[1] Avisos: UFPE, 2-o semestre de 2011. ET-622 Elementos de Estatística para o curso de Biblioteconomia Professor André Toom Ementa Notações: v.a. - variável aleatória, E - esperança matemática, o mesmo que médio, V ar - variância. X : U(a, b) significa que v.a. X é distribuida uniformemente no segmento (a, b). 1) Usar canetas pretas. 2) Escrever letras maiúsculas e minúsculas diferentes. 3) Nomes de v.a. - letras maiúsculas, números - letras minúsculas. Os problemas-padroes mostram qual tipo de problemas vocês podem encontrar nas provas. Problemas verbais com mistura e porcentagem. Temos mistura de álcool e agua contendo 20% de álcool e outra mistura de álcool e agua contendo 70% de álcool. Quais quantidades destas misturas é necessario misturar juntas para obter 700 miligram de mistura contendo 50% de álcool? O lado de um quadrado foi augmentado por 20%. Por quantos porcentos se augmentou a área deste quadrado? Áreas de figuras geometricas. Calcular a área do triângulo equilátero com lado 1. Calcular a área do hexagono regular com lado 1. Os lados dum triângulo isósceles são iguais a 5, 5 e 8. Calcular a área deste triângulo. No plano com coordenadas x, y desenhar a figura e calcular sua área. F = { (x, y) : 1 x 2 + y 2 2 } Um círculo com raio 1 é inscrito num quadrado. Calcular a área do conjunto dos pontos dentro do quadrado e fora do círculo.
[2] Um quadrado é inscrito num círculo com raio 1. Calcular a área do conjunto dos pontos fora do quadrado e dentro do círculo. Progressão aritmetica: a 1,...,a n sob condição a k+1 = a k + d. O n-esimo termo é a n = a 1 + d(n 1). Deduzir a formula da soma S = a 1 + + a n = 1 2 n (a 1 + a n ). Progressão geometrica finita: b 1,...,b n sob condição b k+1 = b k q onde q 0. O n-esimo termo é b n = b 1 q n 1. Deduzir a formula da soma S n = b 1 + + b n = b 1 1 qn 1 q. O que acontece se q = 1? Progressão geometrica infinita: b 1,... sob condição b k+1 = b k q onde q 0. O n-esimo termo é b n = b 1 q n 1. A soma dela é finits se q < 1 e igual á S = b 1 + b 2 + = b 1 1 1 q. Denotamos de X o número 0, 999... onde a sequencia de noves é infinita. X é menor que um, igual a um ou maior que um? Dada fração decimal periodica de forma 0,1(23) = 0,1232323... Apresenta-la como p/q onde p e q são números inteiros. Provar que cada fração decimal periodica representa um número racional de forma p/q onde p e q são números inteiros. Análise combinatória. Numa empresa cada servidor tem uma senha, qual consiste de seis algarismos. Quantas senhas diferentes são possiveis? Num pais o alfabeto contem 26 letras. Cada placa de autómovel consiste de duas letras e depois quatro algarismos. Quantas placas diferentes podem existir neste pais? No pais Boratstão o alfabeto contem 20 letras. O ministerio de defesa deste pais tem uma senha secreta de 10 letras. Um hacker tem aparelho qual permite checar um trilhão (a saber 10 12 ) de senhas em uma segunda. Quanto tempo o hacker precise para checar todas senhas possiveis?
[3] Fatorial: para cada n natural definimos n! como o produto de números inteiros de 1 a n. Por exemplo 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24,... Também definimos 0! = 1. Arranjos: escolher k objetos enumerados entre n; o número de jeitos é A n n! k = (n k)! Uma reunião de dez pessoas deve escolher um chefe e um secretario. entre eles. Cada pessoa pode cumprir só uma carga. Qual é o número dos jeitos fazer esta escolha? Uma reunião de 4 pessoas chamadas A, B, C, D precise escolher entre eles dois secretários com cargas diferentes. Cada pessoa pode cumprir só uma carga. A e D estão em briga entre eles e recusam ficar secretários juntos. Qual é o número dos jeitos fazer esta escolha sob esta condição? Permutações: arranjos no caso especial k = n; o número de jeitos é P n = n! Combinações: escolher k objetos não enumerados entre n; o número de jeitos é Ck n n! = k! (n k)! Uma reunião de dez pessoas deve escolher dois secretarios com cargas iguais entre eles. Cada pessoa pode cumprir só uma carga. Qual é o número dos jeitos fazer esta escolha? O triângulo de Pascal. Denotamos de triângulo de Pascal. Provar que ( ) n k (a) O coeficiente de x k em (1 + x) n é igual ao ( ) n (b) = C n n! k = k k! (n k)!. o k-esimo número na n-esima linha do ( ) n. k V. a. discretas e funções delas. Exemplos: lançamento de dados. Denotamos de X o número mostrado por dado lançado. Calcular E(X). Espaço amostral. Evento como sub-conjunto do espaço amostral. Dois dados perfeitos são lançados. Denotamos de X e Y os números obtidos. Desenhar o espaço amostral.
[4] Independência de eventos e de v. a. Probabilidades condicionais. Dois eventos A e B são chamados independentes se P(A B) = P(A) P(B). Duas v.a. X e Y são chamadas independentes se x, y : P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y). Dois dados perfeitos foram lançados e cada um mostrou um dos números {1. 2, 3, 4, 5, 6} com probabilidades iguais. Denotamos de X e Y os números mostrados. (a) Calcular a probabilidade P(X + Y < 11). (b) Calcular a probabilidade condicional P(X + Y < 11 X = Y ). Apresentar duas v.a. independentes X e Y, daquelas cada uma toma só valores 0 e 1 e P(X = 0) = P(Y = 0) = 1/2. Apresentar duas v.a. X e Y não independentes, daquelas cada uma toma só valores 0 e 1 e P(X = 0) = P(Y = 0) = 1/2. Por que independência é importante? V.a. discretas com conjuntos finitos de valores: Bernoulli, uniforme, binomial como soma. Distribuição Bernoulli: P(X = 1) = q, P(X = 0) = 1 q. Seja duas v.a. independentes X e Y tem distribuições Bernoulli: P(X = 1) = a, P(X = 0) = 1 a, P(y = 1) = b, P(Y = 0) = 1 b. Desenhar o espaço amostral e escrever probabilidades de todos quadrinhos. Temos v.a. X distribuida assim: { 0 com probabilidade 2/3, X = 1 com probabilidade 1/3. Calcular E(X + 3), E(X/4), E(X 1/2), E(3X/2), E(X 2 2), E(2X 2 + 5), E(1 3X 2 ), E(X 2 /3).
[5] Uma v.a. X toma valores 1, 2,..., N com probabilidades iguais. Calcular E(X). V.a. com conjunto contável de valores. Distribuição geométrica: n = 1, 2, 3, : P(X = n) = q (1 q) n 1. Interpretação com tentativas até o primeiro sucesso. Uma experiência científica acaba com successo com probabilidade 1/3 ou fracasso com probabilidade 2/3. Um cientista continua fazer esta experiência até o primeiro successo. Denotamos de X o número de tentativas dele. Estudar a distribuição de X, a saber apresentar uma formula geral para P(x = k) para todos k. Um cientista esta fazendo experiências para obter pelo menos um successo. Cada experiência acaba ou com successo com probabilidade 1/5 ou com fracasso com probabilidade 4/5. O governo pode financiar só três experiências. Então o cientista continua fazer experiências até obter o primeiro successo ou esgotar sua bolsa. Denotamos de X o número de experiências feitas por cientista. Como X é distribuido? Qual é a probabilidade que o cientista terá successo? Distribuição binomial. Uma moeda, se lançada, mostra cara com probabilidade P(cara) = q, P(coroa) = 1 q. Lançamos esta moeda n vezes. Seja X o número de caras obtidas. Logo n! k Z : P(X = k) = k! (n k)! qk (1 q) n k se 0 k n, 0 se k < 0 ou n < k. Aqui X é a soma de n v.a. X = V 1 + +V n, onde cada V i é distribuida assim: P(V i = 1) = q, P(V i = 0) = 1 q. Esperança matemática de v. a. Sua definição: n EX = x k P(X = x k ) k=1 e propriedades: E(X + C) = EX + C, E(C X) = C EX, E(X + Y ) = EX + EY. Se X e Y são independentes, E(X Y ) = EX EY.
[6] Por que esperança é importante? Variância de v.a, sua definição V ar(x) = E(X EX) 2. e propriedades: V ar(x + C) = V ar(x), V ar(c X) = C 2 V ar(x). Existe v.a. cuja variância é negativa? Descreve todas v.a. cuja variância é zero. Por que variância é importante? Distribuição continuo uniforme: X : U(a, b) significa que v.a. X é distribuida uniformemente no segmento (a, b) onde a < b. Xavie e Yara combinam almoçar juntos num restaurante. Cada um chega neste restaurante ao acaso entre 12:00 e 13:00 aguarde meia-hora e saia se outro não aparece neste prazo. Qual é a probabilidade que eles encontram? População e amostra. Médio e mediana e suas propriedades. Médio é parecido na esperança matemática. Mediana. Para v.a. continuas podemos definir mediana como o valor m tal que P(X) < m = P(X) > m = 1/2. Se v.a. é discreta, definir mediana é mais dificil pois o conjunto {c : F X (c) = 1/2} pode ser um segmento, logo conter mais que um ponto. Neste caso a mediana é definida como o ponto central deste segmento. Um clube de jogadores de futebol numa escola inclue 22 alunos, daqueles: (a) Fazer o gráfico desta amostra. 4 alunos têm 11 anos, 4 alunos têm 12 anos, 4 alunos têm 13 anos, 4 alunos têm 14 anos. 5 alunos têm 15 anos. 1 aluno tem 16 anos. (b) Descobrir o médio e mediana desta amostra. A formula de Bayes: P(B A) = P(B A) P(A) = P(B A) P(B A) + P(B c A) = P(B A) P(B) P(A B) + P(B c ) P(A) B c.