Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: sequências e matrizes 05 e 06/06/14
Sequências Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do conjunto N n = {1, 2, 3,..., n} em R que associa a cada número natural i = 1, 2, 3,..., n, um número real a i. Em notação matemática, f = {(1, a 1 ), (2, a 2 ),..., (n, a n )}, ou, de forma simplificada, f = {a 1, a 2,..., a n }. Def.: chama-se sequência infinita toda aplicação f de N em R que associa a cada i N um número real a i. Em notação matemática, f = {(1, a 1 ), (2, a 2 ),..., (i, a i ),...}, ou, de forma simplificada, f = {a 1, a 2,..., a i,...}. Notação geral: f = (a i ) i L para sequência f dos termos a i onde o conjunto de índices é L.
Exemplos e Igualdade Ex 1) (1, 2, 3, 4, 6, 12) seq. finita dos divisores inteiros positivos de 12 dispostos em ordem crescente. Ex 2) (2, 4, 6,..., 2i,...) seq. infinita dos múltiplos inteiros positivos de 2. Igualdade: duas aplicações são iguais quando têm domínios e contradomínios iguais e mesma lei de formação. Assim, f = g a i = b i, i L
Lei de formação Fórmula de recorrência Expressando cada termo em função de sua posição Por propriedade dos termos Ex. 1) Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem a seguinte fórmula de recorrência: a 1 = 2 e a n = a n 1 + 3, n {2, 3, 4, 5, 6}. Ex. 2) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita g dada pela seguinte fórmula de recorrência: b 1 = 1 e b n = 3b n 1, n N e n 2. Ex. 3) Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem à lei: a n = 2 n, n {1, 2, 3, 4}.
Lei de formação Ex. 4) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita g em que os termos verificam a relação b n = 3n + 1, n N. Ex. 5) Escrever a sequência finita f de seis termos em que cada termo é igual ao número de divisores inteiros do respectivo índice. Ex. 6) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita g forma da pelos números primos positivos colocados em ordem crescente.
Progressões Progressão { aritmética (P.A.): sequência com fórmula de recorrência: a1 = a, n N, n 2, a e r números dados. = a n 1 + r a n Progressão { geométrica (P.G.): sequência com fórmula de recorrência: a1 = a, n N, n 2 a e q números dados. = a n 1.q a n Exemplos: f 1 = {1, 3, 5, 7, 9,...} f 2 = {0, 2, 4, 6, 8,...} f 3 = {4, 4, 4, 4,...} f 4 = { 1 2, 3 2, 5 2, 7 2, 9 2,...} f 5 = {4, 11 3, 10 3, 3, 8 3,...} f 6 = { 1, 2, 4, 8, 16,...} f 7 = {4, 4, 4, 4,...} f 8 = {1, 1 3, 1 9, 1 27, 1 81,...} f 9 = {4, 0, 0, 0,...} f 10 = {4, 4, 4, 4,...}
Progressões Termo geral de uma P.A.: a n = a 1 + (n 1).r Soma de uma P.A.: S n = n(a 1 + a n ) 2 Termo geral de uma P.G.: a n = a 1.q n 1 Exemplos 1) Calcular o 17 o termo da P.A. de primeiro termo 3 e razão 5. 2) Obter a razão da P.A. em que o 1 o termo é 8 e o 20 o é 30. 3) Interpolar 5 números igualmente espaçados entre 1 e 2. 4) Qual é a soma dos 15 primeiros termos iniciais da P.A. ( 2, 1, 4, 7,...)? 5) Calcular o 10 o e o 15 o termos da P.G. (1, 2, 4, 8,...). 6) Obter o 100 o termo da P.G. (2, 6, 18,...).
Matrizes Matriz m n: tabela formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas. Exemplos [ 3 5 1 2 0 4 5 ( 0 9 1 7 ) Notação: M = (a ij ) m n denota uma matriz de elementos (a ij ) (elemento da linha i coluna j) e de dimensões m n. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... a m1 a m2 a mn
Matrizes especiais matriz-linha: matriz do tipo 1 n, isto é, formada por uma única linha matriz-coluna: matriz do tipo n 1, isto é, formada por uma única coluna matriz nula: é toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero matriz quadrada: é toda a matriz de dimensões n n diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n: conjunto dos elementos a ii, i = 1, 2,..., n matriz diagonal: toda matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero matriz identidade de ordem n: toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. matriz simétrica: toda matriz quadrada A de ordem n tal que a ij = a ji, i = 1, 2,..., n
Igualdade de matrizes Duas matrizes A = (a ij ) m n e B = (b ij ) m n são iguais quando a ij = b ij para todo i = 1, 2,..., m e todo j = 1, 2,..., n. Exemplos [ 1 3 7 4 [ 1 3 7 4 = [ 1 3 7 4 pois a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21, a 22 = b 22 [ 1 7 pois a 3 4 12 b 12 e a 21 b 21
Exercícios 1) Indicar explicitamente os elementos da matriz A = (a ij ) 3 3 tais que a ij = i j. 2) Construir as seguintes matrizes A = (a ij ) 3 3 tal que a ij = B = (b ij ) 3 3 tal que b ij = { 1, se i = j 0, se i j { 1, se i + j = 4 0, se i + j 4 3) Determinar x e y de modo que se tenha [ [ 2x 3y x + 1 2y = 3 4 3 y + 4
Adição de matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) m n e B = (b ij ) m n, chama-se soma A + B a matriz C = (c ij ) m n tal que c ij = a ij + b ij, para todo i = 1, 2,..., m e todo j = 1, 2,..., n. Exemplos [ 1 2 3 4 5 6 5 11 3 4 [ 4 1 1 + 4 0 6 + 1 2 = 3 =
Propriedades da adição de matrizes A1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C), quaisquer que sejam A, B e C do tipo m n A2) Comutativa: A + B = B + A, quaisquer que sejam A e B do tipo m n A3) Elemento Neutro: 0, 0 = matriz nula do tipo m n, tal que A + 0 = A, qualquer que seja A do tipo m n A4) Elemento Oposto: ( A) do tipo m n tal que A + ( A) = 0, qualquer que seja A do tipo m n
Produto de número real por matrizes Dado um número k e uma matriz A = (a ij ) m n, chama-se produto ka a matriz B = (a ij ) m n tal que b ij = ka ij, para todo i e todo j. Exemplo [ 1 2 3 3. 4 5 6 [ 1 1 3 2. 7 4 = =
Propriedades do produto de número real por matrizes P1) k 1.(k 2.A) = (k 1 k 2 )A P2) k.(a + B) = k.a + k.b P3) (k 1 + k 2 ).A = k 1.A + k 2.A P4) 1.A = A onde A e B são matrizes do tipo m n e k, k 1 e k 2 são números reais quaisquer.
Produto de matrizes Dadas duas matrizes A = (a ij ) m n e B = (b ij ) n p, chama-se produto AB a matriz C = (c ik ) m p tal que c ik = a i1.b 1k + a i2.b 2k +... + a in.b 1n, para todo i = 1, 2,..., m e todo k = 1, 2,..., p. Exemplos [ 1 2 3 4 5 6 [ 1 2 3 4. 7 8 9 [ 5 6. 7 8 = =
Propriedades da multiplicação de matrizes M1) Associativa: (AB)C = A(BC), quaisquer que sejam A = (a ij ) m n, B = (b jk ) n p e C = (c kl ) p r M2) Distributiva à direita em relação à adição: (A + B)C = AC + BC, quaisquer que sejam A = (a ij ) m n, B = (b ij ) m n e C = (c jk ) n p Distributiva à esquerda em relação à adição: C(A + B) = CA + CB, quaisquer que sejam A = (a ij ) m n, B = (b ij ) m n e C = (c ki ) p m M3) (ka)b = A(kB) = k(ab) quaiquer que sejam o número real k e as matrizes A = (a ij ) m n, B = (b jk ) n p M4) I n e I m tais que AI n = A e I m A = A, qualquer que seja A do tipo m n
Matriz transposta Dada uma matriz A = (a ij ) m n, chama-se transposta de A a matriz A t = (a ji ) n m tal que a ji = a ij, para todo i e todo j. Exemplos A = [ 1 2 3 4 5 6, A t = 1 4 2 5 3 6 B = [ 1 3 5 7, B t = 1 3 5 7
Propriedades da matriz transposta T1) (A t ) t = A, para toda matriz A = (a ij ) m n T2) (A + B) t = A t + B t, para todas matrizes A e B do tipo m n T3) (ka) t = ka t, para toda matriz A do tipo m n e k R T4) (AB) t = B t A t, para todas matrizes A = (a ij ) m n e B = (b jk ) n p [ a b Exemplo: Verificar diretamente cada propriedade com A = [ c d e f B = e k = 2. g h,
Matriz inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I n. Dada uma matriz A inversível, chama-se inversa de A a matriz A 1 tal que AA 1 = A 1 A = I n. Exemplo A = [ 1 3 2 7 é inversível e A 1 = [ 7 3 2 1
Exercícios