UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Esola de Engenhaia de Loena EEL LOB11 - FÍSICA IV Pof. D. Dual Rodigues Junio Depatamento de Engenhaia de Mateiais (DEMAR) Esola de Engenhaia de Loena (EEL) Uniesidade de São Paulo (USP) Polo Ubo-Industial, Gleba AI-6 - Loena, SP 16-97 dual@dema.eel.usp.b www.dema.eel.usp.b/doentes ou www.eel.usp.b (Página dos pofessoes) Rodoia Itajubá-Loena, Km 74,5 - Caixa Postal 116 CEP 16-97 - Loena - SP Fax (1) 3153-3133 Tel. (Dieto) (1) 3159-57/3153-39 USP Loena www.eel.usp.b Polo Ubo-Industial Gleba AI-6 - Caixa Postal 116 CEP 16-97 - Loena - SP Fax (1) 3153-36 Tel. (PABX) (1) 3159-99
UNIDADE 7 (Pate a) - Teoia da Relatiidade Restita I
As tansfomações de Loentz Antes de Einstein os físios supunham que as oodenadas espaiais e tempoais estiessem elaionadas segundo a tansfomação de Galileu: x x t t t dx dt dx dt S, S S S
Os postulados No final do séulo XIX duas questões foam de fundamental impotânia no desenolimento da Teoia da Relatiidade Restita: i) Ao ontáio das leis de Newton da meânia, as equações de Maxwell do eletomagnetismo não são inaiantes segundo as tansfomações de Galileu ), ( ), ( 1 x t x u t t x u ), ~ ( ), ~ ( 1 ), ~ ( 1 t x t x u x t x u t t x u t t t x x X
Os postulados ii) A hipótese da existênia do éte meio ujas ibações estaiam ligadas à popagação das ondas eletomagnétias não foi ompoada pela famosa expeiênia de Mihelson Moley Giando o apaato de 9 º não se obsea a mudança na posição dos máximos e mínimos dos dois padões de intefeênia
Os postulados Veifiada a disepânia ente o eletomagnetismo e a hipótese da existênia do éte a maioia dos físios esoleu ataa o eletomagnetismo, ou as popiedades físias do eléton, eém desobeto (Loentz). Ente os enolidos om a hipótese do éte, Poinaé (194), apaentemente, foi o únio que obseou que se esta hipótese fosse ealmente onfimada, teíamos um mal maio, que seia a iolação do Pinípio da Relatiidade. Einstein, po outo lado, peoupaa-se om o Eletomagnetismo (sem duida da sua alidade) e disse não sabe do expeimento de Mihelson e Moley.
Os postulados i) Postulado da elatiidade: As leis da físia deem se exatamente as mesmas se desitas po obseadoes em difeentes efeeniais ineiais. Não existe um efeenial ineial piilegiado (efeenial absoluto). ii) Postulado da eloidade da luz: A eloidade da luz no áuo tem o mesmo alo em todas as dieções e em todos os efeeniais ineiais ( a eloidade da luz é independente da eloidade da fonte). Esta é a eloidade máxima om que qualque tipo de infomação pode se tansmitida.
Os postulados Paa ompatibiliza estes dois postulados Einstein tinha de modifia a tansfomação de Galileu e a noção de tempo e espaço. Ele peebeu que essas noções podiam se alteadas sem pejuízo de qualque pinípio físio. A noção de tempo e espaço está ligada ao oneito de eento. Um eento é algo que ooe e ao qual se atibui uma posição (espaço) e um instante (tempo). Difeentes obseadoes atibuem difeentes posições e instantes a um mesmo eento. Espaço e tempo são inteligados: Espaço tempo
O espaço tempo O que é o tempo? Até Galileu, tudo o que se sabia de oneto é que os eentos ooeiam de modo suessio. Alguns deles paeiam se peiódios ou te sempe a mesma duação (ampulhetas). Estes, eam então utilizados omo elógios. Rede tidimensional om éguas (paalelas aos eixos oodenados) e elógios em ada étie x
Simultaneidade Einstein obseou que o únio oneito físio eal enolido na nossa noção intuitia de tempo ea o de simultaneidade: Todos os nossos julgamentos om espeito ao tempo são sempe julgamentos de eentos simultâneos. Se eu digo: Este tem hega aqui às 7 hoas, estou queendo dize algo omo: O ponteio pequeno do meu elógio india 7 hoas e o tem hega aqui são eentos simultâneos. Mas omo podemos sabe se dois eentos que ooem em lugaes difeentes, tais omo P 1 e P, são simultâneos?
Simultaneidade Se tiemos dois elógios sinonizados em P 1 e P, podeemos dize que temos eentos simultâneos se a posição dos seus ponteios fo a mesma: t 1 t. Mas omo oloa dois elógios nos pontos distantes P 1 e P, e te eteza de que eles estão sinonizados?
Simultaneidade Método 1: Os dois elógios podem se sinonizados em P 1 e um deles, posteiomente, tanspotado até P. Mas um elógio é um sistema físio (pêndulo, elógio atômio ). Logo, não podemos gaanti que a maha do elógio não seja afetada pelo tanspote de P 1 até P.
Simultaneidade Método : Eniando um sinal de P 1 a P. Se a eloidade do sinal é e l é a distânia ente P 1 e P, então no momento que o sinal hega a P ajustamos: t t + 1 l Mas omo sabemos que a eloidade do sinal é? Peisaíamos sabe o intealo de tempo que o sinal lea paa popaga-se ente dois pontos distantes; e essa medida pessupõe a existênia de elógios sinonizados em pontos distantes.
Simultaneidade Conlusão: Ao ontáio da simultaneidade de eentos que ooem no mesmo ponto, a simultaneidade de eentos em pontos distantes não tem nenhum signifiado a pioi: ela tem de se definida po uma onenção apopiada.
Simultaneidade Definição apopiada da simultaneidade (Einstein) : Um eento ooendo na posição P 1 e no tempo t 1 é simultâneo a um eento na posição P, no tempo t, se sinais luminosos emitidos em P 1 e t 1, e em P e t, enontam-se no ponto médio ente P 1 e P. P 1 P
Simultaneidade Consideando-se também a onstânia da eloidade da luz, hegamos ao itéio paa deteminamos o tempo: Se um sinal luminoso é emitido em P 1, no instante t 1, todos os eentos que ooem em pontos P, no instante t, a uma distânia l de P 1, ooem num instante: t t + 1 Obsee que este é o Método de sinonização de elógios, mas agoa utilizando a eloidade da luz (), que postula-se se a mesma em todos os efeeniais. l
Simultaneidade Sinonização de elógios ataés de um pulso de luz x A elatiidade da simultaneidade A simultaneidade não é um oneito absoluto mas sim elatio, que depende do moimento do obseado. Dois obseadoes em moimento elatio, em geal, não onodam quanto a simultaneidade de dois eentos.
A elatiidade da simultaneidade No momento em que a nae de Maia passa pela de João, dois meteoitos hoam-se om ambas. Vamos supo que a luz poeniente dos dois eentos (Azul e Vemelha) tenha omo ponto de enonto justamente a posição de João (ento da nae) Logo, paa João, os dois eentos são simultâneos A V A Paa Maia, o eento da dieita ooe antes que o da esqueda
A elatiidade da simultaneidade No momento em que a nae de Maia passa pela de João, dois meteoitos hoam-se om ambas. Vamos supo que a luz poeniente dos dois eentos (Azul e Vemelha) tenha omo ponto de enonto justamente a posição de João (ento da nae) 1) Logo, paa João, os dois eentos são simultâneos 3) A V ) 4) A V A Paa Maia, o eento da dieita ooe antes que o da esqueda
A elatiidade do tempo O elógio de luz : D 1 Δt elógios
A elatiidade do tempo O elógio de luz : MOVIMENTO D 1 Δt elógios Δt 1 L Δt + D
onde o fato de Loentz é dado po: A elatiidade do tempo 1 t t t Δ Δ Δ γ 1 1 β γ β dilatação tempoal 1 t t Δ Δ 1 D t t L + Δ Δ (Dilatação do tempo) 1 γ é o paâmeto de eloidade
A elatiidade do tempo Obsee que onsideamos uma situação patiula: de que paa um dos obseadoes os dois eentos ooem no mesmo loal. De um modo geal o intealo de tempo ente dois eentos depende da distânia ente os eentos, tanto no espaço quanto no tempo, ou seja, as sepaações tempoais e espaiais estão inteligadas (o que temos é o espaço-tempo). Quando dois eentos ooem no mesmo ponto, em um efeenial ineial, o intealo de tempo ente os eentos, medido neste efeenial, é hamado intealo de tempo pópio Δt ou tempo pópio. O intealo de tempo em qualque outo efeenial é sempe maio que o tempo pópio. Exemplo: O elógio que oê aega em seu pulso, mede o seu tempo pópio.
A elatiidade do tempo (Exemplos) a) Deaimento dos Múons Tempo de ida dos múons em laboatóio (estaionáios) : Estes múons também são iados na alta atmosfea, pelo bombadeio de aios ósmios. Sem a elatiidade diíamos que eles seiam apazes de peoe apenas : µ Entetanto, onsideando a elatiidade, temos: µ Isto é expliado pelo fato destes múons hegaem à supefíie da Tea om uma eloidade µ,998!
A elatiidade do tempo (Exemplos) b) Relógios Maosópios Em 1977 J. Hafele e R. Keating tanspotaam quato elógios atômios, potáteis, duas ezes em olta da tea, em aeonaes onenionais. Confimaam a dilatação do tempo, onfome as peisões das teoias da Relatiidade (Restita e Geal), dento de uma magem de eo de 1%. Alguns anos mais tade, um expeimento mais peiso foi ealizado e a onfimação ooeu dento de uma magem de eo de 1%.
O paadoxo dos gêmeos Mas, se inetemos os efeeniais, não seia o Homeo que fiaia mais joem? Obsee que há uma assimetia, pelo fato de que Ulisses sofe uma aeleação (que pode se medida no seu efeenial); potanto, ele não se enonta todo o tempo em um efeenial ineial. Logo, os dois efeeniais não são equialentes.
A elatiidade do ompimento Definimos omo ompimento pópio (ou ompimento de epouso), L, o ompimento no efeenial em que o opo enonta-se em epouso. Num efeenial em que o opo está moendo-se om uma eloidade β, na dieção do seu ompimento, a medida do seu ompimento esultaá num alo: ( Contação de Loentz-Fitzgeald ) Logo, o ompimento medido em um efeenial em elação ao qual o opo esteja se moendo (na dieção da dimensão que está sendo medida), é sempe meno que o ompimento pópio, L.
A elatiidade do ompimento Medindo o ompimento de uma platafoma t t 1 L L L João: Δt Δt t t 1 áios
A elatiidade do ompimento Medindo o ompimento de uma platafoma Δt t t 1 L L L L João: Δt Δt t t 1 Δt γ Δt L Maia: Δ t áios
A elatiidade do ompimento Medindo o ompimento de uma platafoma Δt t t 1 L L L áios João: Δt Δt L L t t 1 Δt Δt Δt γ Δt L L 1 β L γ L Maia: Δ t
As tansfomações de Loentz Vimos, no exemplo dos múons, que estes hegam a Tea om,998. Logo, no seu efeenial, os 1,4 km peoidos na atmosfea (no efeenial da Tea) são istos omo: Esta é justamente a distânia que o múon é apaz de peoe, em seu efeenial, antes de deai:
Dinâmia elatiístia Na meânia Newtoniana temos dp F dt F ma d m dt, onde o momento linea é definido po: F p onst. d( m) dt p m dp dt Δx m Δt Pouamos um análogo elatiístio desta expessão que tenha as seguintes popiedades: a) O momento elatiístio dee se onseado em sistemas isolados, assim omo na meânia Newtoniana. b) A expessão obtida dee se eduzi à foma newtoniana no limite.
Momento linea elatiístio Entetanto, pode-se mosta que teemos uma quantidade onseada definindo: p p m( ) Paa um obseado em epouso em elação ao eento, om Δt : Δx Δx Δt Δx m( ) m m m γ m Δt Δt Δt Δt γ m m( ) γ m 1 dp d F ( mγ ) dt dt m γ O que equiale a dize que: onde m é a massa de epouso do opo no efeenial em que ele se enonta em epouso. A foça é, então, dada po p Onde é o momento linea elatiístio.
Enegia elatiístia A taxa de aiação tempoal da enegia inétia K de uma patíula ontinua sendo dada po: K então: F d K dk dt F d( mγ ) d( m d γ ) dt dt dp dt dt K m + 1 / (1+ x ) ( γ 1)m ( m m ) onde : m γ m K + m m E E m γ m / 1 [( ) ] 1 / x x x / x dx d ( / ) m m 1 / 1 E m (Supondo E potenial ) x / Enegia Total Onde é hamada de enegia de epouso da patíula m.
Usando que m p temos Ep m p Como 4 4 m m E γ obtemos: 4 ( p) E p m E + + Se m p E Lembando que a adiação eletomagnétia tanspota momento linea, podemos imaginá-la omo omposta po opúsulos de massa zeo ( fótons ), omo eemos mais adiante. U p / Δ Δ Relação enegia-momento linea Enegia elatiístia 4 4 1 E p m E ) / ( 1 1 γ
Enegia elatiístia Relação enegia-momento linea p γm K m ( γ 1) Usando e γ 1 1 ( / ) mosta que: ( p ) K + K m m Onde é hamada de enegia de epouso da patíula om massa de epouso m.
Enegia elatiístia Limite lássio da enegia Expandindo E paa / << 1 temos: E 4 m 3 m 1+ + +... 4 1 8 E m 3m 8 + + + m Enegia de epouso: E m... Enegia inétia paa / << 1 : ΔK m
Enegia elatiístia A enegia de um sistema isolado se mantém onstante Potanto, se um sistema libea uma quantidade de enegia E E f - E i - Q, dee apesenta uma edução de massa: Δm m Isto ale tanto paa eações químias quanto paa eações nuleaes, emboa a aiação de massa no pimeio aso seja impeeptíel. Se a enegia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua eloidade), sua massa também aumenta: f m Δm ΔE i Q
Exeíios sugeidos
Pob. 1: Qual dee se o momento linea de uma patíula, de massa m, paaqueaenegiatotaldapatíulaseja3ezesmaioqueasua enegia de epouso? mas: E m 3( m ) 4 E m + p 4 9m m + p 4 8m p m p
Pob. : Uma eta patíula de massa de epouso m tem um momento linea ujo módulo ale m. Detemine o alo: (a) de β; (b) de γ; () da azão ente sua enegia inétia e sua enegia de epouso. p m( ) m m 1/ 1 m 1 a) 1 β 1,77 b) γ 1 ( 1 1/ ) 1/ 1 1,414 ) K E ( γ 1) m m 1,414 1,414
Pob. 3: Dois eentos ooem no mesmo ponto em um eto efeenial ineial e são sepaados po um intealo de tempo de 4 s. Qual é a sepaação espaial ente estes dois eentos em um efeenial ineial no qual os eentos são sepaados po um intealo de tempo de 6 s?
Pob. 4: Uma nae espaial de ompimento l iaja a uma eloidade onstante, elatia ao sistema S, e figua. O naiz da nae (A ) passa pelo ponto A em S no instante t t e neste instante enia um sinal de luz de A paa B. (a) Quando, no efeenial S do foguete, o sinal hega à auda B da nae? (b) Em que instante t B, medido em S, o sinal hega à auda (B ) da nae? () Em que instante t, medido em S, a auda da nae (B ) passa ataés do ponto A?
Pob. 5: Uma patíula om massa de epouso de MeV/ eenegia inétia de 3 MeV olide om uma patíula estaionáia om massa de epouso de 4 MeV/. Depois da olisão, as duas patíulas fiam unidas. a) Detemine o momento iniial do sistema. b) A eloidade final do sistema de duas patíulas. ) A massa em epouso do sistema de duas patíulas.
Relatiidade Geal Moimento etilíneo unifome em um efeenial ineial paee aeleado, se isto de um efeenial não-ineial. Einstein enaou a foça gaitaional omo uma foça de inéia: É impossíel distingui a físia num ampo gaitaional onstante daquela num efeenial unifomemente aeleado! O eleado de Einstein
Relatiidade Geal Pinípio da equialênia de Einstein Num einto sufiientemente pequeno (paa que o ampo gaitaional dento dele possa se onsideado unifome), em queda lie dento deste ampo, todas as leis da físia são as mesmas que num efeenial ineial, na ausênia do ampo gaitaional. g a (a) a g
Relatiidade Geal Só peisamos de geometia paa desee tajetóias etilíneas, istas de efeeniais não-ineiais. Einstein enaou a foça gaitaional omo uma foça de inéia uatua do espaço-tempo! A massa diz ao espaço-tempo omo se ua; e o espaço-tempo diz à massa omo se moe!