Probabilidade 2 Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela, Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2016
1 Distribuição de probabilidades normal 2
Distribuição normal É uma dist. de variável contínua. O gráfico é chamado de curva normal ou gaussiana. A média, mediana e moda são iguais. A área sob a curva é igual a um (100%).
Função densidade de probabilidade: X N(µ, σ) f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2
Distribuição normal padrão X N(µ, σ) Z = X µ σ N(0, 1)
Tabela da normal padrão: < Z < z Por exemplo, a área acumulada correspondente a z = 1.15 é 0.8749
1.15 f (x)dx = 0.8749
Exemplo 1: Encontrando probabilidades normais Pessoas utilizam seus computadores por uma média de 2.4 anos antes de trocá-los por uma máquina nova. O desvio padrão é de 0.5 anos. Determinar a probabilidade de um dono de computador, selecionado ao acaso, usar um computador por menos de 2 anos antes de trocá-lo. Admite-se que a variável X = tempo de uso da máquina tenha distribuição normal.
Exemplo 1: Encontrando probabilidades normais Pessoas utilizam seus computadores por uma média de 2.4 anos antes de trocá-los por uma máquina nova. O desvio padrão é de 0.5 anos. Determinar a probabilidade de um dono de computador, selecionado ao acaso, usar um computador por menos de 2 anos antes de trocá-lo. Admite-se que a variável X = tempo de uso da máquina tenha distribuição normal. Z = 2 2.4 0.5 = 0.8 P(X < 2) = P(Z < 0.8) = 1 P(Z < 0.8) = 1 P(X < 2) = 1 0.7881 = 0.2119 0.8 f (z)dz,
Exemplo 1: Tabela P( < Z < z))
Exemplo 2 Distribuição de probabilidades normal Uma pessoa gasta em média 45 minutos com um desvio padrão de 12 minutos em determinada loja, sendo esse tempo normalmente distribuído. Determine a probabilidade de que uma pessoa fique na loja entre 24 e 54 minutos. Interprete se 200 pessoas entrarem na loja.
Exemplo 2 Distribuição de probabilidades normal Uma pessoa gasta em média 45 minutos com um desvio padrão de 12 minutos em determinada loja, sendo esse tempo normalmente distribuído. Determine a probabilidade de que uma pessoa fique na loja entre 24 e 54 minutos. Interprete se 200 pessoas entrarem na loja. z 1 = 24 45 12 = 1.75 e z 2 = 54 45 12 = 0.75 P(24 < X < 54) = P( 1.75 < Z < 0.75) = 0.7734 0.0401 P(24 < X < 54) = 0.7333
Exemplo 2 Distribuição de probabilidades normal Uma pessoa gasta em média 45 minutos com um desvio padrão de 12 minutos em determinada loja, sendo esse tempo normalmente distribuído. Determine a probabilidade de que uma pessoa fique na loja entre 24 e 54 minutos. Interprete se 200 pessoas entrarem na loja. z 1 = 24 45 12 = 1.75 e z 2 = 54 45 12 = 0.75 P(24 < X < 54) = P( 1.75 < Z < 0.75) = 0.7734 0.0401 P(24 < X < 54) = 0.7333 200(0.7333) = 146.66. Aproximadamente 147 consumidores ficarão na loja entre 24 e 54 minutos
Exemplo 3 Distribuição de probabilidades normal O volume de água destilada dispensado por certa máquina tem distribuição normal com média 1.89 litros e desvio padrão de 0.02 litros. Qual a capacidade c de um recipiente que garantirá o transbordamento em apenas 0.5% das vezes?
Exemplo 3 Distribuição de probabilidades normal O volume de água destilada dispensado por certa máquina tem distribuição normal com média 1.89 litros e desvio padrão de 0.02 litros. Qual a capacidade c de um recipiente que garantirá o transbordamento em apenas 0.5% das vezes? X: volume de água dispensada. Interesse: P(X > c) = 0.005 P(X > c) = 0.005 P(x c) = 0.995 z = c 1.89 0.02 c = 1.89 + 0.02z
Exemplo 3 Distribuição de probabilidades normal O volume de água destilada dispensado por certa máquina tem distribuição normal com média 1.89 litros e desvio padrão de 0.02 litros. Qual a capacidade c de um recipiente que garantirá o transbordamento em apenas 0.5% das vezes? X: volume de água dispensada. Interesse: P(X > c) = 0.005 P(X > c) = 0.005 P(x c) = 0.995 z = c 1.89 c = 1.89 + 0.02z 0.02 Observando que P(Z 2.58) = 0.005 tem-se z = 2.58 e c = 1.89 + 0.02(2.58) = 1.9416 litros
Exemplo 4 Distribuição de probabilidades normal Um treinador deseja selecionar, dentre 140 jovens aqueles com uma estatura de no mínimo 180 cm, para formar um time de basquete. Que porcentagem é esperada de jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição normal e, nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio padrão, 6 cm? Quantos jovens ele espera selecionar?
Exemplo 4 Distribuição de probabilidades normal Um treinador deseja selecionar, dentre 140 jovens aqueles com uma estatura de no mínimo 180 cm, para formar um time de basquete. Que porcentagem é esperada de jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição normal e, nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio padrão, 6 cm? Quantos jovens ele espera selecionar? µ X = 175 µ Z = 0 X = 180 Z = 180 175 6 = 0.83 P(X > 180) = P(Z > 0.83) = 1 0.7967 = 0.2033 Então o treinador espera selecionar 20,33% de 140, isto é aproximadamente 28 jovens.
Motivação: Se uma variável X tem distribuição binomial com probabilidade de sucesso p, então para calcular P(X < 100) a fórmula binomial deverá ser empregada 100 vezes: P(X < 100) = P(X = 0) + P(X = 1) + + P(X = 99) É mais prático é utilizar uma aproximação pela distribuição normal.
Motivação: Se uma variável X tem distribuição binomial com probabilidade de sucesso p, então para calcular P(X < 100) a fórmula binomial deverá ser empregada 100 vezes: P(X < 100) = P(X = 0) + P(X = 1) + + P(X = 99) É mais prático é utilizar uma aproximação pela distribuição normal. Aproximação da binomial por uma normal Se np 5 e nq = n(1 p) 5, então X é aproximadamente normal com média e desvio padrão dados por µ = np e σ = np(1 p)
Exemplo 5 Distribuição de probabilidades normal Uma pesquisa informa que 86% dos usuários de Internet usam o navegador Internet Explorer. Em uma amostra de 200 usuários selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que exatamente 176 respondam que usam o navegador?
Exemplo 5 Distribuição de probabilidades normal Uma pesquisa informa que 86% dos usuários de Internet usam o navegador Internet Explorer. Em uma amostra de 200 usuários selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que exatamente 176 respondam que usam o navegador? np = 200 (0.86) = 172 > 5 e n(1 p) = 200 (0.14) = 28 > 5 Então a variável X é aproximada por uma dist. normal com µ = np = 172 e σ = np(1 p) 4.91 P(X = 176) P(175.5 < X < 176.5) = P(0.71 < Z < 0.92) = 0.0601