Um Estudo da Dinâmica da Equação Logística Conconi, T.; Silva Lima, M.F. Resumo: Equações diferenciais são adequadas para representar sistemas discretos por grandezas cujos valores variam apenas em determinados instantes de tempo. Neste projeto de Iniciação Científica, analisamos uma classe de sistemas dinâmicos discretos, mais especificamente, as funções da família quadrática,, dada por, onde, chamada comumente de equação Lou mapa logístico. Este mapa foi amplamente estudado, devido à riqueza de comportamentos que ele exibe, conforme se varia o valor do parâmetro µ. Palavras-chave: aplicação logística, pontos fixos, órbitas periódicas, estabilidade. 1. Introdução: Equações diferenciais simples podem ter uma dinâmica bastante complexa conforme se variam os parâmetros de controle e suas condições iniciais. Um exemplo disto é o mapa logístico, definido pela equação. O mapa logístico é um dos sistemas mais analisados e discutidos dentro da área de caos. Geometricamente, o mapa é representado por uma parábola cuja concavidade é definida pelo parâmetro µ. Os diferentes valores deste parâmetro definem um tipo de evolução diferente para o mapeamento. Do mapa logístico podem ser tirados conceitos de pontos fixos estáveis ou instáveis, atratores, repulsores, bifurcação, caos, dentre muitos outros que serão mostrados na análise realizada. 2. Objetivos: O objetivo deste projeto é estudar órbitas típicas para a família logística para diferentes valores do parâmetro µ, entendendo as mudanças na sua dinâmica (bifurcações) quando se faz o valor deste parâmetro variar. A relevância desse estudo se deve ao fato de que as técnicas utilizadas aqui podem ser também aplicadas a outras famílias de equações, tanto no mundo discreto quanto no contínuo. 3. Metodologia:
No desenvolvimento deste projeto, pretendeu-se compreender e analisar o comportamento das órbitas periódicas do mapa logístico para diferentes valores do parâmetro µ, investigando a existência de pontos fixos e órbitas periódicas bem como suas bifurcações. Para desenvolver estas competências foi realizada uma pesquisa acerca dos tópicos citados em uma bibliografia apropriada e resolução de problemas e questões propostas pelo orientador, Para compreender conceitos como bifurcações, pontos fixos e órbitas periódicas, fizemos um extenso estudo do mapa logístico, um sistema aparentemente simples, mas com dinâmica bastante complicada. 4. Resultados: Foi feita a análise da equação logística, representada pela função, calculando seus pontos fixos e a estabilidade destes para diferentes valores do parâmetro µ. Se o parâmetro de controle está no intervalo, e, então para. Assim, qualquer ponto contido nesse intervalo gera, após uma interação, o ponto que pertence a esse mesmo intervalo. A figura abaixo nos mostra o mapa logístico para os diferentes valores do parâmetro µ.
Figura 1: Mapa logístico para diferentes tipos de respostas: período-1 (µ = 2,9), período-2 (µ = 3,2), período-4 (µ = 3,5) e caótica (µ = 4). Os pontos fixos são = 0 e =. Como, então os autovalores associados a e valem, respectivamente, e. Portanto, a origem é assintoticamente estável para e instável para O outro ponto fixo é instável para e assintoticamente estável para. A convergência para é monótona para, e oscilatória para. Em, tem-se que. Assim, para esse valor do parâmetro de controle, a solução de equilíbrio sofre uma bifurcação de duplicação de período. Conseqüentemente, para, surge uma órbita de período-2 formada pelos pontos e, pontos fixos de e raízes do polinômio. O valor de e foi calculado analisando as raízes deste polinômio de quarto grau. O estudo da estabilidade da órbita de período-2 reduz ao estudo da estabilidade dos pontos fixos de. A estabilidade de é determinada pelo autovalor = Efetuando-se os cálculos obtivemos que. O autovalor é dado pela mesma expressão. Portanto, a órbita de período-2 é assintoticamente estável quando, ou seja
Em, tem-se que. Assim, notamos que a órbita de período-2 sofre uma bifurcação de duplicação de período. A órbita de período-4 é observada para. Conforme aumentamos o valor do parâmetro µ, ocorrem sucessivas bifurcações flip. Uma órbita de período- é formada por pontos fixos de que são assintoticamente estáveis. A figura abaixo mostra o diagrama de bifurcações para o mapa logístico. Figura 2: Diagrama de órbitas para o mapa logístico. Também foi analisado durante o projeto o Teorema de Sarkovskii que, para o mapa logístico nos garante a existência de órbitas de todos os períodos, pela ocorrência de soluções 3-periódicas. 5. Conclusão: O estudo de sistemas dinâmicos leva-nos à conclusão de que podemos modelar e tentar explicar sistemas dinâmicos leva-nos à conclusão de que podemos modelar e tentar explicar sistemas complexos como o clima, ecossistemas e organizações sociais, onde os resultados não podem ser previstos sem algum grau de incerteza. O conceito matemático utilizado na equação logística é o de equação diferencial e por meio das ferramentas matemáticas, existentes para o estudo deste assunto, é possível identificar algumas complexidades do fenômeno até então não detectadas experimentalmente, o fenômeno do caos.
O trabalho foi de grande importância no que se refere a um ganho inestimável de conhecimentos e uma compreensão da não-linearidade de fenômenos que nos cercam. 6. Bibliografia: SAVI, M.A. Dinâmica Não-linear e Caos. Editora E-papers, 2006. DEVANEY. R. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 2003. EDWARD OTT. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1993. MONTEIRO, L. Sistemas Dinâmicos, 2006.