Lógica Computacional Aulas 8 e 9

Lógica Computacional Aulas 8 e 9 DCC/FCUP 2017/18 Conteúdo 1 Lógica proposicional 1 11 Integridade e completude dum sistema dedutivo D 1 111 Integridade do sistema de dedução natural DN 1 112 3 12 Decidibilidade da lógica proposicional 6 1 Lógica proposicional 11 Integridade e completude dum sistema dedutivo D Integridade e completude dum sistema dedutivo D Dado um conjunto Σ de premissas e uma conclusão : Integridade Se existe uma dedução de com premissas Σ, ie Σ D, então a conclusão é consequência semântica de Σ, ie Σ = Se D então é uma tautologia ( = ) Completude Se é consequência semântica de Σ, ie Σ =, então existe uma dedução de com premissas Σ, ie Σ D Se é uma tautologia ( = ) então D Porquê estudar sistemas de dedutivos? No caso da lógica proposicional as tabelas de verdade permitem determinar se uma fórmula é uma tautologia ou uma sequência semântica Mas A obtenção de uma dedução pode ser mais rápida que construir as tabelas de verdade e com menor gasto de espaço é possível ter um objecto que represente a dedução e portanto mais fácil de manipular computacionalmente serve para ilustração da noção de dedução que é imprescindível em lógicas cuja semântica é mais complexa e as tabelas de verdade não se podem usar 111 Integridade do sistema de dedução natural DN Integridade do sistema de dedução natural DN Proposição 81 Se Σ então Σ = 1

Demonstração Suponhamos que temos uma dedução de, 1,, n = Vamos mostrar que em cada passo a fórmula que aí ocorre é consequência semântica das premissas (ou hipóteses) que aí são assumidas Provamos por redução ao absurdo: Suponhamos que existe um passo p que contém uma fórmula que não é consequência semântica das premissas assumidas em p E seja p o primeiro desses passos Vamos ver que qualquer que seja a regra de DN aplicada em p, temos uma contradição O que permite concluir que não existe tal passo p Integridade do sistema de dedução natural DN Fazemos a demonstração por casos, considerando cada uma das regras: 1 1 n θ E ψ ψ l 2 p 3 θ Seja θ a fórmula deduzida no passo p por aplicação de E a θ e E sejam 1,, k as premissas assumidas em θ, e, por hipótese, θ não é consequência semântica delas Mas as premissas para θ e estão entre os 1,, k e ambos são consequência semânticas delas: Considera a tabela de verdade para as fórmulas 1,, k,, θ e θ Por hipótese, existe uma valorização v tal que v( i ) = V, 1 i k e v(θ) = F E também v() = v( θ) = V Mas isto I [] contradiz a tabela de verdade para a implicação ψ ψ : p θ θ Suponhamos que o passo p deduz θ por aplicação da regra I a uma sub-dedução com premissa e conclusão θ Sejam 1,, k as premissas assumidas em θ Em θ as premissas são algumas das 1,, k e e θ é consequência semântica delas Seja a tabela de verdade para 1,, k,, θ e θ Por hipótese, existe uma valorização v tal que v( i ) = V, 1 i k e v( θ) = F Então v() = V e v(θ) = F Mas isto contradiz o facto de θ ser consequência semântica de 1,, k e F E : F Suponhamos que no passo p se deduz de F Sejam 1,, k as premissas assumidas em, que são as premissas assumidas em F (e das quais F é consequência semântica) Mas isto só pode ser se 1,, k forem todas 2

contradições E portanto é (vacuosamente) consequência semântica de 1,, k Depois de analisados os restantes casos e em todos obtermos uma contradição, podemos concluir que uma dedução no sistema DN não pode ter passos que não sejam consequência semântica das premissas Corolário 81 Se então = Usando, a contraposição temos: A integridade da dedução natural permite-nos determinar se não existe uma dedução de uma fórmula ψ a partir de premissas 1,, n (ie 1,, n ψ): basta encontrar uma valorização v tal que v( i ) = V, 1 i n e v(ψ) = F (ie que 1,, n = ψ) Exercício 81 Mostra que p (q p) p q 112 Vamos ver que a dedução natural DN é completa para a lógica proposicional: qualquer consequência semântica pode ser deduzida em DN; em particular todas as tautologias são teoremas de DN Isto parece mais complicado que a integridade: sempre que todas as valorizações satisfazem uma fórmula existe uma dedução para ela Seja v uma atribuição de valores às variáveis Para cada fórmula ψ, define-se ψ v = { ψ se v(ψ) = V ψ se v(ψ) = F Lema 81 (Lema 81) Seja uma fórmula cujas variáveis proposicionais são q 1,, q n atribuição de valores às variáveis Então q1, v, qn v v e seja v uma Por exemplo, seja p q, v(p) = V e v(q) = F Temos que p v = p, q v = q e (p q) v = (p q) Então pelo lema, vem que p, q (p q) Proposição 82 (Prop 82) Se = então, ie, se é uma tautologia então é um teorema Proposição 83 (Prop 83) Se 1,, n = então 1,, n Demonstração Prop82 Queremos mostrar Se = então Seja uma tautologia e p 1,, p n as variáveis proposicionais que nela ocorrem De = e pelo lema 81, v() = V = v( v ) e p v 1,, p v n, para toda a valorização v Tem-se então que: p v 1,, p v n 1, p n e p v 1,, p v n 1, p n 3

para toda a valorização v Usando TE para p n p n e a regra E, podemos combinar as deduções anteriores numa dedução de: p v 1,, p v n 1 p v 1 p v n 1 p v 1 p v 1 p n p n p n A p n p n A B p n B p v 1,, p v n 1, p n p v 1,, p v n 1, p n p v 1,, p v n 1 E Repetindo o processo n 1 vezes para p 1,, p n 1 obtemos Lema 82 (da dedução) Σ {} ψ se e só se Σ ψ Demonstração : Se Σ {} ψ, obtemos Σ ψ, supondo, usando a dedução anterior até obter ψ e aplicando a regra I : Se Σ ψ, para obter Σ {} ψ, usamos apenas dedução de ψ supondo Lema 83 (83) 1,, n = ψ se e só se = ( 1 ( 2 ( ( n ψ) ))) Demonstração Por contradição Para qualquer valorização v(( 1 ( 2 ( ( n ψ) )))) = F se v( i ) = V para todos 1 i n e v(ψ) = F Mas isto contradiz 1,, n = ψ! 4

Demonstração (Prop 83) Pelo lema da anterior, = ( 1 ( 2 ( ( n ψ) ))) Pela proposição 82, E pelo lema 82 (da dedução), ( 1 ( 2 ( ( n ψ) ))) 1,, n ψ O resultado anterior também se verifica para o caso Σ ser infinito e portanto Falta apenas a demonstração do Lema 81 Σ = se e só se Σ Lema 84 Seja uma fórmula cujas variáveis proposicionais são q 1,, q n e seja v uma atribuição de valores às variáveis Então q v 1,, q v n v Demonstração Por indução na estrutura da fórmula (= no número de conectivas que ocorrem em ): = q 1 Então é claro que q v 1 q v 1 = 1 e tem-se que q v 1,, q v n v 1 por hipótese de induçãose v() = V, então v( 1 ) = F, donde v = 1 = v 1 e portanto q v 1,, q v n v Caso contrário, v() = F, então v( 1 ) = V, então v 1 = 1 e v = 1 Podemos estender a dedução de q v 1,, q v n 1 usando a regra I e obtemos uma dedução q v 1,, q v n 1 = v = 1 2 onde pode ser, ou Sejam p 1,, p l e r 1,, r k, respectivamente as variáveis proposicionais que ocorrem em 1 e 2, e {q 1,, q n } = {p 1,, p l } {r 1,, r k } De p v 1,, p v l v 1 e r v 1,, r v k v 2 podemos deduzir, usando a regra I: donde temos de deduzir v q v 1,, q v n v 1 v 2 = 1 2 Se v() = F, então v( 1 ) = V e v( 2 ) = F Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q1, v, qn v 1 2 Para ter q1, v, qn v ( 1 2 ), basta que 1 2 ( 1 2 ) Se v() = V, temos 3 casos: v( 1 ) = v( 2 ) = F Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q v 1,, q v n 1 2 Para ter q v 1,, q v n 1 2, basta que 1 2 1 2 v( 1 ) = F e v( 2 ) = V Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q v 1,, q v n 1 2 Para ter q v 1,, q v n 1 2, basta que 1 2 1 2 v( 1 ) = v( 2 ) = V Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q1, v, qn v 1 1 2, basta que 1 2 1 2 = 1 2 Temos 4 casos: 2 Para ter q v 1,, q v n v( 1 ) = v( 2 ) = V Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q1, v, qn v 1 1 2 = v 2 e então q v 1,, q v n 5

v( 1 ) = F ev( 2 ) = V Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q v 1,, q v n 1 2 Para que q v 1,, q v n ( 1 2 ) = v basta que 1 2 ( 1 2 ) v( 1 ) = V ev( 2 ) = F Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q v 1,, q v n 1 2 Para que q v 1,, q v n ( 1 2 ) = v basta que 1 2 ( 1 2 ) v( 1 ) = V ( 2 ) = F Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q1, v, qn v 1 2 Para o q1, v, qn v ( 1 2 ) = v basta que 1 2 ( 1 2 ) = 1 2 Temos 4 casos: v( 1 ) = v( 2 ) = F Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q v 1,, q v n 1 2 Para que q v 1,, q v n ( 1 2 ) = v basta que 1 2 ( 1 2 ) v( 1 ) = v( 2 ) = V Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q1, v, qn v 1 1 2 = v basta que 1 2 1 2 2 Para que q v 1,, q v n v( 1 ) = F e v( 2 ) = V Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q v 1,, q v n 1 2 Para que q v 1,, q v n 1 2 = v basta que 1 2 1 2 v( 1 ) = V e v( 2 ) = F Então v 1 = 1 e v 2 = 2, e q v 1,, q v n 1 2 Para o q v 1,, q v n 1 2 = v basta que 1 2 1 2 12 Decidibilidade da lógica proposicional Decidibilidade da Lógica proposicional Proposição 84 Dado um conjunto de fórmulas Σ e uma fórmula é decidível se Σ, ie, existe um algoritmo que determina se é dedutível de Σ Demonstração Pela completude e integridade, decidir Σ equivale a decidir se Σ = E podemos supor Σ = (usando a lema da dedução)) Então basta construir a tabela de verdade para (que é finita) e verificar se é uma tautologia Corolário 82 É decidível se uma fórmula é um teorema (= é válida) Corolário 83 É decidível se uma fórmula é satisfazível Demonstração A fórmula é satisfazível se e só se não é uma tautologia 6