VERSÃO PARA IMPRESSÃO

VERSÃO PARA IMPRESSÃO MECÂNICA UIA 4 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO

Ese maerial é desinado exclusivamene aos alunos e professores do Cenro Universiário IESB, coném informações e coneúdos proegidos e cuja divulgação é proibida por lei. O uso e/ou reprodução oal ou parcial não auorizado dese coneúdo é proibido e esá sujeio às penalidades cabíveis, civil e criminalmene.

3 SUMÁRIO Aula 13 Cinemáica do Corpo Rígido... 4 13.1. Posição, Velocidade e Aceleração... 4 13.. Movimeno Reilíneo Uniforme... 5 13.3. Movimeno Reilíneo Uniformemene Variado... 6 13.4. Movimeno Curvilíneo... 7 13.5. Componene Tangencial e Normal... 8 13.6. Componene Radial e Transversal... 9 Aula 14 Dinâmica do Corpo Rígido Forças e Acelerações... 10 14.1. A Segunda Lei de Newon do Movimeno... 10 14.. Quanidade de Movimeno Linear... 11 14.3. Equações de Movimeno... 1 14.4. Quanidade de Movimeno Angular... 13 14.5. Equações de Movimeno: componenes radial e ransversal... 14 14.6. Movimeno sujeio à Ação de uma Força Cenral... 14 Aula 15 Dinâmica do Corpo Rígido Trabalho e Energia... 16 15.1. Trabalho... 16 15.. Energia Cinéica... 17 15.3. Teorema Trabalho-Energia... 18 15.4. Poência e Eficiência... 18 15.5. Forças Conservaivas... 19 15.6. Conservação da Energia... 0 Aula 16 Dinâmica do Corpo Rígido Impulso e Quanidade de Movimeno... 1 16.1. Impulso e Quanidade de Movimeno... 1 16.. Movimeno Impulsivo... 16.3. Impaco Cenral Direo... 3 16.4. Impaco Cenral Oblíquo... 5

4 Aula 13 CINEMÁTICA DO CORPO RÍGIDO n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o maerial de esudo, disponível no Ambiene Virual de Aprendizagem (AVA), assisa à videoaula e enha uma breve inrodução dos principais ópicos que serão abordados na UIA 4. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n As unidades aneriores foram dedicadas ao esudo de corpos em repouso (esáica). Nesa unidade vamos esudar a dinâmica dos corpos rígidos, ou seja, os corpos em movimeno e suas causas. Na primeira aula faremos uma abordagem sobre a cinemáica que visa invesigar o movimeno propriamene dio sem se preocupar com as causas dese e nas aulas subsequenes as causas do movimeno será esudo a parir de rês meodologias disinas. 13.1. POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO Para esudarmos a eoria por rás do movimeno precisamos, anes de udo, definir algumas quanidades físicas. Inicialmene vamos raar do movimeno reilíneo, ou seja, num cero insane, o móvel vai ocupar uma posição sobre uma linha rea. Para definirmos a posição P de um móvel, vamos escolher uma origem O fixa na linha rea e um senido posiivo, ambos escolhidos de maneira compleamene arbirária, como indicado na figura 13.1. No S.I. a posição é dada em meros (m). Figura 13.1 Posição P de um móvel que se move ao longo de uma rea x em relação a uma origem fixa O. Uma vez definida a posição do móvel, podemos falar de velocidade média, definida pelo quociene da variação de espaço x pelo inervalo de empo : v m x = (13.1) A velocidade insanânea de um móvel é obida a parir da definição de velocidade média e dada por: v = lim = d x dx 0 (13.) que é jusamene a definição da derivada do espaço em relação ao empo, ou seja, a axa de variação do espaço com relação ao empo. No S.I., a unidade de medida de velocidade é o mero por segundo (m/s). Nesse mesmo conexo, podemos definir a aceleração média:

5 a m = v (13.3) e a aceleração insanânea: a = lim = d v dv 0 (13.4) Esa úlima define a axa de variação da velocidade em relação ao empo. No S.I. a aceleração é dada em m/s². Observe que é possível escrever a aceleração insanânea da seguine maneira: dv d dx d x a= = a= d d d d (13.5) que é a segunda derivada da posição em relação ao empo. Além disso, uilizando a regra da cadeia, podemos escrever: e idenificando dx v = d, emos: dv dv dx a = = d dx d dv a = v dx (13.6) A equação 13.6 será úil para obermos ouras equações de cinemáica que serão úeis ao longo do curso como veremos nas seções seguines. 13.. MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME Ese é o ipo de movimeno que é frequenemene aproximado por várias siuações coidianas de engenharia, onde a aceleração do móvel é nula para odo valor de. O que implica direamene em: dx v consane d = = (13.7) Dese modo, a coordenada da posição x, pode ser obida direamene a parir de inegração da equação 13.7. Rearranjando os ermos desa equação chagamos a: dx = vd e inegrando ambos os lados na respecivas variáveis: x dv = v d x0 0 x x0 = v x= x0 + v

6 Esa equação é chamada de equação horária do espaço no movimeno reilíneo uniforme e somene poderá ser uilizada se a velocidade do móvel é consane, ou seja, ele percorre espaços iguais em empos iguais. 13.3. MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Ouro exemplo de siuação ideal que pode ser aproximada em siuações práicas de engenharia é o movimeno reilíneo uniformemene variado no qual a aceleração do móvel é consane: dv a consane d = = (13.8) e a velocidade do móvel é obida por simples inegração da equação 13.8. Rearranjando os ermos: e inegrando em relação às respecivas variáveis: v v0 dv = ad dv = a d a aceleração saiu da inegração pois ela é uma consane, da mesma forma como a velocidade ambém saiu na inegração da equação 13.7. Resolvendo a inegral, obemos: o v v0 = a v= v0 + a (13.9) A equação 13.9 é chamada de equação horária da velocidade no movimeno reilíneo uniformemene variado. Para deerminarmos a posição, podemos subsiuir a equação 13.7 na equação 13.9: Rearranjando os ermos, oberemos: dx v0 d = + a ( ) dx = d v + a 0 Agora inegrando e resolvendo a equação acima, oberemos: Vamos uilizar agora a equação 13.6: x x0 0 ( ) dx = v + a d 1 x x0 = v0+ a 1 x= x0 + v0+ a 0 dv a = v dx (13.10)

7 Uma vez que a aceleração é consane podemos rearranjar os ermos desa equação da seguine maneira: e assim podemos inegrar esa equação: adx = vdv x a dx= v x0 v0 vdv 1 ax ( x) = v v ( ) 0 0 v = v0 + a( x x0) (13.11) A equação 13.11 é conhecida como equação de Torricelli. Vele ressalar que as equações 13.9, 13.10 e 13.11 somene poderão ser uilizadas quando o móvel possuir uma aceleração consane. Para aprofundar mais sobre o MRUV e enconrar alguns exercícios eu recomendo a apresenação O Movimeno Reilíneo Uniformemene Variado (MRUV ), disponível no acervo da disciplina. 13.4. MOVIMENTO CURVILÍNEO Quando um móvel se desloca ao longo de uma curva, dizemos se raar de um movimeno curvilíneo e assim, emos de definir oura maneira para deerminar a posição P de um móvel. A figura 13. mosra um sisema de coordenadas caresiano com uma origem O onde o veor r sai da origem O e vai aé a posição P de um móvel ao longo do espaço. O veor r é chamado de veor posição do móvel no insane. Figura 13. Veor posição r no espaço ridimensional caresiano. A velocidade insanânea é definida em ermos do veor posição r aravés da seguine relação: r dr v = lim = 0 d (13.1) Dese modo, ambém podemos definir a aceleração insanânea: v dv a = lim = 0 d (13.13)

8 13.5. COMPONENTE TANGENCIAL E NORMAL A velocidade de um móvel é um veor angene à rajeória desse móvel, enreano, em geral, a aceleração não é angene a essa rajeória. Porano, orna-se necessário decompor a aceleração em componenes ao longo da angene e da normal à rajeória da parícula. e Dessa maneira, podemos definir dois veores uniários n e e ao longo da rea normal à rajeória de um móvel e ao longo da rea angene à rajeória respecivamene (figura 13.3). Figura 13.3 Veores uniários en e e. Pode-se mosrar que: e n de = d (13.14) Apesar de que a demonsração da equação 13.14 não foi mosrada aqui, esa equação é basane imporane e deverá ser decorada. Já sabemos que a velocidade de um móvel é angene à rajeória e pode ser expressa da seguine maneira. v = ve (13.15) Para obermos a aceleração a parir da velocidade expressa na equação 13.15, precisamos realizar uma derivada em relação ao empo: dv d dv de a = = = + d d d d ( ve ) e v (13.16) Uilizando a regra da cadeia, podemos chegar à seguine relação: de de d ds = d d ds d (13.17) ds v Lembrando que d = d 1, ds = onde é o raio de curvaura da rajeória em P (figura 13.4) e usando a equação 13.14, podemos chegar em:

9 de v en d = (13.18) e subsiuindo o resulado de 13.18 na equação 13.18 oberemos a seguine expressão: dv v a = e + d e n (13.19) A equação 13.19 de compõe a aceleração nas direções normal e angencial da rajeória de um corpo em movimeno curvilíneo. O primeiro ermo do lado direio desa equação é chamado de aceleração angencial enquano que o segundo ermo é chamado de aceleração cenrípea que apona para o cenro da rajeória curvilínea. Figura 13.4 Deslocameno de um móvel ao longo de uma rajeória curvilínea. 13.6. COMPONENTE RADIAL E TRANSVERSAL Em alguns problemas em engenharia é necessário uilizar as coordenadas polares r e para faciliar sua a resolução. Assim, de maneira similar a que fizemos na seção anerior, vamos decompor a velocidade e a aceleração em ermos de componenes radial e ransversal (figura 13.5). Figura 13.4 Componenes radial e ransversal de um movimeno em coordenadas polares. de r e Pode-se mosrar que d = de e d = e r e escrevendo o veor posição como um produo: r = re r (13.0) Derivando uma e duas vezes oberemos as equações de velocidade e aceleração, escrias aqui sem demonsração: v = re + r e r (13.1)

10 e ( ) r ( ) a = r r e + r + r e (13.) Desa maneira, conseguimos decompor a velocidade e a aceleração em componenes radial e ransversal. As equações 13.0, 13.1 e 13. são principais para problemas em coordenadas polares. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o maerial de esudo, disponível no Ambiene Virual de Aprendizagem (AVA), e assisa à videoaula, sobre uma aplicação dos princípios fundamenais de dinâmica, em um caso específico. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Para maiores dealhes sobre movimenos reilíneos e curvilíneos eu recomendo o link hp://inyurl.com/zfqkz Aula 14 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO FORÇAS E ACELERAÇÕES Nesa aula, vamos começar a esudar as causas do movimeno, ou seja, o que faz com que os objeos iniciem seu movimeno. Na aula anerior vimos como deerminar a posição, a velocidade e a aceleração de um móvel e agora daremos mais um passo a frene no esudo da dinâmica. Exisem várias meodologias que podem ser uilizada para resolução de problemas de dinâmica denre as quais podemos ciar o méodo das forças e acelerações (ema dessa aula), o méodo da energia e rabalho (que será viso na aula seguine) e por fim o méodo do impulso e quanidade de movimeno que será abordado na nossa ulima aula do curso. A seguir, vamos reomar alguns conceios fundamenais e necessários para nos aprofundarmos. 14.1. A SEGUNDA LEI DE NEWTON DO MOVIMENTO A segunda lei de Newon pode ser enunciada da seguine forma: A força resulane que aua num corpo é direamene proporcional à sua aceleração e apona na mesma direção dela. Maemaicamene, podemos a segunda lei de Newon será expressa da seguine forma: F = ma (14.1) onde ΣF represena o somaório da forças que auam sobre o corpo, ou seja, a resulane das forças, m é a massa do corpo e a é a aceleração adquirida.

11 Observe que o sisema de referência em relação ao qual a aceleração na equação 14.1 é deerminada não é arbirário. Esamos falando do sisema de referência newoniano, ou seja, ese esá em repouso ou com velocidade consane em relação às esrelas localizadas no cenro do sisema solar. Para fins de engenharia, a Terra pode ser considerada com boa aproximação, um referencial newoniano. 14.. QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR Reomando a equação 14.1, podemos uilizar a definição de aceleração a = dv / d. Desa maneira, eremos: dv F = m d Em sisemas onde a massa do corpo permanece consane, emos que a axa de variação de massa é nula, ou seja, a massa não varia no empo e sua derivada em relação ao empo é zero: dm d = 0 (14.) Porano, podemos escrever uilizando a regra da derivada do produo: F dm dv = v+m d d F d = d ( m v) (14.3) Chamamos o veor mv de quanidade de movimeno linear ou momeno linear o simplesmene momeno de um corpo. A equação 14.4 pode ser inerpreada como: a resulane das forças que auam num corpo é igual à axa de variação da quanidade de movimeno linear dese. Porano, podemos definir maemaicamene o momeno linear como: L= mv (14.4) Podemos uilizar a noação L para denoar uma derivada emporal, ou seja: d L = L d (14.5) Desa maneira, a equação 14.3 pode ser escria da seguine maneira: F = L (14.6) Decorre da equação 14.6 que se a força resulane que aua num corpo for nula, a axa de variação da quanidade de movimeno linear ambém será. Iso resula que se a derivada do momeno linear é nula o veor momeno linear é uma consane ano em inensidade, direção e senido. Iso resula no princípio da conservação da quanidade de movimeno linear e é desa maneira que Newon enunciou a sua segunda lei do movimeno.

1 14.3. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO F = ma Observe que a equação 14.1,, esá escria em sua forma veorial. Enreano, para resolução de problemas em engenharia é mais conveniene resolvê-la em sua forma escalar. Para isso precisamos definir o sisema de coordenadas mais conveniene. Se a simeria do problema exigir o uso de coordenadas caresianas convencionais, decompomos os veores de força F e aceleração a em coordenadas reangulares: e F = F i+ F j+ Fk x y z a = a i+ a j+ a k x y z de forma que a equação 14.1 fica: ( Fxi+ Fyj+ Fzk) = m( axi+ ayj+ azk) (14.7) De onde podemos irar rês equações independenes: F F F x y z = ma x = ma = ma y z (14.8) Figura 14.1 Sisema de componenes normal e angencial. Agora, se o problema puder ser analisado em componenes normal e angencial (figura 14.1), podemos decompor a força e aceleração da seguine maneira: e F = Fe + Fe n n a= ae + a e n n onde F $ é a componene da força na direção angencial, F % é a componene da força na direção normal, a $ é a componene da aceleração na direção angencial e a % é a componene da aceleração na direção normal. Uilizando as definições da equação 13.9 e aplicando-as à equação 14.1 podemos ober as seguines equações: F dv = m d (14.9) e

13 F n v = m (14.10) Que consiuem um sisema de duas incógnias para ser resolvidos nos problemas de simeria curvilínea. Os alunos podem enconrar a resolução de alguns problemas envolvendo equações de movimeno no link abaixo: hp://inyurl.com/jdyybb3 14.4. QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR A figura 14. mosra uma parícula P viajando com uma velocidade v. Enquano a parícula viaja, o veor r que liga a parícula à origem O efeua um giro em relação a esse pono. O momeno em relação a O do veor mv é chamado de quanidade de movimeno angular ou simplesmene momeno angular represenado por H O. Figura 14. Quanidade de movimeno angular em relação a O. Maemaicamene podemos definir o momeno angular da seguine forma: H = r mv O (14.11) que é um produo veorial. Observando a figura 14., podemos escrever essa equação na forma escalar, lembrando da definição do produo veorial: HO = rmvsen (14.1) onde é o ângulo que o momeno linear faz com a direção do veor posição r que localiza a parícula P no espaço. Podemos ainda escrever o momeno angular em ermos das coordenadas reangulares da seguine maneira: i j k H O = x y z mv mv mv x y z (14.13) que resulará em rês equações independenes:

14 ( ) H = m yv zv x z y ( ) H = m zv xv y x z ( ) H = m xv yv x y x (14.14) 14.5. EQUAÇÕES DE MOVIMENTO: COMPONENTES RADIAL E TRANSVERSAL Se nos depararmos com um problema de dinâmica em coordenadas polares, como na figura 14.3, podemos decompor a força e a aceleração em componenes radial e ransversal: e F = Fe + F e r r a= a e + a e r r Figura 14.3 Parícula submeida a um sisema de forças em coordenadas polares. Desa maneira, podemos uilizar a equação 13. e subsiuir na equação 14.1 para obermos: r ( ) F = m r r (14.15) e ( ) F = m r + r (14.16) Que são duas equações independenes que podem ser uilizadas para obenção de duas incógnias 14.6. MOVIMENTO SUJEITO À AÇÃO DE UMA FORÇA CENTRAL Quando uma única força aua sobre um corpo que apona para um pono O fixo ou se afasando dele, dizemos se raar de um movimeno sob a ação de uma força cenral (figura 14.4). Podemos ciar como exemplos de força cenral a força graviacional e a força elérica.

15 Figura 14.4 Movimeno sob a ação de uma força cenral. Derivando no empo a equação 14.11 podemos mosrar que o momeno da força é igual a axa de variação do momeno angular: e uilizando a noação H O d = H d O M O d = H d O, podemos escrever: (14.17) M O = H O (14.18) Pode-se mosrar que como a linha de ação da força F passa por O, o momeno da força é nulo Porano: H = 0 O (14.19) M = 0 O. e a axa de variação do momeno angular é nula, ou seja, o momeno angular é uma consane H = consane O. Ese é o princípio da conservação do momeno angular que pode ser ambém escrio como: onde uilizamos a equação 14.1. rmvsen = r mv sen 0 0 0 (14.0) Para maiores informações e demonsrações sobre o ópico de movimenos sob a ação de uma força cenral acesse o link: hp://inyurl.com/zmwop4u

16 Aula 15 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO TRABALHO E ENERGIA Nesa aula iremos abordar o segundo méodo uilizado na resolução de problemas de dinâmica que é o méodo do rabalho e energia cinéica. Na seção seguine vamos definir os ermos e veremos mais pra frene como eles se ornam úeis na resolução dos problemas. Os alunos poderão enconrar uma série de problemas que são simplificados a parir do uso do méodo do rabalho-energia no link abaixo: hp://inyurl.com/zshwuvv 15.1. TRABALHO Vamos inicialmene definir rabalho e deslocameno usados em mecânica. Para isso considere a figura 15.1 na qual uma parícula se move de um pono A para o pono A sob a ação de uma força F. Figura 15.1 Trabalho infiniesimal realizado por uma força F. O veor r é o veor posição do pono A enquano que o veor que liga os ponos A e A, represenado por dr, é chamado de deslocameno da parícula. Assim, definimos o rabalho da força F correspondene ao deslocameno dr pela seguine expressão: du = F dr (15.1) que é o produo escalar enre a força e o deslocameno. No S.I. a unidade de medida do rabalho é o joule (J). Se o módulo da força for F, do deslocameno for ds e podemos reescrever a equação 15.1 como: for o ângulo enre a força e o deslocameno, du = Fds cos (15.) Para obermos o rabalho finio devemos esabelecer um limie como na figura 15. onde definimos os ponos A 1 e A.

17 Figura 15. Trabalho finio realizado por uma força F enre os ponos A1 e A. Inegrando a equação 15.1 nos limies esabelecidos pela figura 15., emos: U 1 A A = F dr 1 (15.3) que define o rabalho finio realizado por uma força F durane um deslocameno enre os ponos A 1 e A. 15.. ENERGIA CINÉTICA Considere uma parícula se deslocando ao longo de uma rajeória curvilínea conforme mosra a figura 15.3. Vamos parir da definição da segunda lei de Newon em ermos das componenes angenciais da força e da aceleração: F F = ma dv = m d (15.4) (15.5) Lembrando que v = ds/ d podemos escrever: Figura 15.3 Parícula ao longo de uma rajeória curvilínea. F dv ds = m ds d dv F = m v ds

18 Fds = mvdv s= s Realizando uma inegração de A 1, onde 1 e v= v1, aé A s = s onde v= v, emos: e onde chamamos o ermo escalar. s v 1 1 Fds= m vdv= mv mv s1 v1 1 (15.6) 1 mv de energia cinéica da parícula T, que é uma grandeza puramene Dese modo, escrevemos: T 1 = mv (15.7) No S.I. a unidade de medida de energia cinéica ambém é joule (J). 15.3. TEOREMA TRABALHO-ENERGIA Podemos relacionar as equações 15.3, 15.6 e 15.7 para escrevermos: 1 1 U1 = mv mv1 = T T1 = T (15.8) onde verificamos claramene que o rabalho para deslocar a parícula do pono A 1 ao pono A é igual a variação de energia cinéica da parícula. A equação 15.8 é chamada de eorema rabalho-energia, pois relaciona o rabalho realizado por uma força com a variação de energia cinéica de uma parícula. A grande vanagem de uilizar ese eorema é o fao de lidar com equações puramene escalares sem se preocupar em decompor a força nem a aceleração nas coordenadas do problema sejam elas reangulares ou polares. Ouro fao imporane é que realizando uma análise dimensional das equações 15.1 e 15.7 podemos verificar facilmene que o rabalho e a energia possuem a mesma unidade de medida, o que de fao é ambém verificado na equação 15.8. Além disso, a energia cinéica é sempre posiiva não imporando o movimeno da parícula. A uilização da equação 15.8 esá resria a sisemas nos quais não há dissipação de energia. 15.4. POTÊNCIA E EFICIÊNCIA Definimos poência pela axa emporal de realização de rabalho. Se U é o rabalho realizado durane cero inervalo de empo, a poência média durane aquele inervalo será de: Poência média = U No limie em que ende a zero, emos:

19 Poência = lim = d U du 0 (15.9) No S.I., a unidade de medida de poência é o wa (W). Já a eficiência é definida pela razão enre o rabalho de saída e o rabalho de enrada. Maemaicamene: rabalho de saída = rabalho de enrada (15.10) As definições de rabalho e eficiência são basane uilizadas em máquinas érmicas e eléricas para sabermos seus consumos de energia para projeos de máquinas de engenharia. Eu recomendo o link <hp://inyurl.com/j8xhz9k> para os alunos buscarem exemplos e aplicações sobre os conceios definidos nesa seção. 15.5. FORÇAS CONSERVATIVAS Forças conservaivas são aquelas que não dependem da rajeória, mas apenas das posições inicial e final do objeo. São exemplos de forças conservaivas a força elásica, a força graviacional e a força elérica. A essas forças podemos associar uma energia chamada de energia poencial. Esa forma de energia depende da posição relaiva a uma referência. Figura 15.4 Caso da energia poencial graviacional. A energia poencial graviacional esá associada à alura (figura 15.4) e é definida como sendo: Vg = mgy (15.11) onde m é a massa do objeo, g é a aceleração da gravidade e y é a alura relaiva à referência, que em vários problemas de engenharia será o solo.

0 Figura 15.5 Caso da energia poencial elásica. A energia poencial elásica esá associada ao sisema massa-mola da figura 15.5 e é escria maemaicamene como: Ve 1 = kx (15.1) onde k é a consane de rigidez da mola e x é o deslocameno da mola a parir da posição da mola indeformada. Em sisemas onde somene há forças conservaivas, emos que: U1 = V1 V = V (15.13) ou seja, o rabalho realizado pela força é igual ao negaivo da variação de energia poencial associado ao sisema. Ese fao será imporane para escrevermos o eorema de conservação da energia mecânica na seção subsequene: 15.6. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Quando um objeo se deslocar sob a ação de forças conservaivas, o eorema rabalho-energia definido pela equação 15.8 pode ser modificado e para isso uilizaremos a equação 15.13 para escrevermos: V1 V = T T1 T1+ V1 = T + V (15.14) ou seja, a soma da energia cinéica e da energia poencial de um objeo permanece consane. A soma da energia cinéica com a energia poencial é chamada de energia mecânica E. Desa forma, podemos expressar a equação 15.14 da seguine maneira: E = E 1 (15.15) ou ainda: E = 0 (15.16)

1 As equações 15.14, 15.15 e 15.16 somene são válidas para sisemas submeidos apenas a forças conservaivas e onde não há dissipação de energia. A equação 15.16 é chamada ambém de princípio da conservação da energia mecânica. Você poderá se informar mais sobre conservação da energia mecânica no link abaixo: hp://inyurl.com/juavanw Aula 16 DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO Finalmene ese curso se encerra com o úlimo méodo de análise de problemas em dinâmica que uiliza o princípio o impulso e da quanidade de movimeno. Nas seções subsequenes vamos definir as grandezas físicas envolvidas e iremos mosrar quais são os problemas que se adequam a esse ipo de análise. Vamos lá! 16.1. IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO Vamos considerar uma parícula de massa m sob a ação de uma força F. Uilizando a equação 14.3: d F = d ( m v) muliplicando ambos os lados pelo elemeno infiniesimal de empo d e inegrando de 1 aé eremos: 1 ( v) Fd = d m Fd = mv mv Rearranjando os emos da equação acima oberemos: 1 mv + Fd = mv 1 1 (16.1) A inegral expressa na equação 16.1 é definida como impulso da força F durane o inervalo de empo em quesão. Escrevemos maemaicamene o impulso da seguine forma: Imp 1 = 1 Fd (16.) onde emos uma equação veorial. Podemos ainda escrever a equação 16. em ermos das componenes reangulares no espaço caresiano e oberemos rês equações independenes: 1 Imp = i Fd+ j Fd+ k Fd x y z 1 1 1 (16.3)

e desa forma represenaremos o impulso em cada uma das direções do sisema de coordenadas caresiano. No S.I., a unidade de medida do impulso é Ns ou ainda, relembrando da definição de Newon, kg m/s. mv Observe que a equação 16.1 represena que a quanidade de movimeno final do objeo pode ser mv obida adicionando veorialmene seu momeno inicial 1 com o impulso da força F durane o inervalo de empo em quesão. A figura 16.1 ilusra esse procedimeno. Figura 16.1 Princípio impulso e quanidade de movimeno. Podemos reescrever a equação 16.1 de uma forma mais funcional: mv + Imp = mv 1 1 (16.4) A equação 16.4 é chamada de princípio do impulso e quanidade de movimeno e é basane semelhane ao eorema rabalho-energia. Porém, a equação 16.4 é uma equação veorial e precisamos definir um sisema de coordenadas adequado para obermos uma solução analíica. Em componenes reangulares, podemos escrever: ( mv ) + F d = ( mv ) x 1 x x 1 ( mvy) + Fyd = ( mvy) 1 1 ( mv ) + F d = ( mv ) z 1 z z 1 (16.5) 16.. MOVIMENTO IMPULSIVO O méodo de solução explicado na seção anerior é basane úil no esudo de movimenos impulsivos. Temos um movimeno impulsivo quando uma força basane inensa age sobre uma parícula durane um inervalo exremamene curo de empo. Um exemplo de movimeno impulsivo pode ser obido quando uma bola de beisebol sofre uma acada de um rebaedor, figura 16.. Figura 16. Exemplo de movimeno impulsivo. Nesa siuação o conao do aco com a bola ocorre durane um inervalo de empo basane curo e a força exercida pelo aco é ão inensa que é capaz de alerar facilmene o senido de movimeno da bola de beisebol.

3 Vale ressalar que qualquer força que não seja uma força impulsiva pode ser desprezada, devido ao fao dela ser incapaz de alerar o senido do movimeno do móvel. No exemplo da figura 16. a força peso é desprezada pelo fao de não ser uma força impulsiva. O aluno erá apenas o rabalho de idenificar quais são as forças que são capazes de alerar o senido de movimeno do objeo para enão aplicar as equações 16.5. Para mais exemplos de movimeno impulsivo eu recomendo o link abaixo: hp://inyurl.com/gw4zh7 16.3. IMPACTO CENTRAL DIRETO Quando ocorre a colisão enre dois corpos num inervalo de empo muio curo e durane o qual os corpos exercem forças relaivamene grandes um sobre o ouro ese ipo de colisão pode ser considerada um impaco, figura 16.3. Figura 16.3 Impaco cenral direo. No impaco cenral direo as velocidades das duas parículas esão direcionadas ao longo da linha de impaco. Vamos considerar a siuação da figura 16.4(a) onde duas parículas de massas m A e m B se movem em linha rea e com velocidades v A e v B respecivamene. Considere ainda que a velocidade da parícula A seja superior que a velocidade da parícula B. Logo, a parícula A alcançará a parícula B. No impaco, ambas as parículas serão deformadas pelas forcas de conao e no final da deformação, figura 16.4(b), ambas as parículas possuirão a mesma velocidade u. Após esse processo, se iniciará o processo de resiuição e dependendo das forças de conao e do maerial que consiui as parículas, elas ficarão deformadas e apresenarão velocidades finais v A e v B. Vamos deerminar a inensidade dessas velocidades finais.

4 Figura 16.4 Eapas do processo de impaco cenral direo. Uilizando a equação 16.5 na direção do eixo x é possível definir uma grandeza física chamada de coeficiene de resiuição: v e = v ' B A v v ' A B (16.6) A demonsração da equação 16.6 pode ser enconrada no link: hp://inyurl.com/jaxdd Como não há forças exernas a serem consideradas no movimeno impulsivo represenado na figura 16.4, o momeno linear oal das parículas se conserva: mv + mv = mv + mv ' ' A A B B A A B B (16.7) A parir dessas considerações, exisem rês casos pariculares que merecem desaque: i. Quando o coeficiene de resiuição é nulo ( e = 0). Dizemos que o impaco é perfeiamene plásico ou inelásico. Não há período de resiuição e as parículas ficam junas após o ' ' v ' impaco. Fazendo A vb v = =, emos: ( ) ' mv A A+ mv B B= ma+ mb v (16.8) ( e =1) i. Quando o coeficiene de resiuição é máximo dizemos que o impaco é perfeiamene elásico. Isso significa dizer que os impulsos durane o período de deformação e resiuição são iguais. Nese caso, além do momeno ser conservado, há conservação da energia cinéica:

5 ii. Nos casos em que ( e 1) ' ' ( ) ( ) mv A A mv m v m v B B + = + A A B B (16.9) a energia não se conserva. Para que isso ocorra há perdas energéicas em forma de calor, som e ondas elásicas no inerior dos corpos. 16.4. IMPACTO CENTRAL OBLÍQUO No impaco cenral oblíquo uma ou ambas as parículas se movem ao longo de oura linha que não seja a linha de impaco, figura 16.5. Figura 16.5 Impaco cenral oblíquo. Nese caso consideraremos as componenes das velocidades ao longo da linha de impaco e desa forma as equações definidas na seção anerior coninuarão sendo válidas ambém para esse ipo de siuação. Assim, será necessário decompor as velocidades nas direções normal e angencial à superfície de conao das parículas. Você erminou o esudo desa unidade. Chegou o momeno de verificar sua aprendizagem. Ficou com alguma dúvida? Reome a leiura. Quando se senir preparado, acesse a Verificação de Aprendizagem da unidade no menu laeral das aulas ou na sala de aula da disciplina. Fique aeno, essas quesões valem noa! Você erá uma única enaiva anes de receber o feedback das suas resposas, com comenários das quesões que você acerou e errou. Vamos lá?!

6 REFERÊNCIAS BEER, FERDINAND P. JOHNSTON, E. RUSSEL JR. Mecânica Veorial para Engenheiros. (5ª edição). São Paulo: Pearson Prenice Hall, 006. HALLIDAY, D. RESNICK, R. 1997. Fundamenos de Física Vol. 1 e (9ª Edição). Rio de Janeiro: LTC, 003. HIBBELER, R. C. Esáica Mecânica para Engenharia (10ª edição). São Paulo: Pearson Prenice Hall, 008. LEMOS, NIVALDO A. Mecânica Analíica (1ª edição), São Paulo: Livraria da Física, 004. MERIAN, J. L. KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia Esáica (7ª edição). Rio de Janeiro: LTC, 013. NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica, Vol. 1 e (4ª edição). São Paulo: Edgard Blücher, 009. TIPLER, PAUL A. Física para Cienisas e Engenheiros, Vol 1, (4ª edição). Rio de Janeiro: LTC, 000. GLOSSÁRIO Aceleração angencial: Componene da aceleração que apona na direção angencial no movimeno curvilíneo. Aceleração cenrípea: Componene da aceleração que apona para o cenro da rajeória curvilínea e é perpendicular à aceleração angencial. Momeno linear: Produo da massa pela velocidade de uma parícula. Momeno angular: Capacidade de girar em orno de um eixo específico. Força cenral: Força que se direciona ao longo de uma linha radial que apona para um pono fixo ou para fora dese. Trabalho da força: Produo escalar da força pelo deslocameno de uma parícula. Energia cinéica: Tipo de energia associada à velocidade de um corpo. Forças conservaivas: Forças cujo rabalho não depende do caminho, mas apenas dos ponos inicial e final. Energia poencial: Energia associada à posição. Impulso: Grandeza física que mede a capacidade de varia a quanidade de momeno linear de um corpo. Movimeno impulsivo: Movimeno sob a ação de uma força exremamene inensa que age na parícula durane um inervalo de empo muio curo, mas capaz de alerar o momeno linear desa.