Mac5796. Aula 4 Walter Mascarenhas 30/03/2011
Resumo Simulação 1 Simulação 2 3
A aula passada: Espaço amostral. Eventos. σ-álgebras. Medida de probabilidade.
A aula de hoje: Passeios aleatórios
Passeio Aleatório: A cada segundo o preço de um ativo sobe um tick ε com probabilidade p ou desce ε com probabilidade q = 1 p. Queremos analisar o que acontecerá nos primeiros N segundos deste processo.
Simulação: Cada realização do passeio aleatório é chamada de caminho. Cada um destes caminhos é um elemento do nosso espaço amostral. Fazer uma simulação é como pensar que o espaço amostral é uma urna e dela escolhemos alguns elementos ao acaso.
Simulação: Especificamos o número N de passos e a probabilidade p de subir. A cada passo k escolhemos um bit ω k {0,1} de modo que {ω k = 1} tenha probabilidade p. Se ω k = 1 subimos, se não descemos.
// Assumindo que N = numero de p a s s o s eh m u l t i p l o de 64 b y t e [ ] randombytes = G e r e B y t e s (N BytesEmP ) ; U I n t 6 4 c o r t e = ( U I n t 6 4 ) ( p Math. Pow ( 2 5 6, BytesEmP ) ) ; U I n t 6 4 [ ] caminho = new U I n t 6 4 [ N / 64 ] ; i n t i b = 0 ; f o r ( i n t i = 0 ; i < N/ 6 4 ; i ++) { U I n t 6 4 u = 0 ; UInt64 b i t = 0x8000000000000000UL ; do { UInt64 n = randombytes [ i b ++]; f o r ( i n t k = 1 ; k < BytesEmP ; k++) { n = ( n << 8) + randombytes [ i b ++]; } i f ( n < p ) { u = s h i f t ; } } w h i l e ( ( b i t >>= 1) > 0 ) ; } caminho [ i ] = u ;
Implementando a função gere bytes C# / Java Random r = new Random ( semente ) ; byte [ ] randombytes = new byte [N BytesEmP ] ; r. N e x t B y t e s ( randombytes ) ; C / C++ i n t nb = N bytesemp ; unsigned char randombytes = ( unsigned char ) malloc ( nb ) ; s r a n d ( semente ) f o r ( i n t i = 0 ; i < nb ; i ++) { randombytes [ i ] = ( u n s i g n e d c h a r ) ( r a n d ( ) >> 4 ) ; } // A f u n c a o r a n d ( ) do v i s u a l s t u d i o ( M i c r o s o f t ) i n t cdecl r a n d ( v o i d ) { _ptiddata ptd = _getptd ( ) ; r e t u r n ( ( ( ptd >_holdrand = ptd >_holdrand 214013L + 2531011 L ) >> 16) & 0 x 7 f f f ) ; }
Implementação da Intel (MKLib) i n t r [ 1 0 0 0 ] ; VSLStreamStatePtr stream ; vslnewstream ( &stream, VSL_BRNG_MT19937, 777 ) ; virnguniformbits (VSL_RNG_METHOD_UNIFORMBITS_STD, stream, 1000, r ) ; vsldel etestream ( &stream ) ;
Modelo probabilístico (Ω, A, P): Ω = espaço amostral. A = σ-álgebra de eventos. P = medida de probabilidade.
Um espaço amostral natural é Ω = {ω = (ω 1,...,ω N ), com ω i = ±1}, o conjunto das N-uplas de uns (sobe) ou menos uns (desce). Ω tem 2 N elementos. Como Ω é finito a σ-álgebra natural é o conjunto de todos os subconjuntos de Ω, que denotamos por 2 Ω. Todos subconjuntos de Ω são eventos.
Medida de probabilidade = modo consistente de atribuir probabilidade a eventos P(Ω) = 1, A A P(A) 0, A n A, A n A m = /0 P ( n N ) A n = P(A n ). n N
Espaço amostral finito ou enumerável Ω = { ω i,i I } onde o conjunto de índices I é igual a {1,2,...,n } ou I = N. Neste caso podemos definir uma medida de probabilidade P através dos números p i = P ({ ω i }). Ou seja, podemos definir P atribuindo probabilidades aos eventos unitários { ω i } : Exemplos? P(A) = p i. ω i A
Dado viciado: podemos atribuir probabilidades p 1,p 2,...,p 6 às faces, desde que p i 0 e p i = 1. A partir dai podemos calcular as probabilidades de todos eventos: P( face par ) = p 2 + p 4 + p 6. P( face > 3) = p 4 + p 5 + p 6.
Experimento: Contar o lançamentos de uma moeda honesta até obter cara. Ω = N = {1,2,...,} onde ω = n representa obter cara pela primeira vez no n-ésimo lançamento. Medida razoável P(n) = 2 n. A = {primeira cara antes do quarto lancamento } P(A) = p 1 + p 2 + p 3 = 7/8. A = {primeira cara em um lancamento par } P(A) = n=1 1 1/4 = 2 2n 1 1/4 = 1 3.
Alerta: Isto NÃO funciona bem para espaços amostrais não enumeráveis. As medidas de probabilidade que consideramos no problema de Bertrand não podem ser definidas deste modo. Os processos de preços em tempo contínuo também não podem ser modelados deste modo.
De volta à Terra. Evolução dos preços nos três primeiros segundos, ou seja, Ω é { ω 1 = (,, ), ω 2 = (,,+), ω 3 = (,+, ), ω 4 = (,+,+), ω 5 = (+,, ), ω 6 = (+,,+), ω 7 = (+,+, ), ω 8 = (+,+,+) } Queremos definir as probabilidades p 1,...,p 8 de modo que os preços subam com probabilidade p e desçam com probabilidade q = 1 p.
{ ω 1 = (,, ), ω 2 = (,,+), ω 3 = (,+, ), ω 4 = (,+,+), ω 5 = (+,, ), ω 6 = (+,,+), ω 7 = (+,+, ), ω 8 = (+,+,+) } Eventos: Preço sobe no primeiro tick: Preço sobe no segundo tick: Preço sobe no terceiro tick: S 1 = { ω 5,ω 6,ω 7,ω 8 }. S 2 = { ω 3,ω 4,ω 7,ω 8 }. S 3 = { ω 2,ω 4,ω 6,ω 8 }.
Condições para a nossa medida: p i 0, P(Ω) = p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 + p 7 + p 8 = 1, P ( S 1) = p 5 + p 6 + p 7 + p 8 = p, P ( S 2) = p 3 + p 4 + p 7 + p 8 = p, P ( S 3) = p 2 + p 4 + p 6 + p 8 = p. 4 equações e 8 incógnitas: sistema indeterminado!! A informação que dispomos não permite identificar o modelo. De volta à prancheta...
Necessitamos de mais hipóteses para definir o modelo probabilístico. A hipótese que leva ao modelo mais simples é a independência. Dado um espaço de probabilidade (Ω,A,P), dizemos que dois eventos A,B A são independentes se Exemplos? P(A B) = P(A)P(B).
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 2 3 Q 5 6 7 8 8 10 J Q K A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K Ao tirar um carta, o evento A é independente do evento : P(A ) = 1 52 = 1 13 1 4 = P(A)P( ). Ao tirarmos duas cartas (sem reposição), o evento P = {K na primeira carta } reduz a probabilidade do evento S = {K na segunda carta }: P(S P) P(P) = 4/52 3/51 4/52 = 3 51 < 4 52 = P(S). Portanto os eventos P e S são dependentes.
Lulão: Espaço Amostral do Lula Corinthians Palmeiras Evento A = bola no campo do Corinthians. Evento B = bola no círculo central. P(A) = 1/2 P(B) = área do círculo / área do campo. P(A B) = (área do círculo/2) / área do campo = (1/2) (área do círculo / área do campo) = P(A)P(B).
Corinthians Palmeiras Evento A = bola no campo do Corinthians. Evento B = bola no círculo central. O conhecimento do lado no qual a bola se encontra (A) não afeta a probabilidade da bola estar no círculo central (B). A observação que a bola está no círculo central (B) não influi na determinação do lado no qual a bola se encontra (A). A e B são independentes.
é um conceito fundamental em probabilidade (e Estatística). Ela é a hipótese fundamental em muitos modelos. A falta de independência no mundo real é o calcanhar de Aquiles de tudo que veremos neste curso. Os modelos falham porque é muito difícil modelar dependência.
Algumas propriedades da independência: Se A é independente de B então B é independente de A. Se A é independente de B então A é independente de B c. Se A é independente de B e C e B C = /0 então A é independente de B C. A independência de A e B e de A e C NÃO implica a independência de A e B C.
A p 1 p 3 p 5 B p 2 p 4 p 6 Diagrama de Venn C p 7 P(A B) = p 3 + p 4 = P(A)P(B) = (p 1 + p 2 + p 3 + p 4 )(p 3 + p 4 + p 5 + p 6 ) P(A C) = p 2 + p 4 = P(A)P(C) = (p 1 + p 2 + p 3 + p 4 )(p 2 + p 4 + p 6 + p 7 ) é o mesmo que p 5 = p 7 = p 3 +p 4 p 1 +p 2 +p 3 +p 4 (p 3 + p 4 + p 6 ) p 2 +p 4 p 1 +p 2 +p 3 +p 4 (p 2 + p 4 + p 6 ) P(A (B C)) = p 4 = (p 1 + p 2 + p 3 + p 4 )(p 4 + p 6 ) = P(A)P(B C).
Por causa deste exemplo, em geral pedimos que A seja independente da σ-álgebra gerada por B e C. Dada uma família F de subconjuntos de Ω, chamamos de σ-álgebra gerada por F a menor σ-álgebra que contém F. Esta σ-álgebra é representada por σ(f). σ(f) representa toda a informação que podemos obter combinando as informações dos elementos de F. Quando F é enumerável esta σ-álgebra é formada recursivamente através de uniões e intersecções de elementos de F.
A B c Ω A A B A c B c B A c B (A B) (A c B c ) A (A c B c ) A A B B A B B (A c B c ) A A c A B c B c (A B c ) (A c B) A c (A B c ) A c B c A c A c B A σ-álgebra gerada por A e B: se sei se ω A e se ω B então sei se ω C para todos C s acima.