APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS9 TÓPICO Gil da Costa Marques 9. Introdução 9. Derivadas com significado físico: o gradiente de um Campo Escalar 9.3 Equação de Euler descrevendo o movimento de um fluido e a Hidrostática 9.4 Propagação do Calor 9.5 Mais Aplicações: Força e Energia Potencial 9.6 Energia Potencial: Forças Constantes 9.7 Campos Escalares como Taxas de Variação de Campos Vetoriais 9.8 Equação da Conservação do Fluido 9.9 Campos Vetoriais a partir de Taxas de Variação de Campos Vetoriais 9.0 Operador Rotacional ( ) 9. Campos com divergente nulo 9. Taxas de Variaçao Instantânea 9.3 O Operador Laplaciano ( ) 9.4 Aplicações no Eletromagnetismo 9.5 Derivadas de Segunda Ordem: o Operador Laplaciano ( ) 9.6 A Equação de Laplace 9.7 Outras Derivadas de Segunda Ordem 9.7. Equação das Ondas 9.7. Ondas Eletromagnéticas 9.8 Mecânica Quântica e a Química Fundamentos da Matemática II Licenciatura em Ciências USP/ Univesp
Licenciatura em Ciências USP/Univesp 45 9. Introdução As leis físicas são enunciadas a partir de determinadas combinações de taxas de variação. Só a elas podemos atribuir um significado físico. O porquê disso tem a ver com a questão da isotropia do espaço ou, ainda, com o fato de que, qualquer que seja o referencial, as leis físicas devem ter a mesma forma no mesmo. Isso requer que as grandezas físicas sejam grandezas vetoriais ou escalares. Assim, só taxas de variação que resultem em grandezas escalares ou grandezas vetoriais são relevantes do ponto de vista físico. Em particular, todas as leis fundamentais das ciências físicas são expressas em termos de taxas de variação, quer sejam pontuais ou instantâneas. O fato é que as leis físicas são enunciadas a partir de determinadas taxas de variação ou de combinação delas. Apenas algumas taxas de variação de campos, ou combinações delas, têm um significado físico. E tal significado está associado ao fato de que, qualquer que seja o referencial, as leis físicas devem ter a mesma forma nesse referencial. Isso requer, em última análise, que as taxas de variação, ou seja as grandezas físicas a elas associadas, sejam grandezas vetoriais ou grandezas escalares. O fato é que nem todas as derivadas de campos são úteis na formulação das leis físicas. Por isso, serão apresentadas a seguir as derivadas, ou combinações delas, consideradas úteis. 9. Derivadas com significado físico: o gradiente de um Campo Escalar Para entendermos a questão do significado físico de taxas de variação, vamos começar com a taxa de variação pontual de um campo escalar. Lembrando a definição de diferencial de uma função escalar, equação 7.7, vemos que ela pode ser escrita como dv = V dr ( ) 9. onde o símbolo V representa uma grandeza vetorial, definida por: (,, ) (,, ) (,, ) V xyz V xyz V xyz V( xyz,, ) = i+ j+ k x y z 9. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
46 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Assim, dada uma função escalar, ou campo escalar, V(r, t) podemos construir um campo vetorial a partir dele. Basta tomar derivadas parciais desse campo escalar e multiplicar essas derivadas pelos vetores da base cartesiana (versores dessa base). A essa operação chamamos aplicar o operador gradiente à função escalar. Assim, consideramos como operador gradiente (símbolo ) aquele que, aplicado a uma função escalar, leva a um campo vetorial definido através da identidade acima. 9.3 Equação de Euler descrevendo o movimento de um fluido e a Hidrostática Como exemplo do uso de derivadas sob a forma da equação 7., consideremos o caso da dinâmica de um fluido. Ele se move como efeito da variação da pressão no interior do fluido. Assim, sendo a densidade do fluido dada por ρ(x, y, z, t), a taxa de variação instantânea da velocidade de cada elemento de volume desse fluido é dada pela equação: dv ( x, y, z, t) ρ ( xyzt,,, ) = P xyzt,,, dt ( ) No caso da hidrostática em que consideramos a densidade independente do tempo e o fluido sob a ação da gravidade, a equação acima se reduz à equação: 9.3 ρ g = P 9.4 A equação acima é equação fundamental da hidrostática. Por exemplo, é fácil concluir a partir da equação acima que, para um fluido de densidade uniforme e para um campo gravitacional constante na direção do eixo z, a pressão varia de acordo com a expressão: Figura 9.: Num fluido, a pressão aumenta linearmente com a profundidade. ρ gz = P P 0 9.5 TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais
Licenciatura em Ciências USP/Univesp 47 9.4 Propagação do Calor A equação fundamental que descreve a condução do calor é a lei de Fourier: F Q = κ T 9.6 onde F é um vetor associado ao fluxo de calor e κ é a condutividade térmica do material. O Q sinal negativo assegura que o fluxo de calor se dará da região mais quente para a mais fria. 9.5 Mais Aplicações: Força e Energia Potencial A força é uma grandeza derivada da energia potencial. Mais especificamente, se a energia potencial for uma função dada por: E = U xyz = U r P (,, ) ( ) 9.7 então, a grandeza física denominada força é uma grandeza derivável desse conceito. Assim, a força, no caso das forças fundamentais, pode ser escrita como: (,, ) U( xyz,, ) F xyz = 9.8 Assim, as componentes de uma força conservativa (caso geral das forças à distância) são dadas como derivadas parciais da energia potencial, isto é, (,, ) (,, ) (,, ) U xyz U xyz U xyz Fx( xyz,, ) = Fy( xyz,, ) = Fz( xyz,, ) = x y z 9.9 U U U onde as derivadas parciais (,, ) apenas indicam que devemos derivar a função U x y z como se ela fosse dependente apenas de x, y ou z em cada um dos casos, respectivamente. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
48 Licenciatura em Ciências USP/Univesp A bem da verdade, deve-se frisar que nem todas as forças podem ser escritas como derivadas sob a forma 9.8. Definem-se forças conservativas como aquelas que podem ser escritas sob essa forma. Só para tais forças podemos falar em energia associada à interação. Figura 9.: Um objeto esférico de massa M produz, num ponto P, um Potencial. Uma partícula de massa m nesse ponto adquire uma energia potencial. Exemplos Exemplo Existe uma forma de energia de uma partícula dotada de massa m, associada à interação gravitacional com um objeto esférico de massa M, a qual depende da posição da partícula em relação ao centro do objeto esférico (a Terra, por exemplo). Sendo (x, y, z) as coordenadas do ponto no qual se situa a partícula e considerando-se que o objeto esférico está na origem, essa energia potencial é dada por: mmg U( xyz,, ) = 9.0 x + y + z Determine a força gravitacional exercida pelo objeto de massa M sobre a partícula. Solução: De acordo com a expressão 9.9, temos as componentes da força gravitacional dadas por: mmg Fx ( xyz,, ) = x x + y + z mmg Fy ( xyz,, ) = y x + y + z mmg Fz ( xyz,, ) = z x + y + z Efetuando-se a derivada parcial com respeito à variável x temos: 9. / (( ) ) mmg Fx ( x, y, z) = = mmg x + y + z x x y z + + x / = mmg( )(( x + y + z ) ) x = mmg x ( x + y + z ) 3/ 9. TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Para as demais componentes, encontramos: Fy ( x, y, z) = mmg F ( x, y, z) Portanto, a força pode ser escrita como: F xyz,, = ( ) z = mmg ( x + y + z ) ( x + y + z ) x y x = mmg i + mmg j + mmg k 3/ 3/ 3/ ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) a qual pode ser escrita, de uma forma simples, como: r F ( x, y, z) = mmg 3/ ( xi + yj + zk ) = mmg r 3 x + y + z ( ) y z 3/ 3/ 49 9.3 9.4 9.5 Exemplo No caso de duas partículas de cargas Q e Q que estão em posições caracterizadas pelos vetores de posição r e r, respectivamente, a energia potencial eletrostática, de interação entre elas, é dada por: QQ QQ U = = 4πε0 r r 4πε0 x x + y y + z z 0 ( ) ( ) ( ) (( ) + ( ) + ( ) ) QQ = x x y y z z 4 πε / 9.6 Essa energia potencial elétrica é compartilhada pelas duas partículas. A energia será positiva se as cargas elétricas tiverem o mesmo sinal (nesse caso, as forças são repulsivas), ou quando as cargas tiverem sinal oposto (e, portanto, as forças serão atrativas) a energia será negativa. Determine a força sobre cada uma das partículas. Figura 9.3: Duas partículas de carga Q e Q localizadas num ponto P e P. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
50 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Solução: A força sobre a partícula ( F ) é dada por: F ( x) F ( y) F ( z) QQ = πε + + QQ x x x 4 0 ( x x) ( y y) ( z z) = 4 πε 0 + + (( x x) ( y y) ( z z) ) QQ = πε + + QQ y y y 4 0 ( x x) ( y y) ( z z) = 4 πε 0 + + (( x x) ( y y) ( z z) ) Q Q = z 4πε ( ) ( ) ( ) 0 x x + y y + z z QQ z z = 4 πε 0 + + (( x x) ( y y) ( z z) ) E, portanto, numa notação simplificada, a força F se escreve como: QQ r r F = 4 πε r r 0 que nada mais é do que a lei de Coulomb expressa em notação vetorial. 3/ 3/ 3/ 9.7 9.8 TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais
Licenciatura em Ciências USP/Univesp 5 A força sobre a partícula ( F ) é dada por: F F F ( x) ( y) ( z) QQ = πε + + QQ x 4 0 x x y y z z ( ) ( ) ( ) ( x x) 3/ (( x x) ( y y) ( z z) ) = 4 πε 0 + + QQ = πε + + QQ y 4 0 x x y y z z ( ) ( ) ( ) ( y y) 3/ (( x x) ( y y) ( z z) ) = 4 πε 0 + + = QQ z 4πε0 x x + y y + z z QQ ( z z) = 3/ 4 πε 0 x x + y y + z z E ela pode ser escrita, simplificadamente, como: QQ r r F = 4 πε r r ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ) 0 É interessante constatar que as duas expressões 9.8 e 9.0 implicam que: 9.9 9.0 que é a terceira lei de Newton. F = F 9. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
5 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 9.6 Energia Potencial: Forças Constantes Para entendermos a estreita relação entre força e energia potencial, consideremos o caso de uma força constante. Escrevemos tal força sob a forma: F = F i + F j + F k 0 0x 0y 0z 9. onde F 0x, F 0y e F 0z são constantes e são componentes da força. É muito fácil constatar, por meio de uma derivação muito simples, que a função definida por: U x y z = xf yf zf + C (,, ) 0x 0y 0z 9.3 onde C é constante, é tal que a força constante dada em 9. pode ser derivada da energia potencial dada pela expressão 9.3. A solução 9.3 envolve uma constante arbitrária, C, a qual é determinada atribuindo-se o valor da energia potencial num determinado ponto. Em geral, a energia potencial é determinada de 9.3, a menos de uma constante, ou seja, a energia potencial é definida a menos de uma constante arbitrária. E essa constante pode ser determinada ao especificarmos que o valor da energia num determinado ponto se anula. Assim, se definirmos que a energia na origem assume o valor zero, determinamos o valor da constante C. Nesse caso: U ( ) 0,0,0 = 0 C = 0 9.4 No caso do movimento dos projéteis, admitimos que a força gravitacional é constante. Assim, admitindo o eixo z indicando a direção acima da superfície terrestre, escrevemos: F 0 = mgk 9.5 E, portanto, a energia potencial gravitacional, admitindo movimentos próximos à superfície terrestre, é dada por: Figura 9.4: Num campo gravitacional constante, a energia potencial depende linearmente das coordenadas. U( z) = mgz 9.6 TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais
Licenciatura em Ciências USP/Univesp 53 9.7 Campos Escalares como Taxas de Variação de Campos Vetoriais Consideremos agora o caso de campos vetoriais. Nesse caso, só temos duas combinações de componentes de campos com significado físico. A primeira combinação é aquela mediante a qual tomamos derivadas parciais de componentes de campos de tal forma que ela se transforme como um campo escalar. Tal combinação linear de derivadas se escreve como: x Assim, obtemos uma grandeza escalar, ρ(x, y, z, t), a partir de taxas de variação pontuais. Escrevemos tal grandeza escalar como: (,,, ) E ( xyzt,,, ) (,,, ) E xyzt E xyzt y z + + = x y z E xyzt (,,, ) 9.7 ( ) ρ ( xyzt,,, ) = E xyzt,,, 9.8 Consideramos como divergente de uma função vetorial E (x, y, z, t) a soma das taxas de variação definida na equação 9.7. E E x y E Divergente de E = E = + + x y z z 9.9 9.8 Equação da Conservação do Fluido A melhor forma de enunciar um princípio geral expressando uma lei de conservação é fazer uso do divergente do vetor densidade de corrente ρ J = t 9.30 onde J = ρv 9.3 Tal equação tem o nome de equação da continuidade. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
54 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 9.9 Campos Vetoriais a partir de Taxas de Variação de Campos Vetoriais A segunda combinação de derivadas, que tem propriedades simples de transformações sob rotações, é dada a seguir: E E z y y z Ex Ez z x E y Ex x y a primeira combinação se transforma como a componente x de um vetor, a segunda se transforma como a componente y de um vetor e a terceira se transforma como a componente z. Assim, a 9.3 E E E E E E = + + y z z x x y z y x z y x D i j k 9.33 Uma notação simplificada para a combinação acima é: D = E 9.34 Assim, a partir das derivadas parciais, podemos construir novos campos. São campos derivados. 9.0 Operador Rotacional ( ) O operador rotacional opera sobre campos vetoriais, transforma-os em novos campos igualmente vetoriais. Assim, quando aplicado sobre um vetor A, o operador rotacional leva a um novo vetor (o vetor B ). Definimos esse novo vetor como o que é dado pelo determinante de uma matriz 3 por 3 (9.35). TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais
B= A i j k A = det x y z Ax Ay A z Licenciatura em Ciências USP/Univesp 55 9.35 Explicitamente, escrevemos: A A A A A A = = + + z y z x x y y z x z y x B A i j k 9.36 Um campo E é dito irrotacional se o seu rotacional for nulo, isto é, se ele satisfizer a condição: E = 0 9.37 Todo campo irrotacional pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar V(x, y, z): Exyz (,, ) = V( xyz,, ) 9.38 9. Campos com divergente nulo Sob certas condições, um campo vetorial pode ter um divergente nulo, isto é, J = 0 9.39 Campos que satisfazem a equação acima são caracterizados pelo fato de que suas linhas de força sempre se fecham. Todo campo com divergência zero, como o campo magnético, pode ser escrito como: Figura 9.5: Comportamento típico de campos com divergência nula. J = A 9.40 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
56 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 9. Taxas de Variaçao Instantânea Até aqui definimos derivadas parciais de componentes de campos e de campos escalares. Conquanto possamos sempre definir derivadas parciais de campos vetoriais, com respeito às coordenadas, nem sempre elas fazem sentido físico. As derivadas parciais de campos com relação ao tempo, no entanto, sempre fazem sentido. Geramos um novo campo, com sentido físico bem definido, considerando a derivada parcial com respeito ao tempo. Definimos assim um novo campo vetorial C (x, y, z, t) obtido a partir da taxa de variação instantânea do campo E (x, y, z, t), de acordo com a expressão: E( xyzt,,, ) E E E (,,, ) t t t t x y z C xyzt = = i+ j+ k 9.3 O Operador Laplaciano ( ) Quando aplicado sobre uma função escalar ou uma função vetorial, o operador laplaciano preserva o caráter dessas grandezas. Formalmente, sua definição é: 9.4 x y z = ( ) = + + 9.4 e, portanto, é operador divergente aplicado num campo vetorial, que é o gradiente de um campo escalar V xyz V xyz V xyz x y z = = + + (,, ) ( ) (,, ) (,, ) 9.43 Pode-se aplicar esse operador também sobre um campo vetorial: (,, ) ( ) (,, ) (,, ) E xyz = E xyz = + + E xyz x y z 9.44 Nesse caso, fica entendido que equações análogas a 9.43 são válidas para cada componente do campo vetorial. TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais
Licenciatura em Ciências USP/Univesp 57 9.4 Aplicações no Eletromagnetismo As leis do eletromagnetismo são formuladas, na Teoria de Maxwell, como relações entre taxas de variação de campos e aquilo que lhes dão origem. A primeira lei do eletromagnetismo estipula que existe uma relação entre a densidade de carga elétrica ρ e o divergente do campo elétrico a que ela dá origem. Escrevemos: E( xyzt,,,) = ρ( xyzt,,,) ε 9.45 onde ε é a permissividade do meio. A outra equação é aquela que estabelece que o divergente do campo magnético é nulo, isto é: Bxyzt (,,,) = 0 9.46 Isso implica que não existem fontes nem sorvedouros de cargas magnéticas. A terceira lei estabelece uma relação entre o rotacional do campo elétrico e a taxa de variação do campo elétrico: B E = t 9.47 Finalmente, a quarta lei se escreve como: E B= µ J µε t 9.48 D De forma a respeitar tal relação, Maxwell acrescentou o termo (a corrente de deslocamento) ao último termo de 9.48. As equações de Maxwell se escrevem como: t E B= µ J µε 9.49 t Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
58 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 9.5 Derivadas de Segunda Ordem: o Operador Laplaciano ( ) Na física quântica, na ótica, na teoria ondulatória em geral e, especialmente, na química quântica, as derivadas de segunda ordem ocupam um papel central. Devemos introduzir agora as derivadas de segunda ordem relevantes nas ciências. Quando aplicado sobre uma função escalar ou uma função vetorial, o operador laplaciano preserva o caráter dessas grandezas. Formalmente, sua definição é: x y z = ( ) = + + 9.50 e, portanto, é operador divergente aplicado num campo vetorial, que é o gradiente de um campo escalar V xyz V xyz V xyz x y z = = + + (,, ) ( ) (,, ) (,, ) 9.5 Pode-se aplicar esse operador também sobre um campo vetorial: (,, ) ( ) (,, ) (,, ) E xyz = E xyz = + + E xyz x y z 9.5 Nesse caso, fica entendido que equações análogas a 9.49 são válidas para cada componente do campo vetorial. 9.6 A Equação de Laplace Em termos do laplaciano, a equação de Laplace se escreve como; (,, ) ( xyz,, ) V xyz =ρ 9.53 onde V e ρ são funções escalares. TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais
Licenciatura em Ciências USP/Univesp 59 9.7 Outras Derivadas de Segunda Ordem 9.7. Equação das Ondas Para uma onda que se propaga no espaço tridimensional, a equação das ondas se escreve como: u u u u + + = x y z v t 9.54 onde v é a velocidade da onda. As ondas acima são ditas ondas escalares. No eletromagnetismo estudaremos ondas vetoriais. A equação acima pode ser escrita, sucintamente, como (,,, ) u xyzt = 9.7. Ondas Eletromagnéticas v (,,, ) u xyzt t 9.55 Sem entrar em detalhes, o fato é que se pode deduzir, a partir das equações de Maxwell no espaço livre, que o campo elétrico e também o campo magnético satisfazem a equação de ondas, a saber: E E = εµ t B B = εµ t 9.56 Explicitamente, escrevemos: E( xyzt,,, ) E( xyzt,,, ) E( xyzt,,, ) E( xyzt,,, ) + + = µε x y z t H xyzt,,, H xyzt,,, H xyzt,,, H xyzt,,, + + = µε x y z t ( ) ( ) ( ) ( ) 9.57 9.58 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
60 Licenciatura em Ciências USP/Univesp e, portanto, os campos elétrico e magnético podem se propagar como ondas no espaço. Tais ondas recebem o nome de ondas eletromagnéticas. Os campos elétrico e magnético, nesse caso, são os componentes da onda. A razão para a sua propagação mesmo no vácuo está relacionada ao fenômeno conhecido como indução eletromagnética, ou seja, um campo elétrico que varia com o tempo induz um campo magnético que varia com o tempo e este último, ao variar com o tempo, induz um campo elétrico que varia com o tempo, e assim sucessivamente. Figura 9.6: Propagação de uma onda eletromagnética ao longo do eixo Z. 9.8 Mecânica Quântica e a Química A rigor, todas as propriedades associadas aos elétrons nos átomos, moléculas e seus compostos podem ser entendidas a partir de uma equação que descreve as propriedades quânticas desses sistemas. Tal equação recebe o nome de equação de Schroedinger. No caso de um elétron de massa m e para ondas harmônicas, a equação de Schroedinger é uma equação para ψ E ( r ) da forma: h/ m U r r E r + ψ E = ψe ( ) ( ) ( ) onde U( r ) é a energia potencial do elétron no átomo e E é a sua energia. Um dos objetivos, ao buscarmos soluções para tais equações, é o de determinar as energias possíveis do elétron no átomo. 9.59 TÓPICO 9 Aplicações das Derivadas Parciais
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Uma solução do tipo onda harmônica, no contexto da teoria quântica, tem uma interpretação bastante simples: Soluções do tipo ondas harmônicas estão associadas a estado de partículas com energias bem definidas. Na mecânica quântica, a função de onda ψ E ( r ) é a amplitude de probabilidade de encontrarmos a partícula com energia E, numa posição caracterizada pelo vetor de posição r. No contexto quântico, a probabilidade de encontrarmos uma partícula, com energia bem definida (E) num pequeno elemento de volume, dv, no entorno do ponto caracterizado pelo vetor r, é dada por: 6 P r r r dv 3 ( ) =ψ ( ) ψ ( ) E E 9.60 Como a probabilidade de encontrarmos a partícula independentemente dos pontos do espaço é, a função de onda deve, obrigatoriamente, satisfazer a condição Figura 9.7: Orbitais de um átomo são regiões do espaço nas quais é maior a probabilidade de encontrar elétrons. ( r) ( r) dv 3 ψ ψ = E E 9.6 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA