Fis.Rad.I /1 Notas de aula (Prof. Stenio Dore) (Dated: May 28, 2004)

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1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA DE CONTAGEM Fis.Rad.I - 24/1 Notas de aula (Prof. Stenio Dore) (Dated: May 28, 24) I. PROBABILIDADE: E E OU Vimos que, para nossas finalidades podemos definir a probabilidade de um evento qualquer A, indicada por P (A), como número de casos favoráveis a A P (A) (1) número total de casos possíveis Recordemos as regras de combinação de probabilidades. Sejam, por exemplo, dois eventos possíveis: A e B. Valem as igualdades: P (A e B) P (A)P (B) (2) P (A ou B) P (A)+P(B) (3) Vejamos: 1. Exemplo 1 a)- Qual a probabilidade de, lançando-se um dado duas vezes, obtermos o número 2 na primeira e depois o número 3? Do enunciado, o evento A é : número 2 na primeira e o evento B é: número 3 na segunda. Da Eq.1 temos que: P (A) P (B) 1/6. Então, usando-se a Eq.2, temos a resposta: P (A e B) (1/6) (1/6) 1/36 Podemos verificar que a regra funciona, olhando a tabela 1: das 36 possibilidades, somente uma é favorável à seqüência 2,3. Logo, pela Eq.1, sua probabilidade vale 1/36, como já obtido. TABLE I: Os 36 possíveis resultados de dois lances de um dado ,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 b)- Qual seria a probabilidade de, lançando-se um dado duas vezes, obtermos o número 2 e o número 3 numa ordem qualquer? Algebricamente o que queremos agora é : P ([A e B] ou [B e A]) Aplicando-se as regras, temos: P ([A e B] ou [B e A]) P (A e B)+P (B e A) (1/36) + (1/36) 2/36 Resultado que pode ser verificado consultando-se a tabela 1. II. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Se efetuarmos dez lances de uma moeda, qual a probabilidade de obtermos exatamente 8 caras, numa ordem qualquer? Ora, pela Eq.1, em cada lance a probabilidade de obtenção de cara é 1/2 (de coroa também). Para obtermos uma fórmula geral, usaremos letras em vez de números. Assim p indicará a probabilidade de cara e q a de coroa, satisfazendo a relação p + q 1. Para os dez lances usaremos a letra N. Para o número de caras desejado, 8 no exemplo, a letra n. No quadro a seguir temos uma das possibilidades, 8 caras consecutivas (indicadas por C) e duas coroas ao final (indicadas por X). C C C C C C C C X X Pelas regras, a probabilidade dessa configuração é: p p p p p p p p q q ou p n q N n. Como a ordem não importa, qualquer permutação dos quadrados contendo C ou X também satisfaz. Por exemplo: C C X C C C C C X C E como a ordem dos fatores não altera o produto, se obtém a mesma probabilidade: p n q N n. O número de permutações dos quadrados vale N!, como sabemos. Mas cuidado, para cada troca de um quadrado com C por outro com X, podemos construir configurações totalmente idênticas, em que X troca com X. E para cada uma delas, podemos construir (N n)! idênticas em que C troca com C. Em resumo: N! número de configurações em que X troca com C número de configurações em que X troca com X número de configurações em que C troca com C Pela Eq.3, a probabilidade total será dada pela soma das probabilidades de todas as configurações diferentes, ou seja: P (n) N! (N n)! pn q N n (4) Esta é a equação da Distribuição Binomial. O nome vem da expansão de um binômio (dita de Newton), pois a

2 2 Eq.4 pode ser escrita CN n pn q N n, sendo um dos termos da expansão de (p + q) N CN n p n q N n Aliás, essa última igualdade garante que, como se espera de qualquer distribuição de probabilidades, a binomial seja normalizada ( soma das probabilidades de todos os casos possíveis tem que ser 1): N P (n) Exemplo 2 Aplicando ao nosso caso particular N 1, p q 1/2 en 8: P (8) 1! 2!8! (1/2)8 (1/2) Como esta probabilidade se revela na prática? Como já vimos em outra parte do curso, revela-se pela tendência da freqüência do evento. Recordando: P lim número de tentativas [ número de sucessos número de tentativas ] (5) Como na prática não podemos efetuar um número infinito de tentativas, as freqüências obtidas experimentalmente variam para mais ou para menos em relação ao valor de P são as flutuações estatísticas. Se repetirmos muitas vezes os dez lances da moeda, por exemplo 12 vezes, o número de vezes em que esperase obter 8 caras será, arredondando para o inteiro mais próximo, dado por: P (8) 12 5 O quadro completo, de zero caras até dez caras, para 12 repetições está na tabela II, onde N S indica o número de sucessos (ou ocorrências): TABLE II: Valor esperado do número de vezes em que se obtém n caras em 12 repetições de dez lances de uma moeda n P (n) N S, , , , , , , , , , , Execute o pequeno programa JMOEDA.EXE, disponível na página do curso, e observe as flutuações nas 12 jogadas A. O valor médio na binomial A tabela II e os histogramas do programa JMOE- DA.EXE indicam que, no caso do exemplo, 5 caras é o valor médio do número de caras em 1 lances. Verifiquemos o que a binomial prevê: <n> np(n) N! n (N n)! pn q N n n1 Np n1 (N 1)! (N n)!(n 1)! pn 1 q N n N 1 (N 1)! Np (N n 1)!n! pn q N n 1 Np Np n N n N! (N n )!n! pn q N n Portanto, no exemplo <n>1 (1/2) 5, o que confirma o resultado. III. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Estamos interessados na seguinte questão: é dado que na duração de tempo que vai de a t são contadas em média <n>partículas por um detector. Como varia o número de partículas contadas em várias repetições da medição?. t t t t... t t t t t Poderíamos usar a binomial. Dividimos o tempo de medição t em N intervalos iguais t, onde N é escolhido de forma a que a probabilidade p de uma contagem no intervalo t seja menor que 1. Nese caso, a probabilidade de nada contar em t fica sendo q 1 p. Transformamos assim numa situação semelhante ao exemplo com a moeda. Usando a binomial restaria calcular P (n). Note que p < n>/n, o que permite fazer p tão pequeno quanto se quiser, simplesmente aumentando o número de intervalos. É isso que se faz na prática, obtendo-se uma outra distribuição mais fácil de usar - a Distribuição de Poisson.

3 3 1. Exemplo 3 Seja dado que, em medições com duração de 6 segundos, um detector registra em média 12 contagens. Use a binomial para obter a probabilidade de em uma medição serem registradas 1 contagens. Solução: podemos, por exemplo, dividir os 6 segundos em 6 intervalos de 1 segundo, ou seja t 1seN 6, nesse caso a probabilidade de ocorrer alguma contagem em t valerá p < n>/n12/6, 2. A escolha satisfaz a condição de p<1. Agora é como se jogássemos 6 vezes a moeda, cada intervalo t fazendo o papel de um lance da moeda. Em cada lance pode ocorrer uma cara desintegração, ou não. Então: P (1) 6! (6 1)! 1!, 21, 8 (6 1), 11 A. Da Binomial a Poisson Da Eq.4: P (n) 1 [ ] N! p n [ (1 p) N n] (6) (N n)! e nela os dois termos entre colchetes serão simplificados pois faremos N e p, pois pn < n>é fixo. n [ ] {}}{ N! N(N 1) (N n +1) (N n)! (N n)! (N n)! N n (7) E usando a relação: lim x ( 1+ A ) x e A x FIG. 1: Poisson com <n>12 2. Exemplo 5 Um detector registra uma taxa média, a, de 6 contagens por hora. Durante um dia, em quantos intervalos de 5 minutos espera-se contar: a) 5 partículas; b) 3 partículas; c) 7 partículas; d) partículas? Do enunciado a 1min 1, então no intervalo de interesse <n> at (1min 1 ) (5min 1 )5. Neste intervalo temos que: P (5) 55 5! e 5, ; P (3) 53 3! e 5, ; P (7) 57 7! e 5, ; P () 5! e 5, Então: a) 288 P (5) 51; b) 288 P (3) 4; c) 288 P (7) 3; d) 288 P () 2 com A/x p e x N, [ (1 p) N n ] (1 p) N e pn (8) Levando-se (7) e (8) em (6) e usando a relação pn < n> obtemos finalmente a expressão da distribuição de Poisson: P (n) <n>n e <n> (9) 1. Exemplo 4 Vamos refazer o exemplo 3, usando Poisson. P (1) 121 1! e 12, 11 FIG. 2: Poisson com <n>5 Confira os resultados numéricos da binomial e poisson com os programas de mesmo nome disponíveis na página do curso (reunidos em binpoisn.zip) B. Média e Desvio Padrão em Poisson 1. Média Claro, já sabemos que a média é <n>, herdada da binomial. Entretanto, suponhamos que a expressão da distribuição de Poisson tivesse sido dada de início, então < n > seria apenas um parâmetro. Vamos indicar a

4 4 média por n: n n np(n) n1 n <n>n e <n> <n>e <n> <n> (n 1) (n 1)! n1 <n>e <n> <n> n n! n <n>e <n> e <n> n <n> 2. Desvio Padrão O desvio padrão, como sabemos, é dado por σ < (n n) 2 > <n 2 2nn + n 2 > <n 2 > 2 <n>n + n 2 <n 2 > n 2 (1) Então, como: <n 2 > n 2 P (n) n1 n 2 <n>n e <n> <n>e <n> n <n>(n 1) (n 1)! n1 <n>e <n> (n +1) <n>n n! <n>{ n n n <n>n n e <n> +! +e <n> <n> n n }! n <n>{< n>+e <n> e <n> } <n> 2 + <n> <n 2 > n 2 + <n> Levando em (1), finalmente temos: σ <n> (11) Este é um resultado muito importante, com grande aplicação na avaliação das incertezas de contagem no laboratório: o desvio padrão em Poisson é a raiz quadrada do valor médio 3. Exemplo 6 Desprezando o fundo, qual deve ser a área de um pico no espectro de forma a medir-se a taxa de contagem com incerteza percentual de 1%? R: a resolução finita faz com que os picos tenham uma largura, sendo o número de partículas de uma dada energia detectadas dado pela área do pico. Em uma medição esta é a melhor estimativa do valor médio das contagens, <n>. Então a incerteza é dada por σ <n>, portanto queremos que <n> 1 1% n n ou seja, n 1. C. Uso de Poisson na contagem de desintegrações de fontes radioativas A teoria permite o cálculo da probabilidade de desintegração por unidade de tempo de um núcleo, λ, constante para uma dada desintegração de um dado nuclídeo: dp dt λ Efetuando-se a passagem para a freqüência de desintegrações, quando num dado instante houver N núcleos presentes: dn/n λ dt O sinal negativo é necessário, pois dn < (Explique!). Integrando-se desde um número inicial N de núcleos: N(t) N e λt Portanto, num dado instante, a taxa de desintegrações é dada por: dn(t) dt λn e λt (12) No detector registra-se uma taxa de contagem a k dn(t) dt onde o fator k, aeficiência total de detecção, satisfaz <k<1. Para a poder ser suposta constante impõe-se a condição: λt 1 ou, λ τ, sendo τ a vida-média (prove que τ 1/λ). Satisfeita esta condição, podemos usar Poisson. Para tanto deve-se primeiro, no enunciado do problema, identificar qual o intervalo de tempo de interesse. Vamos chamá-lo de t. Então, como foi feito no exemplo 5, aplica-se Poisson com: <n> at

5 5 IV. A DISTRIBUIÇÃO DE INTERVALOS Uma outra pergunta que se pode fazer, em vez de qual a probabilidade de n contagens no intervalo de tempo t, é: como se distribuem os intervalos de tempo entre as contagens de partículas consecutivas? A resposta é obtida de maneira simples, mas atenção para duas coisas: 1. em Poisson tínhamos uma variável discreta n, assumindo valores inteiros. Agora teremos uma variável contínua, que pode assumir qualquer valor real não negativo. Será pois obtida uma densidade de probabilidade. 2. a mesma letra t será usada para representar esta variável (t intervalo de tempo entre duas contagens consecutivas) sendo dp/dt a densidade de probabilidade dos intervalos de tempo. 1. Exercício-Exemplo 7 Prove que o intervalo de tempo médio entre contagens <t> tdp vale 1/a, ou seja, é oinverso da taxa média de contagem. Por exemplo, se a 2s 1 então <t>, 5s Note que se trata de uma média ponderada, nesse caso deveria haver uma divisão pela soma dos pesos dp. Mostre que esta soma vale 1 (afinal, uma distribuição de probabilidades tem de ser normalizada!). 2. Exercício-Exemplo 8 A probabilidade do intervalo de tempo entre contagens estar na faixa t 1 <t<t 2 é dada por P (t 1 <t<t 2 ) t2 Qual a probabilidade de os intervalos de tempo serem maiores que <t>? t 1 dp 3. Exercício-Exemplo 9 FIG. 3: Distribuição de intervalos: a área cinza representa a probabilidade de um intervalo de tempo entre contagens consecutivas estar entre t e t + dt Quando uma partícula chega ao detector t. Quando a seguinte chega registra-se t. Deseja-se a probabilidade de zero contagem entre t et e uma contagem entre t e t + dt. Como sabemos, será dada pelo produto. No intervalo de a t: <n> at, e P () (at) e at e at! No intervalo de t a t + dt: <n> adt,e Um detector registra uma taxa média, a, de 6 contagens por hora. Durante um dia, quantas vezes o intervalo de tempo entre contagens será maior que um minuto? 4. Exercício 1 Voltando um pouco à noção de vida-média, τ. Ela é o intervalo de tempo em que o número de núcleos cai a 1/e do valor inicial. Por que o nome vida-média?. Calcule o valor médio do instante de desintegração usando a equação (12): τ tdn(t) dn(t) então P (1) (adt)1 e adt adt 1! dp ae at dt (13) Esboce um gráfico semelhante ao da Fig.3. Entenda que, como sempre, efetua-se uma média ponderada onde no caso os pesos são as desintegrações no intervalo t, t + dt. Obtem-se o centroide da distribuição. Lembre-se dos cálculos de centro de massa.