PROBBILIDDE Introdução teoria da probabilidade é o ramo da matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos aleatórios ou não determinísticos. Experimentos determinísticos Um experimento é determinístico quando repetido em condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos. DECORRÊNCI D DEFINIÇÃO I) 0 P() II) P() + P() = III) P(φ) = 0 φ= conj. vazio IV) P(S) = UNIÃO DE EVENTOS Experimentos aleatórios Experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios. B B Por exemplo: 0. Um dado de seis faces, numeradas de até 6, ao ser lançado ao ar, é certo que cairá, mas não é certo que, digamos apareça voltada para cima à face que está registrada com o número 3. Em n lançamentos, o número de sucessos s (apareça a face 3), após feita uma observação empírica, a freqüência relativa f=s/n, tende a estabilizar-se quando n tende a um limite. I) Se B 0 P( B) = P() + P(B) - P( B) II) Se B = 0 P( B) = P() + P(B) PROBBILIDDE CONDICIOND Espaço amostral (S). É o conjunto de todos os elementos possíveis do experimento. Nesta etapa, podemos descrever os elementos e/ou calcular o número de elementos. S B Evento () É um subconjunto do espaço amostral. Eventos elementares Denominamos de eventos elementares, quaisquer elementos do espaço amostral, igualmente prováveis. Casos favoráveis É o conjunto do espaço amostral (S). Casos possíveis É um subconjunto do espaço amostral (). È o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Um elemento deste conjunto de resultados, é chamado de ponto amostral. DEFINIÇÃO probabilidade do evento é um subconjunto de um espaço amostral S. probabilidade de ocorrer o evento, sabendo que já ocorreu o evento B, é chamada de probabilidade de condicionada a B. P( B) P(/B) = P(B) INTERSECÇÃO DE EVENTOS I) Se B = 0 P( B) = P(). P(B) LEI BINOMIL DE PROBBILIDDE Repetindo n vezes uma experiência em que um evento tem probabilidade de ocorrer igual a p, a probabilidade de ocorrer apenas k vezes o evento, é: s n() P() = n(s) n()=nº de elementos de n(s)=nº de elementos de S C n, k. p k. (-p) n-k EXERCÍCO RESOLVIDO 0. nalisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando- tualizada 07/0/2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é: a) /9 b) 2/9 c) 5/9 d) 7/9 e) 8/9 Resolução I) Use S = conjunto dos elementos do espaço amostral, casos possíveis, e n(s) o número de elementos deste conjunto. Use D = conjunto de elementos das peças defeituosas, e n(d) o número de elementos deste conjunto. Use ~D = conjunto dos elementos das peças não defeituosas, e n(~d) o número de elementos deste conjunto. Neste caso, é o conjunto dos casos favoráveis. II) n(s) = 360, n(d) = 40 e n(~d) = 320 III) Para calcular a probabilidade de, retirada uma peça que seja não defeituosa, proceda assim: n(~ D) 320 P(~ D) = =...simplifique, dividindo n(s) 360 numerador e denominador por 40 n(~ D) 320 40 8 P(~ D) = = = n(s) 360 40 9 Resposta: 8/9 TESTES 0. (METODIST) Numa classe com 32 meninas e 8 meninos, escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade, em termos percentuais, de que este seja menino? b) 20%; ; d) 40%; e) 50%. 05. Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. 06. (UNIS-SP) probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é: a) /3 c) /4 d) /2 e) /5 07. (USP) Uma carta é retirada de um baralho comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabilidade de se obter uma dama é: a) 3/5 b) 5/535 c) 5/676 d) /3 e) 5/689 a) 80% b) 75% d) 20% e) /5% 02. O número da chapa do carro é par. probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: a) 5 c) 4/9 d) 5/9 e) /5 03. (UFPR) Suponha que a chance de um filho nascer do sexo masculino ou do sexo feminino seja exatamente igual. Qual é a probabilidade de que todos os filhos nasçam do mesmo sexo no caso de um casal que esteja planejando ter quatro filhos? a) 20% b) 4,3% c) 7,5% d) 6,7% e) 2,5% 08. (CESGRNRIO) nalisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é: a) /9 b) 2/9 c) 5/9 d) 7/9 e) 8/9 09. (F) Uma urna contém 2 peças boas e 5 defeituosas. Se 3 peças forem retiradas aleatoriamente, sem reposição, qual a probabilidade de serem 2 (duas) boas e (uma) defeituosa? a) /2 b) 3/7 c) 33/68 d) 33/34 04. (UFRJ-NCE) Um sargento vai atribuir, ao acaso, cinco tarefas de diferentes níveis de dificuldade a cinco cabos, 0. (VUNESP) Um grupo de pessoas está classificado da um dos quais é o cabo rmênio. probabilidade de que o seguinte forma: cabo Homens Mulheres rmênio fique com a tarefa mais difícil é então de: Fala inglês 45 30 a) 0%; Fala francês 7 33 2 tualizada 07/0/2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
Fala espanhol 42 58 Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que essa pessoa fala espanhol, a probabilidade de que ela seja mulher é a) 0,44. b) 0,58. c) 0,83. d) 0,97. e),2.. Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é: a) 8/75 b) 9/45 c) 9/48 d) 8/45 e) 9/75 (CESPE) Em 200, no relatório de pesquisa rodoviária publicado pela Confederação Nacional de Transportes, foi divulgada a tabela ao lado, que mostra as condições de conservação de 45.294 quilômetros de estradas brasileiras. Com base nesses dados, julgue os itens seguintes. Estado geral Extensão avaliada (km) Ótimo.29 Bom 2.864 deficiente 30.009 Ruim 980 Péssimo 50 total 45.294 2. probabilidade de um viajante que transita nessas estradas passar por pelo menos km de estrada em condições ótimas ou boas é maior que 30%. 3. Da extensão total de estradas avaliadas, menos de 3/5 estão em condições deficientes. b) 30/200 c) 50/200 d) 60/200 e) 90/200 7. (FE-PR) Num teste de seleção com 0 questões do tipo verdadeiro ou falso, a probabilidade de um candidato que responde a todas as questões ao acaso acertar exatamente 6 questões é igual a: a) b) c) d) e) 024 05 52 32 3 6 05 8. (MCK-SP) De um lote de 20 parafusos, 6 são perfeitos e 4 têm defeitos. Escolhendo 3 parafusos ao acaso, a probabilidade de que exatamente 2 sejam perfeitos é igual a: a) 2/9 b) 4/9 c) 6/9 d) 8/9 e) 4/57 9. (OSEP) Se um certo casal tem 3 filhos, então a probabilidade de os três serem do mesmo sexo, dado que o primeiro filho é homem, vaie: a) /3 c) /5 d) /4 e) /6 4. (UNIMEP) Se escolhermos ao acaso dois números naturais distintos de a 40, a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja par é: a) /2 b) 20/78 c) 9/78 d) 59/78 e) 47/78 5. (FEI-SP) Uma urna contém 0 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha? 6. (ESF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 0 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Selecionase, ao acaso, um dos 200 estudantes. probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 20. (FGV-SP) No jogo da Sena seis números distintos são sorteados dentre os números, 2,..., 50. probabilidade de que, numa extração, os seis números sorteados sejam ímpares vale aproximadamente: a) 50% b) % d) 0% e) 5% 2. (UFRJ-NCE) Se sortearmos ao acaso uma pessoa de um grupo de N pessoas, a probabilidade de que cada pessoa seja escolhida é /N. O elenco de uma equipe de futebol é composto por dois goleiros, oito zagueiros, seis armadores e quatro atacantes. Se sortearmos ao acaso um jogador desse elenco, a probabilidade de que ele seja um armador é de: a) 25%; b) 30%; c) 40%; tualizada 07/0/2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3
d) 50%; e) 60%. 22. (F) Uma urna contém 2 peças boas e 5 defeituosas. Se 3 peças forem retiradas aleatoriamente, sem reposição, qual a probabilidade de serem 2 (duas) boas e (uma) defeituosa? a) /2 b) 3/7 c) 33/68 d) 33/34 23. (UNESP) Lançando-se simultaneamente dois dados não-viciados, a probabilidade de que suas superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é: a) /6 b) 4/9 c) 2/ d) 5/8 24. (UNIS-SP) Foram preparadas noventa empadinhas de camarão, sendo que, a pedido, sessenta delas deveriam ser mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa, para serem servidas. probabilidade de alguém retirar uma empadinha mais apimentada é: a) /3 c) /60 d) 2/3 e) /90 25. (UEM-PR) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de a 20. probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é: a) /5 b) 2/25 c) 4/25 d) 2/5 e) 3/5 26. (CESGRNRIO-RJ) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é: a) /2 b) 2/5 c) 4/5 d) /5 e) n,d,a 27. (UFRJ-NCE) Em um saco preto há 90 bolas, das quais 32 bolas são vermelhas, 25 são azuis, 2 são brancas, 4 são pretas e as demais são verdes. s bolas são, todas, lisas, de mesmo tamanho e feitas com o mesmo material. Se tirarmos ao acaso, sem olhar, uma bola do saco, é mais provável que a bola seja: a) vermelha; b) azul; 4 tualizada 07/0/2009 c) branca; d) preta; e) verde. 28. (FEI-SP) Numa moeda viciada, a probabilidade de ocorrer face cara num lançamento é igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta moeda é: a) 40% b) 80% d) 20% e) 50% 29. Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa. 30. (PUC-SP) Uma urna contém apenas cartões marcados com números de três algarismos distintos, escolhidos de a 9. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, a probabilidade de ser sorteado um cartão com um número menor que 500 é: a) 3/4 c) 8/2 d) 4/9 e) /3 3. Três estudantes, B e C estão em uma competição de natação. e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de ou C vencer, considerando que não haverá empate em qualquer colocação. GBRITO 0 D 02 E 03 a 04 B 05 a) 5/2 b) 0/49 06 07 D 08 E 09 C 0 B C 2 Correta 3 Errada 4 D 5 5/34 6 D 7 B 8 D 9 D 20 B 2 22 C 23 D 24 D 25 E 26 B Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
27 B 28 B 29 5/6 30 D 3 3/5 tualizada 07/0/2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5