24 CAPÍTULO IV EQUILÍBRIO EM DUAS DIMENSÕES SOLICITAÇÕES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA I. INTRODUÇÃO Vimos até aqui que quando existe um sistema de cargas ativas atuando em um corpo são desenvolvidas cargas externas reativas, capazes de manter o equilíbrio do corpo, que calculamos com a aplicação das equações fundamentais da estática. Se estivermos diante de uma estrutura com carregamento plano: ΣF x = 0 ΣF y = 0 Σ M z = 0 De uma maneira geral podemos dizer que: 1. O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios. 2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar(são impedidas internamente), gerando solicitações internas. 3. O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações). Pretendemos analisar quais os efeito que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. Para tanto, suponhamos o corpo em equilíbrio, sob efeito de um carregamento qualquer. Se cortarmos este corpo por um plano qualquer (π), rompemos o equilíbrio pois destruimos sua cadeia molecular, na seção "S" de interseção do plano com o corpo. Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, deve-se aplicar, por exemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela ou seja, resultante de força ( R ) e
25 resultante de momento ( M ). O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas resultantes estão também representadas. R - Resultante de forças da parte retirada M - Resultante de momentos da parte retirada As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra. Determinação dos esforços em uma seção: Quando queremos saber o que acontece em uma seção S de uma peça, devemos cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um ) e podemos dizer que no centro de gravidade esta seção devem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio. Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção de referência adotada será a seção transversal das peças em estudo. II. CLASSIFICAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES Os esforços estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com elas. Sabemos também que um vetor no espaço pode ser decomposto segundo 3 direções que escolhermos e adotaremos 3 direções perpendiculares entre si no espaço (x,y,z). Vamos decompor os vetores resultantes R e M segundo estas tres direções escolhidas e teremos:
26 Observe que escolhemos 3 direções perpendiculares entre si com a seguinte característica: 2 direções contidas pela seção de corte e a terceira perpendicular à seção de corte. Denominamos as componentes da seguinte maneira: N - Esforço Normal Q - Esforço Cortante M - Momento Fletor Mt - Momento Torsor Cada solicitação conforme já vimos tem associada à si uma deformação: Esforço Normal (N) : Podemos definir esforço normal em uma seção de corte como sendo a soma algébrica das componentes de todas as forças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal),ou seja, todas as forças de um dos lados isolado pelo corte na direção do eixo x. N = Σ Fx ext. Representando duas seções infinitamente próximas entre si, o efeito do esforço normal será de provocar uma variação da distancia que separa as seções, que permanecem planas e paralelas. As fibras longitudinais que constituem estas seções também permanecem paralelas entre si, porém com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos)
27 O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitdinal e negativo no caso de encurtamento. Esforço Cortante (Q) : Podemos definir esforço cortante em uma seção de referência como a soma vetorial das componentes do sistema de forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada. Não é usual entretanto, trabalharmos com a soma vetorial e sim com suas componentes segundo dois eixos de referência contidos pela seção, podendo resultar em 2 esforços (Q y e Q z) obtidos pela soma algébrica das componentes das forças do sistema nestas direções. Qy = Σ Fy ext Qz = ΣFz ext O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento no sentido do esforço de uma secão sobre a outra infinitamente próxima acarretando o corte ou cisalhamento da mesma. Os esforços cortantes (Qy,Qz) serão positivos, quando calculados pelo somatório das forças situadas à esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatório das forças à direita forem contrários aos eixos. Momento Fletor (M) : Podemos definir momento fletor em uma seção de referência como a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da referência em relação aos eixos contidos pela seção de referência (eixos y e z). Não é usual entretanto trabalharmos com a soma vetorial optando-se pelo cálculo separado dos momentos em relação aos eixos y e z, tranformando a soma em algébrica. M y = Σm y ext Mz = Σ mz ext O efeito do momento fletor é provocar o giro a seção tranversal em torno de um eixo contido pela própria seção. As fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas permanecem planas).
28 O momento fletor Mz é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura e My é positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura. Momento Torsor : Podemos definir momento torsor em uma seção de referência como a soma algébrica das componentes dos momentos das forças externas de um dos lados da referência em relação ao eixo longitudinal da peça (eixo x). Mt = Σ mx ext O efeito do momento torsor é o de provocar o giro da seção em torno do eixo longitudinal da peça, torcendo-a ou deslocando-a angularmente em relação à seção visinha. A convenção de sinais adotadas para o momento torsor é análoga à do esforço normal, ou seja, o momento torsor é considerado positivo quando sua seta representativa está saindo da seção de referência (regra da mão direita). III. SOLICITAÇÕES EM ESTRUTURAS Cargas contidas em um único plano, por ex: plano x, y (caso mais comum)
29 Esforços desenvolvidos: IV. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS A. CONVENÇÕES: Conforme já vimos, se cortarmos uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas). Vamos tratar de estruturas sujeitas à carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são o esforço normal N (ΣF x ), o esforço cortante Q y (ΣF y ) ou simplesmente Q e o momento fletor M z ou simplesmente M. Com o fim de uniformizarmos a nossa representação vamos representar graficamene as convenções para o sentido positivo destas solicitações.
30 B. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO ARBITRÁRIA Se desejarmos calcular a solicitação desenvolvida em uma seção qualquer de uma peça carregada, usamos o método das seções: Cortamos a peça na seção desejada e isolamos um dos lados do corte (qualquer um). Na seção cortada devems ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio. Exemplo: Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo. V A = V B = q. l 2 Cortando e isolando um dos lados do corte: Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: ΣF x = 0 N = 0 Σ Fy = 0 Q q. l + q. l = 0 Q = 0 2 2 Σ MS = 0 M + q. l l q. l l.. = 0 2 4 2 2 Ms = q. l 2 8 Supondo que quisessemos as solicitações desenvolvidas em diversas seções da viga, repetiriamos o procedimento acima exemplificado, em quantas seções quantas pretendidas. Ao efetuarmos esta sucessão de cortes, observamos que as equações de equilíbrio formadas são as mesmas, com mudança apenas na distancia da seção cortada a referência. Poderíamos generalizar este procedimento,criando uma variável, por exemplo "x", que representasse esta distancia de uma forma genérica. onde 0 x l marcando os limites de validade da variável x.
31 Então: Σ F x = 0 N = 0 Σ F y = 0 Q q. l q. l + q. x = 0 Q = q. x + 2 2 Σ MS = 0 M q x x q. +.. l. x M q l 2. q. x =. x x 2 2 2 2 Esta representação se contitui o que se chama de método das equações C. PONTOS DE TRANSIÇÃO Vamos iniciar com um exemplo, calculando as solicitações desenvolvidas nas seções S1 e S2 da viga abaixo: V A = Pb/l V B = Pa/l S1: 0 x1 a Σ Fx = 0 N = 0 Σ Fy = 0 Q-Pb/l = 0 Q = Pb/l Σ M = 0 M - Pb/l.x1 = 0 M = Pb/l. x 1 S2 : a x 2 l
32 Σ Fx = 0 N = 0 Σ Fy = 0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P Σ M = 0 M + P (x 2 - a) - Pb/l. x 2 = 0 M = Pb/l. x 2 - P(x 2 - a) Constatamos que x 1 e x 2 nunca podem se sobrepor, pois dão origem a equações diferentes (na 2ª não entra a carga P) e então podemos chama-los genericamente de x e distinguir os trechos de validade dos mesmos. 1 o trecho 2 o trecho 0 x a a x l equações válidas para o primeiro trecho Q(x) = Pb/l M(x) = Pb/l.x equações válidas para o segundo trecho Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l M(x) = Pb/l.x - P(x-a) No exemplo acima intuitivamente nós identificamos um ponto de transição, que seria o ponto de aplicação da carga P, a partir do qual há a mudança na equação. Conforme foi visto há a necessidade de analizarmos um trecho antes e outro depois deste ponto de transição. Podemos generalizar o acima dizemos que sempre que houver um ponto de transição devemos proceder desta maneira. Podemos definir ponto de transição, de maneira análoga, como todo o ponto em que há alteração no carregamento: -Ponto de força aplicada - Ponto de momento aplicado - Ponto de troca da taxa de carregamento(descontínua)
33 De acôrdo com o que foi visto, podemos calcular as solicitações como funções da variável x, com trecho de validade pré-estabelecido, obtendo assim equações gerais para as mesmas, com validade nos diversos trechos vistos. Quando quisermos o valor da solicitação em uma seção em especial, de ordenada x conhecida, basta substituirmos nas equações o valor de x pela ordenada numérica desejada. Em geral nos interessa o valor das solicitações em toda a estrutura e não apenas em pontos específicos da mesma, e estas são representadas por suas equações. Este procedimento de cálculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples. Dado o esquema estrutural da peça (vínculos,cargas ativas e vãos): 1. Cálculo das reações externas 2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos 3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como posição genérica desta seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos. 4. Supomos em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser arbitradas com o sentido convencionado positivo. 5. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, obtendo-se então as equações desejadas. 6. Representação destas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção abaixo:
34 OBS: As cargas distribuidas não mais podem ser substituidas por suas resultantes totais, mas sim por resultantes parciais nos trechos considerados. D. RELAÇÕES DIFERENCIAIS Suponhamos uma estrutura sujeita à um carregamento que varia com a função q(x) e consideremos duas seções infinitamente próximas (S1 e S2) Cortamos a estrutura nestas seções e isolamos o trecho entre elas. Em cada uma das seções estarão representados os efeitos da parte da estrutura retirada. O cortante Q em S1 será a soma de todas as forças verticais até a seção, e na seção S2 será Q+dQ pois dq representa o acréscimo de cargas verticais que atuam em dx. O mesmo se dará com as outras solicitações. Q + dq = Q - q(x).dx ou dq = -q(x).dx ou ainda Analogamente: -q(x) = dq dx M + dm = M- q(x).dx dx/2 + Q dx ou dm = Q.dx - q(x). dx 2 /2
35 q(x).dx 2 /2 é um infinitézimo de 2ª ordem e será despresado Daí resulta: dm = Q.dx ou ainda Q = dm dx Percorrendo o caminho inverso: Q(x) = q( x). dx M(x) = Q( x). dx = q( x). dx OBS:Estas relações foram deduzidas para x variando da esquerda para a direita,portanto quando x variar da direita para esquerda as relações trocam de sinal. QUADRO RESUMIDO
36