1 UNIDADE VII Continuando... Juros Compostos! Taxas Equivalentes São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante (M ou FV) num mesmo tempo. No sistema de capitalização composta, ao contrário do que acontece no sistema de capitalização simples, duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais entre si. Daí a necessidade de obtermos uma relação que nos permita calcular a taxa equivalente, num certo período de tempo, a uma dada taxa de juro composto. Sejam: i a = taxa anual de juro composto i m = taxa mensal de juro composto Então, se i a equivalente a i m, pela definição de taxas equivalentes, temos: M 1 = C.(1 + i a ) 1 M 2 = C.(1 + i m ) 12 M 1 = M 2 igualando os montantes; C.(1 + i a ) 1 = C.(1 + i m ) 12 cancelando os capitais; (1 + i a ) 1 = (1 + i m ) 12 i a equivalente a i m. Analogamente, podemos estabelecer as seguintes relações: (1 + i d ) 360 = (1 + i m ) 12 = (1 + i t ) 4 = (1 + i s ) 2 = (1 + i a ) 1 i d = taxa diária de juro composto i m = taxa mensal de juro composto i t = taxa trimestral de juro composto i s = taxa semestral de juro composto i a = taxa anual de juro composto
2 Exemplos: 01) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% as. i s = 10% ou 0,1 (1 + i a ) 1 = (1 + i s ) 2 (1 + i a ) 1 = (1 + 0,1) 2 (1 + i a ) 1 = (1 + 0,1) 2 1 + i a = (1,1) 2 1 + i a = 1,21 i a = 1,21 1 i a = 0,21 Resposta: 0,21 aa ou 21% aa. 02) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? i a = 30% ou 0,3 (1 + i t ) 4 = (1 + i a ) 1 (1 + i t ) 4 = 1 + 0,3 (1 + i t ) 4 = 1,3 1/4 inverte-se o expoente 4 do primeiro membro. 1 + i t = 1,3 i t = 1,3 0,25 1 i t = 0,06778 Resposta: 0,067 at ou 6,78% at. Exercícios com cálculo de Juro Composto Taxas Equivalentes: 01) Determine a taxa mensal equivalente a 0,2% ao dia. 02) Determine a taxa semestral equivalente a 45% ao ano. 03) Determine a taxa anual equivalente a 3% ao mês. 04) Determine a taxa trimestral equivalente a 194% ao ano. 05) Determine a taxa diária equivalente a 6% ao ano.
3 Fórmula para cálculo de taxas equivalentes: QQ i (eq) = { ( 1 + i c ) QT 1 } x 100 Onde: i (eq) = Taxa Equivalente; i c = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = Quanto eu Tenho. Exemplos: 01) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% as. Resolução pela fórmula: Dados: i eq =? i c = 10% ou 0,1 QQ = 360 dias (período anual, transformado em dias) QT = 180 dias (período semestral, transformado em dias) Substituindo: 360 i (eq) = { ( 1 + 0,1 ) 180 1 } x 100 i (eq) = { ( 1,1 ) 2 1 } x 100 i (eq) = { 1,21 1 } x 100 i (eq) = 21% ao ano substituindo os dados. cálculo da divisão do expoente cálculo da potência taxa anual solicitada Resolução pela calculadora financeira HP-12C: 1,1 ENTER entrando com a taxa conhecida dividida por 100 e somada com + 1 360 ENTER 180 y x dias pedidos e depois dias conhecidos 1 100 x transformando em porcentagem 21% ao ano.
4 02) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? Resolução pela fórmula: Dados: i eq =? i c = 30% ou 0,3 QQ = 90 dias (período trimestral, transformado em dias) QT = 360 dias (período anual, transformado em dias) Substituindo: i (eq) = { ( 1 + 0,3 ) 360 1 } x 100 i (eq) = { ( 1,3 ) 0,25 1 } x 100 i (eq) = { 1,0678 1 } x 100 i (eq) = 6,78% ao trimestre 90 substituindo os dados. cálculo da divisão do expoente cálculo da potência taxa trimestral solicitada Resolução pela calculadora financeira HP-12C: 1,3 ENTER entrando com a taxa conhecida dividida por 100 e somada com + 1 90 ENTER 360 y x dias pedidos e depois dias conhecidos 1 100 x transformando em porcentagem 6,78% ao trimestre.
5 Programa para cálculo da Taxa Equivalente pela Calculadora Financeira HP-12C: O professor Carlos Shimoda, em seu livro de matemática financeira para usuários do Excel, 2ª edição, publicado pela editora Atlas/SP em 1998, p.48, apresenta um programa para calcular a taxa equivalente através da calculadora HP-12C. Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP-12C: VISOR f P/R 00 - PRGM entra no modo de programação f PRGM 00 - PRGM limpeza de programas anteriores X><Y 01 - PRGM 34 02 - PRGM 10 X><Y 03 - PRGM 34 1 04 - PRGM 1 0 05 - PRGM 0 0 06 - PRGM 0 07 - PRGM 10 1 08 - PRGM 1 + 09 - PRGM 40 X><Y 10 - PRGM 34 Y X 11 - PRGM 21 1 12 - PRGM 1 13 - PRGM 30 1 14 - PRGM 1 0 15 - PRGM 0 0 16 - PRGM 0 x 17 - PRGM 20 f P/R 0,00 Sai do modo de programação. Após a programação, vamos testar usando os exemplos anteriores:
6 Exemplos: 01) Encontrar a taxa anual de juro composto, equivalente a 10% as. 10 ENTER entrando com a taxa 180 ENTER entrando com o período conhecido 360 R/S entrando com o período para a taxa solicitada 21,00 ou 21% ao ano. 02) Qual é a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? 30 ENTER entrando com a taxa 360 ENTER entrando com o período conhecido 90 R/S entrando com o período para a taxa solicitada 6,78 ou 6,78% ao trimestre. Exercícios com cálculo de Juro Composto Cálculo de Taxas Equivalentes: Tente resolver os exercícios utilizando a fórmula para cálculo de taxas equivalentes e confira os resultados através do programa, inserido, na calculadora financeira HP-12C: 01) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 02) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. 03) Determinar a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia. 04) Determinar a taxa trimestral equivalente a 39,46% em dois anos. 05) Determinar a taxa bimestral equivalente a 25% ao ano. 06) Determinar a taxa diária equivalente a 5% ao trimestre. 07) Determinar a taxa mensal equivalente a 21% ao trimestre. 08) Determinar a taxa anual equivalente a 15% ao bimestre. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA: BRANCO, A.C.C., Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. GIMENEZ, C.M., Matemática Financeira com HP12C e Excel, São Paulo, PEARSON, 2006. SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2007. SCIPIONE, J.T., Matemática Financeira, São Paulo, PEARSON, 1998. VERAS, L.L., Matemática Financeira: Uso de Calculadoras Financeiras Aplicações ao Mercado Financeiro. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2001.