PREPARAR EXAME NACINAL Itens para resolver (CNTINUAÇÃ) e. Seja g a função, de domínio IR\{}, definida por g(). Sem usar a calculadora, determine, se eistirem, as equações das assíntotas do gráfico de g. In ( ). Seja g a função, de domínio ], [ \ {}, definida por g(). Resolva, recorrendo eclusivamente a métodos analíticos, os dois itens seguintes. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios. Sempre que proceder a arredondamentos, conserve pelo menos duas casas decimais.. Estude o gráfico da função g quanto à eistência de assíntotas paralelas aos eios coordenados.. Mostre que a equação g() é possível no intervalo ], [. e se <. Considere a função f, de domínio IR, definida por f() k se se > Na figura está representada parte do gráfico da função f. k r f Tal como a figura sugere: r é uma assíntota do gráfico de f ; f() k Resolva os itens seguintes sem usar a calculadora.. Determine o valor de k e mostre que, tal como a figura sugere, a função f é contínua à direita do ponto de abcissa e descontínua à esquerda desse ponto.. Determine a equação da reta r.. Considere a função f definida por f(). e Sem usar a calculadora, resolva as três alíneas seguintes.. Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados.. Mostre que f(in ) In.
LIMITES, CNTINUIDADE, ASSÍNTTAS Itens para resolver (CNTINUAÇÃ). Na figura está representada, em referencial o.n., uma parte do gráfico da função f e o trapézio [ABC]. s pontos A e B são os pontos de interseção do gráfico de f com a reta de equação. ponto C pertence ao eio e tem ordenada igual à de A. Determine a área do trapézio [ABC]. C A B f se <. Considere a função f, de domínio IR\{ }, definida por f() In se Utilize métodos eclusivamente analíticos para resolver as alíneas seguintes.. A reta de equação é uma assíntota do gráfico de f? Justifique.. Estude a continuidade de f no ponto de abcissa. Nota: Deve indicar, justificando, se a função f é contínua nesse ponto e, no caso de não ser, se se verifica a continuidade à esquerda ou à direita nesse mesmo ponto.. Prove que a equação f() tem, pelo menos, uma solução em ], [. 7. De uma função g, de domínio IR, sabe-se que: o eio é uma assíntota do seu gráfico; é um zero de g ; g() Comente a seguinte afirmação: «A equação g() tem, pelo menos, uma solução no intervalo ], [.» 8. Considere a função f, de domínio IR, definida por f() e. Resolva, usando eclusivamente métodos analíticos, os itens 8.. e 8.. 8. Justifique que, no intervalo ], [, o gráfico de f interseta a reta de equação em pelo menos um ponto. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios. Sempre que proceder a arredondamentos, use aproimações às décimas. 8. Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico. 8. Considere agora a função h, também de domínio IR, definida por h() 8. s gráficos de ambas as funções intersetam-se em ], [. Recorrendo à calculadora, determine a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de interseção nesse intervalo. Reproduza o(s) gráfico(s) obtido(s) na calculadora e apresente os valores pedidos arredondados às centésimas.
PREPARAR EXAME NACINAL Itens para resolver (CNTINUAÇÃ) 9. Considere a função f, de domínio IR, definida por f() 8. Prove que a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma assíntota do gráfico de f.. Considere a função g, de domínio [, [ \ {}, definida por: g() se < ek se >, sendo k um número real negativo. Sem recorrer à calculadora, resolva as seguintes alíneas.. Estude a função g quanto à eistência de assíntotas horizontais do seu gráfico.. Determine o valor de k de modo que eista g().. Seja f a função de domínio IR definida por f() e. Sem usar a calculadora, estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico.. Uma função g, de domínio IR, é tal que g() e se < In se In Na figura ao lado está representada, num referencial o.n., parte do gráfico da função g. Tal como a figura sugere: A é o ponto do gráfico de g pertencente ao eio ; r é a assíntota vertical do gráfico de g ; s é a assíntota horizontal do gráfico de g. Sem usar a calculadora, resolva os itens seguintes. A g s. Determine a abcissa de A.. Escreva, justificando, as equações das retas r e s. r. De uma função f, de domínio IR, sabe-se que [f() ]. Seja h a função de domínio IR, definida por h() cos. f() Prove que a reta de equação é assíntota do gráfico de h. e se. Seja g a função de domínio IR, definida por g() sen se <. Sem recorrer à calculadora, estude a função g quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eios coordenados.
LIMITES, CNTINUIDADE, ASSÍNTTAS Itens para resolver (CNTINUAÇÃ). Considere, num referencial o.n., a reta r, de equação,. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, visualize, em [, ], o gráfico da função g e a reta r. Reproduza o referencial e ambos os gráficos visualizados na calculadora. Assinale ainda os pontos A e B e as suas coordenadas, sabendo que: A é o ponto de interseção entre o gráfico de g e a reta r ; B é o ponto de interseção entre o gráfico de g e a reta de equação. Determine o comprimento do segmento [AB], apresentando o resultado final arredondado às décimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve no mínimo duas casas decimais.. Seja f a função, de domínio IR, definida por f(). Seja g a função, também de domínio IR, definida por g() f( a) f(), a IR. Prove que o eio é uma assíntota do gráfico de g.. Seja f uma função de domínio IR, cujo gráfico admite uma assíntota paralela à bissetriz dos quadrantes pares. Seja ainda h uma função de domínio IR e tal que: h() f() In Sabendo que o gráfico de h admite uma assíntota não vertical, prove que ela é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares. 7. De duas funções f e g, ambas de domínio IR, sabe-se que: [f() a] (a ) a função g está definida por g() f(). Prove que o gráfico de g não admite assíntotas oblíquas. 8. Seja f uma função de domínio IR e tal que [f() ]. Seja g uma função de domínio IR e tal que g() f(). Prove que o gráfico da função g admite uma assíntota perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares. 9. Sejam f e g duas funções de domínio IR e tais que: f() ( sen ) ; é assíntota do gráfico de g. Mostre que o eio é uma assíntota do gráfico da função g f.. Sejam f e g duas funções de domínio IR e tais que: f() cos ; a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de g. Mostre que o eio é uma assíntota do gráfico da função f g. 7
Tema VII DERIVADAS DE FUNÇÕES. Taa média de variação e taa de variação Taa média de variação de uma função f em [a, b] f(b) f(a) t.m.v. [a, b] (f) b a Interpretação geométrica da taa média de variação t.m.v. [a, b] (f) é o declive da reta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissas a e b. f a b Derivada de uma função f em a (ou taa de variação de uma função f em a) f (a) h f(a h) f(a) h ou f() f(a) f (a) a a Interpretação geométrica da derivada f (a) é o declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a, isto é, f (a) m. m b f a Derivadas laterais f (a ) h f(a h) f(a) h ou f (a ) a f() f(a) a f (a ) h f(a h) f(a) h ou f (a f() f(a) ) a a Função derivável num ponto Função com derivada finita nesse ponto. Derivabilidade e continuidade Se uma função for derivável num ponto, então é contínua nesse ponto. 8
DERIVADAS DE FUNÇÕES Regras de derivação (k) (e u ) u e u (k) k (a u ) u a u In a (a IR \{}) (u v) u v (In u) u u (u v) u v u v (log a u) (a IR u u \{}) In a (ku) ku u v u v v u v (sen u) u cos u (cos u) u sen u (u n ) n u n u u (n IR) (tg u) co s u u u u Itens resolvidos. Uma águia, ao efetuar um voo planado à procura de aento, avistou uma lebre no fundo do vale do parque natural. fundo do vale é uma área plana. De imediato, a águia iniciou um voo picado, a grande velocidade, em direção à presa, capturando-a em poucos segundos. Após a captura, transportou a lebre para o cimo de um penhasco, terminando aí o seu voo. momento da captura corresponde ao instante em que a águia atingiu, no seu voo, a distância mínima ao fundo do vale. Admita que a distância, h, em metros, a que a águia se encontra do fundo do vale, t segundos após o início do voo picado, é dada, aproimadamente, por: h(t),t,t,9t,t 9,8 com t [; 9,] Resolva os itens seguintes usando processos analíticos.. Determine e interprete o valor da taa média de variação de h no intervalo [, ]. Apresente o resultado com aproimação às décimas. Em cálculos intermédios, não proceda a arredondamentos.. Determine e interprete h (). Adaptado de Eame Nacional de Matemática B,. a fase, 9.. Considere a função g definida por g() se < In ( ) se Utilize métodos eclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes.. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa.. Verifique se eiste g (). 9
PREPARAR EXAME NACINAL Itens resolvidos (CNTINUAÇÃ) Resolução h() h(),77 9,8. t.m.v. [, ] (h),7,7 Interpretação: Nos primeiros segundos, a distância da águia ao fundo do vale diminuiu, em média,,7 metros por segundo.. h (t) (,)t (,)t (,9)t, h (), Interpretação: No instante t segundos, a distância da águia ao fundo do vale aumentou, metros por segundo.. A equação da reta tangente em é da forma m b, sendo m g ( ) e b a ordenada na origem. < ; g () g ( ) b Como g( ), logo tem-se ( ) b b. No ponto de abcissa é necessário averiguar se as derivadas laterais são iguais. g( g( h) g() In (h ) ) h h h h In (h ) h h g( ) h g( h) g() h h h h h h Assim, como g ( ) g ( ), conclui-se que não eiste g (). A equação pedida é. Itens para resolver Itens de seleção. Uma função real g é tal que g(). Qual é a equação da reta que interseta o gráfico de g nos pontos de abcissas e? (A) (B) (C) (D). Considere a função g definida por g() log ( ). Sabe-se que a reta de equação é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa. In ) Qual é o valor de? g( (A) (B) (C) (D) In In. De duas funções f e g sabe-se que há uma reta que é simultaneamente a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa. Qual é a afirmação necessariamente verdadeira? (A) f() g() (B) f() g() (C) f () g () (D) f () g ()
DERIVADAS DE FUNÇÕES Itens para resolver (CNTINUAÇÃ). Considere a função g, de domínio IR, definida por g() In (). Ao lado encontra-se parcialmente representado o gráfico de g juntamente t g com a reta t de equação, tangente ao gráfico de g num certo ponto e de abcissa a. Qual é o valor de a? a (A) e (B) e (C) e (D) e. De uma certa função f, de domínio IR, sabe-se que é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) f() (B) f () (C) f() f() (D) f( ) f() f(). Sejam f a função, de domínio IR, definida por f() e e g a função afim representada ao lado. Tal como a figura sugere, o gráfico de g interseta o eio no ponto de abcissa e o eio no ponto de ordenada. g Qual é o valor de f g ()? (A) (B) (C) (D) 7. Considere a função g, definida em IR por g() In ( ). Qual é o valor de g ()? (A) (B) (C) ln (D) ln In 8. Considere a função h derivável em IR e tal que h() e h( ) h(). Então, pode concluir-se que: (A) h() (B) h() (C) h () (D) h ()
PREPARAR EXAME NACINAL TEMA VI LIMITES, CNTINUIDADE, ASSÍNTTAS. Teoria de ites pág.. (C) f(a n ) f() In In n. (A) e e e. (B) e(e ) ( )( ) e ( ) ( ) e ( ) e. (B), mas a eponencial f() cresce mais do que a polinomial. pág. e e. (B) In. (D) s ites laterais têm de ser iguais, pelo que: h() (ind.) ( )( ) ( )( 8) h() e k 8 (ind.) e k k k k k pág.. (C) sen se n f() sen (). (B) sen () f() f() Como f() está entre e, logo f() está entre e.. (A) f(a n ) f( sen () ). (A) sen () sen ( ) 7. (D) I n, tg 8. (C) In se n. h() log ( ) > log ( ) < < < 99 < 99 conjunto pedido é,... h log log log log log log log log log, que é uma proposição verdadeira. h log.. Podem representar a sucessão ( n ) as opções: (A), pois h( n e n ) h n en h( ) h( ). (C), pois h n ln n n h ln n n h( ) h( ). (D), pois h n 8n 9n n h 8n n h( ). bservação: na opção B, tem-se: h ln n n h( ln e ) h( ) h( ) não definido e. (C) e e 7. (C) (ind.) ( ) ( ) ( ) e e e 8. (C) e e In In ( 9. (A) ) h() In (,),9. (A) h(). (C) g(u n ) g( ), pois (n n ) (n n )(n n ) n n n n n n. h() ( ) In ( ) In ( ) h() Como os ites laterais são iguais, logo h(). pág.. h() ( ) ( ) ( ) (ind.) h() Como os ites laterais são diferentes, logo não eiste h().. Distância pedida g() log log log log log log ( 9) log c.q.d.. n n g( n ) g() n n g( n ) g() pág... C (t) 8 8 ln (t k) t t t 8 8 8 pois a função t cresce mais depressa do que a função ln (t k) quando t. Interpretação: passados muitos dias, a concentração de formaldeído vai aproimar-se de 8 μg/m. 8 In ( k).. C () 7 8 7 7 In ( k) 9 k e, k, 8 In ( ).. C () 8, μg/m.. Gráficos em [, ] [, ] : Como se pode ver pelo gráfico de C, a,8 concentração de for - C (t) maldeído obedece ao pri meiro critério (já que o máimo é,8 μg/m < ), mas não obedece ao segundo critério, pois essa concentração é inferior a μg/m após, dias (e não 8).. N(), Interpretação: em 9, a população de Portugal era aproimadamente igual a, milhões de habitantes. t
RESLUÇÕES t N(t) 9,8 Interpretação: Com o decorrer dos anos, o número de habitantes vai aproimar-se dos 9,8 milhões.. N(t) 8 e,t,t In t 8,8 Foi em 98. pág. 7 7. ( )( ) 8 ( )( ) 7. 7. 7. 9 () 7. ) ( ( ) 7. 8 ) ( 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 7.7 ( ) ( ) 7.8 ( ) ( ) ( ) 7.9 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 9 ( ) 7. ( ) 9 7. ( ) 7. 7. ( )( ) ( )( ) 7. ( ) ( ) ( ) 7. 7. 7.7 7.8 ( e ) ( ) e e e e e e ln 7.9 ln ln ln ln ln log 7. log log log log lo g ( ) 7. [ln ( ) ln ( )] ln ln ln ln ln ln 7. ln ( ) ln ln ln ln ln 7. ln ( ) ln ( ) 7. ln ( 7) ln ( ) ln ( ) ( ) ln ( 7) ln ( 7. 7) 7 ln 7 ln 7 7 7 log log log 7 7 7 log log log ln 7 7 ( ) 7
PREPARAR EXAME NACINAL 7. ln ( ) ln ( ) ln sen sen 7.7 7.8 se n ( ) sen ( ) 8 sen ( ) 7.9 sen ( ) l n ( ) sen() sen () ln ( ) ln ( ) 7. cos sen 7. en ln ln tg e sen e sen tg e sen (e sen ) s cos e sen sen (cos e sen ) e sen sen sen Limite notável ( ) N. o entre e sen sen cos 7. sen ( ) e e e e e (e ) e e e PB tg tg f() 8. f() () Quando a amplitude do ângulo BPC se aproima de (por valores inferiores), a área do trapézio [APCD] aproima-se da do retângulo [ABCD], que é igual a. 8. Consideremos, em, [, ], os gráficos de f e de g(). É necessário calcular o ponto de interseção das duas curvas. f() g(),8 9. Perímetro AP PC AP PB AP PB ra, tg cos sen ( )(e e ) 9 ( )e e PB PB 8. Área ra, tg pág. 8 AP PB tg PB f() tg co s f, pelo que: g e e,79 (pelo que PB tg ) e pelo que AP cos. 9. f() Quando a amplitude do ângulo BAP se aproima de (por valores inferiores), o períme- tro do trapézio [APCD] aproima-se do perímetro do triângulo [ACD], que é igual a. 9. Consideremos, em, [, ], os gráficos de f e de g(). É necessário calcular o ponto de interseção das duas curvas. f() g(),7. Lado [BP] : sen g() sen cos sen cos BP,7 BP sen P sen cos sen cos. g() Interpretação: À medida que o ponto P se aproima do ponto C, o comprimento do segmento [BP] tende a aproimar-se do comprimento do lado [BC], que é. f g B C
RESLUÇÕES PC CB. g() PC tg PC PC tg g() tg tg tg tg. g() Interpretação: À medida que o ponto P se aproima do ponto C, o triângulo [BCP] tende a desaparecer, isto é, a sua área tende a aproimar-se de.. Como r é assíntota do gráfico de g, logo, pelo que é assíntota vertical do gráfico de g, c.q.d.. g tg tg tg tg tg. Seja a abcissa do ponto P ; assim o retângulo tem lados g() e. A() tg A() tg Interpretação: À medida que se aproima de, o retângulo da figura tende a desaparecer, isto é, a sua área tende a aproimar-se de.. Continuidade pág.. (B). (D) pág. 9 pág. tg tg. (B) f () e g() f() e g() P B C. (C) ], [. (B) f () f () f( ) f () f( ) log (k ). (D) h() h() h() h() pág. 7. (D) u n f(u n ) negativo f() número 8. (C) f() f() e g() g() 9. (D). (A) f( ) e f( ) e k se k. pág.. (C) Pois f() f().. (C) log ( k) k k. (D) f() f() f() k In ( ) k. (A) h() h() e h(). (A) h() 7 7 8 ( ) ( ) ( ) 8 h() 8 ( ) ( ) ( ) ( ) Como apenas se verifica h() h(), logo h é contínua só à esquerda de. pág.. (A) k h() k h() h(k) log (k ) k 7. (C) f() e f() têm sinais contrários (assim como f() e f()). e 8. (D) g( ) g( ) ( ) g() g é contínua em. g( ) ( ) 7 g( ) ( ) log 9 g() g é contínua só à direita de. 9. (B) f não é contínua em [, ] ; f( ) e f( ) não têm sinais contrários; f( ) e f( ) não têm sinais contrários. pág.. (C) (f g)() h() e h( ) 8,9 ; h( ), 8 ; h( ), ; h() ; h(),7. (B) f() f() f() f() f() k f() (ind.) sen k k 9. (C) g( ) k g() g( ) sen () g é contínua se k k.. (D) f( ) sen sen f( ) ( ) f() f( ) f não é contínua em (logo não é em IR ). f () porque sen é um função itada em IR.. (B) h( ) ; h( ) ; h() pág. 7. (A) f() f() f() ( ) log k k.. f() sen () log k 9 In ( ).. f() (pois a função definida por cresce mais depressa do que a definida por ln ( ) quando ) 9.. f() (ind.) Como é um zero do numerador e do denominador, é possível decompô-los pela regra de Rufinni: 9 9