Aula 05 Transformadas de Laplace

Aula 05 Transformadas de Laplace

Pierre Simon Laplace (1749-1827) As Transformadas de Laplace apresentam uma representação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável s que é um número complexo, s = σ + jω

Transformadas de Laplace definição L { x(t) } ou X(s) L [ x(t) ] = X(s) = e - st x(t) dt 0 x(t) = 0 para t < 0 Transformada de Laplace unilateral (para t 0)

Transformadas de Laplace de alguns sinais conhecidos

função exponencial x(t) = e at u 1 (t) L [ ] -at e = (s 1 + a) a > 0 a < 0 a = 0 L [ ] = = -st -at x(t) X(s) e e dt = = 0 -t(s+ t(s+ a) e e - dt = (s + a) 0 a) 0 1 = (s + a)

impulso unitário x(t) = u o (t) L [ u (t)] = 1 o L [ ] -st x(t) = X(s) = e u (t) dt 0 o Usando Propriedade da Convolução eq. (3.13), pág 14, Cap.3 Notas de Aula L s [ ] 0 0 x(t) =e - = e Propriedade da Convolução eq. (3.13), pág 14, Cap.3 Notas de Aula β α x ( t ) u o ( t a ) dt = x (a ), α < a < β

degrau unitário x(t) = u 1 (t) L [ (t)] u 1 = 1 s L [ x(t) ] = X(s) = 0 -st st = e e - u1(t) dt = s 0 1 s

rampa unitária x(t) = u 2 (t) L 1 [ u (t)] = 2 2 s L 0 e e - s [ ] st x (t) = X(s) = u 2(t) dt = = 2 2 -st 0 1 s

semi-parábola x(t) = u 3 (t) L 1 [ u (t)] = 3 3 s Os demais sinais singulares L 1 [ u (t)] = n n s

seno x(t) = sen ωt u 1 (t) L [ sen ωt] = 2 2 s ω + ω

co-seno L cos ωt x(t) = cos ωt u 1 (t) [ ] 2 = 2 s s + ω

Propriedades da Transformada de Laplace X(s) = L [ x(t) ] Homogeneidade: Aditividade: Linearidade: (que resume as 2 propriedades anteriores: Homogeneidade e Aditividade )

Propriedades da Transformada de Laplace X(s) = L [ x(t) ] (continuação) Sinal transladado ( time shifting ): Sinal multiplicado por exponencial e at

Propriedades da Transformada de Laplace X(s) = L [ x(t) ] (continuação) Derivadas:

Propriedades da Transformada de Laplace X(s) = L [ x(t) ] (continuação) Derivadas: caso particular condições iniciais nulas x(0) = 0 x (0) = 0 etc.

Propriedades da Transformada de Laplace X(s) = L [ x(t) ] (continuação) Integral: caso particular condições iniciais nulas x(0) = 0

Propriedades da Transformada de Laplace X(s) = L [ x(t) ] (continuação) Mudança de escala do tempo ( time scaling ) Sinal multiplicado por t Sinal multiplicado por 1/t

Propriedades da Transformada de Laplace (continuação) X(s) = L { x(t) } Convolução: L [ (t)*x (t)] X (s) X (s) x = 1 2 1 2 a convolução entre dois sinais x 1 (t) e x 2 (t) x 1 (t)*x integral de convolução 2 (t) = x (t τ) x ( τ) dτ = 0 1 = x ( τ) x (t τ) dτ 0 1 2 2

Teorema do Valor Inicial (TVI) x(0 + ) lim x(t) = lim s X(s) t 0 + s Teorema do Valor Final (TVF) x( ) lim x(t) = lim s X(s) t s 0

Teorema do Valor Inicial (TVI) x(0 + ) = lim s X(s) s Teorema do Valor Final (TVF) x( ) = lim s X(s) s 0

Alguns exemplos de Transformadas de Laplace Exemplo 1 x(t) = 2 u o (t a) X(s) = 2 e as Exemplo 2 2 x(t) = u1(t 3 a) X(s) = as 2e 3s

Exemplo 3 x(t) = u 2(t) u 2 (t 1) u1(t 3) X(s) = 1 s 2 e s s 2 e s 3s Exemplo 4 x(t) = a u1 (t + 2) Não tem Transformada de Laplace unilateral, conforme definimos.

Exemplo 5 x(t) = a u1(2 t) Não tem Transformada de Laplace unilateral, conforme definimos.

Estes sinais são de certa forma o mesmo sinal escritos em escalas de tempo diferentes. Usando a propriedade da mudança de escala ( time scaling ) também podemos obter X 2 (s) a partir de X 1 (s).

Já vimos que a Transformada de Laplace do seno é: L [ sen ωt] = 2 2 s ω + ω usando apenas as propriedades da Transformada de Laplace, em especial a da derivada, podemos mostrar que: L [ cos ωt] = 2 2 s s + ω que é a Transformada de Laplace do co-seno, conforme também já vimos anteriormente.

Propriedades da Transformada de Laplace (continuação) Estas propriedades podem ser obtidas: aplicando-se a propriedade da multiplicação por exponencial para os sinais singulares u n (t) divididos por n! ou aplicando-se recursivamente a propriedade do sinal multiplicado por t para o sinal exponencial.

o seno multiplicado por exponencial x(t) = e at sen ωt u (t) 1 Aplicando-se a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêm-se X(s) = (s + ω 2 a) + ω 2

o co-seno multiplicado por exponencial x(t) = e at cos ωt u (t) 1 e, novamente aplicando a propriedade do sinal multiplicado por exponencial, obtemos: (s + a) X(s) = (s + 2 a) + ω 2 Na pág. 26 do Capítulo 5 das Notas de aula tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.

Na pág. 26 do Capítulo 5 das Notas de aula tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.

Na pág. 26 do Capítulo 5 das Notas de aula tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.

Na pág. 26 do Capítulo 5 das Notas de aula tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.

Na pág. 26 do Capítulo 5 das Notas de aula tem uma Tabela da Transformada de Laplace de todos os sinais que precisaremos.

As Transformadas Inversa de Laplace L - 1 [ X(s) ] = x(t) As Transformadas de Laplace dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fração racional p(s) q(s) Os três casos que veremos são: polos reais e distintos, polos complexos e polos múltiplos.

Caso 1 Polos reais e distintos p(s) q(s) e o cálculo das transformadas inversas:

Caso 2 Polos complexos conjugados p(s) q(s)

Caso 2 Polos complexos conjugados (continuação) p(s) q(s) e o cálculo das transformadas inversas: L - 1 (s As + α) 2 + ω 2 = A e αt cos ωt u 1 (t) L - 1 (s B/ ω + α) 2 + ω 2 = B ω e αt sen ωt u 1 (t)

Caso 3 Polos múltiplos p(s) q(s) e o cálculo das transformadas inversas:

Exemplo 6 fazemos: A + B = 1 2A + B = 3 A = 2 B = 1

Exemplo 6 (continuação) e portanto: logo,

Exemplo 7 já foi calculado no exemplo anterior

Exemplo 8 A + B = 0 A + C = 1 A = 1 A = 1 B = 1 C = 0

Exemplo 8 (continuação) e portanto: logo,

Exemplo 8 (continuação) e usando a tabela das Transformadas de Laplace facilmente encontramos:

Exemplo 9 A + B + C = 3 B + 2C = 2 C = 1 A = 2 B = 0 C = 1

Exemplo 9 (continuação) e portanto: cuja transformada inversa é

Solução de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando Transformada Laplace Normalmente, a entrada x(t) é conhecida assim como as condições iniciais da saída y(t), isto é, y(0), y (0), y (0), etc. e deseja-se calcular a saída y(t), a solução da EDO.

Exemplo 10 y + 3y(t) = 2 x(t) y(0) = 0 e y (0) = 0 x(t) = u 1 (t) = degrau unitário (1) (2) (3) Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2), obtém-se: ou seja,

Exemplo 10 (continuação) e portanto, e, pela eq. (3), x(t) = u 1 (t) = degrau unitário, temos que X(s) = 1/s, logo:

Exemplo 10 (continuação) Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s). y(t) = L - 1 [ Y(s) ] Este é um caso de um polo real s = 0 e um par de polos complexos conjugados, raízes de

Exemplo 11 y + 5y + 9y(t) = x(t) = 0 y(0) = 0 e y (0) = 4; x(t) = 0 (1) (2) (3) (EDO homogénea) Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2), e como pela eq. (3), x(t) = 0, obtém-se: ou seja,

Exemplo 11 e portanto, (continuação) que é uma equação algébrica em s e cuja solução é: Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s). y(t) = L - 1 [ Y(s) ] Este é um caso de um par de polos complexos conjugados, raízes de

Exemplo 12 y + y + y(t) = x(t) y(0) = 0 e y (0) = 1; x(t) = u 1 (t) = degrau unitário (1) (2) (3) Fazendo-se a Transformada de Laplace de (1) usando as condições iniciais (2), obtém-se: logo, como pela eq. (3), X(s) = 1/s, temos que: e portanto, s 2 y(t) 1 + sy(s) + Y(s) = (1/ s)

Exemplo 12 (continuação) que é uma equação algébrica em s e cuja solução é: Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s). y(t) = L que já foi calculada no Exemplo 8, ou seja, - 1 [ Y(s) ] Este é um caso de um polo real e um par de polos complexos conjugados, raízes de s (s 2 + s + 1)

A resposta impulsional h(t) e H(s)

Um resultado clássico da Teoria de Sistemas, que já vimos na seção 4.3, é que a saída y(t) de um sistema é a convolução entre h(t) e x(t), ou seja y (t) = h(t) * x(t) isto é, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma da integral de convolução, + y(t) = h(t τ) x( τ) dτ= + h( τ) x(t τ) dτ Usando a propriedade da convolução para a Transformada de Laplace, ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas, temos então que: Y(s) = H(s) X(s)

o que permite redesenhar o diagrama na forma

Como a Transformada de Laplace do impulso unitário u o (t) é igual a 1, ou seja: L {u o (t)} = 1 então quando a entrada x(t) é um impulso unitário u o (t), i.e., x(t) = u o (t) teremos que X(s) = 1 e portanto, Y(s) = H(s) 1, isto é, Y(s) = H(s), o que implica y(t) = h(t), isto é, a saída y(t) se torna a resposta impulsional, como seria de se esperar.

Obrigado! Felippe de Souza felippe@ubi.pt