1 Introdução à Combinatória Enumerativa: O Princípio de Inclusão-Exclusão

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1 1 Introdução à Combinatória Enumerativa: O Princípio de Inclusão-Exclusão Dados conuntos finitos X, Y tem-se X Y = X + Y X Y Do mesmo modo X Y Z = X + Y + Z X Y X Z Y Z + X Y Z uma vez que os elementos que pertencem a X Y Z são somados primeiro três vezes e depois subtraídos de novo três vezes, pelo que é preciso voltar a somá-los. Exemplo 1.1 A dedução, feita atrás, da fórmula para o número de funções f : [k] [n] sobreectivas, com n = 3, pode ser reinterpretada à luz destas observações: se, para cada i [3], designarmos por X i o conunto das funções f : [k] [3] que não tomam o valor i, ou sea, X i = {f : [k] [3] : x [k] f(x) i}, o conunto das funções f : [k] [3] sobreectivas tem 3 k 3 i=0 X i elementos; mas X i = 2 k, uma vez que X i é o conunto de todas as funções de [k] num conunto de 2 elementos, que é [3] \ {i}; além disso, para quaisquer i, [3] distintos X i X = 1 e, neste caso, X 0 X 1 X 2 =. Portanto, pela observação anterior, {f : [k] [3] sobreectivas } = 3 k ( 3 2 k ). Para generalizar esta abordagem a este e outros problemas temos que responder à pergunta: dados conuntos X 1,, X n como calcular n i=1 X i? A resposta é dada pelo 1

2 Teorema 1.2 (Princípio de Inclusão-Exclusão) Dados conuntos X 1, X 2,, X n, designando por S a soma do número de elementos das intersecções de conuntos, ou sea S = X i1 X i i 1 < <i tem-se n X i = i=1 n ( 1) 1 S Demonstração 1.3 : A demonstração faz-se mostrando que o lado direito da igualdade conta cada elemento de n i=1 X i exactamente uma vez. Suponhamos que x n i=1 X i pertence a exactamente k dos conuntos. Então x X i1 X i se e só se os conuntos presentes na intersecção pertencerem ( ) à família daqueles k conuntos. Podemos escolher desses k de k maneiras, logo o lado direito da igualdade conta o elemento x n ( 1) 1 = k ( 1) 1 = vezes. Por outro lado, sabemos que k (1 + x) k = x = 1 + Fazendo x = 1 obtemos donde se conclui o resultado. =0 0 = 1 + k k ( 1) k ( 1) x 2

3 Nota 1.4 : A ideia de calcular quantas vezes um elemento é contado numa expressão envolvendo números de elementos de conuntos, pode ser formalizada do seguinte modo: dado um conunto X, um subconunto Y X identifica-se, como vimos á, com uma função 1 se x Y f Y : X {0, 1} f Y (x) = 0 se x / Y Essas funções podem ser somadas e multiplicadas, tendo-se aliás, como se verifica facilmente, f X Y = f X f Y, f X Y = f X + f Y f X Y A fórmula do Princípio de Inclusão-Exclusão pode então ser interpretada como uma igualdade entre funções n f Xi = ( 1) k 1 f Xi1 f Xik i 1 < <i k k=1 Exemplo 1.5 : Calcular o número de funções sobreectivas f : [k] [n]. Se designarmos por X i, com 1 i n, o conunto de funções cua imagem não contém o elemento i, o número que queremos é n k n i=1 X i Ora, para cada i, X i = (n 1) k, e mais geralmente, dada uma escolha de elementos de [n] X i1 X i = (n ) k uma vez que as funções presentes em X i1 X i podem tomar quaisquer dos n ( ) valores não proibidos e só esses. Como podemos escolher elementos n de maneiras temos, pelo Princípio de Inclusão-Exclusão que n n i=1 X i = ( 1) 1 (n ) k 3

4 e portanto o número de funções sobreectivas pedido é n n n k ( 1) 1 (n ) k = n k + ( 1) (n ) k = n ( 1) (n ) k Recorde-se que este número é também igual a n!s(k, n) e portanto obtemos a fórmula anunciada atrás para os números de Stirling de segunda espécie: S(k, n) = 1 n ( 1) (n ) k n! =0 =0 Exemplo 1.6 : Calcular o número de desarranos de [n], ou sea o número de permutações σ : [n] [n] tais que σ(i) i para todo o i. Existem n! permutações. Designando por X i o conunto das permutações σ tais que σ(i) = i, calculamos, tal como no exemplo anterior, n! n i=1 X i Dados elementos i 1,, i em [n], as permutações em X i1 X i fixam aqueles elementos e reordenam os restantes; temos portanto X i1 X i = (n )! Logo, pelo Princípio de Inclusão-Exclusão n n i=1 X i = ( 1) 1 (n )! e o número de desarranos é n ( n n! ( 1) 1 ) (n )! = n! + = =0 n ( 1) (n )! = n ( 1) (n )! = n! n ( 1) =0! 4

5 Exemplo 1.7 A fórmula da função φ de Euler pode ser obtida por aplicação deste princípio: se n = p t 1 1 p t r r, sea, para cada 1 i r, X i = {x : 1 x n e p i x}; portanto φ(n) = n r i=1 X i. Mas X i = n p i e, mais geralmente, para quaisquer i 1,, i X X = n i1 i. p i1 p i Pelo Princípio de Inclusão -Exclusão φ(n) = n n + n + ( 1) r n p i p i p p 1 p r 1 i r 1 i< r Mas é fácil ver que esta expressão é igual a r ) n (1 1pi. i=1 Os dois primeiros exemplos são muito simétricos: o número de elementos numa intersecção de conuntos só depende de e não dos conuntos em particular. Isso não é verdade em geral. Exemplo 1.8 : Quantas palavras de 8 letras se podem escrever, usando apenas vogais, que não contenham a sequência UAU? Existem 5 8 palavras de 8 letras no alfabeto {A, E, I, O, U}; contamos aquelas em que aparece a sequência UAU, usando o Princípio de Inclusão e Exclusão: sea X i (1 i 6) o conunto das palavras em que UAU aparece a começar na posição i. Temos X i = 5 5 para todo o i; mas a sequência pode ocorrer duas vezes, sem sobreposição (e deixando portanto duas posições livres) X 1 X 4 = X 1 X 5 = X 1 X 6 = X 2 X 5 = X 2 X 6 = X 3 X 6 = 5 2 ou com sobreposição (deixando três posições livres) X 1 X 3 = X 2 X 4 = X 3 X 5 = X 4 X 6 = 5 3 5

6 Para três ocorrências temos também dois casos: enquanto que X 1 X 3 X 6 = X 1 X 4 X 6 = 1 X 1 X 3 X 5 = X 2 X 4 X 6 = 5 Não pode haver mais do que três ocorrências da sequência UAU. Assim a resposta final é ( ) ( ) 1.1 Generalizações A fórmula do Princípio de Inclusão e Exclusão pode ser generalizada: Proposição 1.9 : Dados conuntos X 1, X 2,, X n, designando por S k soma do número de elementos das intersecções de k conuntos, ou sea S k = X i1 X ik i 1 < <i k tem-se que o número de elementos contido em exactamente l dos conuntos é dado por n ( 1) k l S k l e o número de elementos contido em pelo menos l dos conuntos é dado por n 1 ( 1) k l S k l 1 a 6

7 Demonstração 1.10 : Copiando o raciocínio feito para a demonstração do Princípio de Inclusão e Exclusão, considere-se um elemento x contido em exactamente p dos conuntos X i. Vamos ver que a primeira fórmula conta x uma vez se p = l e zero vezes caso contrário: Se p < l, x é evidentemente contado zero vezes, pois x não pode pertencer à intersecção de k > p conuntos. Se l p, a fórmula conta x )( p k n p ( ) p ( 1) k l = ( 1) k l l l k ( ) p vezes, pois há escolhas dos índices i 1 < < i k para as quais x k ( ) p X i1 X ik e além disso se k > p temos = 0 (o que corresponde ao k facto de que, tal como anteriormente,x não pode pertencer à intersecção de k > p conuntos). Mas p ( ) p p ( )( ) p p l ( 1) k l = ( 1) k l = l k l k l ( ) p ( ) ( ) p p l p p l ( ) p l 0 se p > l = ( 1) k l = ( 1) = l k l l =0 1 se p = l A segunda fórmula pode ser deduzida da anterior: se C l designa o conunto dos elementos contido em pelo menos l dos conuntos X i, e B o conunto dos elementos contido em exactamente dos conuntos X i, temos n C l = =l B 7

8 que é uma união disunta e portanto = n k ( 1) k S k = =l n S k k l C l = n B = =l ( 1) s k s uma vez que k l k l k l ( 1 ( 1) s = ( 1) s = ( 1) s + k s s s k l 1 k l = ( 1) s + s k l l 1 k 1 ( ) ( ) k 1 k 1 = ( 1) s + ( 1) s+1 = s s 1 s= 1 n =l n ( 1) k S k = k= = k = l n ( 1) k l ( k 1 l 1 ( )) k 1 = s 1 ) ( 1) s ( k 1 s 1 + ( 1) k l ( k 1 k l = ) ) S k Formulação abstracta do Princípio de Inclusão - Exclusão Uma outra forma de considerar o Princípio de Inclusão - Exclusão, e que é muitas vezes a que ocorre num problema de contagem, passa por definir subconuntos de um conunto dado em termos de propriedades: se P for um conunto de propriedades que os elementos de um conunto X possuem ou não, podemos definir, para cada T P, f(t ) = {x X : x satisfaz todas as propriedades t T }, g(t ) = {x X : x satisfaz exactamente as propriedades t T }. Nota 1.11 Uma maneira de exprimir estas condições é associar a cada propriedade t P a função η t : X [2] tal que { 1 se x satisfaz a propriedade t η t (x) = 0 caso contrário Então os valores f(t ) e g(t ) definidos acima podem ser dados por f(t ) = η t (x), f(t ) = η t (x) η t (x)). x X t T x X t T t/ T(1 8

9 Se designarmos por X t o subconunto de X dos elementos que satisfazem a propriedade t, temos que o número de elementos que satisfazem alguma das propriedades é dado por, usando o Princípio de Inclusão - Exclusão, t P X t = ( 1) T 1 t T X t = ( 1) T 1 f(t ) T P,T T P,T e o número de elementos que não satisfazem nenhuma das propriedades é g( ) = T P( 1) T f(t ). Note-se que por outro lado se tem para qualquer T P f(t ) = T S g(s). Esta interpretação do Princípio de Inclusão - Exclusão leva à seguinte formulação abstracta do mesmo: dado um conunto finito P,designamos por 2 P o conunto das partes de P, ou sea, 2 P = {S P }. Teorema 1.12 Dadas duas funções f e g com domínio 2 P equivalência e valores inteiros, tem-se a T P f(t ) = S T g(s) T P g(t ) = S T( 1) S T f(s) Nota 1.13 A hipótese de as funções tomarem valores inteiros é irrelevante. O teorema é válido para funções com contradomínio Q ou R ou C ou outros ainda. Demonstração 1.14 A implicação deduz-se de S T( 1) S T f(s) = S T( 1) S T U S g(u) = U T ( U S T ( 1) S T ) g(u); mas, se U \ T tem m elementos, podemos escolher ( ) um conunto S satisfazendo T S U m e com T + l elementos (onde 0 l m) de maneiras e portanto l m ( ) { m 0 se m > 0 ( 1) S T = ( 1) l = l 1 se m = 0 donde se conclui que U S T ( U T U S T l=0 ( 1) S T ) g(u) = g(t ) 9

10 como queríamos provar. A implicação deduz-se de forma idêntica, notando que a igualdade do lado direito do enunciado implica que g(s) = S T S T V S( 1) V S f(v ) = ( ) ( 1) V S f(v ), V T T S V e calculando a soma interior como anteriormente. Nota 1.15 Podemos também enunciar uma versão simétrica daquela: Teorema 1.16 Dadas duas funções f e g com domínio 2 P equivalência e valores inteiros, tem-se a T P f(t ) = S T g(s) T P g(t ) = S T( 1) S T f(s) A demonstração (que se deixa como exercício) faz-se aplicando a versão original ao par de funções definidas por w(t ) = f(p \ T ), z(t ) = g(p \ T ) T P. 10