TOPOLOGIA GERAL. Mauricio A. Vilches. Departamento de Análise - IME UERJ

TOPOLOGIA GERAL Mauricio A. Vilches Departamento de Análise - IME UERJ

3 PREFÁCIO Provavelmente a Topologia é a mais novas das linhas da Matemática clássica, pois a Topologia aparece no século XV II com o nome de Analyse Situs, isto é análise da posição. Muitos autores concordam que o primeiro a tentar estudar propriedades topológicas foi Leibniz, em 1679. Posteriormente, Euler em 1736 publica a solução do problema das pontes da cidade de Köenigsberg, institulado "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis". As bases da Topologia moderna foram estabelicidas no Congresso Internacional de Matemática de 1909, em Roma, onde Riesz propõe um carater axiomático da Topologia, baseado na teoria dos conjuntos, sem o conceito de distância subjacente. Em 1914, Hausdorff define os conjuntos abertos através de axiomas, sem consideraçãoes métricas. Existem outras vertentes onde a topologia encontrou novos impulsos para seu desenvolvimento, por exemplo, na Análise Funcional e nas Equações Diferenciais Ordinárias, através de Banach e Poincaré, respectivamente. A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença: não interessa a distância, os ângulos nem a configuração dos pontos. Na Topologia, objetos que possam transformar-se em outros, através de funções contínuas reversíveis, são equivalentes e indistinguiveis. Por exemplo, círculos e elipses, esferas e paralelelpípedos. A Topologia é pré-requisito básico em quase todas as áreas da Matemática moderna, da Geometria Diferencial à Álgebra e é fonte atual de efervescente pesquisa. Mauricio A. Vilches Rio de Janeiro

Conteúdo 1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 9 1.1 Introdução.................................... 9 1.2 Topologias e Conjuntos Abertos........................ 9 1.3 Exemplos..................................... 10 1.4 Conjuntos Fechados............................... 14 1.5 Bases....................................... 17 1.6 Sub-bases..................................... 20 1.7 Topologia Relativa............................... 21 1.8 Pontos e Conjuntos Notáveis......................... 24 1.9 Topologia Métrica................................ 31 1.10 Espaços Métricos................................ 31 1.11 Abertos e Fechados em Espaços Métricos.................. 34 1.12 Espaços Vetoriais Normados.......................... 35 1.13 Espaços Vetoriais com Produto Interno.................... 36 1.14 Topologia de Zariski.............................. 37 1.15 Topologia de Zariski em Anéis........................ 38 1.16 Exercícios..................................... 40 2 FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 45 2.1 Introdução.................................... 45 2.2 Funções Contínuas............................... 45 2.3 Continuidade em Espaços Métricos...................... 50 2.4 Topologia Inicial................................. 52 2.5 Topologia Produto............................... 52 2.6 Funções Abertas e Fechadas.......................... 55 2.7 Exercícios..................................... 58 3 HOMEOMORFISMOS 61 3.1 Introdução.................................... 61 3.2 Homeomorfismos................................ 61 3.3 Exemplos de Homeomorfismos........................ 67 3.4 Grupos de Matrizes............................... 74 3.5 Homeomorfismos Locais............................ 76 5

6 CONTEÚDO 3.6 Exercícios..................................... 80 4 TOPOLOGIA QUOCIENTE 83 4.1 Introdução.................................... 83 4.2 Topologia Quociente.............................. 83 4.2.1 Espaço Projetivo Real......................... 84 4.2.2 Faixa de Möebius............................ 85 4.3 Espaços Quocientes............................... 87 4.3.1 O Círculo como Espaço Quociente.................. 87 4.3.2 O Cilindro como Espaço Quociente................. 88 4.3.3 A Faixa de Möebius como Espaço Quociente............ 89 4.3.4 A Esfera como Espaço Quociente................... 90 4.3.5 O Toro como Espaço Quociente.................... 91 4.3.6 A Garrafa de Klein........................... 92 4.3.7 O Cone e Suspensão de um Conjunto................ 93 4.4 Teoremas..................................... 95 4.5 Ações de Grupos................................ 98 4.5.1 Espaço Projetivo Complexo...................... 101 4.6 G-espaços.................................... 101 4.6.1 O Círculo como Z-espaço....................... 104 4.6.2 O Toro como Z Z -espaço...................... 105 4.7 Exercícios..................................... 107 5 COMPACIDADE 111 5.1 Introdução.................................... 111 5.2 Compacidade.................................. 111 5.3 Exemplos..................................... 113 5.4 Propriedades................................... 115 5.5 Compacidade em Espaços Métricos...................... 118 5.6 Exercícios..................................... 122 6 AXIOMAS DE SEPARAÇÃO 125 6.1 Introdução.................................... 125 6.2 Espaços de Kolmogorov............................ 125 6.3 Espaços de Fréchet............................... 126 6.4 Espaços de Hausdorff.............................. 126 6.5 Topologia Quociente.............................. 132 6.6 Homeomorfismos................................ 135 6.7 Variedades Topológicas............................. 139 6.8 Exercícios..................................... 141

CONTEÚDO 7 7 CONEXIDADE 145 7.1 Introdução.................................... 145 7.2 Conexidade................................... 145 7.3 Aplicacões.................................... 150 7.4 Conexidade por Caminhos........................... 152 7.5 Exercícios..................................... 156 Bibliografia 159

8 CONTEÚDO

Capítulo 1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 1.1 Introdução A seguir apresentaremos a definição de Topologia que é, essencialmente, a generalização de algumas das propriedades intrínsecas dos intervalos abertos em R. Se espera do leitor conhecimentos básicos da Teoría de Conjuntos. As notações que utilizaremos, são as usuais da Teoría de Conjuntos. 1.2 Topologias e Conjuntos Abertos Notações Seja X um conjunto não vazio. Denotemos por PX a família de todos os subconjuntos de X e por A c = X A o complementar de A em X. Definição 1.1. Uma topologia sobre X é uma família T PX tal que: 1. X, T. 2. Dada uma família arbitrária {A α T / α Γ}, então: A α T. α Γ 3. Dados B 1, B 2,..., B n T, então: n B i T. i=1 9

10 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Observação 1.1. Em outras palavras, uma topologia é uma família de subconjuntos de X tais que o conjunto vazio e o conjunto X devem pertencer à topologia; a reunião arbitrária de elementos da topologia deve pertencer à topologia e a interseção finita de elementos da topologia deve pertencer à topologia. Definição 1.2. 1. Os elementos de T são ditos conjuntos abertos de X ou simplesmente abertos de X. 2. O par X, T é chamado espaço topológico. 1.3 Exemplos A seguir apresentaremos uma série de exemplos que utilizaremos em todos os capítulos seguintes. [1] Todo conjunto X não vazio possui as seguintes topologias: 1. T ind = {X, }, chamada topologia indiscreta. Logo, os únicos subconjuntos abertos de X são e X. 2. T dis = PX, chamada topologia discreta. Logo, todos os subconjuntos de X são abertos. 3. Se X tem mais de 2 elementos, então: T ind T dis. [2] Seja X = {a, b, c}. Verifiquemos se as seguintes famílias de subconjuntos de X são uma topologia em X. 1. T 1 = {, X, {a}}. 2. T 2 = {, X, {a}, {b}}. 3. T 3 = {, X, {a}, {b}, {a, b}}.

1.3. EXEMPLOS 11 Claramente, T 1 e T 3 são topologias para X. T 2 não é uma topologia em X, pois: {a} {b} / T 2. [3] Seja X = {a, b}. A topologia: T sier = {, X, {a}} é dita de Sierpinski. [4] Seja X = R e definamos a seguinte topologia: T = {, A R}, onde A T se, e somente se para todo x A existe um intervalo aberto a, b tal que: x a, b A. 1. Claramente, R T. 2. Seja {A α T / α Γ}, então: A α T. α Γ De fato, seja x α Γ A α, então existe α 0 Γ tal que x A α0 T; logo, existe a, b e: x a, b A α0 α Γ A α. 3. Sejam B 1, B 2 T; então, dado x B 1 B 2 temos que x B 1 T e x B 2 T, logo existem a 1, b 1 e a 2, b 2 tais que x a 1, b 1 B 1 e x a 2, b 2 B 2. Se denotamos por a = max{a 1, a 2 } e b = min{b 1, b 2 }, temos: x a, b B 1 B 2. n Por indução: Se B 1, B 2,..., B n T, então B i T. i=1

12 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Observação 1.2. Esta topologia é chamada euclidiana ou usual e será denotada por T us. [5] Seja X = R 2 e definamos a seguinte topologia: T = {, A R 2 }, onde A T se, e somente se para todo x, y A existe um retângulo aberto a, b c, d tal que: x, y a, b c, d A. Observação 1.3. De forma análoga ao exemplo anterior, T é uma topologia e é também chamada euclidiana ou usual e será denotada por T us. Não é difícil ver que esta topologia pode ser estendida a R n. [6] Seja R 2 e consideremos a família: T k = {, R 2, G k / k R}, onde: G k = {x, y R 2 / x > y + k}. Então, R 2, T k, é um espaço topológico. 1., R 2 T k, por definição. 2. Seja G k T k tal que k M R: Se M é limitado inferiormente, seja m = inf M, então: G k = G m T k. k M De fato, seja x, y G k ; então, existe k M tal que x, y G k, isto é k M x y > k m; logo, x, y G m e G k G m. k M

1.3. EXEMPLOS 13 Seja x, y G m ; então, x y > m; logo, existe k M tal que x y > k, caso contrário x y seria uma cota inferior de M maior que m; então: G m Se M não é limitado inferiormente, então: k M k M G k. G k = R 2. De fato, seja x, y R 2, então, existe k M tal que x y > k; caso contrário, M seria limitado inferiormente por x y, logo x, y G k. 3. Sejam G k1, G k2 T k e considere k 1 = max{k 1, k 2 }; então, G k1 G k2 e: G k1 G k2 = G k1 T k. [7] Seja X um conjunto não vazio e: T é uma topologia para X. T = {A X / A c é finito ou é X}. 1. Claramente, X e pertencem a T. 2. Seja {A α T / α Γ}; então: A α T. α Γ De fato: A αc = A c α, α Γ α Γ como A c α é finito, a interseção é finita ou é todo X.

14 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 3. Sejam B 1, B 2,..., B n T, então: n c n B i = Bi c, i=1 i=1 a união é finita ou todo X, pois cada conjunto é finito ou todo X. Observação 1.4. Esta topologia é chamada de cofinita e denotada T cof. Se X é finito, então T cof = T dis. Exemplo 1.1. Seja X = R com a topologia T cof. O conjunto, 1 não é aberto nesta topologia, pois seu complementar é [1, + e não é finito nem igual a R. Mas, o conjunto, 1 1, + é aberto. Nesta topologia os abertos são da forma: A = R n {x i / x i R}. i=1 Seja X = R com a topologia T us. Se A R é finito, então A não é aberto. Analogamente em R n. 1.4 Conjuntos Fechados Os conjuntos fechados são os duais dos conjuntos abertos, num espaço topológico. Veremos que a topologia num espaço topológico, também pode ser caracterizada atraves dos conjuntos fechados. Definição 1.3. Seja F X. F é dito fechado em X se F c T. Observação 1.5. Isto é, um conjunto é fechado se, e somente se seu complementar é um conjunto aberto. Exemplo 1.2. [1] X e são fechados em X. [2] Seja X, T sier ; então os fechados de X são, X e {b}. [3] Considere X = {a, b, c} com a T 3 do exemplo [??]. Determinemos os conjuntos fechados de X.

1.4. CONJUNTOS FECHADOS 15 Primeiramente X e são fechados em X. Os conjuntos {a} e {b} não são fechados; de fato: {a} c = {b, c} / T 3 {b} c = {a, c} / T 3. Por outro lado {c}, {a, c} e {b, c} são fechados em X: {c} c = {a, b} T 3 {a, c} c = {b} T 3 {b, c} c = {a} T 3. Teorema 1.1. Seja X, T espaço topológico e F a família de conjuntos fechados; então: 1. X, F. 2. Sejam F 1, F 2,..., F n conjuntos fechados em X; então: n i=1 F i é fechado em X. 3. Sejam F α F, arbitrários tal que α Γ, então: F α F. Prova: A prova é imediata. De fato: α Γ n c F i = i=1 n i=1 α Γ F αc = α Γ F c i T F c α T.

16 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Exemplo 1.3. Seja R, T us ; então todo conjunto finito é fechado. De fato, dado x R, então {x} é fechado em R pois: {x} c =, x x, + ; logo se A = {x 1, x 2,... x n } temos que: A = O exemplo anterior vale em R n. n {x i }. i=1 Observações 1.1. 1. A propriedade de ser aberto ou fechado é independente uma da outra. 2. Um conjunto pode ser simultaneamante fechado e aberto, aberto e não fechado, fechado e não aberto ou nehum dos dois. 3. A união infinita de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado. Por exemplo, para todo subconjunto B X, temos: B = b B {b}. 4. Uma topologia num espaço topológico também pode ser caracterizada, pelos seus conjuntos fechados. Exemplo 1.4. [1] Se X tem a topologia discreta, todo subconjunto de X é aberto e fechado. [2] Seja X = R {0} com a topologia euclidiana; então os conjuntos, 0 e 0, + são abertos. Como cada um deles é complementar do outro, também são fechados. [3] O conjunto Q R não é aberto nem fechado com a topologia usual e nem com a topologia cofinita de R. Definição 1.4. Sejam T 1 e T 2 topologias sobre X. Se T 1 topologia T 2 é mais fina que T 1. T 2, então dizemos que a

1.5. BASES 17 Exemplo 1.5. [1] Em R 2, T cof é menos fina que a T us. De fato, seja A T cof ; então A c é finito; logo A c é fechado em T us e A é aberto em T us. [2] As topologias sobre um conjunto nem sempre podem ser comparadas. Por exemplo: Seja X = {a, b} com as topologias: T 1 = {, {a}, X} e T 2 = {, {b}, X}. então T 1 e T 2 não podem ser comparadas. Para toda topologia T sobre X temos: No exemplo [1], temos: T ind T T dis. T ind T 1 T 3 T dis. 1.5 Bases Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto não é necessário descrever todos os conjuntos abertos da topologia, mas apenas alguns conjuntos especiais, os chamados abertos básicos da topologia. Sejam X, T um espaço topológico e B uma família de subconjuntos de X tal que B T. Definição 1.5. B é uma base para T se para todo A T, temos que: A = B B B. Observações 1.2. 1. Como B T, então toda união de elementos de B também pertence a T. Os elementos de B são ditos abertos básicos da topologia. 2. Se B é uma base de T, dizemos que B gera a topologia T, ou que T é a topologia gerada por B.

18 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 3. Para todo A T existe B B tal que B A. De fato, seja x A; como A T e B é uma base de T, então: A = α Γ B α, onde B α B. Logo, existe α Γ tal que: x B α A. O seguinte teorema é um ótimo critério para verificar se uma família de subconjuntos é uma base. Teorema 1.2. Seja B T. A família B é uma base de T se, e somente se 1. X = B B B. 2. Para todo B 1 B 2 B, se x B 1 B 2, então, existe B B tal que: x B B 1 B 2. Prova : Se B é uma base de alguma topologia T, então X é aberto; logo se escreve como união de abertos básicos. Se B 1, B 2 B, então B 1, B 2 são abertos e B 1 B 2 é aberto; logo se x B 1 B 2, existe um aberto B B tal que x B B 1 B 2. Reciprocamente, se B satisfaz 1. e 2. e se exitir uma topologia que tem B como base, todo aberto nesta topologia pode ser escrito como união arbitrária de elementos de B. Definamos: T = {U X / U é união arbitrária de elementos de B}. Devemos provar que T é uma topologia sobre X. Claramente T; por outro lado X T, pelo ítem 1. Sejam A α T, arbitrários; cada A α = B α,µ, onde B α,µ B; então: µ A = B α,µ = B α,µ T. α µ α,µ Agora consideremos A 1 e A 2 T, então A 1 = α B α e A 2 = µ B µ, então:

1.5. BASES 19 A 1 A 2 = B α B µ = Bα B µ. α,µ α Se x A 1 A 2, existe pelo menos um par de índices α, µ tal que x B α B µ ; por 2. existe B B tal que: x B B α B µ A 1 A 2 ; logo, A 1 A 2 é aberto. O caso geral segue por indução. µ Definição 1.6. Os conjuntos B B tal que x B são chamados vizinhanças do ponto x. Exemplo 1.6. [1] Uma topologia é base de si própria. [2] Para T ind, a base é B = {X}. [3] Para T dis, a base é B = {{x} / x X}. [4] Logo, bases diferentes podem gerar a mesma topologia. [5] Fundamental Seja X = R e a, b R tal que a < b, então: B = {a, b} gera a topologia usual ou euclidiana de R. De fato: 1. R = a<ba, b. 2. Para todo x R, x 1, x + 1 B. 3. Para todo x R tal que x a 1, b 1 a 2, b 2, temos: x a, b a 1, b 1 a 2, b 2, onde a = max{a 1, a 2 } e b = min{b 1, b 2 }.

20 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS [6] Sejam R, B a base da topologia euclidiana e B = {[a, b / a < b}. Suponha que B é uma base. Veja os exercícios. Então estas bases geram topologias diferentes. Seja a, b B; para todo x a, b, existe [x, b B tal que: x [x, b a, b. Por outro lado, dado [x, d B, não existe a, b B tal que: x a, b [x, d. Logo, as bases geram topologias diferentes. 1.6 Sub-bases Seja X, T um espaço topológico e S uma família de subconjuntos de X tal que S T. Definição 1.7. S é uma sub-base de T se a coleção de interseções finitas de elementos de S é uma base de T. Proposição 1.1. Sejam X um cojunto não vazio e S uma família de elementos de X tais que para todo x X existe A S tal que x A. Seja B a coleção de interseções finitas de elementos de S. Então, a família T formada por, X e as uniões arbitrárias de elementos de B é uma topologia para X e é a menor topologia que contém S. Prova : Claramente, X T e toda união de elementos de T pertence a T. Mostraremos que qualquer interseção finita de elementos de T está em T, ou melhor, provaremos que se A, B T, então A B T: Se A ou B é vazio, está provada a proposição. 1. Suponha que A e B são não vazios. Então: A = α A α, B = β B β, onde A α, B β B. Logo: A B = A α B β = Aα B β. α, β α Por outro lado A α e B β são interseções finitas de elementos de S, logo A α B β é uma interseção finita de elementos de S e, A B T. β

1.7. TOPOLOGIA RELATIVA 21 2. Claramente S T. 3. Se T é outra topologia em X que também contém S, então B T ; logo, T deve conter as uniões arbitrárias de elementos B, isto é T T. Então T é a menor topologia sobre X que contém S, isto é, S é uma sub-base de X. Observação 1.6. Em geral S não é uma base de T, pois os elementos de T não podem ser escritos, necessariamente, como uniões de elementos de S. Exemplo 1.7. [1] Toda topologia é sub-base de si mesma. [2] S = {, a, b, + / a, b R} é uma sub-base para a topologia usual de R. [3] S = {, a], [b, + / a, b R} é uma sub-base para a topologia discreta de R. [4] Sejam X, T 1 e Y, T2 espaços topológicos; então: S = {U Y, X V / U T 1, V T 2 } é uma sub-base para a topologia produto em X Y. 1.7 Topologia Relativa Uma questão natural que surge das últimas definições é: fixada uma topologia num conjunto, um subconjunto não vazio herda de alguma forma esta estrutura? Definição 1.8. Seja X, T um espaço topológico e Y X, então: 1. O conjunto: T Y = {A Y / A T}, é uma topologia sobre Y chamada topologia relativa a Y. 2. O par Y, T Y é dito subespaço topológico de X, T.

22 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 3. Os elementos de T Y são ditos abertos relativos. Observação 1.7. Em geral, os abertos relativos não são abertos no espaço total. Veja os exemplos. Exemplo 1.8. [1] Seja R com a topologia usual e consideremos Q R com a topologia relativa, então A = {x Q / 0 < x < 1} é aberto em Q. De fato, pois A = 0, 1 Q e A não é aberto em R. [2] Seja R com a topologia usual. N e Z R são subespacos topológicos tais que a topologia relativa é a topologia discreta. De fato, se n Z então: {n} = Z n 1 2, n + 1 2. [3] Seja R = R {+ } { } com a topologia gerada por: {+ } a, + e { }, a. A topologia T gerada por estes conjuntos é dita topologia estendida. [4] Seja Y = R R com a topologia relativa; então T Y é a topologia euclidiana. Proposição 1.2. Seja Y, T Y subespaço topológico de X, T. 1. Seja B = {B γ / γ Γ} uma base de T; então B Y = {B γ Y / γ Γ} é uma base para B Y. 2. A Y é fechado se, e somente se A = Y F, onde F X é fechado. 3. Se A é fechado aberto em Y e Y é fechado aberto em X, então A é fechado aberto em X. Prova: 1. Imediata.

1.7. TOPOLOGIA RELATIVA 23 2. Se A Y é fechado, então A = Y W, onde W é aberto em Y ; logo W = Y U, onde U é aberto em X; por outro lado: A = Y Y U = Y U c. Reciprocamente, se A = Y F, onde F X é fechado, então: logo, A é fechado em Y. Y A = Y F c ; 3. Como A = Y F e ambos são fechados em X, então A é fechado em X. Exemplo 1.9. [1] Seja R 2 com a topologia usual. O conjunto S 1 = {x, y R 2 / x 2 + y 2 = 1} R 2 com a topologia relativa é dito círculo unitário. Os abertos relativos em S 1 são os arcos abertos de círculos. Figura 1.1: Abertos relativos de S 1 [2] Em geral, seja R n+1 com a topologia usual. O conjunto: S n = {x 1,..., x n, x n+1 R n+1 / n x 2 i = 1} i=1 com a topologia induzida, é chamado esfera unitária.

24 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 1.8 Pontos e Conjuntos Notáveis Nesta seção estudaremos alternativas para determinar se um conjunto é aberto, e/ou fechado. Definições 1.1. Seja X, T um espaço topológico e A X 1. x X é um ponto interior a A se existe U vizinhança de x tal que: x U A. 2. O conjunto de todos os pontos interiores a A é denotado por: A ou IntA. 3. x X é um ponto exterior a A se é interior a A c. O conjunto de todos os pontos exteriores a A é denotado por: Ext A. 4. x X é um ponto aderente a A se para toda vizinhança U de x temos: A U. 5. O conjunto de todos os pontos aderentes a A é denotado por: A. 6. O conjunto A é dito fecho de A.

1.8. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 25 7. x X é um ponto de acumulação de A se para toda vizinhança U de x temos: A {x} U. O conjunto de todos os pontos de acumulação a A é denotado por: A. 8. x X é um ponto da fronteira de A se é aderente a A e a A c. 9. O conjunto de todos os pontos da fronteira de A é denotado por: A. 10. x X é um ponto isolado de A se {x} é vizinhança de x 11. Um conjunto onde todos os pontos são isolados é dito discreto. 12. A X é dito denso em X se: A = X. Observações 1.3. 1. Se A X, então X = A A Ext A, onde as uniões são disjuntas. = e X = X. A A e, por definição, é um conjunto aberto. 2. x / A se, e somente se existe uma vizinhança U de x tal que U A =, isto é: x / A x A c.

26 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 3. Logo, A c = A c = Ext A e como X = A A Ext A, onde as uniões são disjuntas, temos: sendo a união disjunta. A = A A, 4. Para todo A X, o conjunto A é fechado. De fato, A c = A c que é aberto. 5. Para todo A X, temos A A. De fato, se x / A, então existe U vizinhança de x tal que U A =, isto é x U A c ; logo x / A. 6. Para todo A, B X, temos: se A B, então A B. De fato, se x / B, então existe U vizinhança de x tal que U B =, isto é x U B c ; como B c A c, então x / A A. 7. Para todo A X, A é um conjunto fechado, pois: que é aberto: 8. Para todo A X: A c = A A c A =. Exemplo 1.10. [1] Sejam R com a topologia usual e A = 0, 1 {2}; então: A = 0, 1, Ext A =, 0] [1, 2 2, +, A = [0, 1] {2}, A = [0, 1] A = {0} {1}. [2] Sejam N, Z e Q R e R com a topologia usual; então:

1.8. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 27 1. N e Z são discretos. Z = e Z = Z = Z. pode ser formado apenas por racionais. Q =, pois nenhum intervalo aberto 2. Q = R, pois todo intervalo aberto contem racionais e irracionais. 3. Q = R, isto é, Q é denso em R. De fato, suponha que Q R, então existe x R Q. Como R Q é aberto, existe a, b tal que: x a, b R Q. Como todo intervalo contém números racionais, existe q Q tal que: q a, b R Q; logo q R Q, o que é uma contradição. 4. Por outro lado Q = R. Proposição 1.3. Sejam X, T e A X: 1. A é fechado se, e somente se A = A. 2. A = A. Prova : 1. Suponha A fechado; então A c é aberto. Se x / A, então x A c, logo existe U vizinhança de x tal que x U A c ; então U A = isto é x / A; logo A A. A = A se x / A, então existe uma vizinhança U de x tal que U A = se, e somete se x U A c isto é A c é aberto se, e somete se A é fechado. 2. Como A é fechado, pelo ítem anterior A = A.

28 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Teorema 1.3. Seja X, T e A X; então A é o menor conjunto fechado que contem A, isto é: Prova : A = { F / A F e F é fechado }. Se x / { F }, então x { F } c { } = F c que é aberto; logo, existe pelo menos um F c tal que x F c ; como F c é aberto, existe U vizinhança de x tal que x U F c A c ; então U A = ; logo x / A. A é fechado e A A; então:. { F } A. Exemplo 1.11. [1] Seja X, T sier ; então {b} = {b} e {a} = X. [2] Seja X, T onde T é a topologia discreta. Como todos os subconjuntos de X são fechados, o único conjunto denso em X é X. [3] Seja X = {a, b, c, d, e} com a seguinte topologia: Pelo teorema temos que: T = {, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}. {b} = {b, e}, {a, c} = X e {b, d} = {b, c, d, e}. Logo, o menor fechado que contém {b} é {b, e}. Note que {a, c} é denso em X. Teorema 1.4. Sejam X, T e A X; então A é o maior conjunto aberto contido em A, isto é: Prova : A é aberto e A A; então A { U }. A = { U / U A e U é aberto }. Seja x { U }, então existe pelo menos um U tal que x U A, isto é x A.

1.8. PONTOS E CONJUNTOS NOTÁVEIS 29 Proposição 1.4. Sejam X, T e A X. 1. A = A A. Em particular, A é fechado se, e somente se A A. 2. A = A c c. Em particular, A é aberto se, e somente se A = A. Prova : 1. Por definição A A; por outro lado A A, então A A A. Reciprocamente, seja x A. Se x A está provado. Se x / A, então toda vizinhança U de x é tal que U {x} A, isto é, x A. 2. Se U A, então A c U c e os conjuntos abertos U A são exatamente os complementares dos conjuntos F fechados tais que A c F. Pelo teorema anterior: A = { } U / U A e U é aberto = { F c / A c F e F é fechado } { = F c / A c F e F é fechado } c = A c c. Exemplo 1.12. [1] Seja X, T sier ; então: {b} =, {a} = {a}. {b} = e {a} = {b}. {b} = {a} = b. [2] Seja X, T ind ; então: Para todo A X tal que A X, temos que A =. Para todo A X não vazio, A = X. Se A tem mais de um elemento, temos A = X e {x} = {x} c e A = X. [3] Seja X, T dis ; então: Para todo A X temos que: A = A, A = A, A = e A = [4] Seja X, T cof ; então:

30 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Para todo A / T cof temos que A =. Se A é infinito, A = X. Para todo A X tal que A é infinito, A = X e se A é finito, A =. Para todo A X aberto tal que X é infinito, A = X A; caso contrário A = X. [5] Considere R, T cof e A = [0, 1]. Então A = e A = A = A = R. [6] Seja X, T ind ; para todo A X tal que A X, temos que A = X. [7] Seja X, T dis ; para todo A X temos que A =. Proposição 1.5. São equivalentes as seguintes condições: 1. A é denso em X. 2. Se F é fechado e A F, então F = X. 3. Todo aberto básico não vazio de X contém elementos de A. 4. A c =. Prova: 1 2 Se A F, então X = A F = F, logo F = X. 2 3 Seja U aberto básico não vazio tal que U A = ; então A U c X, o que é uma contradição pois U c é fechado. 3 4 Suponha que Int A c ; como Int A c é aberto, então existe U aberto básico não vazio tal que U Int A c ; como Int A c A c, U A c e U A = ; logo U não contém pontos de A. 4 1 c A c A = c c = A c =. Logo, A = X. Seja Y subespaço de X e denotemos por A Y o conjunto A como subconjunto de Y ; então: 1. A Y = A Y.

1.9. TOPOLOGIA MÉTRICA 31 2. A Y = A Y. 3. A Y = A Y. Exemplo 1.13. Seja R com a topologia usual e Y = [0, 1 1, 3 {5} com a topologia relativa. Então: 1, 3 = 1, 3 Y ; por outro lado, 1, 3 = [1, 3] Y ; logo 1, 3 é aberto e fechado em Y. Logo, 1, 3 Y = 1, 3 Y = 1, 3. [0, 1 = [0, 1] Y ; logo [0, 1 é fechado em Y. Logo, [0, 1 Y = 0, 1. 1.9 Topologia Métrica Uma importante classe de exemplos de espaços topológicos é a dos espaços métricos. 1.10 Espaços Métricos Seja um conjunto M. Definição 1.9. Uma métrica ou distância sobre M é uma função: d : M M R, tal que, para todo x, y, z M, tem-se: 1. dx, y 0 e dx, y = 0 se, e somente se x = y. 2. Simetria: dx, y = dy, x. 3. Desigualdade triangular: dx, z dx, y + dy, z. 4. O par M, d é chamado espaço métrico.

32 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Exemplo 1.14. [1] M, d é um espaço métrico com a métrica: { 0 se x y dx, y = 1 se x = y. d é dita métrica discreta. [2] N, d é uma espaço métrico com a métrica: 0 se n = m dn, m = 1 + n + m se n m. n m Só devemos verificar a desigualdade triangular. Para todo n, m, k N tais que n m k: dn, m = 1 + n + m n m = 1 + 1 m + 1 n 2 + 1 n + 1 k + 1 m + 1 k dn, k + dk, m. [3] R, d é uma espaço métrico com dx, y = x y, onde é o valor absoluto em R. [4] R n como espaço métrico. Em R n podemos definir as seguintes métricas: d 1 x, y = n x i y i 2, i=1 d 2 x, y = n x i y i, i=1 d 3 x, y = max 1 i n x i y i, onde x = x 1, x 2,..., x n e y = y 1, y 2,..., y n R n. As provas que d 1 e d 2 são métricas são imediatas. Por outro lado, a desigualdade triangular para d 3 segue de: x i z i x i y i + y i z i d 3 x, y + d 3 y, z.

1.10. ESPAÇOS MÉTRICOS 33 [5] Seja BM, R o conjunto de todas as funções limitadas f : M R. Como a soma e a diferença de funções limitadas é limitada, então: df, g = sup fx gx, x M é uma métrica em BM, R. A única propriedade não trivial é a desiguldade triangular. Seja x M, utilizando a desigualdade triangular em R,. Para todo x M temos: fx hx fx gx + gx hx, então: fx hx fx gx + gx hx sup fx gx + sup gx ghx x M x M df, g + dg, h. Considerando o supremo em ambos os lados na última desigualdade, temos que: df, h df, g + dg, h. Pois, o lado direito da desiguldade não depende de x M. Definição 1.10. Sejam M 1, d 1 e M 2, d 2 espaços méricos. f : M 1 M 2 é uma isometria se é bijetiva e: d 2 fx, fy = d 1 x, y, para todo x, y M 1. Exemplo 1.15. [1] Seja R com a distância usual e f : R R definida por fx = x/2. A função f é bijetiva, por outro lado: fx fy = 1/2 x y. Logo, não é uma isometria. [2] Sejam R n, d 1, a R n e T a : R n R n definida por T a v = v + a, então f é uma isometria. De fato, T a é claramente bijetiva, e:

34 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS d 1 T a x, T a y = d 1 v + a, w + a = n x i a i y i a i 2 i=1 = n x i y i 2 = d 1 x, y. Se mudamos para as outras métricas de R n, f é isometria? i=1 1.11 Abertos e Fechados em Espaços Métricos Seja M, d um espaço métrico e r R tal que r > 0. Definição 1.11. Uma bola aberta em M de centro x 0 e raio r é denotada e definida por: Bx 0, r = {x M / dx, x 0 < r}. Definimos Bx, 0 =. Se r s, então Bx 0, r Bx 0, s. Exemplo 1.16. [1] Seja M = R, com d = ; então: Bx 0, r = x 0 r, x 0 + r; isto é, as bolas abertas são os intervalos abertos. [2] Seja M = R, com d 1 ; então: Bx 0, y 0, r = {x, y / x x 0 2 + y y 0 2 < r 2 }; isto é, um disco aberto centrado em x 0, y 0. Proposição 1.6. As bolas abertas num espaço métrico formam uma base para uma topologia no espaço métrico. Prova : 1. Claramente: M = Bx, 1. x M 2. Seja z Bx, r x By, r y ; seja r = min{r x dx, z, r y dy, z}; então

1.12. ESPAÇOS VETORIAIS NORMADOS 35 Bz, r Bx, r x By, r y. De fato, r > 0 e se w Bz, r; temos: dw, x dw, z + dz, x < r + dz, x r x dz, x + dz, x = r x ; logo, w Bx, r x. De forma análoga, w By, r y. Observação 1.8. A topologia gerada por esta base é chamada topologia métrica gerada pela distância d, e será denotada por T d. Definição 1.12. O espaço topológico X, T é dito metrizável se T é uma topologia métrica. Exemplo 1.17. [1] Seja M, d, onde d é a métrica discreta; então Bx, 1/2 = {x}; logo T d é a topologia discreta. [2] Se X possui mais de 2 pontos, X, T ind não é metrizável. Proposição 1.7. Sejam M, d um espaço métrico, y 0 M e = A M. Definamos a distância entre o ponto y 0 é o conjunto A por: dy 0, A = inf{dy 0, x / x A}. Então, dy, A = 0 se, e somente se y A. Logo, A = {y / dy, A = 0}. Prova : Se y A se, e somente se existe By, r tal que By, r A se, e somente se existe a r A tal que dy, a r < r se, e somente se existe dy, A = 0. 1.12 Espaços Vetoriais Normados Seja V um R-espaço vetorial. Definição 1.13. Uma norma sobre V é uma função: : V V R, tal que, para todo x, y V e λ R, tem-se:

36 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 1. Se x 0, então x 0. 2. λ x = λ x. 3. x + y x + y. O par E, é chamado espaço vetorial normado. Exemplo 1.18. [1] R n, i é um espaço vetorial normado com as seguintes normas: onde x = x 1, x 2,..., x n R n. x 1 = n x 2 i, x 2 = [2] BM, R é um espaço vetorial, sendo: uma norma em BM, R. i=1 n x i, i=1 x 3 = max 1 i n x i, f = sup fx, x M Seja E, um espaço vetorial normado. Definindo: d x, y = x y, temos que E, d é um espaço métrico. d é chamada métrica proveniente da norma. 1.13 Espaços Vetoriais com Produto Interno Seja V um R-espaço vetorial. Definição 1.14. Um produto interno sobre V é uma função: < >: V V R, tal que, para todo x, y, z V e λ R, tem-se:

1.14. TOPOLOGIA DE ZARISKI 37 1. Se x 0, então < x, x >> 0. 2. < λ x, y >= λ < x, y >. 3. < x, y >=< y, x >. 4. < x + y, z >=< x, z > + < y, z >. Seja E, < > um espaço vetorial com produto interno. Definindo: x = < x, x >, temos que E, é um espaço vetorial normado. é chamada norma proveniente do produto interno < >. Nem toda norma num espaço vetorial provém de um produto interno. 1.14 Topologia de Zariski A topologia de Zariski é fundamental para o estudo de diferentes áreas da Álgebra, como por exemplo, Álgebra Comutativa e Geometria Algébrica. Seja K = R ou C. Consideremos a família dos polinômios de n-variáveis em K. Isto é: e seja: {f i / f i K[x 1, x 2,,..., x n ], i I}. Zf i = {x K n / f i x = 0, i I}. Exemplo 1.19. [1] Se fx, y = x 2 + y 2 1, então Zf = S 1. [2] Note que Zcte = e Z0 = K. Sejam Zf i e Zg j. Denotemos h ij = f i g j K[x 1, x 2,,..., x n ] tal que i I e j J. Afirmamos que: Zf i Zg j = Zf i g j.

38 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS De fato, se h ij x = 0 para todo i I e j J, então: 0 = h ij x = f i g j x = fi x g j x para todo i I e j J; logo f i x = 0 para todo i I ou g j x = 0 para todo j J. Denotemos por: Df i = Zf i c e B = {Df i / i I}. Observação 1.9. A família B forma uma base para uma topologia em K n. Definição 1.15. A topologia que gera B em K n é chamada de Zariski. Os Zf i são os fechados na topologia de Zariski. Em R, a topologia de Zariski é a topologia cofinita. De fato, todo subconjunto finito em R é conjunto solução para algum polinômio de uma variável real. Por exemplo, se R = {r 1, r 2,..., r n }, então: fx = x r 1 x r 2... x r n é um polinômio que tem como conjunto solução R. Por outro lado o conjunto de soluções de um polinômio de uma variável de grau n possui no máximo n elementos. Se n > 1 a topologia de Zariski não é a cofinita. Por exemplo, a reta y = 1 é solução do polinômio fx, y = x 1 que não é um conjunto finito em R 2. 1.15 Topologia de Zariski em Anéis Seja A um anel e denotemos por SpecA o conjunto de todos os ideais primos de A. Consideremos a seguinte família de subconjuntos: onde I é um ideal de A. V I = {p / p SpecA, I p}, 1. V 0 = SpecA e V A =. Por outro lado: V I V J = V IJ V I α = V I α α Γ α Γ

1.15. TOPOLOGIA DE ZARISKI EM ANÉIS 39 2. Definimos sobre SpecA a topologia de Zariski, como a topologia que tem como conjuntos fechados os V I. 3. Se denotamos por DI = SpecA V I os abertos da topologia de Zariski, é possível provar que se I é um ideal principal, a base para a topologia de Zariski é: B = {DI / I é um ideal principal}.

40 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 1.16 Exercícios 1. Quantas topologias podem ser definidas no conjunto X = {a, b, c, d}? 2. Verifique a família: onde: T n = {, N, A n / n N}, é uma topologia em N. A n = {1, 2, 3,..., n} 3. Seja X, T. Se para todo x X, {x} T, verifique que T = T dis. 4. Seja X, T e Y = X {a}, a / X. Defina: Y, TY é um espaço topológico? TY = {U {a} / U T}. 5. Seja X com a topologia cofinita. Verifique que os fechados de X são X, e os subconjuntos finitos de X. 6. Ache exemplo de um espaço topológico em que os conjuntos abertos são também conjuntos fechados. Não considere a topologia discreta ou a indiscreta. 7. Sejam T 1 e T 2 duas topologias sobre o conjunto não vazio X. Considere: a T 1 T 2 a família formada por abertos comuns a ambas as topologias. b T 1 T 2 a família formada pela reunião dos abertos a ambas as topologias. As famílias definidas são topologias sobre X? No caso negativo, ache um contraexemplo.

1.16. EXERCÍCIOS 41 8. Seja X = R e a, b R tal que a < b. Verifique que: B = {[a, b} gera a topologia chamada do limite inferior em R e é denotada por T linf. 9. Seja X = R e a, b Q tal que a < b. Então: B = {a, b} gera a topologia usual de R? Determine 0, 2 e 1, 2, nesta topologia. 10. Sejam X, T 1 e Y, T2 espaços topológicos. Verifique que: B = {U V / U T 1, V T 2 } é uma base para uma topologia de X Y. Esta topologia é chamada produto. 11. Se a, b, c, d R e B = {a, b c, d / a < b, c < d}. Verifique que B é uma base para a topologia usual em R 2. 12. Seja X = {1, 2, 3, 4, 5}. Verifique que não existe nenhuma topologia em X que tenha como base: B = {{1, 2}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}}. 13. Seja X = {a, b, c, d, e, f} com a seguinte topologia: Verifique que: T = {, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f}}. B = {{a}, {c, d}, {b, c, d, e, f}} é uma base para T. 14. Verifique que B = {[a, b] / a, b R} é uma base para a topologia discreta em R. 15. Seja X, T e A X. Verifique que: a A A, se e somente se A é fechado.

42 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS b A =, se e somente se A é aberto e fechado. c A A =, se e somente se A é aberto. 16. Seja p X e defina a seguinte topologia em X: T = {, A PX / p A}. Verifique que T é uma topologia e que {p} é denso em X. 17. Verifique que A = X A c 18. Seja A = {p + q 2 /, p, q Z}. O conjunto A é denso em R? 19. Seja X um espaço topologico, A X é dito totalmente não denso em X se Int A =. Considere R com a topologia usual: a Verifique que Z é totalmente não denso em R. b Verifique que { 1 / n N} é totalmente não denso em R. n c Seja A X aberto, A é totalmente não denso em X? 20. Verifique se são métricas: a d 1 x, y = x y 2 ; x, y R. b d 2 x, y = e x y ; x, y R. c d 3 x, y = x 3 y 3 ; x, y R. x y d d 4 x, y = ; x, y R. 1 + x y Nos casos afirmativos, descreva os abertos. 21. Verifique que em R n, temos: d 3 d 1 d 2 n d 3. 22. Seja C 0 [a, b] o conjunto das funções contínuas f : [a, b] R. Defina: b d 1 f, g = fx gx dx a b d 2 f, g = a fx gx 2 dx Verifique que d 1 e d 2 são métricas em C 0 [a, b].

1.16. EXERCÍCIOS 43 23. Determine a topologia definida pela métrica discreta. 24. Determine, geometricamente, as bolas abertas em R n com as métricas definidas anteriormente. 25. Seja M, d um espaço métrico: a Seja r > 0 e: B[x 0, r] = {x M / dx, x 0 r}. Verifique que B[x 0, r] é um conjunto fechado. b Seja F M finito. Verifique que F é fechado. 26. Seja M, d um espaço métrico. Defina: onde k R {0}. a Verifique se d 1, d 2 e d 3 são métricas. d 1 = k d, d 2 = d + k e d 3 = d/k, b Verifique se d 1, d 2 e d 3 geram a mesma topologia. 27. Seja M, d um espaço métrico. Defina: a Verifique d 1 é uma métrica. d 1 x, y = dx, y 1 + dx, y. b Verifique que d 1 e d geram a mesma topologia. 28. Se f é uma isometria, então f 1 é uma isometria? 29. Sejam M, d 1 e N, d2 espaços métricos. Definamos em M N: dx 1, y 1, x 2, y 2 = d 1 x 1, x 2 + d 2 y 1, y 2, onde x 1, y 1, x 2, y 2 M N. Verifique que d é uma métrica em M N. Esta métrica é dita métrica produto. 30. Se B 1 x, r é uma bola aberta em M e B 2 y, s é uma bola aberta em N, então: B = {B 1 x, r B 2 y, s}, é uma base para uma topologia em M N.

44 CAPÍTULO 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 31. Sejam x = x n uma seqüência em R e: n N a l p = {x / x n p < + }, 1 p < +. n=1 b l = {x / sup{x n / n N} < + }. Definamos em l p e em l, respectivamente: [ ] 1/p x p = x n p n=1 x = sup n N { x n }. Verifique que l p, p e l, são espaços vetoriais normados. 32. Sejam E, 1 e F, 2 espaços vetoriais normados. Definamos em E F : u, v = u 1 + v 2, onde u, v E F. Verifique que é uma norma em E F. Esta norma é dita norma produto. 33. Sejam x = x n n N uma seqüência em R e considere lp e l como no exercício [31]: 34. Verifique se l p, p e l, são espaços vetoriais com produto interno. 35. Sejam V 1 e V 2 espaços vetoriais com produtos internos <, > 1 e <, > 2, respectivamente. Definamos em V 1 V 2 : < u 1, v 1, u 2, v 2 >=< u 1, u 2 > 1 + < v 1, v 2 > 2, onde u 1, v 1, u 2, v 2 V 1 V 2. Verifique que <, > é um produto interno em V 1 V 2.

Capítulo 2 FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 2.1 Introdução A continuidade de uma função é um dos conceitos centrais em quase todas as áreas da Matemática. E é o primeiro passo para tentar distinguir objetos diferentes em Topologia. 2.2 Funções Contínuas Sejam X, T 1 e Y, T2 espaços topológicos. Definição 2.1. A função f : X Y é contínua se para todo V T 2 temos que: f 1 V T 1. Logo, f é contínua se a imagem inversa dos abertos de Y são abertos em X. Observação 2.1. Uma função contínua não leva, necessariamente, abertos em abertos. Por exemplo se Y, T 2 é tal que T2 não é a topologia discreta, ou se Y tem mais de dois elementos e T 2 não é a topologia indiscreta. Exemplo 2.1. [1] Toda função constante é contínua. De fato, seja f : X Y tal que fx = y 0 para todo x X e V Y aberto, então: f 1 V { X se y 0 V = se y 0 / V. 45

46 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Em ambos os casos f 1 V é aberto, logo f contínua. [2] Seja X tal que T 1 e T 2 são topologias em X. A função identidade: id : X, T 1 X, T2 é contínua se, e somente se T 2 T 1. De fato, considere X = R, T us e Y = R, Tlinf, então: id 1 [a, b = [a, b / T us. [3] Sejam X, T e Y, T ind. Toda função f : X Y é contínua. [4] Sejam X, T dis e Y, T. Toda função f : X Y é contínua. Proposição 2.1. Seja Y X. A topologia relativa T Y menor topologia sobre Y tal que a função inclusão: pode ser caracterizada como a é contínua. i : Y X Prova: De fato, se U T, a continuidade de i implica em que i 1 U = U Y deve ser aberto em Y ; logo qualquer topologia onde i for contínua deve conter T Y. Proposição 2.2. Sejam X, T 1, Y, T2 e Z, T3 espaços topológicos. 1. Se f : X Y e g : Y Z são contínuas, então: g f : X Z é contínua.

2.2. FUNÇÕES CONTÍNUAS 47 2. Se f : X Y é contínua e A X é subespaço topológico, então: é contínua. f A : A Y 3. Se f : X Y é contínua e f X Y é subespaço topológico, então: Prova : é contínua. f : X f X 1. Segue do seguinte fato: g f 1 = f 1 g 1 2. Note que f A = f i, onde i : A X é a inclusão; pelo ítem anterior f A é contínua. 3. f 1 V f X = f 1 V f 1 f X = f 1 V. Teorema 2.1. Sejam X, T 1 e Y, T2 espaços topológicos e f : X Y. As seguintes condições são equivalentes: 1. f é contínua. 2. Para todo F Y fechado, f 1 F é fechado em X. 3. A imagem inversa por f de qualquer elemento da base subbase de Y é aberto em X não necessariamente um aberto básico ou subbásico de X. 4. Para todo x X e para toda W vizinhança de fx em Y, existe U vizinhança de x em X tal que: f U W. 5. f A f A, para todo A X.

48 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 6. f 1 B f 1 B, para todo B Y. Prova : 1 2 De fato, f 1 Y A = X f 1 A, para todo A Y. 1 3 Seja B uma base da topologia de Y e B B; como f é contínua, f 1 B é aberto em X. A prova da recíproca segue de que todo aberto V T 2 pode ser escrito como: V = α Γ B α, e que: f 1 B α = f 1 B α. α Γ α Γ 1 4 Como f contínua e W é aberto é vizinhança de fx, consideramos o conjunto U = f 1 W que é vizinhança de x e: f U W. 4 5 Seja A X e x A; provaremos que fx f A. Denotemos por U x a vizinhança de x tal que f U x W, onde W é vizinhança de fx. Se x A, então U x A ; logo: então fx f A. 5 6 Seja A = f 1 B ; então: Logo, A f 1 B 6 2 Seja F Y fechado, então: f U x A f U x f A W f A ; f A f A = f f 1 B = B f X B. f 1 F f 1 F = f 1 F. Logo, f 1 F = f 1 F e f 1 F é fechado.

2.2. FUNÇÕES CONTÍNUAS 49 Observação 2.2. Pelo teorema, basta utilizar os abertos básicos da topologia para estudar a continuidade de uma função. A função f é dita contínua no ponto x 0 X se o item [4] do teorema anterior vale para x 0. Exemplo 2.2. Seja R com topologia usual. Verifique que fx = x 2 é contínua. Pela propiedade anterior, basta provar que f 1 a, b é aberto. Temos três casos: 1. Se 0 < a < b, então: 2. Se a < 0 < b, então: f 1 a, b = b, a a, b. 3. Se a < b < 0, então: f 1 a, b = b, b. f 1 a, b =. 4. Nos três casos, os conjuntos f 1 a, b são abertos; logo f é contínua. O seguinte corolário é fundamental em diversas áreas e é conhecido como teorema de colagem. Corolário 2.1. Seja X, T tal que X = A B, onde A e B são conjuntos fechados abertos em X. Se f : A Y e g : B Y são funções contínuas tais que fx = gx para todo x A B, então a função h : X Y definida por: { fx se x A hx = gx se x B é contínua. Prova : Seja F Y fechado; então: h 1 F = h 1 F A B = f 1 F A g 1 F B = f 1 F g 1 F. Como f 1 F e g 1 F são fechados, então h contínua.

50 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Exemplo 2.3. Seja R com a topologia usual e Logo, f é contínua. fx = { x se 0 x 1 2 x se 1 x 2. Proposição 2.3. Seja X, T. Então f : X R é contínua se, e somente se para todo b R ambos os conjuntos: são abertos. {x / fx > b} e {x / fx < b} Prova : Seja R, T us. Consideramos b, + e, b elementos da subbase da topologia euclidiana; logo: f 1 b, + = {x / fx > b} f 1, b = {x / fx < b}. Observação 2.3. A condição que ambos os conjuntos sejam abertos não pode ser ignorada. Por exemplo, consideremos a função característica de A, χ A : R R não é contínua. De fato, considere A = 0, 1; então {x / χ A x < 1} não é aberto e todos {x / χ A x > b} são abertos, Logo, na proposição ambos os conjuntos devem ser abertos. 2.3 Continuidade em Espaços Métricos Sejam M, d 1 e M, d2 espaços métricos; então: f : M N é contínua em x M, se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que d 1 x, y < δ implica em que d 2 fx, fy < ε. Isto é: f B 1 x, δ B 2 fx, ε.

2.3. CONTINUIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS 51 Proposição 2.4. Sejam M, d um espaço métrico, R com a topologia usual, y 0 M e A M. A função f : M R definida por fy = dy, A é contínua. Veja a proposição 1.7. Prova : Sejam x, y M; então, para cada a A temos dx, a dx, y + dy, a, logo: dx, A = inf{dx, a / a A} dx, y + inf{dy, a / a A} dx, y + dy, A. Então dx, A dy, A dx, y. Analogamente, mudando x por y e vice-versa, obtemos: dx, A dy, A dx, y. Observações 2.1. 1. Sejam V, 1 e W, 2 espaços vetoriais normados de dimensão finita. Então, toda aplicação linear f : V W é contínua. 2. Sejam M, d 1 e M, d2 espaços métricos; então: f : M N é uniformemente contínua, se para todo x, y M e ε > 0, existe δε > 0 tal que d 1 x, y < δε; implica em d 2 fx, fy < ε. 3. Uniformemente contínua implica contínua. A reciproca é falsa, basta considerar: f : 0, + 0, + definida por fx = 1/x é contínua e não uniformemente contínua. 4. A função fy = dy, A é uniformemente contínua. 5. Sejam V, 1 e W, 2 espaços vetoriais normados de dimensão finita. Toda aplicação linear f : V W é uniformemente contínua.

52 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 2.4 Topologia Inicial Sejam Y, T 2, X um conjunto não vazio e f : X Y uma função. É possível achar uma topologia para X tal que f seja contínua? Por exemplo se X, T dis, então f é contínua. Seja X um conjunto não vazio e: S f = {f 1 V / V T 2 }. S f é uma subbase para uma topologia Tf sobre X que torna f contínua. Definição 2.2. Tf é dita topologia inicial para f. 2.5 Topologia Produto Sejam X, T 1, Y, T2 e X Y. Denotemos por: pr 1 : X Y X pr 2 : X Y Y as respectivas projeções canônicas, onde pr 1 x, y = x e pr 2 x, y = y. Note que: pr1 1 U = U Y, V = X V, pr 1 2 pr 1 1 U pr 1 2 V = U V. S pr = {pr1 1 U, pr 1 2 V / U T1, V T 2 } e B pr = {U V / U T 1, V T 2 } são a subbase e a base que geram uma topologia sobre X Y, que torna as projeções contínuas. Esta topologia é dita topologia produto. Esta é a menor topologia com esta propriedade. Isto é, W X Y é aberto se para todo x W existe U V, U aberto em X e V aberto em Y tal que x U V W.

2.5. TOPOLOGIA PRODUTO 53 X x V V U x V U U x Y Figura 2.1: Elementos de S e B Observação 2.4. Todos os argumentos desta seção são válidos para uma quantidade finita de espaços topológicos. Exemplo 2.4. [1] R n = R R... R tem a topologia produto induzida pela topologia de R. Se consideramos em R a topologia usual, então a topologia em R n também é a topologia euclidiana ou usual. [2] S n R n+1 é um conjunto fechado. De fato, seja R n com topologia usual e consideremos a função f : R n+1 R definida por: fx 1, x 2,..., x n, x n+1 = x 2 1 + x 2 2 +... + x 2 n + x 2 n+1 1. f é contínua e S n = f 1 {0} ; logo, S n é fechado. [3] O cilindro S 1 R tem a topologia produto induzida pela topologia de R 3. [4] Seja S 1 com a topologia induzida de R 2 ; então T 2 = S 1 S 1 com a topologia produto, é dito toro. Figura 2.2: O toro T 2 = S 1 S 1

54 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Proposição 2.5. Sejam X, T 1, Y, T2, Z, T3 espaços topológicos, o espaço topológico produto Y Z, T p, f1 : X Y e f 2 : X Z e definamos: f : X Y Z por fx = f 1 x, f 2 x. Então, f é contínua se, e somente se f 1 e f 2 são contínuas. Prova : Sejam pr 1 : Y Z Y e pr 2 : Y Z Z as respectivas projeções. Como f i = pr i f, se f é contínua, então f i = pr i f são contínuas i = 1, 2. Reciprocamente, se as f i são contínuas, seja U V um aberto básico de Y Z; então: logo, f é contínua. f 1 U V = f 1 1 U f 1 V ; 2 Proposição 2.6. Sejam X, T 1, Y, T2, Z, T3, H, T4 espaços topológicos, X Y, T p, Z H, Tp espaços topológicos produto, f1 : X Z e f 2 : Y H. Definamos: f 1 f 2 : X Y Z H por f 1 f 2 x, y = f 1 x, f 2 y. Se f 1 e f 2 são contínuas, então f 1 f 2 é contínua. Prova : Sejam pr 1 : X Y X e pr 2 : X Y Y as respectivas projeções. Como: são contínuas, então f 1 f 2 é contínua. f 1 pr 1 : X Y Z f 2 pr 2 : X Y H Proposição 2.7. Sejam X, T 1 um espaço topológico e E, um R-espaço vetorial normado. Como E possui uma estrutura algébrica, dadas f, g : X E podemos definir a nova função: f + g :X E Se f e g são contínuas, então f + g é contínua. x f + g x = fx + gx. Prova : Sejam h : X E E tal que hx = fx, gx e S : E E E tal que Sv 1, v 2 = v 1 + v 2 ; a função S é contínua. Então f + g = S h, é contínua.

2.6. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 55 Proposição 2.8. Sejam f : X E e α : X R e definamos a nova função: α f :X E Se f e α são contínuas, então α f é contínua. x α fx = αx fx. Prova : Sejam h : X R E tal que hx = αx, fx e m : R E E tal que mλ, v = λ v; a função m é contínua. Então α f = m h, é contínua. Observação 2.5. A prova de que S e m são contínuas segue do fato de serem ambas contrações. Veja [EL2]. 2.6 Funções Abertas e Fechadas Sejam X, T 1 e Y, T2 espaços topológicos. Definição 2.3. A função: f : X Y, é aberta fechada se para todo U aberto fechado em X, temos que f U é aberto fechado em Y. Observamos que se f for aberta, não necessariamente f é contínua. Veja os seguintes exemplos. Exemplo 2.5. [1] A função identidade: id : X, T 1 X, T2 é aberta fechada se, e somente se T 1 T 2, mas não é contínua quando T 1 T 2. [2] As projeções de um espaço produto são abertas. [3] As projeções não são fechadas. Por exemplo, seja R com a topologia usual e considere as projeções pr i : R 2 R, i = 1, 2 e o conjunto: H = {x, y R 2 / x y = 1}.

56 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Figura 2.3: H e a projeção R {0} H é fechado em R 2 e pr i H = R {0}, que é aberto. [4] Se X = {a, b} com a topologia discreta, então f : X R definida por fa = 0 e fb = 1 é contínua, fechada e não aberta. Seja f : X Y bijetiva. Então f é aberta se, e somente se f é fechada. De fato. Seja U X aberto; logo U c = F é fechado e logo, f é fechada. ff = fx U = Y fu; Proposição 2.9. Seja f : X Y. São equivalentes as condições: 1. f é aberta. 2. f A fa, para todo A X. 3. f leva abertos básicos de X em abertos básicos de Y 4. Para todo x X e toda U X vizinhança de x, existe W Y tal que: Prova : fx W fu. 1 2 A A; então f A fa; por outro lado f A é aberto e aberto contido em fa; logo f A fa. 2 3 Seja U aberto básico de X; U = U; então: fa é o maior

2.6. FUNÇÕES ABERTAS E FECHADAS 57 logo, fu é aberto básico. fu = f U fa fu; 3 4 Para cada x X, seja U vizinhança de x; existe V aberto básico tal que x V U. Considere W = fv. 4 1 Seja U X aberto; para todo y fu existe vizinhança W y de y tal que W y fu; logo: então, f é aberta. fu = y fu W y ; Proposição 2.10. f : X Y é fechada se, e somente se fa fa. Prova : Se f é fechada, então fa é fechado e fa fa, logo: fa fa = fa. Reciprocamente, seja F X fechado; logo: ff ff ff = ff ; então, ff = ff e ff é fechado.

58 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 2.7 Exercícios 1. Sejam I, X, Y, Z, A, A α A e B, B α Y, α I conjuntos não vazios. Denotemos por f : X Y e g : Y Z funções. Verifique que: a f α I b f α I c f 1 A α = f A α. α I A α f A α. α I d f 1 α I α I A α = f 1 A α. α I A α = f 1 A α. α I e f 1 B c = [ f 1 B ] c. 2. Sejam X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {a, b} com as seguintes topologias: a T 1 = {, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}} e T 2 = {, Y, {a}}, respectivamente. Ache todas as funções contínuas entre X e Y. b T 1 = {, X, {2}, {3, 4}, {2, 3, 4}} e T 2 = {, Y, {b}}, respectivamente. Ache todas as funções contínuas entre Y e X. 3. Seja X = {1/n / n N} R com a topologia induzida pela topologia usual de R. A função: é contínua? f :X R, T us 1/n 1 n n 4. Seja R com a topologia usual, as funçõs definidas por: { x 2 se x 0 a fx = x 3 se x 0 { x 2 + 4 se 4 x 0 b fx = x 3 se 0 x 4

2.7. EXERCÍCIOS 59 são contínuas? 5. Verifique que a função fy = dy, A é uniformemente contínua. 6. Sejam X, Y espaços topológicos, A, B X conjuntos fechados tais que X = A B, f : A Y e g : B Y funçãoes contínuas. Se f A B = g A B, verifique que: hx = { fx se x A gx se x B é contínua. 7. Sejam X, T 1, Y, T2, Z, T3 espaços topológicos e considere as funçõesf : X Y e f : Y Z: a Se f e g são abertas fechadas, enão g f é aberta fechada. b Se g f é aberta fechada e f é contínua e sobrejetiva, então g é aberta fechada? c Se g f é aberta fechada e g é contínua e injetiva, então f é aberta fechada? 8. Sejam X, T 1, Y, T2 espaços topológicos. Prove que f é aberta se, e somente se f 1 B f 1 B, para todo B Y. 9. Verifique que são equivalentes: a f é fechada. b Se U T 1, então {y Y / f 1 y U} T 2. c Se F X é fechado, então {y Y / f 1 y F } é fechado em Y. 10. Toda função f : R, T cof R, Tus é fechada? Justifique sua resposta. 11. Toda função f : R, T cof R, Tcof é aberta e fechada? Justifique sua resposta. 12. Seja X = {1, 2, 3, 4} com a topologia de base {, {1}, {4}, {1, 2}, {1, 3}}. Determine todas as funções abertas e contínuas de X em X.

60 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES EM ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 13. Sejam X, Y espaços topológicos e f : X Y injetiva. Verifique que são equivalêntes: a f 1 é contínua. b f é aberta. c f é fechada. 14. Sejam X um espaço topológico, R com a topologia usual, A X e definamos a função χ A : A R chamada característica de A por: χ A x = { 1 se a A 0 se a / A Verifique que χ A é contínua se, e somente se A é aberto e fechado em X. 15. Seja R com a topologia usual e denotemos por R a o conjunto R com a topologia: {, R} { a, a / a R, a > 1}. a Verifique que f : R R a tal que fx = x 2 é contínua. b f : R a R tal que fx = x 2 é contínua? 16. Seja Mn, R com a topologia usual, defina T : Mn, R Mn, R por T A = A t, onde A t é a matriz transposta de A. Verifique que T é contínua. 17. Sejam R n e Mn, R com a topologia usual, definamos a seguinte função F : Mn, R R n R n definida por F A, x = A x, considerando x como uma matriz n 1. Verifique que F é contínua. 18. Sejam M, N espaços métricos e K M um conjunto fechado e limitado, denotemos por CM, N = {f : M N / f contínua}, se V N é aberto: UK, V = {h CM, N / hk V }. a Verifique que UK, V é uma subbase para uma topologia em CM, N. b Estude o caso M = N = R com a métrica usual..

Capítulo 3 HOMEOMORFISMOS 3.1 Introdução Um dos problemas centrais em Topologia é poder decidir se dois espaços são diferentes ou não. Por exemplo, não é trivial dizer sob o ponto de vista da Topologia se uma esfera é diferente de um cilindro, se uma esfera é diferente de um toro ou se R n é diferente de R m, se n m. Neste capítulo começaremos com os primeiros conceitos que nos permitirão responder a algumas destas questões fundamentais. 3.2 Homeomorfismos Sejam X e Y espaços topológicos. Definição 3.1. f : X Y é um homeomorfismo se f é bijetiva, contínua e f 1 é contínua. Notação: Se X e Y são homeomorfos utilizamos a seguinte notação: X = Y. Observações 3.1. 1. A composta de homeomorfismos é um homeomorfismo. Ser homeomorfo é uma relação de equivalência na família dos espaços topológicos. 61

62 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS 2. Veremos nos próximos parágrafos que os espaços topológicos homeomorfos possuem as mesmas propriedades topológicas. Isto é, se consideramos as classes de equivalência, teremos que espaços homeomorfos são essencialmente iguais em topologia. 3. Uma função bijetiva e contínua não é necessariamente um homeomorfismo. Veja o seguinte exemplo. Exemplo 3.1. Sejam S 1 R 2 e [0, 2 π R com as respectivas topologias induzidas pelas topologias usuais. Definamos: f : [0,2 π S 1 t cost, sent. f é contínua e bijetiva. Por outro lado, f 1 : S 1 [0, 2 π é descontínua em p = 1, 0. De fato: Seja ε = π; para cada n N, seja t n = 2 π 1 n [0, 2 π e z n = ft n, logo z n p < 1 n, pois o arco t n é maior que a corda. t n p z n Figura 3.1: Então f 1 z n = t n e: f 1 z n f 1 p = t n = 2 π 1 n > π = ε, para todo n N. Logo, f é uma bijeção contínua que não é um homeomorfismo.

3.2. HOMEOMORFISMOS 63 A seguir apresentaremos os primeiros exemplos de homeomorfismos. Alguns detalhes serão deixados para o leitor. Exemplo 3.2. [1] Seja R com a topologia usual. Então, todo intervalo aberto a, b, com a topologia induzida pela topologia usual de R, é homeomorfo a R. De fato: 1. Seja f : a, b 1, 1 definida por: ft = 2 t b + a, b a f é bijetiva, contínua e sua inversa: f 1 y = b a y + a + b, 2 também é contínua. 2. Logo, a, b = 1, 1. 3. Definamos f : R 1, 1 por: f é bijetiva, contínua e sua inversa: também é contínua. ft = f 1 y = t 1 + t, y 1 y, 4. Logo, R = 1, 1. Pela transitividade do homeomorfismo, temos que: R = a, b.

64 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS [2] Seja R n com a topologia usual e H = {x 1, x 2,..., x n R n / x n = 0} R n. Então H = R n 1. Definamos f : H R n 1 por fx 1, x 2,..., x n 1, 0 = x 1, x 2,..., x n 1. Então, f é contínua e bijetiva. Definamos f 1 : R n 1 H por Então, f 1 é contínua. Logo: f 1 x 1, x 2,..., x n 1 = x 1, x 2,..., x n 1, 0. H = R n 1. [3] Seja E, um espaço vetorial normado; então: 1. As translações : T a : E E v v + a a E, são homeomorfismos. 2. As homotetias: h λ : E E v λ v λ R {0}, são homeomorfismos. 3. Para todo r > 0 e todo v E: E = Bv, r. De fato: 1. T a são bijetivas, contínuas e as inversas T 1 a = T a, que são contínuas.

3.2. HOMEOMORFISMOS 65 2. h λ são bijetivas, contínuas e as inversas h 1 λ 3. Definimos o homeomorfismo Φ : E E por: = h λ 1, que são contínuas. Φx = T w h s/r T v x = s/r x v + w. Note que Φv = w e Φ Bv,r é um homeomorfismo tal que Φ Bv, r = Bw, s. Então: Bv, r = Bw, s para todo v, w E e r, s > 0. 4. Agora definamos f : E Bv, 1 por: fu = u 1 + u que é contínua e bijetiva com inversa contínua: logo, f é um homeomorfismo. f 1 w = w 1 w ; 5. Pela transitividade do homeomorfismo, temos que: E = Bv, r. [3] Sejam R 2n e C n ambos com a topologia usual. Então: para todo n 1. R 2n = C n, Se z C, z = x + i y, onde x, y R. Por outro lado, C n = C C... C n-vezes e R 2n = R R... R 2n-vezes. Definamos: f :C C... C R R... R R z 1, z 2,..., z n x 1, y 1, x 2, y 2,..., x n, y n.

66 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS f é, claramente, um homeomorfismo. Logo: C n = R 2n. Teorema 3.1. Seja f : X Y bijetiva. São equivalentes as condições: 1. f homeomorfismo. 2. f é contínua e aberta. 3. f é contínua e fechada. 4. fa = fa, para todo A X. Prova : 1 2 f 1 é contínua se, e somente se para todo aberto U X: é aberto em Y. 2 3 Segue do parágrafo anterior. f 1 U 1 = fu 3 4 Como f é contínua, fa fa; como f é fechada, fa fa. Corolário 3.1. Seja f : X Y. O gráfico de f é definido por: Gf = {x, fx / x X} X Y. Considere Gf com a topologia induzida pela topologia produto. Então f é contínua se, e somente se X = Gf. Prova : De fato, definamos h : X X Y por hx = x, fx que é contínua; então h : X Gf é bijetiva e contínua. Por outro lado, se U X é aberto: hu = {x, fx / x U} = U Y Gf, que um aberto relativo. Reciprocamente, f = pr 2 h. Corolário 3.2. Sejam f : X Y homeomorfismo e A X; então: 1. A = fa. 2. X A = Y fa. Prova: Imediata.

3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 67 3.3 Exemplos de Homeomorfismos [1] Seja R 2 com a topologia induzida e A R 2 definido por: A = {x, y R 2 / 0 < a x 2 + y 2 b}. A é um anel; então: A = S 1 [a, b]. Figura 3.2: O anel A Definamos f : A S 1 [a, b] e f 1 : S 1 [a, b] A por: fx, y = x x2 + y, y 2 x2 + y, x 2 + y 2 e f 1 x, y, t = t x, t y, 2 claramente f e f 1 são bijetivas e contínuas; logo f é um homeomorfismo. [2] Sejam S 1 e o quadrado Q = {x, y / max{ x, y } = 1} em R 2 com a topologia induzida pela topologia usual de R 2 ; então: S 1 = Q.

68 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS a b u v d c z w Figura 3.3: Homeomorfismo entre S 1 e Q Definamos f : S 1 Q levando o arco ab de S 1 no segmento uv de Q, o arco bc e S 1 no segmento vw de Q, o arco cd e S 1 no segmento wz de Q e o arco da e S 1 no segmento zu de Q, isto é: fx, y = x m, y m e f 1 x, y = x r, y, r onde m = max{ x, y } e r = x 2 + y 2 ; claramente f e f 1 são bijetivas e contínuas; logo f é um homeomorfismo. De forma análoga, temos que: S 2 = C, onde S 2 R 3 e C = {x, y, z / max{ x, y, z } = 1} é o cubo unitário. [3] Consideremos S n R n+1 e o conjunto Figura 3.4: Homeomorfismo entre S 2 e C E = {x 1,..., x n+1 R n+1 / a 2 1 x 2 1 +... a 2 n+1 x 2 n+1 = 1} R n+1,

3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 69 onde a i R {0}, ambos com topologia induzida pela topologia usual de R n+1. Então: S n = E. E n S Seja f : S n E definida por: Figura 3.5: Homeomorfismo radial entre S 2 e E fx 1,..., x n+1 = x 1 a 1,..., x n+1 a n+1. f é bem definida, bijetiva e contínua. Definamos f 1 : E S n por: f 1 x 1,..., x n+1 = a 1 x 1,..., a n+1 x n+1. f 1 é bem definida e contínua. Logo, S n é homeomorfo a E. Então, S n e E são topologicamente "iguais". Figura 3.6: Espaços homeomorfos a S 2

70 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS [4] Consideremos R 2 {0, 0} R 2 com topologia induzida pela topologia usual de R 2 e os conjuntos: H = {x, y, z R 3 / x 2 + y 2 z 2 = 1}, e S 1 R, com topologia induzida pela topologia usual de R 3. Então: R 2 {0, 0} = H = S 1 R. 1. Seja f : R 2 {0, 0 S 1 R definida por: fx, y = x x2 + y, 2 y x2 + y 2, ln x 2 + y 2. f é bem definida, bijetiva e contínua. 2. Definamos f 1 : S 1 R R 2 {0, 0 por: f 1 x, y, t = x e t, y e t. f 1 é bem definida, contínua e inversa de f. 3. Logo: R 2 {0, 0} = S 1 R. 4. Por outro lado, definamos h : S 1 R H por: h é bem definida, bijetiva e contínua. 5. Definamos h 1 : H S 1 R por: hx, y, t = x 1 + t 2, y 1 + t 2, t. h 1 x, y, z = x, y, z. 1 + z 2 1 + z 2 h 1 é bem definida e contínua.

3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 71 6. Logo: H = S 1 R. Figura 3.7: H e S 1 R [5] Seja S n R n+1 com a topologia induzida pela topologia usual de R n+1. Consideremos R n+1 = R n R; então x, t S n se, e somente se x = 1 t 2. Denotemos por: S n = {x, t S n / t 0} e S n + = {x, t S n / 0 t}. Os conjuntos S n e S n + são ditos hemisférios de S n. Note que S n = S n S n + e S n S n + = E. O conjunto E é chamado equador de S n ; é claro que: E = S n 1. Isto é, podemos considerar S n 1 como o equador de S n.

72 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS Figura 3.8: S n 1 como equador de S n Consideremos a projeção: p : R n R R n x, t x. Se x, t S n, x, t = 1, logo px, t 1; então ps n B[x, 1] R n. Via projeção, temos que S n = B[x, 1] = S n +. De fato, a função: q : B[x, 1] S n + x x, 1 x 2 é bem definida, contínua bijetiva e com inversa contínua p S n +.

3.3. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 73 Figura 3.9: S n, B[x, 1] e S n + [6] Projeção Estereográfica: Seja S n R n+1 com a topologia induzida pela topologia usual de R n+1 e p = 0, 0,..., 0, 1, então: S n {p} = R n. De fato. Seja Φ : S n {p} R n definida da seguinte forma, dado x S n {p}; considere a semi-reta px R n+1 ; então Φx = y, onde y é a interseção de px com o semi-plano definido por x n+1 = 0, homeomorfo a R n : { px = p + t x p, t [0, 1] x n+1 = 0, logo, 1 + t x n+1 1 = 0 e t = 1 1 x n+1 ; então: Φx = 1 1 x n+1 x 1, x 2,..., x n.

74 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS p x Φ z Φ x z Figura 3.10: Definição de Φ Φ é bijetiva e contínua e: Φ 1 y 2 = 1 e Φ 1 é contínua. Φ 1 y = 2 y 1 1 + y 2,..., 2 y n 1 + y 2, y 2 1 1 + y 2 ; 3.4 Grupos de Matrizes Da Álgebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes de ordem n m, tendo como entradas elementos de K = R ou C, é um K-espaço vetorial. Fixemos K = R; o caso complexo é análogo. Denotemos este espaço vetorial por: Seja A = a ij M n m R. Definamos: M n m R. Ψ : M n m R R n m A a 11, a 12,..., a 1n,..., a m1,..., a mn. Ψ é claramente um isomorfismo de espaços vetoriais. Via o isomorfismo Ψ, o espaço M n m R herda toda a estrutura linear e topológica de R n m. Utilizaremos a métrica usual de R n m para introduzir uma topologia em M n m R. De fato, dada A = a ij M n m R, definamos: [ n 1/2 A 1 = ΨA = aij] 2. i,j=1

3.4. GRUPOS DE MATRIZES 75 1 é uma norma em M n m R que o torna um espaço vetorial normado. Logo, um espaço topológico. Note que A 1 = AA t, onde A t é a matriz transposta de A. É imediato que Ψ é bijetiva, contínua com inversa contínua. Logo: M n m R = R n m. Denotemos por M n R = Mn n R ; então: M n R = R n 2. Seja R com a topologia usual. A função: definida indutivamente: det : M n R R, 1. Se n = 1, deta 11 = a 11. 2. Se n > 1, seja A = a ij e: deta = n 1 i+1 a i1 deta [i,1], i=1 onde 1 i, j n e A [i,j] é a matriz n 1 n 1, que se obtem omitindo a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. A função det é multilinear, logo contínua. Seja Gln, R o conjunto das matrizes invertíveis de ordem n. Gln, R é aberto em M n R. De fato: Gln, R = det 1 {0} c. Gln, R é também um grupo, chamado grupo linear geral real. Denotemos por On Gln, R, definido por: A On AA t = I, onde I é matriz identidade. Logo, A On deta = ±1. On é um grupo, chamado ortogonal. Denotemos por SOn On definido por: A SOn deta = 1.

76 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS SOn é um grupo, chamado ortogonal especial. On e SOn são fechados em M n R. De fato: SOn = det 1 {1} On = det 1 { 1, 1}. On é isomorfo a SOn { 1, 1}. De fato: f :On SOn { 1, 1} A A/detA, deta. f é um isomorfismo de grupos. Seja K = C, denotemos por C = C {0}. De forma análoga ao caso real, definimos: Gln, C = det 1 C Un = {A Gln, C / A A = I} SUn = det 1 {1}. De forma análoga, os grupos Gln, C, Un e SUn são ditos, linear complexo, unitário e especial unitário, respectivamente. Un é isomorfo a SUn S 1. De fato: f é um isomorfismo de grupos. f :Un SUn S 1 A A/detA, deta. 3.5 Homeomorfismos Locais Definição 3.2. Seja f : X Y. f é dito homeomorfismo local se para todo x X existe U X vizinhança de x tal que fu = V é aberto em Y e f : U V é um homeomorfismo. Sejam U X, V Y abertos e f : U V um homeomorfismo; então para todo aberto U U, temos que fu é aberto em V, logo é aberto em Y. Proposição 3.1. Se f : X Y é um homeomorfismo local, então f é aberta. Prova : Seja A X aberto; para cada x A existe U x A vizinhança de x tal que:

3.5. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 77 f : U x V x, onde fu x = V x. Seja U x = U x A. Pela observação anterior fu x é aberto em Y. Como: A = x A U x fa = f que é aberto em Y. Logo, f é aberta. x A U x = fu x x A Observação 3.1. Homeomorfismo implica homeomorfismo local. A recíproca é falsa. Exemplo 3.3. Seja R com a topologia usual e S 1 C com a topologia induzida pela topologia usual de C. Então: é um homeomorfismo local. f :R S 1 x e 2πix 1. Consideremos os seguintes subconjuntos do círculo: S 1 = {x, y S 1 / y > 0}, S 2 = {x, y S 1 / y < 0}, S 3 = {x, y S 1 / x > 0} e S 4 = {x, y S 1 / x < 0}. S 1 S 3 S 4 S 2 Figura 3.11: 2. Consideremos os seguintes sub-intervalos: I 1 = n, n + 1/2, I 2 = n 1/2, n, I 3 = n 1/4, n + 1/4 e I 4 = n + 1/4, n + 3/4, n Z.

78 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS 3. Definamos: p 1 : S 1 1, 1 por p 1 x, y = x. 4. A função p 1 é um homeomorfismo. De fato, p 1 possui a seguinte inversa contínua q 1 t = t, 1 t 2. 5. Denotemos por f i = f Ii. Consideremos: p 1 f 1 : I 1 1, 1. Como e 2πix = cos2πx, sen2πx, então p 1 f 1 x = cos2πx. Logo, pelas propiedades básicas de Trigonometria p 1 f 1 é um homeomorfismo: 1 1 1.5-1 Figura 3.12: Homeomorfismo p 1 f 6. Logo, p 1 1 p 1 f 1 : I1 S 1 é um homeomorfismo e f 1 = p 1 1 p 1 f 1 é um homeomorfismo. 7. Definamos: p 2 : S 2 1, 1 por p 2 x, y = y. 8. A função p 2 é um homeomorfismo. De fato, p 2 possui a seguinte inversa contínua q 2 t = t, 1 t 2. 9. De forma análoga, p 1 2 p 2 f 2 : I2 S 2 é um homeomorfismo e f 2 = p 1 2 p 2 f 2 é um homeomorfismo. 10. De forma análoga as anteriores, verifica-se que I 3 = S3 e I 4 = S4. 11. Como intervalos destes tipos cobrem R. Por exemplo: R = n Zn, n + 1/2. Então, f é um homeomorfismo local. Observação 3.2. Este exemplo mostra por que? que, em geral, um homeomorfismo local não é homeomorfismo. Em particular, f é uma função aberta não fechada.

3.5. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 79 Exemplo 3.4. De forma totalmente análoga: e: f :R 2 S 1 R x, y e 2πix, y são homeomorfismos locais. f :R 2 S 1 S 1 x, y e 2πix, e 2πiy

80 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS 3.6 Exercícios 1. Considere o conjunto X = {a, b, c, d} com a topologia: T = {, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}} e Y = {α, β, γ, δ}, defina uma topologia em Y tal que X e Y sejam homeomorfos. 2. Sejam X {y} e {x} Y X Y. Verifique que para todo y Y e para todo x X, temos: Em particular, R n = R n {0} R n+1. X {y} = X e {x} Y = Y. 3. Verifique que R, T us não é homeomorfo a R, Tcof. 4. Sejam M, d 1 e M, d2 espaços métricos. Dizemos que as métricas d1 e d 2 são equivalentes se id : M, T d1 M, Td2 é um homeomorfismo. a Verifique que se M = R n, então d 1, d 2 e d 3 definidas anteriormente são equivalentes. b Seja M = R 2, d 1, d 2 e d 3. Utilizando as bolas, de uma explicação geométrica da equivalência destas métricas. 5. Verifique que [0, 1] e [0, 1 não são homomorfos provando que não existe função f : [0, 1] [0, 1 contínua e sobrejetiva. 6. Sejam M, d 1 e M, d2 espaços métricos. Verifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou false: f : M 1 M 2 é uma isometria se, e somente se f é um homemorfismo. 7. Verifique que as isometrias são homeomorfismos. 8. N e Q com a topologia induzida pela topologia usual de R, são homeomorfos? 9. Considerando R 2 com a topologia usual, verifique se os seguintes subespaços são homeomorfos: a [0, 2] e [0, 1] [2, 3]

3.6. EXERCÍCIOS 81 b {x, y R 2 / x, y 0} e {x, y R 2 / y 0}. c {x, y R 2 / x 2 = y} e {x, y R 2 / y = x 2 }. d {x, y R 2 / x 3 = y} e {x, y R 2 / y = x 2 }. 10. Verifique que com as topologias usuais os conjuntos R 2 {0, 0} e {x, y R 2 / x 2 + y 2 > 1} são homeomorfos. 11. Verifique que com as topologias usuais R 3 S 1 e R 3 {1, 1, 1} são homeomorfos. 12. Sejam R com a toplogia usual, f, g : R R funções contínuas tais que fx < gx, para todo x R. Verifique que os conjuntos {x, y R 2 / fx y gx} e {x, y R 2 / y [0, 1]} são homeomorfos. 13. Seja X, T 1 um espaço topológico e denotemos por: GX = {f : X X / f é homeomorfismo}. Verifique que: a GX é um grupo com a composta de funções, b Se X = [0, 1] e Y = 0, 1 com a topologia induzida pela usual de R, defina: ψ :GX GY f f Y ψ é um isomorfismo de grupos? Note que X e Y não são homeomorfos 14. GX é abeliano? Caso a resposta seja negativa, quando é abeliano?

82 CAPÍTULO 3. HOMEOMORFISMOS

Capítulo 4 TOPOLOGIA QUOCIENTE 4.1 Introdução A Topologia quociente é a fonte dos mais importantes para construir exemplos de espaços topológicos, que constituirão a parte central desta notas. Neste capítulo introduziremos os exemplos clássicos na Matemática, como a faixa de Möebius, os espaços projetivos reais e complexos e a garrafa de Klein. 4.2 Topologia Quociente Sejam X, T, Y um conjunto não vazio e f : X Y sobrejetiva. Definamos em Y a seguinte topologia: Claramente, T f é uma topologia sobre Y. T f = {V Y / f 1 V T}. Definição 4.1. T f é dita topologia quociente em Y induzida por f. Exemplo 4.1. [1] Seja f : X Y constante. Determine T f. Considere y 0 Y e suponha que fx = y 0 para todo x X. Seja U T f. Se y 0 U, então f 1 U = X e se y 0 / U, então f 1 U =. Isto é, qualquer subconjunto de Y é aberto, logo T f é a topologia discreta sobre Y. [2] Seja X = {a, b, c} e R com a topologia usual; definamos f : R X por: a se x > 0 fx = b se x < 0 c se x = 0. 83

84 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE Então, T f = {X,, {a}, {b}, {a, b}} é a topologia quociente em X induzida por f. Proposição 4.1. A topologia quociente T f é a mais fina sobre Y que torna f contínua. Prova : De fato, sendo T Y outra topologia em Y e se para todo V T Y temos que f 1 V é aberto em X, então V T f. Definição 4.2. Sejam X, T, Y, T Y e f : X Y sobrejetiva. A função sobrejetiva f que induz a topologia quociente é chamada uma identificação se T Y = T f. Observações 4.1. 1. Se f é uma identificação, V é aberto em Y se, e somente se f 1 V é aberto em X. 2. Se f é uma identificação, para todo P Y temos que f f 1 P = P, mas se S X, em geral S f 1 fs. 3. Nem toda função bijetiva e contínua é uma identificação. Por exemplo: id : X, T 1 X, T2 é uma identificação se, e somente se T 1 = T 2. 4. A composta de identificações é uma identificação. 4.2.1 Espaço Projetivo Real Seja S n R n+1 com a topologia induzida pela topologia usual de R n+1. Definamos o conjunto dos pares não ordenados: PR n = {{x, x} / x S n }, onde x é o antipodal de x. De forma natural temos a função sobrejetiva: Π : S n RP n tal que Πx = {x, x}. O par RP n, T Π é dito espaço projetivo real de dimensão n.

4.2. TOPOLOGIA QUOCIENTE 85 4.2.2 Faixa de Möebius Considere o cilindro C = {x, y, z / x 2 + y 2 = 1, z 1} com a topologia induzida por R 3. Definamos o conjunto dos pares não ordenados: M = {{c, c} / c C}. De forma natural, temos a seguinte função sobrejetiva: Π : C M tal que Πp = {p, p}. O par M, T Π é dito faixa de Möebius. Seja p = x, y, z C e f : M R 3 definida por: f{p, p} = x 2 y 2 2 + x z, 2 x y 2 + x z, x y f é injetiva, contínua; logo M = fm R 3 com a topologia induzida. De fato, pelo teorema 4.1 anterior, definimos F : R 3 R 3 por: que é contínua. F x, y, z = fx, y, z Figura 4.1: Faixa de Möebius Proposição 4.2. 1. Sejam X e Y espaços topológicos, f : X Y uma função sobrejetiva, contínua e aberta fechada; então f é uma identificação. 2. Sejam X e Y espaços topológicos, f : X Y uma função contínua. Se existe uma função g : Y X tal que f g = id Y, então f é uma identificação.

86 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE Prova : 1. Seja T Y uma topologia em Y ; como f é contínua, então T Y T f. Como f é aberta, para todo U T f, U = f f 1 U é aberto em T Y ; logo T Y = T f. 2. Como f g = id Y então f é sobrejetiva. Seja A Y tal que f 1 A seja aberto; então A = f g 1 A = g 1 f 1 A é aberto em Y ; logo f é uma identificação. Exemplo 4.2. [1] A função: pr 1 :R 2 R x, y x é uma identificação. Analogamente para pr 2 x, y = y. [2] A função: f :R S 1 x e 2πix é sobrejetiva, contínua e aberta; pela proposição [4.2] é uma identificação. [3] Analogamente: é uma identificação. f :R 2 S 1 S 2 x, y e 2πix, e 2πiy Teorema 4.1. Propriedade Universal da Topologia Quociente Sejam X, Z espaços topológicos e f : X Y uma identificação. Então, g : Y Z é contínua se, e somente se g f é contínua. X f Y g f Z Prova : Se g é contínua e f contínua, então g f é contínua. Reciprocamente, seja W Z aberto; então g f 1 W é aberto em X. Como g f 1W = f 1 g 1 W, pela definição da topologia quociente, g 1 W é aberto em Y ; logo g é contínua. g

4.3. ESPAÇOS QUOCIENTES 87 4.3 Espaços Quocientes Funções sobrejetivas podem ser obtidas de forma natural utilizando classes de equivalência de alguma relação de equivalência. Sejam uma relação de equivalência sobre X e X / o conjunto das classes de equivalência em X. Definamos: Π :X X / x [x] onde [x] é a classe de equivalência que contém x; Π é dita projeção canônica e é naturalmente sobrejetiva. Definição 4.3. Seja X, T um espaço topológico. O par X /, T Π é dito espaço quociente de X. A projeção canônica: Π :X X / x [x] é naturalmente uma identifição. Note que V X / é aberto é aberto em X. Π 1 V = {x X / [x] V } A seguir apresentaremos vários exemplos de homeomorfismos, a maioria bastante intuitivos. Nos próximos parágrafos, teremos ferramentas suficientes para provar estes homeomorfismos. Por enquanto, ficaremos apenas com a parte geométrica. 4.3.1 O Círculo como Espaço Quociente Seja I = [0, 1] R com a topologia induzida pela topologia usual de R. Consideremos em I a relação de equivalência: x y {x, y} = {0, 1}, ou x = y. Se x 0, 1; então [x] = {x}. Se x = 0; então [0] = {0, 1}. Se x = 1, então [1] = {0, 1}; logo [0] = [1].

88 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 1 1 [0]=[1] 0 0 Figura 4.2: Construção de S 1 Logo, Π : I I / é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para x = 0 e x = 1 e: I / = S 1. Nos seguintes exemplos, as setas indicam o sentido dos pontos que estão na mesma classe de equivalência. 4.3.2 O Cilindro como Espaço Quociente Seja I 2 R 2 com a topologia induzida pela topologia usual de R 2. Consideremos em I 2 a relação de equivalência: x, y x 1, y 1 x, y = x 1, y 1 ou {x, x 1 } = {0, 1} e y = y 1, para todo x, y, x 1, y 1 I 2 Observe que se x 0, 1, então [x, y] = {x, y} e [0, y] = [1, y]. Em particular, [0, 0] = [0, 1] e [0, 1] = [1, 1]. Então Π : I 2 I 2/ é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para 0, y e 1, y e I 2 / = S 1 I.

4.3. ESPAÇOS QUOCIENTES 89 Figura 4.3: Construção de S 1 I 4.3.3 A Faixa de Möebius como Espaço Quociente Seja I 2 R 2 com a topologia induzida pela topologia usual de R 2. Consideremos em I 2 a relação de equivalência: para todo x, y, x 1, y 1 I 2 x, y x 1, y 1 x, y = x 1, y 1 ou 0, y 1, 1 y, Observe que se x 0, 1, então [x, y] = {x, y} e [0, y] = [1, 1 y]. Em particular, [0, 0] = [1, 1] e [0, 1] = [1, 0]. Então, Π : I 2 I 2/ é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para 0, y e 1, 1 y e I 2 / = M, onde M é a faixa de Möebius. 0,b 0,1-a 0,a 0,1-b Figura 4.4: Construção da Faixa de Möebius Nos próximos capítulos, verificaremos que a faixa de Möebius é homeomorfo a uma superfície parametrizada em R 3 :

90 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE Figura 4.5: Faixa de Möebius 4.3.4 A Esfera como Espaço Quociente I 2 R 2 com a topologia induzida pela topologia usual de R 2. Consideremos em I 2 a relação de equivalência: x, y x 1, y 1 x, y = x 1, y 1 ou 0, y x, 0 e x, 1 1, y, para todo x, y, x 1, y 1 I 2 Se x, y 0, 1, então [x, y] = {x, y}, [x, 0] = [0, y] e [x, 1] = [1, y]. Em particular, [0, 0] = [1, 0] = [0, 1] = [1, 1]. Então, Π : I 2 I 2/ é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para 0, y, 1, y, x, 0 e x, 1 e I 2 / = S 2. Figura 4.6: Construção de S 2

4.3. ESPAÇOS QUOCIENTES 91 4.3.5 O Toro como Espaço Quociente Seja I 2 R 2 com a topologia induzida pela topologia usual de R 2. Consideremos em I 2 a relação de equivalência: x, y x 1, y 1 x, y = x 1, y 1 ou 0, y 1, y e x, 0 x, 1, para todo x, y, x 1, y 1 I 2 Observe que se x, y 0, 1, então [x, y] = {x, y} e [0, y] = [1, y] e se y = 0, então [x, 0] = [x, 1]. Em particular, [0, 0] = [1, 0] = [0, 1] = [1, 1]. Então, Π : I 2 I 2/ é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para 0, y, 1, y, x, 0 e x, 1 e I 2 / = S 1 S 1. Figura 4.7: Construção do toro As possíveis vizinhanças de pontos no toro: Figura 4.8: Projeção das vizinhanças no toro Nos próximos capítulos, verificaremos que o toro é homeomorfa a uma superfície parametrizada em R 3 :

92 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE Figura 4.9: O toro 4.3.6 A Garrafa de Klein Seja I 2 R 2 com a topologia induzida pela topologia usual de R 2. Consideremos em I 2 a seguinte relação de equivalência: x, y x 1, y 1 x, y = x 1, y 1, ou 0, y 1, y e x, 0 1 x, 1, para todo x, y, x 1, y 1 I 2 Se x, y 0, 1, então [x, y] = {x, y} e [0, y] = [1, y] e [x, 0] = [1 x, 1]. Em particular, [0, 0] = [1, 0] = [0, 1] = [1, 1]. Então, Π : I 2 I 2/ é uma identificação. Note que Π é bijetiva salvo para 0, y, 1, y, x, 0 e 1 x, 1. I 2 / é chamada garrafa de Klein. Note que a garrafa de Klein contém uma faixa de Möebius. Figura 4.10: Construção da Garrafa de Klein

4.3. ESPAÇOS QUOCIENTES 93 Figura 4.11: Garrafa de Klein 4.3.7 O Cone e Suspensão de um Conjunto Sejam X, T e I = [0, 1] R com a topologia induzida pela topologia usual de R. O cone sobre X é denotado por CX = X I /, onde: x, t x, t t = t = 1. A classe de equivalência [x, 1] é dita vértice de CX. Observação 4.1. Intuitivamente CX é obtido de X I onde identificamos X {1} a um ponto. O subsepaço {[x, 0] / x X} CX é naturalmente homeomorfo a X. 1 I 0 Xx I CX X Figura 4.12: O cone sobre X Seja f : X Y contínua. Então Cf : CX CY tal que: Cf[x, t] = [fx, t] é contínua. De fato, basta considerar o diagrama comutativo: