CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA ÊNFASE ELETROTÉCNICA

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETROTÉCNICA CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA ÊNFASE ELETROTÉCNICA RODRIGO FÉDER PARANÁ DINÂMICA NÃO-LINEAR E CAOS EM RETIFICADORES MONOFÁSICOS MEIA-ONDA CARGA RL CURITIBA 2004

2 RODRIGO FÉDER PARANÁ DINÂMICA NÃO-LINEAR E CAOS EM RETIFICADORES MONOFÁSICOS MEIA-ONDA CARGA RL Trabalho de Diplomação apresentado à disciplina de Projeto Final 2 do curso de Engenharia Industrial Elétrica Eletrotécnica. Orientadores: Prof. Dr. Antonio Carlos Pinho Prof. Dr. Mário Sérgio Teixeira de Freitas CURITIBA 2004

3 RODRIGO FÉDER PARANÁ DINÂMICA NÃO-LINEAR E CAOS EM RETIFICADORES MONOFÁSICOS MEIA-ONDA CARGA RL Este projeto final de graduação foi julgado e aprovado como requisito parcial para obtenção do título de Engenheiro Eletricista pelo Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná Curitiba, 24 de setembro de 2004 Prof. Paulo Sérgio Walenia Coordenador do Curso de Engenharia Industrial Elétrica Ênfase em Eletrotécnica Prof. Ivan Eidt Colling, Dr. Professor Responsável pelos Projetos Finais do Curso de Engenharia Industrial Elétrica Ênfase em Eletrotécnica Membro da banca Prof. Antonio Carlos Pinho, Dr. Orientador Membro da banca Prof. Mário Sérgio Teixeira de Freitas, Dr. Orientador Membro da banca

4 RESUMO O circuito retificador monofásico meia-onda carga RL é modelado matematicamente e simulado numericamente considerando-se como modelo de diodo a associação em paralelo entre resistências e capacitâncias não-lineares. Argumenta-se sobre um mecanismo de ação que cria condições para favorecer duplicações de período e dinâmica caótica no sistema. São apresentados retratos de fase. A dinâmica caótica é caracterizada. O comportamento do sistema com a variação de parâmetros é analisado através de diagramas de bifurcação. O início da região caótica é favorecido pelo aumento da indutância e da freqüência, sendo dificultado pelo aumento da resistência no circuito. A influência correlacionada entre freqüência e indutância é mostrada em um esboço do espaço de parâmetros do sistema. A variação de condições iniciais e sua influência na dinâmica do circuito é avaliada através de bacias de atração. Medições experimentais mostram grande semelhança qualitativa com as simulações numéricas.

5 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL Figura 2.2 Curva característica do modelo ideal do diodo Figura 2.3 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo ideal de diodo Figura 2.4 Formas de onda para o circuito da figura Figura 2.5 Curva característica do modelo do diodo incluindo a tensão de limiar e resistências...18 Figura 2.6 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo do diodo incluindo a tensão de limiar e resistências Figura 2.7 Curva característica do modelo do diodo como resistência não-linear Figura 2.8 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo do diodo como resistência não-linear Figura 2.9 Capacitâncias de transição e difusão em função da tensão aplicada ao diodo.22 Figura 2.10 Modelo do diodo incluindo as capacitâncias não-lineares e resistências de contato e de fuga Figura 2.11 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo do diodo incluindo as capacitâncias não-lineares Figura 2.12 Definição do tempo de restabelecimento reverso Figura 2.13 Curva característica da resistência não-linear do modelo a ser investigado.. 28 Figura 2.14 Curva característica da capacitância não-linear C T do modelo a ser investigado...28 Figura 2.15 Curva característica da capacitância não-linear C D do modelo a ser investigado...29 Figura 2.16 Soma das capacitâncias não-lineares C T + C D Figura 3.1 Circuito RLC série Figura 3.2 Classificação dos possíveis comportamentos qualitativos do sistema Figura 3.3 Diagrama resumo dos possíveis comportamentos qualitativos do sistema Figura 3.4 Atrator caótico de Lorenz projetado no plano de fase Figura 3.5 Bacia de atração para os atratores da equação z 4-1= Figura 3.6 Ampliação da fronteira entre bacias de atração Figura 3.7 Trajetória de um sistema dinâmico no espaço de fase com amostragem de período definido para confecção do mapa de Poincaré Figura 3.8 Diagrama de bifurcação para o mapa logístico Figura 3.9 Diagrama de bifurcação do sistema e mapa de Poincaré para o atrator caótico... 44

6 Figura 3.10 Diagrama de bifurcação do sistema Figura 4.1 Dinâmica do sistema ( f = 60Hz, β = 180 o ) Figura 4.2 Dinâmica do sistema ( f = 60kHz, β = 217 o ) Figura 4.3 Dinâmica do sistema ( f = 300kHz, β = 255 o ) Figura 4.4 Dinâmica do sistema ( E = 2V ) Figura 4.5 Dinâmica amostrada do sistema ( E = 2V ) Figura 4.6 Dinâmica do sistema ( E = 6V ) Figura 4.7 Ampliação do plano de fase i(t)[a] x v D (t)[v] Figura 4.8 Dinâmica amostrada do sistema ( E = 6V ) Figura 4.9 Dinâmica do sistema ( E = 7,5V ) Figura 4.10 Ampliação do atrator no plano de fase i(t)[a] x v D (t)[v] Figura 4.11 Dinâmica amostrada do sistema ( E = 7,5V ) Figura 4.12 Dinâmica do sistema ( E = 10V ) Figura 4.13 Dinâmica amostrada do sistema ( E = 10V ) Figura 4.14 Ampliações do atrator no plano de fase i(t)[a] x v D (t)[v] Figura 4.15 Dinâmica do sistema ( E = 80V ) Figura 4.16 Divergência de séries temporais Figura 4.17 Variedades estável e instável Figura 4.18 Sela geométrica, ponto de sela e variedades Figura 4.19 Diagrama de bifurcação Figura 4.20 Diagramas de bifurcação. Ampliações da figura Figura 4.21 Diagramas de bifurcação. Ampliações da figura Figura 4.22 Diagrama de bifurcação. Ampliação da figura Figura 4.23 Relação entre bifurcações Figura 4.24 Diagramas de bifurcação. Variação da resistência Figura 4.25 Diagramas de bifurcação. Variação da indutância Figura 4.26 Diagramas de bifurcação. Variação da freqüência Figura 4.27 Esboço do espaço de parâmetros Figura 4.28 Bacias de atração Figura 4.29 Bacias de atração Figura 5.1 Circuito para medição experimental Figura 5.2 Dinâmica do circuito. Período T Figura 5.3 Dinâmica do circuito. Período T Figura 5.4 Dinâmica do circuito. Período T Figura 5.5 Dinâmica caótica do circuito... 78

7 Figura 5.6 Dinâmica do circuito. Período T Figura 5.7 Dinâmica do circuito. Período T 4 e T

8 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Faixas de valores típicos das variáveis do modelo do diodo e valores estabelecidos Tabela 2.2 Faixas de valores típicos dos parâmetros do circuito Tabela 3.1 Resumo de valores dos parâmetros utilizados na bibliografia Tabela 4.1 Tensões para início da dinâmica caótica em função da freqüência e indutância Tabela 5.1 Resumo das dinâmicas medidas... 79

9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO COLOCAÇÃO DO SISTEMA MODELAMENTO MATEMÁTICO E DINÂMICA NÃO-LINEAR Modelo do diodo: caso ideal e aspectos essenciais da dinâmica do sistema Modelo do diodo: Inclusão da tensão de limiar e das resistências da polarização direta e reversa Modelo do diodo: Resistência não-linear Modelo do diodo: Inclusão das capacitâncias da polarização direta e reversa Tempo de restabelecimento do modo reverso PREPARAÇÃO DO MODELO A SER INVESTIGADO Faixas de valores típicos Curvas características Equacionamento final do modelo DINÂMICA NÃO-LINEAR E CAOS INTRODUÇÃO: CONCEITOS Trajetórias, plano de fase, retrato de fase e estados estacionários Estabilidade local na vizinhança do ponto fixo e atratores Dinâmica caótica: atratores caóticos Multi-estabilidade, bacias de atração e fractais Mapa de Poincaré e diagramas de bifurcação CAOS NO CIRCUITO RETIFICADOR MONOFÁSICO MEIA-ONDA CARGA RL Revisão bibliográfica Distúrbios eletromagnéticos e Qualidade em sistemas elétricos: caos e ruído RESULTADOS DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO MODELO INTEGRAÇÃO NUMÉRICA RETRATOS DE FASE Dinâmica do sistema: caso típico e transiente de alta freqüência Dinâmica do sistema: duplicações de período e caos CARACTERIZAÇÃO DE CAOS DIAGRAMAS DE BIFURCAÇÃO Cascata de bifurcações e caos Variação de parâmetros BACIAS DE ATRAÇÃO... 74

10 5 RESULTADOS DA MEDIÇÃO EXPERIMENTAL DO CIRCUITO CONCLUSÃO REFERÊNCIAS...84 A EQUACIONAMENTO COMPLETO DA CORRENTE NO CAPACITOR... 86

11 10 1 INTRODUÇÃO O modelamento matemático de sistemas físicos é uma característica inerente ao processo científico. O modelamento matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de forma bastante aceitável [Ogata 98] (p.48). No modelamento matemático de sistemas elétricos em engenharia, bem como nas demais ciências, deve-se estar ciente da necessidade de se estabelecer um equilíbrio entre a simplicidade do modelo matemático adotado e sua precisão, coerência com o sistema modelado. O aumento da complexidade do modelamento é diretamente proporcional ao aumento da precisão do mesmo em relação ao sistema elétrico modelado [Ogata 98]. Entretanto, para fins de praticidade e redutibilidade do sistema aos seus aspectos de maior interesse faz-se necessário, em inúmeros casos, proceder a simplificações no modelo. Sistemas físicos reais apresentam relações não-lineares entre variáveis, aos quais não se aplica o princípio da superposição, ou seja, não há proporcionalidade entre causa e efeito [Ogata 98]. De fato, como aponta May, estes sistemas são certamente a regra e não a exceção nas ciências físicas [apud Hamill 93] (p.28). Sistemas que envolvam equações diferenciais não-lineares, quando analiticamente solúveis, necessitam do emprego de técnicas matemáticas extremamente complicadas. Já sistemas lineares, descritos somente em termos de equações diferenciais lineares, admitem solução analítica, havendo várias ferramentas matemáticas e computacionais que a eles podem ser aplicadas [Hamill e Deane 89] [Kaplan e Glass 95] [Ogata 98]. No procedimento de simplificação de modelos matemáticos costuma-se eliminar as características de não-linearidade através da linearização do sistema, isto é, aproximando-o para um sistema de equações lineares. Esta aproximação acarreta na restrição da validade da dinâmica do sistema linearizado a faixas limitadas de operação [Kaplan e Glass 95] [Ogata 98]. A técnica de linearização de modelos matemáticos é extensamente utilizada para sistemas elétricos em Engenharia [Hamill 93]. O estudo recente da dinâmica não-linear de sistemas tem levantado e fundamentado novos e importantes conceitos. Conceitos tais como multi-estabilidade global, estabilidade local, dependência sensível às condições iniciais, atratores são altamente relevantes para diversas áreas de estudo incluindo biologia, engenharia, medicina, ecologia, economia e astronomia [Kaplan e Glass 95] (p.vii).

12 11 Sistemas elétricos contêm uma série de elementos que expressam relações de nãolinearidade entre variáveis: dispositivos semicondutores, capacitâncias, indutâncias e resistências não-lineares, circuitos de controle. Quando se procede a uma abordagem de linearização de modelos matemáticos de sistemas elétricos pode ocorrer uma simplificação exagerada de sua dinâmica, pois o modelo poderá deixar de prever uma série de fenômenos tais como o aparecimento de sub-harmônicas, oscilações quasi-periódicas e comportamento caótico [Hamill e Deane 89] [Hamill 93]. Assim, muitos exemplos nãointencionais de dinâmica não-linear e caos podem ser encontrados em eletrônica mas são freqüentemente desprezados como ruído. No mesmo plano de raciocínio, flutuações de tensão e da freqüência fundamental são também consideradas como oriundas de ruído externo [Lesurf 93]. A aplicação de métodos adequados já utilizados no estudo de sistemas dinâmicos não-lineares pode auxiliar a compreender instabilidades e comportamentos imprevisíveis ou inesperados de sistemas elétricos [Lesurf 93]. A pesquisa de dinâmica não-linear e caos em sistemas elétricos tem vasto campo de aplicação tecnológica. Relacionam-se a seguir alguns exemplos. Em Eletrônica de Potência o comportamento de conversores de potência CC-CC é analisado para mapear regiões de duplicação de período e operação caótica focando seu entendimento e controle [Hamill et al. 97]. A instabilidade de conversores de freqüência para motores de indução é investigada possibilitando a determinação de regiões instáveis em função dos parâmetros do sistema bem como a análise de propriedades qualitativas deste comportamento [Kuroe e Hayashi 89]. O circuito retificador monofásico meia-onda carga RL é utilizado, no modo sub-harmônico, como divisor de freqüências em freqüências de microondas [Hamill e Deane 89]. Em Controle de Sistemas novas técnicas vêm possibilitando o controle de sistemas caóticos [Hunt 93]. Em controle de sistemas discretos é possível dar novo enfoque ao estudo de erros causados por discretização [Hamill 93] [Kaplan e Glass 95]. Em Comunicação de Dados a sincronização de sistemas através de sinais caóticos está sendo utilizada para criptografar mensagens [Hunt 93]. Em Sistemas de Potência estudos apontam a correlação entre colapsos de tensão em sistemas elétricos com bifurcações da dinâmica de modelos destes sistemas [Marcos et al. 03]. O estudo desta correlação tem grande importância para o aprimoramento da qualidade de energia em sistemas de geração, transmissão e distribuição. Em Qualidade de Energia vinculada à Compatibilidade Eletromagnética, conversores específicos operando no modo caótico apresentam redução de emissão eletromagnética [Deane e Hamill 96].

13 12 Também em Qualidade de Energia dinâmica não-linear e caos têm sido utilizados para modelar, monitorar e propor o controle do comportamento de fornos a arco [King et al. 94] [Ozgun e Abur 99]. Em decorrência da ausência de base de conhecimento relativa ao estudo da dinâmica não-linear e caos aplicado a sistemas elétricos no curso de Engenharia Industrial Elétrica mesmo apesar de sua presença no Ementário como disciplina optativa [CEFET-PR 00] motivamo-nos a propor para este trabalho, como auxílio à introdução desta temática, a utilização de um circuito-exemplo simples, no caso o circuito retificador monofásico meiaonda com carga RL, direcionando o enfoque da pesquisa para as várias técnicas de análise da dinâmica, que podem ser aplicadas a outros sistemas elétricos. Dentre os vários sistemas eletrônicos de potência que apresentam comportamentos descritos pela dinâmica não-linear, tal como a operação em regime caótico, o circuito retificador monofásico meia-onda com carga RL é um dos que possui topologia mais simples [Hamill e Deane 89] [Lesurf 93] [Hamill 93]. Há vários estudos sobre o comportamento dinâmico não-linear deste circuito. Estas análises enfocam principalmente o chamado diagrama de bifurcação com duplicação de período [Matsumoto et al. 84] [Tanaka et al. 87] e o aparecimento de sub-harmônicas [Linsay 81]. Objetiva-se com este trabalho apresentar um conjunto sistematizado de técnicas de análise e interpretação de comportamento não-linear e caótico para sistemas elétricos através do estudo-exemplo do circuito retificador monofásico meia-onda com carga RL simulando o modelo matemático do circuito e analisando-o sob diferentes aspectos da dinâmica não-linear e caos, caracterizando a dinâmica caótica no circuito, confrontando dados obtidos em simulações com medições físicas no circuito e em todas as etapas interpretando análises e medições no âmbito da Engenharia Elétrica. No capítulo 2 deste trabalho faz-se a colocação do sistema estudado. São apresentados alguns modelamentos matemáticos possíveis para o circuito considerando-se um aumento gradual da complexidade do modelo do diodo, do caso ideal à inclusão de efeitos capacitivos não-lineares. Este encadeamento permite abordar, em seqüência, aspectos da dinâmica do sistema. O equacionamento final do modelo do sistema leva em consideração valores típicos para o modelo do diodo. O capítulo 3 apresenta uma introdução aos conceitos relativos à Dinâmica Não-linear e Caos, necessários ao desenvolvimento do estudo proposto. A ocorrência de dinâmica caótica no circuito retificador meia-onda carga RL é mostrada através de exemplos de estudos já efetuados neste sentido e encontrados na literatura. No capítulo 4 são apresentados os resultados da simulação numérica do modelo. Primeiramente, o programa utilizado na investigação é introduzido e a dinâmica do sistema

14 13 é explorada desde o comportamento típico até o aparecimento de soluções periódicas distintas e soluções caóticas. É feita uma argumentação para as condições de favorecimento destas dinâmicas, sendo buscada uma caracterização para a dinâmica caótica. Além disso é verificado o comportamento do sistema com a variação de diversos parâmetros através de diagramas de bifurcação. Variações da dinâmica em função de condições iniciais para o sistema são também abordadas através de bacias de atração. O capítulo 5 expõe os resultados obtidos experimentalmente para o circuito fazendo uma comparação essencialmente qualitativa com os resultados obtidos numericamente. No capítulo 6 estão presentes as conclusões gerais deste trabalho.

15 14 2 COLOCAÇÃO DO SISTEMA 2.1 MODELAMENTO MATEMÁTICO E DINÂMICA NÃO-LINEAR O sistema dinâmico estudado neste trabalho é o circuito retificador monofásico meiaonda a diodo com carga resistiva e indutiva. Sua estrutura está representada na figura 2.1 com as notações e convenções que serão utilizadas no decorrer das análises. Figura 2.1 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL Fonte: adaptado [Barbi 02] Onde: v i (t) : tensão da fonte (V); v D (t) : tensão sobre o diodo (V); v R (t) : tensão sobre o resistor (V); v L (t) : tensão sobre o indutor (V); v Load (t) : tensão sobre a carga (V); i (t) : corrente total (A); R : resistência da carga (Ω); L : indutância da carga (H); E: valor máximo da tensão da fonte (V). Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões ao circuito obtém-se a equação diferencial [Mohan et al. 89] [Barbi 02]:

16 15 di() t L + Ri() t + vd() t = Esen( wt ) (2.1) dt Para obterem-se soluções para o circuito é necessário conhecer a função v D (t). Esta função, por sua vez, depende do modelo matemático adotado para o comportamento do diodo Modelo do diodo: caso ideal e aspectos essenciais da dinâmica do sistema A maneira mais simplificada de se representar a dinâmica da operação de um diodo é através de um interruptor [Floyd 92]. Na polarização direta, quando é aplicado sobre o material tipo p da junção pn do diodo um potencial positivo e sobre o material tipo n um potencial negativo, o diodo entra em regime de condução pela diminuição da barreira de potencial da junção e, para este modelo, comporta-se como um curto-circuito [Boylestad e Nashelsky 94]. Com isso, a tensão v D vale zero. Na polarização reversa, quando é aplicado sobre o material tipo p da junção pn do diodo um potencial negativo e sobre o material tipo n um potencial positivo, ocorre um aumento da barreira de potencial fazendo com que, idealmente, o diodo comporte-se como um circuito aberto e a tensão sobre seus terminais corresponda à tensão da fonte. A curva característica para este modelo do diodo é apresentada a seguir: i(t) v D (t) 0 Figura 2.2 Curva característica do modelo ideal do diodo

17 16 Figura 2.3 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo ideal de diodo: (a) polarização direta; (b) polarização reversa. figura 2.3 fica: O equacionamento do circuito considerando este modelo de diodo e mostrado na di() t L + Rit () = Esenwt ( ) it () > 0 dt vd( t) = Esen( wt) i() t = 0 (2.2) A equação diferencial em (2.2) apresenta solução analítica [Barbi 02]: E it senwt I e R + ( wl) Rt ( ) = ( φ) L (0), φ = arctg 2 2 wl R (2.3) Sendo: it () I (0) : valor máximo da parcela transitória de ; φ : ângulo de carga condução. As formas de onda para o circuito são apresentadas na figura 2.4. β é o ângulo de

18 17 Figura 2.4 Formas de onda para o circuito da figura 2.3: a) tensão da fonte; b) tensão e corrente na carga; c) tensão no diodo. Fonte: [Barbi 02] (p.39) Para o instante t anterior a t=0 a tensão v i é negativa e a corrente no circuito é zero. Para os instantes seguintes a t=0 a tensão v i é positiva, o diodo fica diretamente polarizado e começa a fluir corrente pelo circuito. Enquanto a tensão v L no indutor é positiva a corrente aumenta, bem como a energia armazenada pelo indutor. A partir do momento em que v L fica negativa a corrente diminui e o indutor começa a descarregar energia. Enquanto o indutor não está totalmente descarregado a corrente não se anula e o diodo é forçado a continuar conduzindo [Mohan et al. 89]. Com isso a tensão sobre a carga fica instantaneamente negativa. No instante em que a corrente chega a zero, para o modelo ideal, o diodo comporta-se como um circuito aberto. Nas análises das topologias de circuitos e suas dinâmicas operacionais em eletrônica de potência somente o modelo ideal do diodo é utilizado [Barbi 02] [Mohan et al. 89] [Lander 81]. Assumindo características idealizadas de dispositivos em geral em eletrônica de potência facilita-se a análise do circuito, esclarecendo-se as características operacionais do mesmo [Mohan et al. 89]. Esta consideração só justifica-se sem perda de precisão da análise levando-se em conta os níveis de tensão aplicados e o tempo de

19 18 chaveamento do dispositivo, que deve ser curto o suficiente comparado ao período relacionado à freqüência de operação para ser admitido como instantâneo Modelo do diodo: Inclusão da tensão de limiar e das resistências da polarização direta e reversa É possível adicionar ao modelo ideal do diodo o comportamento da tensão de limiar Vγ, o potencial a partir do qual o diodo entra em regime de condução [Millman e Halkias 81] [Boylestad e Nashelsky 94]. Este potencial, representado por uma fonte de tensão contínua, age na polarização direta do diodo e precisa ser superado pela tensão da fonte para que haja condução de corrente no circuito [Floyd 92]. A operação do diodo como interruptor pode ser modelada com maior precisão considerando a atuação de resistências na polarização direta e reversa. Na polarização direta inclui-se uma resistência de baixo valor para modelar o regime de condução; na polarização reversa inclui-se uma resistência de alto valor para modelar o comportamento do diodo bloqueando a passagem de corrente [Floyd 92]. Figura 2.5 Curva característica do modelo do diodo incluindo a tensão de limiar e resistências Fonte: adaptado [Floyd 92] (p.26) A topologia do circuito para este modelo de diodo é mostrada na figura 2.6.

20 19 Figura 2.6 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo do diodo incluindo a tensão de limiar e resistências: (a) polarização direta; (b) polarização reversa. O equacionamento do circuito para este modelo fica: di() t L + ( R + Rd) i( t) = Esen( wt) Vγ i( t) > 0 dt di() t L + ( R + Rr) i( t) = Esen( wt) i( t) < 0 dt it ( ) = 0 0 < vd( t) < Vγ (2.4) Modelo do diodo: Resistência não-linear Os modelos anteriormente apresentados são linearizações por partes feitas sobre a equação característica do diodo, obtida pela análise das componentes de corrente da junção pn utilizando resultados provenientes da física do estado sólido [Millman e Halkias 81] [Boylestad e Nashelsky 94]. A corrente no diodo obtida por esta análise é descrita por: q v D() t id() t = Is( e MkT 1) (2.5) Onde: i D (t) : corrente no diodo (A); Is : corrente de saturação reversa do diodo (A); q : carga do elétron (C);

21 20 M : constante de emissão (adimensional); k : constante de Boltzmann (J/K); T : temperatura da junção (K). Esta equação modela o comportamento do diodo como uma resistência não-linear, sendo válida tanto para a polarização direta quanto para a reversa. A curva característica para este modelo de diodo é apresentada na figura 2.7. Figura 2.7 Curva característica do modelo do diodo como resistência não-linear Fonte: [Boylestad e Nashelsky 94] (p.12) A topologia do circuito para este modelo é mostrada na figura 2.8.

22 21 Figura 2.8 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo do diodo como resistência não-linear: polarização direta e reversa. A simbologia para elementos não-lineares é encontrada em [Chua e Lin 75]. O equacionamento do circuito para este modelo fica: MkT q di() t i() t + Is L + Ri() t + ln = Esen( wt ) (2.6) dt Is Modelo do diodo: Inclusão das capacitâncias da polarização direta e reversa Existem ainda efeitos capacitivos na dinâmica da junção pn que podem ser considerados para aumentar a complexidade e portanto a precisão do modelo do diodo. Este comportamento capacitivo é modelado através da adição de capacitâncias intrínsecas ao diodo. Há dois efeitos capacitivos a serem considerados. Ambos atuam nas regiões de polarização direta e reversa sendo que o efeito de cada capacitância excede o efeito da outra para uma dada região [Boylestad e Nashelsky 94]. Para a polarização reversa a região de depleção (ou transição) da junção, onde há combinação de cargas resultando na ausência de portadores, comporta-se como um dielétrico entre as camadas de cargas opostas [Boylestad e Nashelsky 94] [Millman e Halkias 81]. A capacitância de um capacitor de placas paralelas é descrita por [Boylestad e Nashelsky 94] [Halliday et al. 96]:

23 22 A C = ε0 (2.7) d Onde: C : capacitância (F); ε 0 : constante de permissividade do dielétrico (F/m); A : área da placa (m 2 ); d : distância entre placas (m). Uma vez que a largura da região de depleção aumentará com o aumento da tensão de polarização reversa, a capacitância da polarização reversa, denominada capacitância de transição ou de depleção, diminuirá com esta variação [Boylestad e Nashelsky 94]. Para a polarização direta há predominância de outro efeito capacitivo. Este efeito é dependente da taxa em que a carga é injetada para as regiões fora da região de depleção [Boylestad e Nashelsky 94] (p.28) e aumentará com a corrente no diodo, portanto com a tensão aplicada na polarização direta. A capacitância definida por esta variação de carga em função da tensão de polarização direta é denominada capacitância de difusão ou de armazenamento [Millman e Halkias 81]. O comportamento da capacitância de transição C T e da capacitância de difusão C D intrínsecas ao diodo é mostrado na figura 2.9. Verifica-se pela curva o comportamento não-linear de ambas as capacitâncias. Figura 2.9 Capacitâncias de transição e difusão em função da tensão aplicada ao diodo. Fonte: [Boylestad e Nashelsky 94] (p.28) O modelo proposto em [Chua e Lin 75] e mostrado na figura 2.10 apresenta a inclusão das capacitâncias não-lineares, feita em paralelo com a resistência não-linear, e

24 23 ainda prevê a existência de resistências de contato R B e de fuga da junção R C. Neste trabalho estas resistências serão desconsideradas impondo-se R B = 0 e R C =. Figura 2.10 Modelo do diodo incluindo as capacitâncias não-lineares e resistências de contato e de fuga. Fonte: [Chua e Lin 75] (p.74) O circuito retificador monofásico meia-onda carga RL para este modelo adaptado é mostrado na figura Figura 2.11 Circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo do diodo incluindo as capacitâncias não-lineares: polarização direta e reversa. Do circuito mostrado obtém-se pela lei de Kirchhoff das tensões: di() t L + Ri() t + vd() t = Esen( wt ) (2.8) dt

25 24 Pela lei de Kirchhoff das correntes: it () = id() t + ic() t (2.9) Da associação em paralelo das capacitâncias: C CT CD = + (2.10) A tensão sobre C é a própria tensão sobre o diodo v D (t). A corrente em C pode ser aproximada pela equação (2.11) sendo que o equacionamento total é desenvolvido no apêndice. dvd() t ic() t = C (2.11) dt Utilizando-se das equações (2.5), (2.9) e (2.10): dvd() t it () id() t = ( CT + CD) dt q v D() t dvd() t MkT T D it () Ise ( 1) = ( C + C) (2.12) dt Com isso o circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo de diodo incluindo as capacitâncias não-lineares fica descrito pelo sistema de equações diferenciais a seguir: di() t L + Ri() t + vd() t = Esen( wt) dt q D() v D() dv t t MkT ( CT + CD) + Is( e 1) i( t) =0 dt (2.13) As capacitâncias não-lineares são elas mesmas funções de v D (t). A capacitância de transição é dada por [Chua e Lin 75]: C T D = vd( t) < Vγ n ( Vγ vd( t)) (2.14)

26 25 Onde: D: constante de proporcionalidade (adimensional); n: constante de graduação da junção (adimensional). A capacitância de difusão é dada por [Chua e Lin 75]: C D q qis v D() t MkT = e (2.15) 2π MkTF Onde: F: freqüência de corte intrínseca do diodo (Hz) Tempo de restabelecimento do modo reverso Outro aspecto relevante na dinâmica não-linear do diodo de junção é o tempo de restabelecimento do modo reverso ou tempo de recuperação reversa. Quando ao diodo que está em condução é aplicada polarização reversa, neste novo estado a corrente não cairá instantaneamente para seu valor de regime permanente Is. Isto ocorre pois durante o regime de condução estabelece-se uma grande densidade de portadores minoritários em cada material: elétrons no material tipo p e lacunas no material tipo n [Boylestad e Nashelsky 94]. Quando há esta alteração de polarização decorrerá um tempo até que a distribuição de portadores assuma a configuração para a polarização reversa [Millman e Halkias 81]. Durante este período denominado tempo de armazenamento t s o diodo manterá a condução com uma corrente I reversa. Quando a densidade de portadores minoritários cai a zero o nível de corrente no circuito tenderá ao seu valor de regime permanente para a polarização reversa [Millman e Halkias 81]. O tempo decorrido neste transiente é denominado tempo de transição t t e a soma destes intervalos define o tempo de restabelecimento do modo reverso t rr como mostrado na figura Este comportamento pode ser interpretado como o tempo de descarregamento da energia armazenada no diodo devido à sua capacitância interna.

27 26 Figura 2.12 Definição do tempo de restabelecimento reverso Fonte: [Boylestad e Nashelsky 94] (p.29) 2.2 PREPARAÇÃO DO MODELO A SER INVESTIGADO Faixas de valores típicos Para a integração numérica do sistema de equações diferenciais que descreve a dinâmica do circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com modelo de diodo incluindo capacitâncias não-lineares é necessário estabelecer valores para as diversas variáveis que compõem o sistema. Com relação às variáveis presentes no modelo do diodo são apresentadas as faixas de valores típicos bem como os valores fixados para a investigação na tabela 2.1.

28 27 Tabela 2.1 Faixas de valores típicos das variáveis do modelo do diodo e valores estabelecidos Variável ou constante física Faixa de valores típicos Valor fixado Unidade constante de emissão 1,0 < M < 2,5 M = 2,0 - tensão de limiar 0,2 < Vγ < 0,9 Vγ = 0,6 V corrente de saturação reversa < Is < 10-9 Is = 10-9 A constante de proporcionalidade 0, < D < D = constante de graduação da junção 0 < n < 1 n = 0,5 - freqüência de corte intrínseca 10 6 < F < F = 10 6 Hz temperatura da junção 208 < T < 448 T= 300 K carga do elétron - q = 1, C constante de Boltzmann - k = 1, J/K As faixas de valores típicos são encontradas em [Chua e Lin 75] com exceção da temperatura [Boylestad e Nashelsky 94]. Os valores fixados aplicam-se ao diodo de silício [Millman e Halkias 81]. A constante de graduação da junção é encontrada em [Perez 85]. Para as demais variáveis (D, F) foram arbitrados valores. Para o estudo da dinâmica do sistema são estabelecidas faixas de valores típicos dos parâmetros do circuito, mostradas na seqüência. As simulações serão feitas para valores contidos nestas faixas. Tabela 2.2 Faixas de valores típicos dos parâmetros do circuito Parâmetro Faixa de valores típicos Unidade amplitude da tensão da fonte 0 < E < 180 V freqüência de excitação 60 < f < Hz resistência da carga 1 < R < Ω indutância da carga 0,1 < L < 500 mh Curvas características Para os valores fixados na tabela 2.1 é calculada pela equação (2.5) a curva característica da corrente i D (t) que atravessa a resistência não-linear R D. Os pontos nos gráficos indicam as coordenadas calculadas:

29 28 i D (t) [A] 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, ,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2-0,05 v D (t) [V] Figura 2.13 Curva característica da resistência não-linear do modelo a ser investigado As curvas características das capacitâncias não-lineares do modelo a ser investigado são calculadas pelas equações (2.14) e (2.15) para os valores fixados na tabela 2.1 e são apresentadas nas figuras 2.14 e A função que expressa a variação da capacitância de transição C T é válida para v D (t) < Vγ. C T [F] 150 E E E E E E E-12 80E-12 70E-12 60E-12 50E-12 40E-12 30E-12 20E E- 12 v D (t) [V] 1E ,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Figura 2.14 Curva característica da capacitância não-linear C T do modelo a ser investigado

30 29 C D [F] 10 0 E- 9 90E-9 80E-9 70E-9 60E-9 50E-9 40E-9 30E-9 20E-9 10 E- 9 v D (t) [V] 1E ,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Figura 2.15 Curva característica da capacitância não-linear C D do modelo a ser investigado C D +C T [F] 150 E E E E E E E-12 80E-12 70E-12 60E-12 50E-12 40E-12 30E-12 20E-12 v D (t) [V] 10 E- 12 1E ,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Figura 2.16 Soma das capacitâncias não-lineares C T + C D A figura 2.16, que mostra a capacitância total do modelo, caracteriza com clareza a predominância da capacitância de transição na polarização reversa Equacionamento final do modelo É apresentado nesta subseção o sistema de equações diferenciais que descreve a dinâmica do circuito retificador monofásico meia-onda carga RL com o modelo do diodo que será analisado para os valores fixados previamente.

31 30 di() t () D L + Ri t + v () t = Esen( wt) dt ,32 vd( t) dvd( t) 9 19,32 vd( t) 1 + 3,08 10 e 10 ( 1) ( ) 0 D( ) 0,6 (0,6 ( )) 2 + e i t = v t < (2.16) D v t dt 15 19,32 vd( t) dvd() t 9 19,32 vd( t) ( 3,08 10 e ) + 10 ( e 1) i( t) = 0 vd( t) > 0,6 dt

32 31 3 DINÂMICA NÃO-LINEAR E CAOS 3.1 INTRODUÇÃO: CONCEITOS Trajetórias, plano de fase, retrato de fase e estados estacionários O arcabouço conceitual referente ao estudo da dinâmica de sistemas voltado para a análise de sistemas não-lineares é apresentado através do resumo do comportamento qualitativo da dinâmica linear do circuito RLC série. O estudo da dinâmica de um sistema linear aqui exemplificado pelo circuito RLC série ilustra aspectos que estão presentes nos sistemas não-lineares. vi() t = Vi Seja o circuito RLC série mostrado na figura 3.1, onde vi( t) é constante, ou seja, Figura 3.1 Circuito RLC série Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões ao circuito e utilizando-se da equação (2.11) obtém-se duas equações diferenciais lineares de primeira ordem acopladas, ou seja, onde as derivadas das variáveis são funções lineares das variáveis [Kaplan e Glass 95]: di() t L + Ri() t + vc() t = Vi dt dvc () t C = i() t dt (3.1)

33 32 Estas equações podem ser reescritas na forma padrão de equações de estado [Kaplan e Glass 95] [Chua et al. 87] [Ogata 98]: R 1 1 i = i vc+ Vi L L L 1 vc = i C (3.2) Nesta forma, dado um estado inicial das variáveis em t = 0 a equação especifica a taxa de variação das variáveis neste tempo para que a evolução das variáveis possa ser calculada para os tempos sucessivos [Chua et al. 87]. Uma das razões para se descrever o modelo na forma de equações de estado é que grande parte dos métodos numéricos e analíticos utilizados para resolver equações diferenciais não-lineares se utilizam desta forma padrão [Chua et al. 87]. Quando o circuito contém apenas elementos invariantes no tempo e fontes de tensão ou de corrente contínuas, a variável tempo não aparece explícita no equacionamento e tanto as equações como o circuito são denominados autônomos. No caso da existência de fontes ou elementos dependentes do tempo o circuito e as equações são denominados nãoautônomos [Chua et al. 87] [Kaplan e Glass 95]. Uma análise qualitativa do sistema pode ser feita através do estudo do plano de fase formado pelas variáveis de estado (i,v C ). Dadas condições iniciais para as equações a seqüência contínua no tempo dos estados das variáveis projetadas no plano i-v C configuram uma trajetória para as equações [Chua et al. 87] [Kaplan e Glass 95]. A trajetória é composta por um transiente e um estado assintótico. Um conjunto de trajetórias para um grande número de condições iniciais é denominado retrato de fase do sistema [Chua et al. 87]. Variações de trajetórias em função de valores diferentes de parâmetros também podem constituir retratos de fase. O plano de fase é uma projeção do espaço de fase formado pelas variáveis (i,v C,t). Um ponto no plano i-v C é dito estado estacionário ou ponto fixo quando dado um estado inicial a trajetória projetada no plano é um ponto, ou seja, não varia com o tempo. Para sistemas lineares de segunda ordem há apenas um ponto fixo e o comportamento qualitativo do sistema é completamente determinado pelo retrato de fase na vizinhança do ponto fixo [Chua et al. 87]. A aplicação dos sinais das variáveis nos canais horizontal e vertical de um osciloscópio é equivalente a uma trajetória [Chua et al. 87] e a figura formada pode ser chamada figura de Lissajous. O físico francês Jules Antoine Lissajous, já em 1857,

34 33 utilizava sons de diferentes freqüências para vibrar um espelho e analisar o padrão de imagens formado pela projeção dos feixes refletidos [www 04a] Estabilidade local na vizinhança do ponto fixo e atratores As equações de estado em (3.2) podem ser colocadas na forma matricial: i R 1 L L i i 1 V = 1 0 v + C L v 0 (3.3) C C Com relação à matriz de coeficientes temos: 1 = LC R T = L Onde [Chua et al. 87]: : determinante da matriz de coeficientes; T: soma dos elementos da diagonal principal da matriz de coeficientes. Através dos valores de e T encontram-se os autovalores s 1 e s 2, que definem o comportamento do sistema [Chua et al. 87]: s T i = ± T (3.4) A figura 3.2 resume a classificação dos possíveis tipos de comportamento qualitativo do sistema na vizinhança do ponto fixo em função dos autovalores, que são mostrados no plano complexo.

35 34 Figura 3.2 Classificação dos possíveis comportamentos qualitativos do sistema. Fonte: adaptado [Chua et al. 87] (p.398) Observam-se os seguintes comportamentos: a) nó estável: convergência monotônica das trajetórias para o ponto fixo; b) nó instável: divergência monotônica das trajetórias do ponto fixo; c) ponto de sela: trajetórias se afastam do ponto fixo mesmo nos casos em que inicialmente parecem se aproximar. Referencia-se à geometria de uma sela de montaria; d) centro: caracterizado por uma trajetória fechada, ou ciclo periódico; e) foco estável: convergência oscilatória das trajetórias para o ponto fixo; f) foco instável: divergência oscilatória das trajetórias do ponto fixo.

36 35 Em função dos valores dos parâmetros e T do sistema é mostrado na figura 3.3 um diagrama resumo dos comportamentos qualitativos das trajetórias possíveis para o circuito linear RLC série. Figura 3.3 Diagrama resumo dos possíveis comportamentos qualitativos do sistema. Fonte: [Chua et al. 87] (p.399) As respostas mostradas para o sistema aplicam-se para o caso de vi( t ) = 0 ou outro valor constante. Para uma tensão de entrada variável no tempo como por exemplo vi( t) = Esen( wt) o sistema é denominado forçado e o comportamento qualitativo da trajetória é atraído para um ciclo-limite, ou seja, um ciclo periódico com transiente monotônico ou alternado. Um atrator é uma região limitada (conjunto de pontos) do espaço de fase para a qual trajetórias são atraídas assintoticamente no decorrer tempos longos o suficiente [Schuster

37 36 84]. Para os casos já expostos são atratores os pontos fixos estáveis e os ciclos periódicos estáveis Dinâmica caótica: atratores caóticos Para circuitos não-lineares pode existir maior quantidade de pontos fixos. Quando isso ocorre é possível analisar por aproximação o comportamento dinâmico qualitativo do sistema nas vizinhanças de cada ponto fixo considerando esta região um sistema linear [Chua et al. 87] [Kaplan e Glass 95]. Com a presença da não-linearidade os circuitos descritos por sistemas de equações de segunda ordem podem exibir um conjunto de comportamentos qualitativamente diferentes dos até aqui mostrados para um sistema linear. Dentre eles encontra-se a duplicação de período e a dinâmica caótica. A possibilidade de ocorrência de caos em sistemas dinâmicos já era conhecida pelo matemático francês Henri Poincaré no final do século XIX. Edward Lorenz, em 1963, através do estudo por simulação numérica de equações diferenciais não-lineares que modelam a dinâmica de um fluido livre entre duas placas a temperaturas diferentes, equações estas utilizadas para extrapolar interpretações para estudos meteorológicos, descobriu características inerentes à dinâmica caótica. O termo caos foi introduzido por Li e Yorke em 1975 através da análise do mapa logístico (ou mapa quadrático) formado pelas iterações de uma equação a diferenças não-linear. A partir desta data o estudo e a pesquisa de dinâmicas caóticas nos mais variados campos da ciência expandiu-se começando a sistematizar-se [Kaplan e Glass 95]. A dinâmica caótica pode ser conceituada como sendo uma dinâmica limitada e aperiódica em um sistema determinístico com dependência sensível às condições iniciais [Kaplan e Glass 95] (p.27). Com isso o atrator caótico, conjunto de pontos para o qual tende assintoticamente esta dinâmica, apresenta as seguintes características [Schuster 84] [Kaplan e Glass 95] [Nusse e Yorke 97]: a) aperiodicidade: os estados nunca se repetem, a trajetória não se intercepta; b) limitação: a trajetória nunca tende a ±, permanece confinada a uma região do espaço e portanto a um conjunto limitado de soluções (estados); c) determinismo: cada estado é absolutamente determinado pelo precedente através de uma regra definida, um sistema de equações determinístico onde não há elemento aleatório nem ruído como interferência externa;

38 37 d) dependência sensível às condições iniciais: para duas condições iniciais bastante próximas as trajetórias respectivas afastam-se rapidamente ao longo do tempo implicando em obstrução à previsibilidade da dinâmica do sistema a longo prazo pois as condições iniciais exatas de um sistema físico não são nunca conhecidas. Lorenz: Como exemplo ilustrativo, sejam as equações de estado do sistema estudado por x= A( y x) y = Bx y xz (3.5) z = xy Cz Para um conjunto específico de valores de parâmetro, tal como: (A; B; C) = (10; 28; 2,67) a dinâmica do sistema comporta-se caoticamente. O atrator caótico mostrado na figura 3.4 é o equivalente geométrico, no espaço de fase, do comportamento dinâmico denominado caos e caracterizado acima. Figura 3.4 Atrator caótico de Lorenz projetado no plano de fase Vale ressaltar que o atrator mostrado é uma projeção da dinâmica em um plano e que portanto as intersecções observáveis na figura são apenas aparentes.

39 38 Na análise de séries temporais obtidas por medição de sistemas físicos reais os conceitos apresentados, necessários para se caracterizar uma dinâmica caótica, são aprofundados e quantificados através de técnicas estatísticas [Kaplan e Glass 95]: a) a limitação da série temporal que se pretende caótica pode ser medida verificando se a média e o desvio padrão não se alteram ao longo da série caracterizando uma série temporal estacionária ; b) a aperiodicidade da série temporal medida pode ser testada utilizando-se da técnica de imersão da série temporal para se quantificar através de diagramas de recorrência as diferenças entre os valores aproximadamente repetidos e a freqüência com que ocorre a repetição aproximada. Isto se faz necessário em função da presença de ruído de medição na série temporal; c) o determinismo associado ao processo pode ser investigado através da estatística da previsibilidade não-linear ; d) a sensibilidade às condições iniciais é analisada pelos expoentes de Lyapunov, que quantificam a taxa temporal de divergência de duas séries com estados inicias quase iguais. É interessante salientar que a técnica de imersão da série temporal permite, com a medição de uma única variável do sistema, reconstruir a dinâmica do sistema no espaço de fase obtendo um padrão geometricamente equivalente ao original e possibilitando descobrir quantas variáveis estão envolvidas no processo [Kaplan e Glass 95]. Da mesma forma, é importante fazer a distinção entre ruído de medição e ruído dinâmico na análise de séries temporais. O ruído de medição diz respeito à limitação da precisão do processo de medição de uma variável do sistema e é caracterizado por flutuações aleatórias em torno da média do valor medido. Já o ruído dinâmico representa pequenas influências de fatores externos no sistema que interferem na evolução da dinâmica [Kaplan e Glass 95]. A ocorrência de dinâmica caótica em qualquer sistema contínuo é restrita a mais de duas dimensões. Isto significa que um sistema de equações diferenciais não-lineares de primeira ordem acopladas autônomas deve possuir ao menos três equações para que seja possível a ocorrência de caos. No caso de equações não-autônomas é necessário ao menos duas equações pois, de forma equivalente, a variável tempo pode ser substituída com a adição de uma terceira equação e ficar implícita no sistema. A restrição à ocorrência de dinâmica caótica em sistemas contínuos é imposta pelo teorema de Poincaré-Bendixson. Este teorema estabelece que não há fluxo caótico numa região limitada em um espaço bidimensional [Schuster 84] (p.93). Em um plano, em face da característica contínua da trajetória e da impossibilidade da trajetória se cruzar caso isso ocorresse o sistema

40 39 deixaria de ser determinístico pois assumiria dois valores diferentes dada uma mesma condição inicial os únicos atratores possíveis são pontos fixos ou ciclos- limite. Um atrator caótico de um sistema contínuo deve portanto ter dimensão superior a 2. Sistemas não-lineares descritos por um conjunto de três equações diferenciais de primeira ordem acopladas autônomas ou duas não-autônomas têm sua trajetória descrita em um espaço de 3 dimensões. Entretanto, caso haja um atrator caótico para o sistema este deverá, como visto anteriormente, estar limitado a um subconjunto deste espaço, portanto com dimensão inferior a 3. Neste caso a dimensão do atrator é um número entre 2 e 3. Portanto a dimensão associada a um atrator caótico é fracionária, característica da geometria fractal Multi-estabilidade, bacias de atração e fractais Um sistema não-linear pode ter mais de um atrator. Quando coexistem dois ou mais atratores, sejam eles pontos fixos, ciclos periódicos ou atratores caóticos, o sistema é dito multi-estável e o conjunto de condições iniciais que levam a cada atrator é denominado bacia de atração. Os pontos de fronteira entre duas bacias podem formar um conjunto fractal [Freitas 03b]. Um fractal é um objeto geométrico que exibe a propriedade de auto-similaridade e possui dimensão fracionária [Freitas 03b]. Como exemplo ilustrativo, a figura 3.5 mostra as bacias de atração para as 4 raízes da equação 4 z = 1 0 geradas pelo método recursivo de Newton-Raphson [www 04b]. As raízes no plano complexo ( x; y) são ( + 1;0),( 1;0),(0; + i),(0; i) e representam os pontos fixos do sistema. Cada ponto no plano complexo representa um valor inicial ( z0= x0+ iy0) que é a entrada do método iterativo, e a cor marcada indica para qual das raízes as iterações convergem.

41 40 Figura 3.5 Bacia de atração para os atratores da equação z 4-1=0 Fonte: adaptado [www 04b] As fronteiras entre as bacias apresentam geometria fractal, o que pode ser observado pela auto-similaridade do objeto mostrado pela ampliação na figura 3.6. Figura 3.6 Ampliação da fronteira entre bacias de atração Fonte: [www 04b] Mapa de Poincaré e diagramas de bifurcação Considerando um sistema não-autônomo, da trajetória no espaço de fase é possível amostrar através da própria freqüência de excitação do sistema um conjunto de pontos. Estes pontos, projetados no plano de fase, formam um mapa de Poincaré ou mapa estroboscópico [Freitas 03a]. A figura 3.7 mostra a idéia básica ligada ao processo.

42 41 Figura 3.7 Trajetória de um sistema dinâmico no espaço de fase com amostragem de período definido para confecção do mapa de Poincaré Fonte: [Freitas 03a] (p.19) Atratores de ciclo periódico aparecerão no mapa de Poincaré como pontos fixos que se repetem a cada n iterações, sendo que uma iteração corresponde ao período de amostragem. Por exemplo, para trajetórias de período duas vezes maior que o período fundamental aparecerão dois pontos fixos no mapa (e o atrator é denominado de período 2); para trajetórias de períodos quatro vezes maior aparecerão quatro pontos fixos e assim por diante. Para um atrator caótico, que é aperiódico ou de período infinito, aparecerão infinitos pontos no mapa. Estes pontos compõem a estrutura do atrator caótico em um mapa de Poincaré. Através dos mapas de Poincaré é possível configurar para sistemas contínuos o denominado diagrama de bifurcação. Sistemas dinâmicos não-lineares admitem bifurcações, mudanças qualitativas bruscas no estado final do sistema em função da variação de um parâmetro [Freitas 03a] [Nusse e Yorke 97]. A duplicação de período é um dos fenômenos que podem ocorrer em sistemas dinâmicos não-lineares. Com a variação de um determinado parâmetro do sistema um atrator de ponto fixo bifurca-se em um atrator de período 2, que por sua vez pode bifurcar-se em um atrator de período 4 e assim sucessivamente cada vez de acordo com alterações menores do parâmetro variado [Nusse e Yorke 97]. Esta e outras dinâmicas podem ser visualizadas na forma de um diagrama de bifurcação plotando uma variável de estado em função de um parâmetro do sistema. Para cada valor do parâmetro variado são plotados os valores da variável analisada obtidos no mapa de Poincaré. Como ilustração do fenômeno da bifurcação e da região de dinâmica caótica em sistemas dinâmicos é mostrado o diagrama de bifurcação da equação a diferenças xi + 1 = Rxi(1 xi), também denominado mapa logístico e extensamente estudado na literatura [Nusse e Yorke 97] [Kaplan e Glass 95].

43 42 Figura 3.8 Diagrama de bifurcação para o mapa logístico 3.2 CAOS NO CIRCUITO RETIFICADOR MONOFÁSICO MEIA-ONDA CARGA RL Revisão bibliográfica Na bibliografia consultada que trata da dinâmica caótica de circuitos elétricos encontra-se referência ao circuito RLD, associação em série de um resistor, um indutor e um diodo. Este circuito é totalmente equivalente ao circuito retificador monofásico meia-onda carga RL, estudado neste trabalho. Vários estudos já foram realizados sobre o circuito. O circuito é modelado tendo como modelo do diodo a associação em paralelo de uma capacitância não-linear e uma resistência não-linear em [Hamill e Deane 89]. A amplitude da tensão de entrada e a freqüência de excitação são variadas aparecendo subharmônicas ciclos de período múltiplo do fundamental e caos. O diagrama de bifurcação it () = f( E) é medido em osciloscópio mostrando ciclos reconhecíveis de período 2, 3, 4, 6 e 8 além de regiões caóticas. Os resultados obtidos na simulação são coerentes com o comportamento observado. Um modelo simplificado para o diodo uma capacitância linear por partes fornece bons resultados qualitativos [Hamill e Deane 89]. O circuito é modelado da mesma forma em [Perez 85]. O diagrama de bifurcação it () = f( E) é medido em osciloscópio amostrando-se os picos de corrente. As equações de

44 43 estado do sistema são apresentadas e os resultados obtidos pela integração numérica acordam com as observações [Perez 85]. O circuito é modelado tendo como modelo do diodo apenas uma capacitância linear por partes em [Matsumoto et al. 84]. O diagrama de bifurcação para este modelo. Neste caso: Qt () = f( E) é computado Q : carga no capacitor (nc); E : valor máximo da tensão senoidal de entrada (mv) São observadas as mesmas características verificadas em observações experimentais e em resultados numéricos com modelos mais complicados [Matsumoto et al. 84]. Com isso afirma-se que a não-linearidade do capacitor é a causa da dinâmica caótica no circuito. Um mapa ou seção de Poincaré no plano de fase i-q é apresentado para o atrator caótico do sistema e mostrado na figura 3.9, bem como o diagrama de bifurcação calculado. O atrator caótico corresponde à seção transversal do diagrama de bifurcação para E =2V. Afirma-se ainda que a tensão de limiar Vγ não pode ser zero para haver bifurcações na dinâmica do sistema [Matsumoto et al. 84].

45 44 Figura 3.9 Diagrama de bifurcação do sistema e mapa de Poincaré para o atrator caótico Fonte: [Matsumoto et al. 84] O circuito é modelado tendo como modelo do diodo a associação em paralelo de uma capacitância não-linear e uma resistência não-linear [Brorson et al. 83]. O diagrama de bifurcação it () = f( E) é medido e calculado. Os diagramas de bifurcação são apresentados, qualitativamente, na figura 3.10.

46 45 Figura 3.10 Diagrama de bifurcação do sistema Fonte: [Brorson et al. 83] A dinâmica de duplicação de período do circuito é analisada através de espectros de potência mostrando a ocorrência de sub-harmônicas em [Linsay 81] [Testa et al. 82]. Um resumo dos valores dos parâmetros utilizados nas medições e simulações citadas nesta seção é apresentado na tabela 3.1. Os valores em negrito representam a faixa de variação dos valores do parâmetro utilizado para se obter o diagrama de bifurcação.

47 46 Tabela 3.1 Resumo de valores dos parâmetros utilizados nas referências Diagramas de bifurcação Parâmetro medido [Hamill e Deane 89] medido [Perez 85] simulado [Matsumoto et al. 84] medido [Brorson et al. 83] R (Ω) 2, Diodo 70HF10 1N L (mh) ,1 0,05 f (Hz) 13k 150k 700k 2,5M E (V) 0, C T (pf) C D (pf) Distúrbios eletromagnéticos e Qualidade em sistemas elétricos: caos e ruído Em Qualidade de energia elétrica em sistemas de potência os fenômenos que causam distúrbios eletromagnéticos nos sistemas elétricos são classificados em: transientes, variações de curta duração, variações de longa duração, desequilíbrios de tensão, distorções da forma de onda, flutuações de tensão, variações de freqüência [Dugan et al. 96]. Os distúrbios em regime permanente se relacionam com as distorções da forma de onda. Nesta categoria incluem-se: presença de tensão ou de corrente contínua no sistema, harmônicas, inter-harmônicas, notching distúrbios periódicos de tensão causados pela operação de equipamentos eletrônicos de potência, ruído. Dentre estas classificações o ruído não é periódico e é definido como indesejáveis sinais elétricos com espectro de banda larga abaixo de 200kHz sobrepostos sobre a tensão ou sobre a corrente [Dugan et al. 96] (p.27). O ruído é causado por equipamentos eletrônicos de potência, circuitos de controle e cargas com retificadores de estado sólido. O ruído é entendido como uma distorção indesejável que não pode ser classificada como transiente ou distorção harmônica [Dugan et al. 96]. Para circuitos retificadores afirma-se que na retificação em freqüências elevadas o emprego de diodos rápidos, isto é, diodos com baixo tempo de recuperação reversa, diminui a rádio-interferência no sistema [Barbi 02] (p.13).

48 47 Com relação à dinâmica caótica de um circuito RLD afirma-se também, em contradição a outras fontes já citadas, que o comportamento caótico não é causado pela não-linearidade do diodo mas sim pelo seu alto tempo de recuperação reversa [Schuster 84] (p.66). O estudo da dinâmica caótica do circuito retificador monofásico meia-onda carga RL, totalmente equivalente ao citado circuito RLD, também pode colaborar para o melhor entendimento da presença de distúrbios associados a ruídos aleatórios ou externos em sistemas elétricos.

49 48 4 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO MODELO 4.1 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Para a investigação do sistema modelado foi utilizado o programa DYNAMICS 2 [Nusse e Yorke 97]. Este programa agrega um conjunto de ferramentas para se estudar a dinâmica de sistemas e foi desenvolvido pelo Grupo de Caos de Maryland, pioneiro no estudo de dinâmica não-linear e caos. A utilização deste programa foi priorizada em detrimento de outros de maior familiaridade do curso de Engenharia Eletrotécnica tal como MATLAB devido a dois aspectos essenciais: a facilidade de utilização das rotinas do DYNAMICS 2, voltadas prioritariamente para o estudo de dinâmica não-linear e caos, e o foco deste trabalho, não concentrado na implementação de algoritmos para a simulação do sistema. Com DYNAMICS 2 é possível trabalhar com sistemas discretos ou contínuos no tempo, através de equações a diferenças finitas ou equações diferenciais, respectivamente. O programa utiliza algoritmos de integração pelo método de Runge-Kutta ou de Euler com passos de integração fixos ou variáveis. O método utilizado na simulação é o de Runge- Kutta de quarta ordem. O programa contém um conjunto de rotinas para explorar a dinâmica de sistemas. As saídas gráficas compreendem séries temporais, trajetórias no plano de fase, seções de Poincaré e conseqüentemente diagramas de bifurcação e bacias de atração. Expoentes de Lyapunov podem ser calculados bem como estão disponíveis algumas outras técnicas de estudo de dinâmica como a determinação e acompanhamento de órbitas periódicas com a variação de algum parâmetro e a determinação de variedades estáveis e instáveis. O programa contém uma série de exemplos de sistemas não-lineares que produzem dinâmica caótica tais como o mapa logístico, o sistema de Lorenz, o circuito de Chua, o pêndulo forçado amortecido, as equações de van der Pol e outros, permitindo inserir um sistema próprio que, sendo contínuo, pode alcançar até cinco dimensões incluindo a dimensão temporal. O sistema contínuo é inserido na forma de equações de estado. A versão do programa utilizada para a simulação é SMALLDYN 2, versão reduzida com ausência de algumas rotinas e cujo tempo de processamento é até duas vezes mais lento que a versão completa [Nusse e Yorke 97]. Esta versão é de distribuição livre. Para o modelo investigado as equações de estado são obtidas do sistema de equações (2.16) fazendo:

50 49 x= i( t), di() t x= dt y = vd( t), dvd() t y = dt Para a integração numérica a função de excitação cos( wt) foi utilizada para que, nos casos em que seções de Poincaré fossem feitas, a amostragem acontecesse no instante correspondente ao pico negativo da tensão de excitação. Este artifício produz apenas um deslocamento do atrator no plano de fase e propiciou a melhor visualização dos diagramas de bifurcação confeccionados. As simulações foram feitas em um computador com processador AMD Athlon XP de 1,92GHz e 512Mb de memória RAM. A integração do sistema de equações diferenciais revelou-se bastante difícil para a faixa de valores de alguns parâmetros do modelo do diodo notadamente a constante de proporcionalidade D, presente no equacionamento da capacitância de transição bem como para freqüências da tensão de excitação da ordem de até dezenas de khz e em alguns casos centenas de khz. Para estes valores de freqüência e para os valores da constante de proporcionalidade D contidos na faixa apresentada na tabela 2.1 ocorre divergência numérica na integração ou são necessários passos de integração muito curtos que resultam em um tempo de processamento muito alto. O problema encontrado para a integração do sistema de equações diferenciais pode ser relacionado à dificuldade de se trabalhar numericamente com os chamados stiff systems, sistemas rígidos. Estes sistemas envolvem comportamentos transientes que seguem uma taxa de variação mais alta e muito diferente do sistema como um todo [Soares e Gomes 04]. Altas constantes de rigidez em sistemas mecânicos são equivalentes a baixas capacitâncias em circuitos elétricos [Ogata 98]. Para solucionar, em parte, as dificuldades encontradas na integração do sistema utilizou-se um valor para a constante D dez vezes maior que o limite da faixa de valores típicos, elevando assim o valor da capacitância de transição. integração: Com estas alterações obtém-se o sistema de equações de estado utilizado para a

51 50 E R 1 x = cos( wt) x y L L L ,32 y ,32 y = ( x 10 ( e 1)) 1 + y 3, e y < 0, 6 (0,6 y) 2 (4.1) 9 19,32 y 15 19,32 1 y = x e e y > y ( ) ( 10 ( 1)) 3, ,6 Mesmo com as alterações efetuadas para se reduzir o tempo de integração do sistema algumas saídas gráficas levaram tempos não desprezíveis para serem confeccionadas: cerca de 15 minutos para os diagramas de bifurcação e 1 hora para as bacias de atração de maior resolução. 4.2 RETRATOS DE FASE Dinâmica do sistema: caso típico e transiente de alta freqüência No intuito de testar e validar o modelo proposto para o retificador monofásico meiaonda foi verificada sua resposta típica para baixas freqüências. O resultado é apresentado na figura 4.1. Os valores dos parâmetros do circuito para este caso são: R = 100 Ω; L = 0, 2mH; E = 5V; f = 60Hz

52 51 o Figura 4.1 Dinâmica do sistema ( f = 60Hz, β = 180 ) Quadro esquerdo: i(t)[a] x t[s]. Quadro direito: i(t)[10-2 A] x t[s] (linha cheia); v D (t)[v] x t[s] (linha tracejada). Com o aumento da freqüência observa-se o aparecimento de um transiente de freqüência mais alta no modo reverso tanto para a corrente total quanto para a tensão sobre o diodo. A figura 4.2 evidencia esta dinâmica para uma freqüência f = 60kHz e demais valores de parâmetros mantidos. o Figura 4.2 Dinâmica do sistema ( f = 60kHz, β = 217 ) Quadro esquerdo: i(t)[a] x t[s]. Quadro direito: v D (t)[v] x t[s]. O transiente da corrente total assemelha-se à resposta de um sistema linear subamortecido de segunda ordem a um impulso unitário. É possível interpretar este comportamento como sendo o descarregamento da energia armazenada no diodo devido à sua capacitância interna, como em um circuito RLC. Sabe-se que as características de resposta transitória de um sistema tais como tempo de acomodação, instante de pico e

53 52 máximo valor de ultrapassagem são dependentes somente dos parâmetros do próprio sistema [Ogata 98]. A extrapolação do comportamento transitório de um sistema linear para um intervalo específico do comportamento de um sistema não-linear forçado é aqui sugerida com a intenção de propor uma primeira aproximação para a elucidação desta dinâmica específica sendo necessária a realização de um estudo mais rigoroso. Para um sistema ideal, ou seja, com modelo de diodo ideal como mostrado na seção 2.1.1, observa-se que com o aumento da freqüência da excitação o ângulo de carga φ aumenta e conseqüentemente o ângulo de condução β [Barbi 02]. Além disso, o módulo da corrente do modo direto diminui pois [Barbi 02]: E it ( ) =, w= 2π f (4.2) 2 2 R + ( wl) A figura 4.3 mostra estas alterações para uma freqüência valores de parâmetros mantidos. f = 300kHz e demais o Figura 4.3 Dinâmica do sistema ( f = 300kHz, β = 255 ) Quadro esquerdo: i(t)[a] x t[s]. Quadro direito: i(t)[10-2 A] x t[s] (linha cheia); v D (t)[v] x t[s] (linha tracejada). Da mesma forma procede-se aqui uma extrapolação de aspectos do comportamento do sistema ideal com a finalidade de se construir uma percepção qualitativa da dinâmica do sistema em estudo. São considerados portanto, simplificadamente, dois aspectos: as características do comportamento transitório do sistema simulado invariáveis com a freqüência e as variações do ângulo de condução e do módulo da corrente em função da freqüência da excitação. É

54 53 então possível argumentar que com o aumento gradual da freqüência há um deslocamento do comportamento transitório do modo reverso. Com isso, para determinada faixa de freqüência, os módulos de corrente do modo direto e reverso terão aproximadamente a mesma ordem de grandeza e um alto ângulo de condução propiciará a influência da corrente de modo reverso na dinâmica do modo direto do próximo ciclo. Estas condições parecem favorecer as duplicações de período e a dinâmica caótica no sistema Dinâmica do sistema: duplicações de período e caos No decorrer do processo de investigação do sistema foram realizadas várias simulações com a intenção de se obter parâmetros otimizados para favorecer a dinâmica caótica. Um dos conjuntos de valores encontrados é: R = 5 Ω; L = 0, 2mH; f 1 f = 1 = = 800kHz, T 1, 25µ s Para estes valores de parâmetros fixados variou-se a amplitude da tensão de excitação, ou seja, a tensão máxima da fonte, obtendo-se dinâmicas diversificadas. a) E = 2V. Solução periódica de período igual ao da excitação A figura 4.4 mostra as séries temporais da corrente total e da tensão sobre o diodo bem como a trajetória no plano de fase formado pelas duas variáveis. Para este caso a resposta do sistema é periódica e a trajetória apresenta um laço. Como, em todas as análises, o tempo de comportamento transiente da dinâmica do sistema foi desconsiderado, a trajetória no plano de fase é o atrator do sistema para os valores fixados dos parâmetros. Neste caso, um atrator periódico.

55 54 Figura 4.4 Dinâmica do sistema ( E = 2V ) Quadro esquerdo: i(t)[a], v D (t)[kv] x t[s]. Quadro direito: i(t)[a] x v D (t)[v]. A periodicidade desta dinâmica fica mais clara na figura 4.5, que mostra o sinal de corrente amostrado com um período de amostragem equivalente ao período do sinal de excitação o período fundamental e a trajetória correspondente no plano de fase. Estas figuras são seções de Poincaré. O ponto observado na seção de Poincaré do plano de fase corresponde à projeção dos pontos da série temporal e é um ponto fixo estável do sistema. Existe portanto uma correspondência direta entre um ponto fixo estável do sistema no tempo discreto com um ciclo-lmite no tempo contínuo. Figura 4.5 Dinâmica amostrada do sistema ( E = 2V ) Quadro esquerdo: i(t)[a] x t[s]. Quadro direito: i(t)[a] x v D (t)[v]. b) E = 6V. Solução periódica de período duas vezes maior que o fundamental

56 55 O aumento da tensão produz uma duplicação do período dos sinais de resposta do sistema. A figura 4.6 mostra, para as mesmas escalas que no caso anterior, as séries temporais da corrente total e da tensão sobre o diodo e o atrator no plano de fase. Figura 4.6 Dinâmica do sistema ( E = 6V ) Quadro esquerdo: i(t)[ma], v D (t)[v] x t[s]. Quadro direito: i(t)[a] x v D (t)[v]. Neste caso a duplicação do período visualizada através do atrator produz o aparecimento de mais um laço, como mostra a ampliação em 10 vezes da escala da tensão do plano de fase na figura 4.7. Figura 4.7 Ampliação do plano de fase i(t)[a] x v D (t)[v] As seções de Poincaré mostram o período duplicado na figura 4.8, evidenciando dois pontos fixos no atrator periódico.

57 56 Figura 4.8 Dinâmica amostrada do sistema ( E = 6V ) Quadro esquerdo: i(t)[a] x t[s]. Quadro direito: i(t)[a] x v D (t)[v]. As soluções periódicas de período T 1 multiplicado por um inteiro (ou freqüência f dividido por um inteiro) são chamadas de sub-harmônicas [Wiggins 97]. c) E = 7,5V. Solução periódica de período quatro vezes maior que o fundamental Um novo aumento da tensão produz outra duplicação do período dos sinais de resposta gerando soluções de período quatro vezes maior que o fundamental. A figura 4.9 mostra as séries temporais da corrente total e da tensão sobre o diodo e o atrator correspondente de período 4. São mantidas as mesmas escalas. Figura 4.9 Dinâmica do sistema ( 7,5V E = ) Quadro esquerdo: i(t)[ma], v D (t)[v] x t[s]. Quadro direito: i(t)[a] x v D (t)[v].

58 57 A ampliação do atrator na figura 4.10 mostra a presença de 4 laços. Figura 4.10 Ampliação do atrator no plano de fase i(t)[a] x v D (t)[v] As seções de Poincaré para este valor de tensão mostram o período novamente duplicado na figura 4.11, com 4 pontos fixos no atrator periódico. Figura 4.11 Dinâmica amostrada do sistema ( E = 7,5V ) Quadro esquerdo: i(t)[a] x t[s]. Quadro direito: i(t)[a] x v D (t)[v]. d) E =10V. Solução aperiódica Para uma tensão de 10V os sinais de resposta do sistema, tanto a corrente total quanto a tensão sobre o diodo, são aperiódicos. Esta característica, um dos pré-requisitos

59 58 para a caracterização da dinâmica caótica, é sugerida pela figura O atrator no plano de fase mostra uma série de laços. Vale ressaltar que um número finito de ciclos foi plotado. Para uma solução aperiódica, ou seja, cujo período tende para o infinito, corresponderia um número infinito de laços que virtualmente preencheriam a região delimitada pelo laço externo. Uma abordagem mais ampla da caracterização da dinâmica caótica é exposta em uma outra seção. Figura 4.12 Dinâmica do sistema ( E = 10V ) Quadro esquerdo: i(t)[ma], v D (t)[v] x t[s]. Quadro direito: i(t)[a] x v D (t)[v]. As seções de Poincaré da figura 4.13 mostram a aperiodicidade da dinâmica para este valor de tensão. O atrator foi plotado com 60 pontos. Figura 4.13 Dinâmica amostrada do sistema ( E = 10V ) Quadro esquerdo: i(t)[a] x t[s]. Quadro direito: i(t)[a] x v D (t)[v].

60 59 Uma das maneiras de se caracterizar a caoticidade da dinâmica do sistema é verificar a fractalidade, ou seja, a estrutura em geometria fractal, da seção de Poincaré do atrator em análise. A auto-similaridade é uma propriedade de figuras geométricas fractais. Com o objetivo de verificar esta característica no atrator foram feitas ampliações da seção de Poincaré que são mostradas na figura Figura 4.14 Ampliações do atrator no plano de fase i(t)[a] x v D (t)[v] O quadro esquerdo mostra a ampliação do atrator no plano de fase da figura 4.13 e o quadro direito a ampliação do esquerdo na região delimitada. O atrator do quadro esquerdo foi plotado com 280 pontos. A ampliação mostrada no quadro direito evidencia a presença de uma segunda franja de pontos. Teoricamente, ampliações maiores mostrariam um padrão auto-similar, com a possibilidade de cada franja ser um conjunto de outras franjas e assim sucessivamente. Entretanto, simulações efetuadas não mostraram com clareza este padrão, o que pode ser justificado devido à alta compactação do atrator, restrito a uma região muito pequena da escala da tensão sobre o diodo no plano de fase. Este fator prejudicou a configuração de ampliações muito maiores devido ao alto tempo de processamento necessário para o programa plotar pontos na região solicitada. e) Outras soluções periódicas É possível encontrar ainda para outros valores de tensão soluções periódicas de períodos diferentes ou de mesmo período mas com formas de onda diferentes. A figura 4.15

61 60 mostra a série temporal da corrente total para que o fundamental. Comparar com a série temporal da figura 4.9. E = 80V, que exibe período 4 vezes maior Figura 4.15 Dinâmica do sistema ( E = 80V ). i(t)[a] x t[s] 4.3 CARACTERIZAÇÃO DE CAOS Como exposto na seção a dinâmica caótica é conceituada como sendo uma dinâmica limitada e aperiódica em um sistema determinístico com dependência sensível às condições iniciais. Portanto, para caracterizar a dinâmica do sistema para E =10V como caótica é necessário, a princípio, verificar os quesitos de aperiodicidade, limitação, determinismo e dependência sensível às condições iniciais. Para o sistema simulado o quesito determinismo é trivialmente atendido pois o sistema é representado por um conjunto de equações diferenciais que é determinístico, onde não há presença de elemento aleatório. A aperiodicidade da dinâmica é verificada como esclarecido na seção anterior e mostrado na figura Esta mesma figura evidencia a limitação do atrator, confinado a uma região específica do espaço de fase. O último quesito necessário à caracterização do atrator como caótico diz respeito à dependência sensível da dinâmica em função das condições iniciais, ou seja, para duas condições iniciais bastante próximas as trajetórias respectivas afastam-se rapidamente ao longo do tempo. A figura 4.16 mostra duas séries temporais de corrente com valores de parâmetros iguais entre si e iguais aos da dinâmica mostrada na figura A série temporal em

62 61 vermelho tem condições iniciais t = 0; i( t ) = 0; vd( t ) = 0. A série temporal em preto tem condições iniciais t = 0; i( t ) = ; vd( t0) = 10 V, ou seja a tensão inicial sobre o diodo é 1µV maior. As séries divergem entre si ao longo do tempo mostrado na figura com diferenças de amplitude de até 5mA. Figura 4.16 Divergência de séries temporais. i(t)[a] x t[s] Esta característica pode ser calculada e avaliada através dos expoentes de Lyapunov, logaritmos naturais dos números de Lyapunov, que descrevem o comportamento médio da variação de duas trajetórias inicialmente muito próximas [Nusse e Yorke 97]. A rotina com o algoritmo para o cálculo destes expoentes está disponível no programa DYNAMICS 2 e foi utilizada. Entretanto, devido à dificuldade de ajuste de valores de parâmetros internos ao programa, parâmetros estes de configuração da rotina do cálculo dos expoentes, os resultados obtidos não demonstraram coerência. De maneira global é possível caracterizar uma dinâmica como caótica de algumas formas distintas: verificando se a estrutura geométrica de seu atrator é fractal [Freitas 03b]; verificando a presença de uma faixa contínua de potência ao longo de toda banda de freqüência do espectro de potência do sinal simulado [Schuster 84] ou ainda verificando a existência de um cruzamento nos chamados conjuntos invariantes do sistema. A figura 4.17 mostra as variedades estável e instável para um conjunto invariante do sistema em estudo. O conjunto é dito invariante pois qualquer ponto inicializado exatamente sobre a linha evolui no tempo sobre a própria linha [Freitas 03b]. O quadro esquerdo mostra uma variedade estável, ou seja, os ramos que evoluindo no tempo acertam exatamente o ponto de sela, marcado pela cruz azul. O quadro direito mostra a variedade instável do conjunto, em vermelho. A variedade instável é formada pelos ramos que, evoluindo no tempo, afastam-se do ponto de sela [Freitas 03b]. O atrator caótico está localizado sobre a

63 62 variedade instável. O cruzamento das variedades na dinâmica do sistema está associado à existência de caos neste sistema. A ampliação no quadro direito mostra o ponto de sela e o cruzamento das variedades. Figura 4.17 Variedades estável e instável. i(t)[a] x v D (t)[v] O conceito de variedades estável e instável fica mais claro com a exemplificação através da forma geométrica de uma sela. A figura 4.18 mostra: a) uma sela geométrica em três dimensões; b) a vista esquemática lateral da sela; c) a vista esquemática superior da sela. Figura 4.18 Sela geométrica, ponto de sela e variedades O ponto de sela está representado pela cruz azul e é o cruzamento das variedades. Imaginado-se uma pequena esfera sendo solta exatamente em um ponto qualquer contido na linha tracejada ela passaria exatamente pelo ponto de sela. Este conjunto de pontos é

64 63 denominado variedade estável. A variedade instável, mostrada pela linha vermelha, pode ser definida da mesma forma invertendo a posição da sela. Sendo ainda a esfera solta exatamente sobre o ponto de sela, ela permanece sobre este ponto indefinidamente. 4.4 DIAGRAMAS DE BIFURCAÇÃO Cascata de bifurcações e caos Um conjunto de diversas dinâmicas do sistema pode ser agrupado em um único diagrama que mostre o comportamento de uma variável com a variação de um parâmetro. A figura 4.19 mostra um destes diagramas. O eixo x mostra valores da amplitude da tensão E variando de 0 a 100V. Para cada valor de tensão o sinal da corrente total i() t, após 100 ciclos de pré-iterações, é amostrado uma vez por ciclo nos próximos 60 ciclos. Os valores de corrente são então acumulados e mostrados no eixo y. Em outras palavras, para cada valor diferente do parâmetro amplitude da tensão uma seção de Poincaré do atrator no plano de fase é confeccionada como as mostradas nas figuras 4.5, 4.8, 4.11 e 4.13 sendo que somente os valores de corrente são plotados no diagrama. Em cada diagrama são varridos 440 valores de tensão. Os demais valores dos parâmetros do sistema são mantidos constantes: R = 5 Ω; L = 0, 2mH; f = 800kHz

65 64 Figura 4.19 Diagrama de bifurcação. i(t)[a] x E[V] Nas ampliações mostradas na figura 4.20 observa-se com maior detalhe a dinâmica do sistema em função da variação da tensão. Figura 4.20 Diagramas de bifurcação. Ampliações da figura i(t)[a] x E[V] O quadro esquerdo mostra que para amplitudes de até aproximadamente 2,4V o sistema responde como um ponto fixo. Nesta tensão ocorre uma bifurcação com duplicação de período. Uma nova duplicação acontece para uma amplitude de aproximadamente 6,9V, fazendo com que a resposta tenha período 4 vezes maior que o fundamental. Percebe-se uma região caótica que se estende até o valor aproximado de 14V, quando há uma mudança abrupta para uma dinâmica de período 3. O período da resposta novamente é duplicado com o aumento da tensão e uma outra região caótica inicia para um valor aproximado de 19V.

66 65 O quadro direito mostra a ampliação de uma janela periódica de período 4 existente para uma tensão em torno de 80V. As franjas caóticas intercaladas presentes no diagrama aparentemente demonstram uma instabilidade desta dinâmica. É possível também que para um número de pré-iterações muito alto estas franjas desapareçam. Entretanto, em algumas simulações efetuadas isto não ocorreu. Outra possibilidade é a de que, aumentando-se a tensão, esta dinâmica de período 4 duplique-se, iniciando outra cascata de bifurcações para o caos. Esta hipótese é corroborada pela análise das figuras 3.9 e Vale ressaltar que uma quantidade pequena de pontos foi plotada (60) para permitir a visualização das diferentes densidades das franjas caóticas. Para um número muito alto de pontos a região caótica seria vista apenas como uma mancha preta no diagrama. A figura 4.21 amplifica as regiões onde acontecem as bifurcações na dinâmica do sistema. Figura 4.21 Diagramas de bifurcação. Ampliações da figura i(t)[a] x E[V]

67 66 O quadro superior esquerdo mostra a região da primeira bifurcação evidenciando uma outra transição brusca para o sistema logo acima de 0,6V, quando a tensão da excitação supera a tensão de limiar da junção do diodo e o diodo pode ser polarizado diretamente e conduzir corrente. O quadro superior direito mostra a região da segunda bifurcação. Nesta ampliação é possível visualizar uma nova duplicação de período, de 4 para 8, em aproximadamente 7,8V. O quadro inferior mostra a transição brusca da região caótica para um período 3 e uma duplicação de período, de 3 para 6, em aproximadamente 16,2V. A figura 4.22 mostra a região da terceira bifurcação. Figura 4.22 Diagrama de bifurcação. Ampliação da figura i(t)[a] x E[V] A sucessão de bifurcações mostradas é recorrente em diversos sistemas dinâmicos e conhecida como transição para o caos por duplicação de período, rota de Feigenbaum [Schuster 84] ou ainda cascata de bifurcações. Nesta rota o número de duplicações de período tende a infinito. Portanto a seqüência de períodos mostrados para o sistema: ponto fixo, período 2, 4 e 8 continuaria sendo duplicada e, tendendo para um valor infinito, coincidiria com o início da região caótica. Existe uma relação entre as faixas de valores de cada ciclo periódico sucessivo. A figura 4.23 exemplifica esta relação para o diagrama de bifurcação do mapa logístico.

68 67 Figura 4.23 Relação entre bifurcações Sendo R n o valor do parâmetro para o início do ciclo de período n e n o comprimento em valores de R para o ciclo de período n: n lim = 4, n 2n A constante 4, é denominada número de Feigenbaum. Para o sistema simulado: 2 = = 6,9 2, 4 4,5V 4 = = 7,8 6,9 0,9V 8 = = 8,0 7,8 0, 2V Portanto: = 5 ; = 4, Novas duplicações não foram obtidas para o diagrama simulado devido ao número reduzido de pré-iterações e de passos de integração por ciclo. Estes ajustes diminuem o tempo de integração mas também reduzem a precisão dos gráficos obtidos.

69 Variação de parâmetros Com a intenção de se verificar o comportamento dinâmico do sistema em função da variação dos demais parâmetros foram confeccionados diagramas de bifurcação para alguns valores diferentes de resistência, indutância e freqüência sendo mantidos fixos, em cada caso, os demais parâmetros. a) Variação da Resistência A figura 4.24 mostra a variação da dinâmica do sistema com o aumento da resistência através dos diferentes diagramas de bifurcação obtidos. Os diagramas estão todos na mesma escala. Os demais parâmetros são: L = 0, 2mH; f = 800kHz

70 69 R = 5Ω R = 50Ω R = 100Ω R = 200Ω Figura 4.24 Diagramas de bifurcação. Variação da resistência. i(t)[a] x E[V] Pode-se observar que o aumento da resistência ocasiona no sistema simulado o afastamento da ocorrência de regiões caóticas para valores mais altos da tensão de entrada. O quadro inferior direito mostra que para R = 200Ω o sistema não apresenta duplicação de período para a faixa de valores de tensão testada. Esta restrição da diversidade da dinâmica do sistema pode estar relacionada com o aumento da dissipação de energia no sistema em função do aumento da resistência b) Variação da Indutância A figura 4.25 mostra a variação da dinâmica do sistema com o aumento da indutância. Os diagramas estão na mesma escala e os demais parâmetros são:

71 70 R = 5 Ω; f = 800kHz L = 0, 2mH L = 0,3mH L = 0, 4mH L = 0, 7mH Figura 4.25 Diagramas de bifurcação. Variação da indutância. i(t)[a] x E[V] Verifica-se nos diagramas que o aumento da indutância causa no sistema simulado a aproximação da ocorrência de regiões caóticas para valores mais baixos da tensão de entrada. Entretanto, o quadro inferior direito mostra que para L = 0, 7mH, apesar de uma região caótica se insinuar para uma faixa de tensão entre aproximadamente 5 e 35V, a dinâmica do sistema para valores mais altos da tensão testada recai para uma solução de período 2.

72 71 c) Variação da Freqüência A figura 4.26 mostra a variação da dinâmica do sistema com a diminuição da freqüência. O diagrama inferior direito está em uma escala de corrente maior que os demais. Os valores dos outros parâmetros são fixos: R = 5 Ω; L = 0, 2mH f = 1MHz f = 800kHz f = 600kHz f = 400kHz Figura 4.26 Diagramas de bifurcação. Variação da freqüência. i(t)[a] x E[V] Os diagramas mostram que a diminuição da freqüência causa no sistema simulado o afastamento da ocorrência de regiões caóticas para valores mais altos da tensão de entrada.

73 72 d) Esboço do espaço de parâmetros É possível correlacionar todos estes comportamentos partindo da argumentação exposta na seção 4.2.1, onde um aumento gradual do ângulo de condução desloca o comportamento transitório do modo reverso até que propicia a influência da corrente de modo reverso na dinâmica do modo direto do próximo ciclo. O ângulo de condução aumenta com o ângulo de carga. O ângulo de carga φ = arctg ( wl R) aumenta com o aumento da freqüência e da indutância no sistema e diminui com o aumento da resistência. A variação dos parâmetros mostrada nos diagramas de bifurcação anteriores demonstra que o início da região caótica para valores mais baixos de tensão é favorecido pelo aumento da indutância e da freqüência bem como dificultado pelo aumento da resistência. A influência da variação dos parâmetros no ângulo de condução é apenas parte da influência total dos parâmetros na dinâmica do sistema. Há que se considerar a alteração das características da resposta transitória do modo reverso em função da alteração dos valores da resistência e da indutância. Além destas contribuições verificou-se nas simulações que a relação entre os valores de freqüência e indutância altera significativamente o valor de tensão necessário para o início da dinâmica caótica. Esta influência talvez esteja relacionada a um fenômeno de ressonância, mais especificadamente de ressonância não-linear pois neste caso a capacitância do modelo do sistema é não-linear. Com o intuito de se fazer um primeiro mapeamento da influência correlacionada entre freqüência e indutância na dinâmica do sistema procedeu-se à confecção de um esboço do espaço de parâmetros do sistema. Para tanto manteve-se o valor de resistência constante e para diversos valores de freqüência e indutância diagramas de bifurcação foram obtidos. Nos diagramas, objetivou-se a obtenção do valor da tensão para o início da região caótica. Em função da imprecisão associada à tomada de medida do valor de tensão onde se inicia a dinâmica caótica optou-se por se utilizar o valor de tensão para a segunda bifurcação. Grosso modo, esta alteração causa apenas um deslocamento linear dos valores de tensão no espaço de parâmetros sendo uma aproximação do parâmetro de acumulação calculado por Feigenbaum. A tabela 4.1 mostra os valores de tensão encontrados para a segunda bifurcação em cada diagrama de bifurcação plotado com valores de parâmetros mostrados pelo par ordenado indutância-freqüência. A resistência é fixa em 5Ω.

74 73 Tabela 4.1 Tensões para início da dinâmica caótica em função da freqüência e indutância f (khz) ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 L (mh) Para uma combinação de freqüências baixas e indutâncias baixas não foi observada dinâmica caótica para os valores de tensão testados. Uma combinação de freqüências altas e indutâncias altas resulta em uma dinâmica de período 2 sem o aparecimento de regiões caóticas consideráveis. Este padrão de dinâmica foi mostrado no quadro inferior direito da figura A figura 4.27 mostra um gráfico obtido com os dados da tabela 4.1. As regiões deste esboço de espaço de parâmetros onde não ocorre dinâmica caótica são mostradas em cinza. Foram traçadas linhas equipotenciais de 10 em 10V que indicam os valores de tensão para o início da dinâmica caótica. É possível através deste gráfico prever, por exemplo, que mesmo para freqüências abaixo de 200kHz, poderá ocorrer caos no sistema em tensões reduzidas se o valor da indutância for suficientemente aumentado. Figura 4.27 Esboço do espaço de parâmetros

75 BACIAS DE ATRAÇÃO O comportamento do sistema pode também ser avaliado em função das condições iniciais das variáveis envolvidas. É possível que, para condições iniciais diferentes, a dinâmica do sistema caminhe para atratores diferentes. O conjunto de condições iniciais que levam a cada atrator é denominado bacia de atração. As condições iniciais de corrente e tensão no diodo para o sistema em estudo podem ser interpretadas como um armazenamento inicial de energia no indutor externo e na capacitância inerente ao diodo. Apesar de, para este circuito, os valores iniciais não serem altamente significativos, é possível que, por exemplo, em chaveamentos rápidos, um residual de energia no sistema altere a dinâmica assintótica do sistema devido à multiestabilidade causada pela dependência das condições iniciais. A figura 4.28 mostra as bacias de atração do sistema simulado para os valores de parâmetros seguintes: R = 5 Ω; L = 0, 2mH; E = 7,5V; f = 800kHz A região cinza é a bacia de atração do atrator de período 4, mostrado pelas quatro cruzes no centro, e a região branca é a bacia de atração do infinito, ou seja, o conjunto de pares ordenados de condições iniciais de corrente e tensão no diodo que levam a dinâmica do sistema a divergir para infinito. Em realidade, na simulação, a dinâmica para estas condições iniciais passa por valores extremamente altos de tensão e corrente, incoerentes com as ordens de grandeza das variáveis do sistema. Portanto consideram-se estas dinâmicas como divergindo para o infinito. Este comportamento corresponde ao chamado colapso do sistema.

76 75 Figura 4.28 Bacias de atração. i(t)[a] x v D (t)[v] A rotina para o cálculo das bacias de atração do programa DYNAMICS 2 divide a escala solicitada para as variáveis do sistema em uma grade de quadrados de resolução variável e considera como condição inicial a ser testada o ponto no centro de cada quadrado. Após verificar a dinâmica assintótica do sistema para este ponto específico preenche todo o quadrado com a cor correspondente ao atrator. A resolução da grade de teste para a figura 4.28 é de 100x100 quadrados. A figura 4.29 mostra as mesmas bacias de atração ampliadas no eixo da corrente e reduzidas no eixo da tensão. A resolução da grade é maior, 240x200 quadrados. Figura 4.29 Bacias de atração. i(t)[a] x v D (t)[v] A fronteira entre bacias demonstra pela figura não ser fractal. O quadro direito mostra a trajetória no plano de fase apenas para efeito ilustrativo.

77 76 5 RESULTADOS DA MEDIÇÃO EXPERIMENTAL DO CIRCUITO O circuito mostrado na figura 5.1 foi montado em proto-board. Foi utilizado um gerador de sinais como fonte de tensão de entrada sendo a forma de onda da tensão senoidal. As tensões sobre o diodo e sobre o resistor foram medidas em osciloscópio. Figura 5.1 Circuito para medição experimental Primeiramente procurou-se por duplicações de período e caos no circuito para os mesmos valores de parâmetros utilizados na simulação. Como para estes valores as dinâmicas buscadas não foram encontradas outras combinações de valores de parâmetros, principalmente entre indutância e freqüência, foram testadas. São apresentadas as medições efetuadas para os seguintes valores dos parâmetros do circuito: R = 10 Ω; L = 1mH; f = 100kHz Foi utilizado o diodo tipo 1N4004 no experimento. Duplicações de período e regiões caóticas foram observadas para outras combinações de valores, entretanto a combinação acima possibilitou a medição nítida de um maior número de dinâmicas distintas para o circuito dentro da faixa de variação da amplitude de tensão permitida pelo gerador de sinais: 0 10,5V. As diferenças encontradas entre as combinações de valores de indutância e freqüência que facilitam a dinâmica caótica nas simulações e nas medições experimentais podem ser principalmente creditadas à diferença entre os valores de capacitância modelados e os valores reais para o diodo utilizado. Chama-se a atenção, entretanto, para a semelhança qualitativa encontrada entre as imagens obtidas no osciloscópio e as figuras obtidas na simulação numérica. A figura 5.2 mostra a dinâmica do circuito para uma solução de período igual ao fundamental.

78 77 Figura 5.2 Dinâmica do circuito. Período T 1 Quadro esquerdo: i(t), v D (t). Quadro direito: modo x-y. As medições foram realizadas com osciloscópio digital e com osciloscópio analógico. Observou-se que no osciloscópio digital a tensão sobre a resistência, proporcional à corrente total no circuito, apresenta muito ruído, dificultando a distinção da forma de onda do sinal medido. Optou-se portanto em apresentar todas as medições com o osciloscópio analógico. O quadro esquerdo da figura 5.2 mostra o sinal de corrente na parte superior e o sinal da tensão sobre o diodo na parte inferior. As setas vermelhas mostram as referências para cada tensão. O quadro direito mostra o modo x-y do osciloscópio, equivalente à projeção do espaço de fase, onde a tensão sobre o diodo é mostrada no eixo horizontal e a corrente no eixo vertical. As medições para os valores de parâmetros apresentados são mostradas todas nas mesmas escalas: Tensão sobre o diodo: 5V/ divisão; Tensão sobre a resistência: 100mV/ divisão (correspondente a10ma/divisão); Tempo: 20µs/ divisão. A figura 5.3 mostra, para uma tensão maior, a duplicação do período dos sinais. Figura 5.3 Dinâmica do circuito. Período T 2

79 78 A figura 5.4 mostra a dinâmica do circuito para um período quatro vezes maior que o fundamental, após uma nova duplicação de período. O atrator evidencia a presença de um novo laço sendo que os outros dois não estão visíveis nesta escala. Figura 5.4 Dinâmica do circuito. Período T 4 Quadro esquerdo: i(t), v D (t). Quadro direito: modo x-y. Com o aumento da tensão a dinâmica passa a ser caótica. A figura 5.5 mostra este comportamento. Figura 5.5 Dinâmica caótica do circuito Quadro esquerdo: i(t), v D (t). Quadro direito: modo x-y. Devido à aperiodicidade da dinâmica caótica os sinais mostrados pelo osciloscópio no quadro esquerdo ficam sobrepostos. A figura 5.6 mostra a dinâmica do circuito para um período três vezes maior que o fundamental, após a passagem pela região caótica causada pelo aumento da tensão.

80 79 Figura 5.6 Dinâmica do circuito. Período T 3 A tabela 5.1 contém o resumo dos comportamentos medidos no circuito com as respectivas faixas de valores de tensão. Tabela 5.1 Resumo das dinâmicas medidas Dinâmica Faixa de tensão (V) T 1 1,2 1,6 T 2 4,3 6,1 T 4 6,1 caos 6,1 8,5 T 3 8,5 10,5 Observou-se uma dinâmica instável não prevista pelas simulações na primeira duplicação de período. Este comportamento estendeu-se pela faixa de tensão correspondente a 1,6 4,3V. Outros comportamentos também foram observados no circuito para outras combinações de valores de indutância e freqüência. Estas dinâmicas são mostradas na figura 5.7. Figura 5.7 Dinâmica do circuito. Período T 4 e T 5