:
De forma que a relação entre o raio hidráulico de um leito infinito e de um leito finito é o parâmetro de correção M, que depende da relação dos diâmetros da coluna e da partícula. À medida que a relação aumenta, M aproxima-se de 1. Para um leito de porosidade 0,4 e relação de diâmetros igual a 50, M = 1,02. Essa definição de raio hidráulico é utilizada pelos autores na dedução da equação de Ergun, resultando no modelo adaptado. Uma dedução semelhante pode ser feita considerando o diâmetro hidráulico. Nesse caso, as equações a serem utilizadas são: Nessa dedução, novamente é assumido que o produto P tubos.l é igual à área externa total das partículas. Já foi visto que Além disso, Substituindo na equação anterior, Comparando com a equação do raio hidráulico, observa-se que, estando consistente com a definição. Adotando o parâmetro de correção M da forma como foi feito para o raio hidráulico, o diâmetro hidráulico pode ser expresso como: Usando essa abordagem, a relação entre o fator de atrito para a matriz porosa e o fator de atrito para um tubo é: O fator de atrito para o tubo, considerando escoamento laminar e a definição de diâmetro hidráulico, pode ser calculado por:
Substituindo, o fator de atrito para a matriz porosa fica: Comparando com a dedução da equação de Ergun para leito infinito, observa-se que a diferença é o termo M 2 multiplicando o fator de atrito. Fazendo uma dedução semelhante para o regime inercial, surge um fator M multiplicando a equação. Dessa forma, a equação de Ergun adaptada para considerar o efeito parede assume a forma final desenvolvida por Mehta e Hawley (1969), Metha, D.; Hawley, M. C. Wall effect in packed columns. Ind. Eng. Process Design and Development 8(2), 280-282(1969).