Duração: 90 minutos Grupo I Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS Justifique convenientemente todas as respostas 2 o semestre 206/207 05/07/207 :30 o Teste C 0 valores. Uma peça de certo tipo é classificada de acordo com a sua dimensão e porosidade. Num grande lote composto por peças deste tipo, verificaram-se as seguintes proporções: % têm dimensão inadequada e são porosas; 3% têm dimensão inadequada e não são porosas; 23% não têm dimensão inadequada e são porosas; 73% não são porosas nem têm dimensão inadequada. a) Escolhida ao acaso uma peça do lote, calcule a probabilidade de ela ser porosa, sabendo que tem 2.0) dimensão inadequada. Quadro de acontecimentos e probabilidades Acontecimento Probabilidade D {peça com dimensão inadequada} PD)? P {peça é porosa} PP)? D P {peça tem dimensão inadequada e é porosa} PD P) 0.0 D P {peça tem dimensão inadequada e não é porosa} PD P) 0.03 D P {peça não tem dimensão inadequada e é porosa} PD P) 0.23 D P {peça não tem dimensão inadequada e não é porosa} PD P) 0.73 Probabilidade pedida Uma vez que PD) PP D) + PP D) 0.0 + 0.03 0.04 segue-se PP D) PP D) PD) 0.0 0.04 4. b) A massa de uma peça do tipo referido escolhida ao acaso) é descrita por uma variável aleatória 3.0) com distribuição normal de valor esperado 00g e desvio padrão 2g. Calcule a probabilidade de a massa total de 25 peças desse tipo, escolhidas ao acaso, ser superior a 2525g. V.a. X i massa peça i, n 25 i,...,n Distribuição, valor esperado e variância comuns i.i.d. X i X, i,...,n EX i ) EX ) µ 00, i,...,n V X i ) V X ) σ 2 2 2, i,...,n S n n i X i massa total de n peças Página de 6
Distribuição exacta de S n S n é uma combinação linear de n v.a. com distribuição normal, logo S n também é normalmente distribuída. Com efeito, S n NormalES n ),V S n )), onde ) n n ES n ) E X i EX i ) X i X n EX ) n µ 25 00 2500 V S n ) V i n ) X i i i X i indep. n i V X i ) X i X n V X ) n σ 2 25 2 2 00 Probabilidade pedida Sn ES n ) PS n > 2525) P 2525 ES ) n) V Sn ) V Sn ) ) 2525 2500 Φ 00 Φ2.5) tabel a/calc 0.9938 0.0062. 2. O número de veículos que passam diariamente por certo ponto de Lisboa até se observar o primeiro veículo de fabrico estrangeiro, X, é uma variável aleatória com variância igual a 20. Assuma independência entre as nacionalidades de fabrico dos diferentes veículos que passam nesse ponto. a) Justifique que a função de distribuição de X é dada por PX x) p) x, onde x,2,....5) e p 0.2. X no. de veículos até se observar o o. de fabrico estrangeiro [Hipóteses de trabalho Admitiremos: independência entre as nacionalidades de fabrico dos diferentes veículos que passam nesse ponto; que a probabilidade de o veículo ser de fabrico estrangeiro se mantém constante e igual a p.] Distribuição de X X Geométricap). F.p. de X PX x) p) x p, x,2,... Justificação da f.d. de X Para x,2,..., temos: F X x) PX x) x p) m p m p x p p p m p) x. p) m p) p)x p) Página 2 de 6
Valor de p p 0,) : V X ) 20 p p 2 20 20 p 2 + p 0 p ± 2 4 20 ) 2 20 p 4 ou p 5 p 0.2 b) Qual é a probabilidade de passarem mais de 7 veículos naquele ponto da cidade até se observar.5) o primeiro veículo de fabrico estrangeiro, sabendo que os três primeiros veículos que passaram naquele ponto eram de fabrico nacional? Pela propriedade de falta de memória da distribuição geométrica segue-se PX > 7 X > 3) PX > 7 3) [Alternativamente, PX > 7 X > 3) PX 4) F X 4) a) [ 0.2) 4 ] 0.2) 4 0.4096. PX > 7, X > 3) PX > 3) PX > 7) PX > 3) PX 7) PX 3) F X 7) F X 3) [ 0.2)7 ] [ 0.2) 3 ] 0.2) 7 3 PX > 7 3)... 0.4096.] c) Suponha que, num dado período do dia, os veículos passam naquele ponto de Lisboa de acordo 2.0) com um processo de Poisson de taxa 4 veículos por minuto. Calcule a probabilidade de, em 0 minutos desse período do dia, passarem mais de 60 veículos nesse ponto de Lisboa. X t no. de veículos que passam naquele ponto em t minutos desse período do dia t > 0) Distribuição de X t Dado que lidamos com um processo de Poisson com taxa igual a 4 veículos por minuto, temos X t Poisson4 t). F.p. de X 0 PX 0 x) e 40 40 x x!, x 0,,2,... Página 3 de 6
PX > 60) PX 60) tabel a/calc. 0.9988 0.002. Grupo II 0 valores. O diâmetro de certo tipo de eixo tem desvio, medido relativamente a uma norma, descrito por uma variável aleatória X com distribuição normal com valor esperado 0 e variância 0.64. Considera-se que um eixo deste tipo é não defeituoso se 2 < X < 2. a) Determine a probabilidade de um eixo produzido ser defeituoso. 2.0) X desvio medido relativamente a uma norma Distribuição de X X Normal0,0.64). [ 2 EX ) P 2 < X < 2) [ P X EX ) 2 EX ) ] V X ) V X ) V X ) [ ) )] 2 0 2 0 Φ Φ 0.64 0.64 ] [Φ2.5) Φ 2.5)] 2 [ Φ2.5)] tabel a/calc. 2 0.9938) 0.024. b) Num lote composto por 20 eixos deste tipo, escolhidos ao acaso, qual é a probabilidade de 2.5) existirem no máximo 2 eixos defeituosos? Determine também o valor esperado do número de eixos defeituosos nesse lote. Nota: Se não resolveu a alínea a), considere que a probabilidade de um eixo ser defeituoso é igual a 0.024. Y Y no. de eixos defeituosos em lote composto por 20 eixos escolhidos ao acaso Distribuição de Y Y Binomialn, p) com n 20 e p a) 0.024. F.p. de Y PY y) 20) y 0.024 y 0.024) 20 y, y 0,,...,20 PY 2) 2 PY y) y0 0.024) 20 + 20 0.024 0.024) 9 + 90 0.024 2 0.024) 8 0.99844 Valor esperado pedido EY ) np 20 0.024 0.248. Página 4 de 6
2. Um sistema funciona com um par de lâmpadas, uma de tipo A e outra de tipo B. Sejam X e Y as variáveis aleatórias que descrevem as durações em milhares de horas) das lâmpadas do tipo A e B respetivamente), quando instaladas nesse sistema. Sabe-se que X respetivamente Y ) tem distribuição exponencial de valor esperado respetivamente 0.5) e que X e Y são variáveis aleatórias independentes. a) Considere que uma lâmpada de tipo A e outra de tipo B são instaladas simultaneamente no sistema. 2.5) Qual é a probabilidade de nenhuma destas lâmpadas falhar nas 000 h iniciais? Par aleatório X,Y ) X duração em milhares de horas) de lâmpada do tipo A Y duração em milhares de horas) de lâmpada do tipo B Distribribuições X Exponencialλ X ), onde λ X : EX ) λ X λ X Y Exponencialλ Y ), onde λ Y : EY ) 0.5 λ Y 0.5 λ Y 2 X Y F.d.p. de X e Y f X x) f Y y) { { e x, x 0 0, c.c. 2e 2 y, y 0 0, c.c. PX >,Y > ) X Y PX > ) PY > ) [ ] [ ] f X x)dx f Y y)d y e t ) + e 2 t + ) e e 2 e 3 0.049787. [Alternativamente, poderíamos tirar partido do facto da f.d.p. conjunta de X e Y ser igual a f X,Y x, y) X Y f X x) f Y y) para de seguir calcular a prob. pedida: ] PX >,Y > ) e t + e e 2 e 3 0.049787. f X x)dx ) f X,Y x, y)d y dx f X x) f Y y)d y dx ) e 2 t + ) f Y y)d y ) b) Suponha que, ao falhar, uma lâmpada de tipo A é substituída instantaneamente por uma nova 3.0) lâmpada do mesmo tipo. Calcule um valor aproximado da probabilidade de terem de ser usadas mais de 40 lâmpadas nas primeiras 40000 h de funcionamento do sistema. Página 5 de 6
[Nota Serão usadas mais de 40 lâmpadas nas primeiras 40000 h de funcionamento do sistema, caso a duração total de 40 lâmpadas seja inferior a 40000 h.] V.a. X i duração da lâmpada i do tipo A, n 40 i,...,n Distribuição, valor esperado e variância comuns i.i.d. X i X, i,...,n EX i ) EX ) µ λ X, i,...,n V X i ) V X ) σ 2, i,...,n λ 2 X Nova v.a. S n n i X i duração total de n lâmpadas Valor esperado e variância de S n ES n ) E n i X ) i n i EX i ) X i X n EX ) n µ n V S n ) V n i X ) Xi indep. i n i V X i ) X i X n V X ) n σ 2 n Distribuição aproximada de S n Pelo teorema do limite central TLC) podemos escrever: S n ES n ) V Sn ) S n n µ n σ a Normal0,). Valor aproximado da prob. pedida S40 n µ PS 40 < 40) P 40 n µ ) n σ n σ ) T LC 40 40 Φ 40 Φ0) 0.5. Página 6 de 6