Introdução à Otimização Combinatória Modelagem Matemática I Professora: Rosiane de Freitas (rosiane@icomp.ufam.edu.br) Colaborador Bruno Raphael Cardoso Dias (bruno.dias@icomp.ufam.edu.br) Universidade Federal do Amazonas - UFAM Instituto de Computação - IComp Manaus-AM, Brasil Abril de 2015 Abril de 2015 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 1 / 37
Roteiro Roteiro 1 Programação Linear Modelagem Matemática Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila Inteira Problema da Mochila Fracionária Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua 2 Referências Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 2 / 37
Modelagem Matemática Modelagem Matemática Na área de Pesquisa Operacional os problemas são representados por modelos matemáticos. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 3 / 37
Modelagem Matemática Modelagem Matemática Na área de Pesquisa Operacional os problemas são representados por modelos matemáticos. Um modelo matemático é uma representação simplificada de uma situação da vida real, formalizado com símbolos e expressões matemáticas. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 3 / 37
Modelagem Matemática Modelagem Matemática Tipos de Modelos Matemáticos de Otimização: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 4 / 37
Modelagem Matemática Modelagem Matemática Tipos de Modelos Matemáticos de Otimização: 1 Programação Linear { Contínua Inteira Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 4 / 37
Modelagem Matemática Modelagem Matemática Tipos de Modelos Matemáticos de Otimização: 1 Programação Linear 2 Programação Não-linear. { Contínua Inteira Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 4 / 37
Modelagem Matemática Programação Linear Contínua Programação Linear Contínua Um caso particular dos modelos de programação linear em que as variáveis são contínuas e apresentam comportamento linear, tanto em relação às restrições como à função objetivo. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 5 / 37
Modelagem Matemática Programação Linear Contínua Programação Linear Contínua Um caso particular dos modelos de programação linear em que as variáveis são contínuas e apresentam comportamento linear, tanto em relação às restrições como à função objetivo. Os problemas de Programação Linear determinam um planejamento ótimo das atividades, que representa a melhor solução entre todas as soluções possíveis. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 5 / 37
Modelagem Matemática Programação Linear Contínua Programação Linear Contínua Um caso particular dos modelos de programação linear em que as variáveis são contínuas e apresentam comportamento linear, tanto em relação às restrições como à função objetivo. Os problemas de Programação Linear determinam um planejamento ótimo das atividades, que representa a melhor solução entre todas as soluções possíveis. Exemplos: Maximizar z = c x Sujeito a A x = b x R + Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 5 / 37
Modelagem Matemática Programação Linear Inteira Programação Linear Inteira Um modelo de otimização constitui um problema de Programação Inteira se qualquer variável não puder assumir valores contínuos, ficando condicionada a assumir valores discretos. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 6 / 37
Modelagem Matemática Programação Linear Inteira Programação Linear Inteira Um modelo de otimização constitui um problema de Programação Inteira se qualquer variável não puder assumir valores contínuos, ficando condicionada a assumir valores discretos. Exemplos: Maximizar z = c x Sujeito a A x = b x Z + Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 6 / 37
Modelagem Matemática Programação Não-linear Programação Não-linear Um modelo de otimização constitui um problema de Programação Não-linear se exibir qualquer tipo de não-linearidade, seja na função objetivo ou em qualquer de suas restrições. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 7 / 37
Modelagem Matemática Programação Não-linear Programação Não-linear Um modelo de otimização constitui um problema de Programação Não-linear se exibir qualquer tipo de não-linearidade, seja na função objetivo ou em qualquer de suas restrições. Exemplos: x n para n 1 n 2 2x 3 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 7 / 37
Modelagem Matemática Problemas de Programação Matemática e Problemas de Otimização O que são problemas de Otimização? Os problemas de Otimização são problemas de maximização ou minimização de funções de variáveis, num determinado domínio, normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 8 / 37
Modelagem Matemática Problemas de Programação Matemática e Problemas de Otimização O que são problemas de Otimização? Os problemas de Otimização são problemas de maximização ou minimização de funções de variáveis, num determinado domínio, normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis. O que são problemas de programação matemática? Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de Problemas de Otimização, aplicados inicialmente nos campos da organização e da gestão econômica, em que o objetivo e as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 8 / 37
Modelagem Matemática Problemas de Programação Matemática e Problemas de Otimização O que são problemas de Otimização? Os problemas de Otimização são problemas de maximização ou minimização de funções de variáveis, num determinado domínio, normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis. O que são problemas de programação matemática? Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de Problemas de Otimização, aplicados inicialmente nos campos da organização e da gestão econômica, em que o objetivo e as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais. A terminologia Programação Matemática tem sua origem na relação: Programação planejamento de atividades. Matemática o problema é representado por um modelo matemático composto de funções objetivo(s) e restrições dependentes das variáveis de decisão. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 8 / 37
Programac a o Linear Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 (Knapsack Problem) Um excursionista planeja fazer uma viagem acampando. Ha 5 itens que ele deseja levar consigo, mas estes, juntos, excedem o limite de 60 quilos que ele supo e ser capaz de carregar. Para otimizar o processo de selec a o dos objetos, ele atribui valores, por ordem crescente de importa ncia a cada um dos itens conforme a tabela a seguir. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matema tica I Abril de 2015 9 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Knapsack Problem Supondo a existência de uma unidade de cada item, faça um modelo de programação inteira que maximize o valor total sem exceder as restrições de peso. Item 1 2 3 4 5 Peso (kg) 52 23 35 15 7 Valor 100 60 70 15 8 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 10 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Variáveis de decisão São incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 11 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Variáveis de decisão São incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. 1 Solução: Escolha da variável de decisão: { 1, se o item j for colocado na mochila x j = 0, caso contrário Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 11 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Função Objetivo É uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão. Item 1 2 3 4 5 Peso (kg) 52 23 35 15 7 Valor 100 60 70 15 8 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 12 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Função Objetivo É uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão. Item 1 2 3 4 5 Peso (kg) 52 23 35 15 7 Valor 100 60 70 15 8 1 Solução: Elaboração da Função Objetivo: max z = 100x 1 + 60x 2 + 70x 3 + 15x 4 + 8x 5 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 12 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Restrições Leva em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis). 1 Solução: Item 1 2 3 4 5 Peso (kg) 52 23 35 15 7 Valor 100 60 70 15 8 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 13 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Restrições Leva em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis). Item 1 2 3 4 5 Peso (kg) 52 23 35 15 7 Valor 100 60 70 15 8 1 Solução: Restrições do Problema: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 13 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Restrições Leva em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis). Item 1 2 3 4 5 Peso (kg) 52 23 35 15 7 Valor 100 60 70 15 8 1 Solução: Restrições do Problema: Limite de peso: 52x 1 + 23x 2 + 35x 3 + 15x 4 + 7x 5 60 (Pode-se carregar 60kg, no máximo). Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 13 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Restrições Leva em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis). Item 1 2 3 4 5 Peso (kg) 52 23 35 15 7 Valor 100 60 70 15 8 1 Solução: Restrições do Problema: Limite de peso: 52x 1 + 23x 2 + 35x 3 + 15x 4 + 7x 5 60 (Pode-se carregar 60kg, no máximo). Tipo de variáveis: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 {0, 1} Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 13 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Problema completo: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 14 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Problema completo: Maximizar z = 100x 1 + 60x 2 + 70x 3 + 15x 4 + 8x 5 Sujeito a 52x 1 + 23x 2 + 35x 3 + 15x 4 + 7x 5 60 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 {0, 1} Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 14 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Problema completo: Maximizar z = 100x 1 + 60x 2 + 70x 3 + 15x 4 + 8x 5 Sujeito a 52x 1 + 23x 2 + 35x 3 + 15x 4 + 7x 5 60 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 {0, 1} O problema da mochila pode ser formulado como: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 14 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 Problema completo: Maximizar z = 100x 1 + 60x 2 + 70x 3 + 15x 4 + 8x 5 Sujeito a 52x 1 + 23x 2 + 35x 3 + 15x 4 + 7x 5 60 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 {0, 1} O problema da mochila pode ser formulado como: Maximizar j itens p jx j Sujeito a j itens w jx j Cap x j {0, 1} j itens Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 14 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 O problema da mochila pode ser formulado como: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 15 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 O problema da mochila pode ser formulado como: Maximizar j itens p jx j Sujeito a j itens w jx j Cap x j {0, 1} j itens Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 15 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 O problema da mochila pode ser formulado como: Maximizar j itens p jx j Sujeito a j itens w jx j Cap x j {0, 1} j itens Considerando a notação a seguir: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 15 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 O problema da mochila pode ser formulado como: Maximizar j itens p jx j Sujeito a j itens w jx j Cap x j {0, 1} j itens Considerando a notação a seguir: itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 15 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 O problema da mochila pode ser formulado como: Maximizar j itens p jx j Sujeito a j itens w jx j Cap x j {0, 1} j itens Considerando a notação a seguir: itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}. Cap: Capacidade da mochila. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 15 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 O problema da mochila pode ser formulado como: Maximizar j itens p jx j Sujeito a j itens w jx j Cap x j {0, 1} j itens Considerando a notação a seguir: itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}. Cap: Capacidade da mochila. w j : Peso relativo ao item j. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 15 / 37
Problema da Mochila 0 1 Problema da Mochila 0 1 O problema da mochila pode ser formulado como: Maximizar j itens p jx j Sujeito a j itens w jx j Cap x j {0, 1} j itens Considerando a notação a seguir: itens: Todos os itens = {1, 2, 3, 4, 5}. Cap: Capacidade da mochila. w j : Peso relativo ao item j. p j : Valor de retorno proporcionado pelo item j (prioridade). Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 15 / 37
Problema da Mochila Inteira Problema da Mochila Inteira Problema da Mochila Inteira Trata-se de uma extensão do problema anterior, na qual para cada item j existem u j unidades disponíveis. A modelagem de programação inteira deste problema é: Maximizar Sujeito a j itens p jx j j itens w jx j Cap x j u j j itens x j Z + j itens em que a variável de decisão x j indica o número de unidades do item j alocados à mochila. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 16 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Um ladrão entra em uma loja para roubar e encontra n itens, onde cada item i vale v i reais e w i quilos, sendo v i e w i inteiros. O ladrão deseja levar a carga mais valiosa possível mas, no entanto, consegue carregar apenas 50 quilos na sua mochila. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 17 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Se fosse no problema da mochila 0 1, as restrições seriam que o ladrão deveria levar os itens inteiros (isto é, x i assume apenas valor inteiro: 0 ou 1), e pode levar um item apenas uma vez. Para o problema da mochila fracionária, o ladrão pode levar frações de um item, e desta forma x i pode assumir valores tal que 0 x i 1. Seja os itens que o ladrão deseja levar com a seguinte configuração: Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 18 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 19 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Escolha da variável de decisão: 0 x i 1 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 19 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Escolha da variável de decisão: 0 x i 1 Observação: Como candidatos temos os diferentes objetos e a solução é dada por um vetor {x 1,..., x n } que indica que fração de cada objeto deve ser incluída. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 19 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 20 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Elaboração da Função Objetivo: max z = 60x 1 + 100x 2 + 120x 3 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 20 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 21 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Restrições do Problema: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 21 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Restrições do Problema: Limite de peso: 10x 1 + 20x 2 + 30x 3 50 (Pode-se carregar 50kg, no máximo). Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 21 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Item Valor (R$) Peso (Kg) Valor por Kg 1 60 10 6 2 100 20 5 3 120 30 4 1 Solução: Restrições do Problema: Limite de peso: 10x 1 + 20x 2 + 30x 3 50 (Pode-se carregar 50kg, no máximo). Tipo de variáveis: 0 x i 1 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 21 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Problema completo: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 22 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Problema completo: Maximizar z = 60x 1 + 100x 2 + 120x 3 Sujeito a 10x 1 + 20x 2 + 30x 3 50 0 x i 1 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 22 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Problema completo: Maximizar z = 60x 1 + 100x 2 + 120x 3 Sujeito a 10x 1 + 20x 2 + 30x 3 50 0 x i 1 O problema da mochila fracionária pode ser formulado como: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 22 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) Problema completo: Maximizar z = 60x 1 + 100x 2 + 120x 3 Sujeito a 10x 1 + 20x 2 + 30x 3 50 0 x i 1 O problema da mochila fracionária pode ser formulado como: Maximizar n i=1 v ix i Sujeito a n i=1 w ix i Cap 0 x i 1 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 22 / 37
Problema da Mochila Fracionária Problema da Mochila Fracionária (Knapsack Problem) O problema da mochila fracionária pode ser formulado como: Maximizar n i=1 v ix i Sujeito a n i=1 w ix i Cap 0 x i 1 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 23 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Exercício: O Problema da Dieta Suponha que para participar dos jogos universitários deste ano, todo aluno deve estar em forma. Assim, assuma que você precise perder peso para atender a este requisito exigido pela comissão organizadora do evento. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 24 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Exercício: O Problema da Dieta Suponha que para participar dos jogos universitários deste ano, todo aluno deve estar em forma. Assim, assuma que você precise perder peso para atender a este requisito exigido pela comissão organizadora do evento. Mas, para isso, você precisa entrar em uma dieta de redução calórica, reduzindo a quantidade de certos alimentos que deverão ser ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 24 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Exercício: O Problema da Dieta Suponha que para participar dos jogos universitários deste ano, todo aluno deve estar em forma. Assim, assuma que você precise perder peso para atender a este requisito exigido pela comissão organizadora do evento. Mas, para isso, você precisa entrar em uma dieta de redução calórica, reduzindo a quantidade de certos alimentos que deverão ser ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo. Suponha que, por motivos justificáveis, uma certa dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de peixe e uma salada com uma composição bem conhecida. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 24 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Exercício: O Problema da Dieta Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitaminas A, C e D e controlados por suas quantidades mínimas (em miligramas), uma vez que são indispensáveis à preservação da saúde da pessoa que estará se submetendo à dieta. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 25 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Exercício: O Problema da Dieta Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitaminas A, C e D e controlados por suas quantidades mínimas (em miligramas), uma vez que são indispensáveis à preservação da saúde da pessoa que estará se submetendo à dieta. A Tabela a seguir resume a quantidade de cada vitamina em disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade diária para a boa saúde de uma pessoa. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 25 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Restrições e custos do problema: Vitamina Tabela : Restrições de nutrientes na dieta alimentar. Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Requisito nutricional mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 26 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Requisito nutricional mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 27 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Requisito nutricional mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real 1 Solução: Escolha da variável de decisão: x i quantidade de alimento do tipo i=(l=leite, c-carne, p=peixe, s-salada) a ser utilizada na dieta escolhida. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 27 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Requisito nutricional mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real 1 Solução: Escolha da variável de decisão: x i quantidade de alimento do tipo i=(l=leite, c-carne, p=peixe, s-salada) a ser utilizada na dieta escolhida. Elaboração da Função objetivo: z = Minimizar {f (x) = 2x l + 4x c + 1, 5x p + x s } Número total de unidades monetárias gastas com a dieta. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 27 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Req. nutr. mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 28 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Req. nutr. mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real 1 Solução: Formulação das restrições tecnológicas: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 28 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Req. nutr. mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real 1 Solução: Formulação das restrições tecnológicas: a) Restrição associada à demanda de vitamina A: 2x l + 2x c + 10x p + 20x s 11 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 28 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Req. nutr. mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real 1 Solução: Formulação das restrições tecnológicas: a) Restrição associada à demanda de vitamina A: 2x l + 2x c + 10x p + 20x s 11 b) Restrição associada à demanda de vitamina C: 50x l + 20x c + 10x p + 30x s 70 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 28 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada (100g) Req. nutr. mínimo A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 real 1 real 1 Solução: Formulação das restrições tecnológicas: a) Restrição associada à demanda de vitamina A: 2x l + 2x c + 10x p + 20x s 11 b) Restrição associada à demanda de vitamina C: 50x l + 20x c + 10x p + 30x s 70 c) Restrição associada à demanda de vitamina D: 80x l + 70x c + 10x p + 80x s 250 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 28 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 29 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta 1 Solução: Restrições de não negatividade: x l 0, x c 0, x p 0, x s 0 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 29 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema da Dieta 1 Solução: Restrições de não negatividade: x l 0, x c 0, x p 0, x s 0 Chegando finalmente ao problema completo: Minimizar z = 2x l + 4x c + 1, 5x p + x s sujeito a: 2x l + 2x c + 10x p + 20x s 11 50x l + 20x c + 10x p + 30x s 70 80x l + 70x c + 10x p + 80x s 250 x l 0, x c 0, x p 0, x s 0 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 29 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio Exercício: O Problema do Sítio Um sitiante está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano. Por informações obtidas nos órgão governamentais, sabe-se que a culturas de trigo, arroz e milho serão as mais rentáveis na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas desejadas é constante na tabela a seguir: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 30 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio Restrições e custos do problema: Cultura Tabela : Restrições do problema do plantio. Produtividade em kg por m 2 (experiência) Lucro por kg de Produção (informações do goverto) Trigo 0,2 10,8 centavos Arroz 0,3 4,2 entavos Milho 0,4 2,03 centavos O Problema do Sítio (cont.) Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000m 2. Para atender às demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400m 2 de trigo, 800m 2 de arroz e 10.000m 2 de milho. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 31 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio Cultura Produtividade em kg por m 2 (experiência) Lucro por kg de Produção (informações do goverto) Trigo 0,2 10,8 centavos Arroz 0,3 4,2 entavos Milho 0,4 2,03 centavos 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 32 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio Cultura Produtividade em kg por m 2 (experiência) Lucro por kg de Produção (informações do goverto) Trigo 0,2 10,8 centavos Arroz 0,3 4,2 entavos Milho 0,4 2,03 centavos 1 Solução: Escolha da variável de decisão: Neste exemplo as variáveis de decisão a serem utilizadas serão referentes a quantidade de quilos produzidos em cada área a ser plantada. x i área em m 2 a ser plantada da cultura do tipo i=(t=trigo, A-arroz, M=Milho). Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 32 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio Cultura Produtividade em kg por m 2 (experiência) Lucro por kg de Produção (informações do goverto) Trigo 0,2 10,8 centavos Arroz 0,3 4,2 entavos Milho 0,4 2,03 centavos 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 33 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio Cultura Produtividade em kg por m 2 (experiência) Lucro por kg de Produção (informações do goverto) Trigo 0,2 10,8 centavos Arroz 0,3 4,2 entavos Milho 0,4 2,03 centavos 1 Solução: Elaboração da Função objetivo: os coeficientes da função deverão ser calculados multiplicando-se a produtividade por quilo pelo lucro previsto para cada quilo. O resultado será a unidade monetária, no caso o centavo. z = Minimizar {f (x) = 2, 16x T + 1, 26x A + 0, 812x M }. Lucro em centavos. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 33 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio O Problema do Sítio (cont.) Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000m 2. Para atender às demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400m 2 de trigo, 800m 2 de arroz e 10.000m 2 de milho. 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 34 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio O Problema do Sítio (cont.) Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000m 2. Para atender às demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400m 2 de trigo, 800m 2 de arroz e 10.000m 2 de milho. 1 Solução: Formulação das restrições tecnológicas: a) Restrições associadas à demanda do sítio (em unidade de área - m 2 ): x T 400 x A 800 x M 10.000 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 34 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio O Problema do Sítio (cont.) Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000m 2. Para atender às demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400m 2 de trigo, 800m 2 de arroz e 10.000m 2 de milho. 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 35 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio O Problema do Sítio (cont.) Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000m 2. Para atender às demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400m 2 de trigo, 800m 2 de arroz e 10.000m 2 de milho. 1 Solução: b) Restrição associada a área total disponível: x T + x A + x M 200.000 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 35 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio O Problema do Sítio (cont.) Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000m 2. Para atender às demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400m 2 de trigo, 800m 2 de arroz e 10.000m 2 de milho. 1 Solução: b) Restrição associada a área total disponível: x T + x A + x M 200.000 c) Restrição associada ao armazenamento (em quilos): Utilizam-se os coeficientes da produtividade por unidade de área obter um valor final em quilos: 0, 2x T + 0, 3x A + 0, 4x M 60.000 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 35 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio 1 Solução: Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 36 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio 1 Solução: Restrições de não negatividade: x T 0, x A 0, x M 0 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 36 / 37
Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Contínua O Problema do Sítio 1 Solução: Restrições de não negatividade: x T 0, x A 0, x M 0 Chegando finalmente ao problema completo: Minimizar z = 2, 16x T + 1, 26x A + 0, 812x M sujeito a: x T 400 x A 800 x M 10.000 x T + x A + x M 200.000 0, 2x T + 0, 3x A + 0, 4x M 60.000 x T 0, x A 0, x M 0 Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 36 / 37
Referências Modelagem Matemática 1 Referências BREGALDA, Paulo F., OLIVEIRA, Antônio. A. F., BORNSTEIN, Cláudio T.. Introdução à Programação Linear, 3a Edição, Editora Campus, 1988. GOLDBARG, M. C. e LUNA, H. P.. Otimização Combinatória e Programação Linear, 2a Edição, Editora Campus, 2005. LAWLER, Eugene. Combinatorial Optimization: Networks and Matroids, 1a Edição, 1975. MACULAN, Nelson e FAMPA Marcia H. C.. Otimização Linear, 1a Edição, Editora UNB, 2006. Rosiane de Freitas (IComp/UFAM) Modelagem Matemática I Abril de 2015 37 / 37