Duração: 90 miutos Probabilidades e Estatística LEIC-A, LEIC-T, LEGM, MA, MEMec Justifique coveietemete todas as respostas! o semestre 015/016 09/06/016 11:00 o teste B Grupo I 10 valores 1. Seja (X 1, X,...,X ) uma amostra aleatória de uma população X com parâmetro µ, µ > 0, possuido fução desidade de probabilidade < µx µ 1 0 < x < 1, f X (x) : 0 caso cotrário, pelo que E[X ] µ µ+1 e E[X ] µ µ+. (a) Determie o estimador de máxima verosimilhaça do parâmetro µ. (3.0) F.d.p. de X < µx µ 1 0 < x < 1 f X (x) : 0 caso cotrário Parâmetro descohecido µ, µ > 0 Amostra x (x 1,...,x ) amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de µ Passo 1 Fução de verosimilhaça L(µ x) f X (x) X i idep Y f Xi (x i ) X i ªX Y µx µ 1 i! Y µ 1 µ x i, µ > 0 Passo Fução de log-verosimilhaça X ll(µ x) l(µ) + (µ 1) l(x i ) Passo 3 Maximização Y f X (x i ) [ ode X l(x i ) < 0 já que x i (0,1), i 1,...,.] A estimativa de MV de µ é doravate represetada por ˆµ e atete-se que ˆµ argmax µ L(µ x) argmax µ ll(µ x). Neste caso em particular: d ll(µ x) >< dµ Ø 0 (poto de estacioaridade) µ ˆµ ˆµ : Ø >: d ll(µ x) Øص < 0 (poto de máximo) dµ ˆµ < ˆµ + l(x i ) 0 : ṋ µ < 0 >< ˆµ l(x i ) >: ṋ µ [ l(x i )] < 0 proposição verdadeira pois N
Passo 4 Estimador de MV de µ ˆ l(x i ) (b) Tedo em vista a estimação do valor esperado de X, compare a eficiêcia do estimador X (1.5) relativamete ao estimador T X 1 X. Parâmetro descohecido µ E(X ) Estimador de µ E(X ) X Erro quadrático médio de X EQM µ ( X ) V ( X ) + bias µ ( X ) V ( X ) + E( X ) µ X i ª i.i.d. X V (X ) + [E(X ) E(X )] V (X ) [ode V (X ) µ µ+ µ µ+1 µ.] (µ+)(µ+1) Outro estimador de µ E(X ) T X 1 X Erro quadrático médio de T EQM µ (T ) V (T ) + bias µ (T ) V (T ) + E(T ) µ V (X 1 X ) + [E (X 1 X ) E(X )] X i ª i.i.d. X 5V (X ) + [E(X ) E(X )] 5V (X ) Eficiêcia do estimador X relativamete ao estimador T X 1+X 10 e µ ( X,T ) EQM µ(t ) EQM µ ( X ) Cometário 5V (X ) V (X ) 5 Tedo em cota que N, temos e µ ( X,T ) 5 > 1 (i.e., EQM µ (T ) > EQM µ ( X )), pelo que pode afirmar-se que X é um estimador mais eficiete que T X 1 X o que respeita à estimação de µ E(X ).. O limite de resistêcia à tração de cabos idividuais de determiado tipo produzidos uma fábrica por cada um de dois métodos, A e B, possui distribuição ormal em ambos os casos. Da experiêcia acumulada, sabe-se que o valor esperado do limite de resistêcia à tração de cabos produzidos pelo método tradicioal A é igual a 100 lb. Para avaliar a viabilidade de passar a usar o método B o fabrico desse tipo de cabos, um egeheiro de materiais realizou esaios de tração que evolveram 5 cabos produzidos pelo método B, selecioados ao acaso, tedo obtido valores com média e variâcia amostrais de 106.3 lb e 71.4 lb, respetivamete. (a) Obteha um itervalo de cofiaça a 95% para o desvio padrão do limite de resistêcia à tração de (.5)
cabos idividuais produzidos pelo método B. V.a. de iteresse X limite de resistêcia à tração (LRT) de cabo produzido de acordo com o método B Situação X ª ormal(µ,æ ) µ descohecido æ DESCONHECIDO Obteção do IC para æ Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para æ ( 1)S Z ª ( 1) æ uma vez que é suposto determiar um IC para a variâcia de uma população ormal, com valor esperado descohecido. Passo Obteção dos quatis de probabilidade Ao ter-se em cosideração que 5 e (1 Æ) 100% 95%, far-se-á uso dos quatis ( P(a Æ Z b Æ ) 1 Æ (a Æ,b Æ ) : P(Z < a Æ ) P(Z > b Æ ) Æ/. >< a Æ F 1 (Æ/) F 1 (0.05) tabela/calc. 1.40 ( 1) (4) >: b Æ F 1 (1 Æ/) F 1 (0.975) tabela/calc. 39.36. ( 1) (4) Passo 3 Iversão da desigualdade a Æ Z b Æ P(a Æ Z b Æ ) 1 Æ i P ha Æ ( 1)S b Æ 1 Æ P P æ h 1 b Æ hq ( 1)S æ 1 ( 1)S b Æ æ Passo 4 Cocretização i a Æ 1 Æ q i ( 1)S a Æ 1 Æ Atededo ao par de quatis acima e ao facto de v v IC (1 Æ) 100% (æ) 4 u ( 1) s t F 1 (1 Æ/), u t ( 1) segue-se: IC 90% (æ) s 71.4, ( 1) s 5 (Æ/) F 1 ( 1) "s s # (5 1) 71.4 (5 1) 71.4, 39.36 1.40 ' [ p 43.439, p 137.4] ' [6.590, 11.74]. 3 (b) A gestora da fábrica afirma que o valor esperado do limite de resistêcia à tração de cabos (3.0) produzidos pelo método B é igual ao dos produzidos pelo método A. Cosidera que a opiião da gestora é suportada pelos dados ao ível de sigificâcia de 5%?
Hipóteses H 0 : µ µ 0 100 H 1 : µ 6 µ 0 N.s. Æ 0 5% Estatística de teste T X µ 0 S p ª H0 t ( 1) pois pretedemos efectuar um teste sobre o valor esperado de uma população ormal, com variâcia descohecida. Região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) Tratado-se de um teste bilateral (H 1 : µ 6 µ 0 ), a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) é do tipo W ( 1, c) [ (c,+1), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 ) Æ 0, i.e., Decisão c : P(T W H 0 ) Æ 0 Uma vez que 5 x 106.3 s p 71.4 1 F t( 1) (c) Æ 0 c F 1 t ( 1) (1 Æ 0 /) c F 1 t (4) (0.975) c tabela/calc..064. o valor observado da estatística de teste é igual a t x µ 0 p s 106.3 100 q 71.4 5 ' 3.73. Como t ' 3.73 W ( 1,.064) [ (.064,+1), devemos rejeitar H 0 ao.s. Æ 0 5% [ou a qualquer.s. superior a Æ 0 5%]. Grupo II 10 valores 1. Um modelo geérico especifica que as platas de certa espécie se distribuem etre quatro categorias (4.0) (1,,3,4) de acordo com as seguites proporções: p 1 0.656, p p 3 0.093 e p 4 0.15. Selecioadas ao acaso 197 platas dessa espécie, obtiveram-se as seguites frequêcias observadas: o 1 15, o 1, o 3 0 e o 4 34. Averigúe, aplicado um teste apropriado, se tal modelo geérico é cosistete com este cojuto de dados. Decida com base o valor-p. V.a. de iteresse e f.p. X categoria da plata ( P(X i), i 1,,3,4 p i 0, caso cotrário
Hipóteses H 0 : p i p 0 i, ode p0 1 0.656, p0 0.093, p0 3 0.093, p0 4 0.15 H 1 : p i 6 p 0, para algum i i Estatística de teste kx (O i E i ) T E i a ªH0 (k Ø 1), ode: k No. de classes 4 (categorias) O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i Ø No. de parâmetros a estimar 0 [dado que a distribuição cojecturada em H 0 está completamete especificada, i.e., H 0 é uma hipótese simples.] Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Ao efectuarmos um teste de ajustameto do qui-quadrado a região de rejeição de H 0 é um itervalo à direita W (c,+1). Cálculo das frequêcias absolutas esperadas sob H 0 As frequêcias absolutas esperadas sob H 0 são dadas por E i p 0 i E 1 197 0.656 19.3 E 197 0.093 1.31 E 3 197 0.093 1.31 E 4 197 0.15 31.16. (i 1,,3,4) e iguais a [Importa otar que ão é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 0% das classes se verifica E i 5eE i 1 para todo o i.] Decisão (com base o p-value) No cálculo do valor observado da estatística de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Assim, temos t i Freq. abs. obs. Freq. abs. esper. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste o i E i p 0 i (o i E i ) E i 1 15 19.3 1 1.31 3 0 1.31 4 34 31.16 P 4 o i 197 4X (o i E i ) ' 0.57. E i [15 19.3] 19.3 ' 0.145 [1 1.31] 1.31 ' 0.006 [0 1.31] 1.31 ' 0.154 [34 31.16] 31.16 ' 0.65 P 4 E i 197 t P 4 (o i E i ) E i ' 0.57 Uma vez que a região de rejeição de H 0 é para este teste um itervalo à direita temos: valor p P(T > t H 0 ) P[T > 0.57 H 0 ] ' 1 F (4 1 0) (0.57) calc. ' 0.90365.
Cosequetemete, é suposto: ão rejeitar H 0 a qualquer.s. Æ 0 90.365%, pelo que o modelo geérico é cosistete com os dados a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia (1%, 5% e 10%); rejeitar H 0 a qualquer.s. Æ 0 > 90.365%. [Em alterativa, poderíamos recorrer às tabelas de quatis da distribuição do qui-quadrado com graus de liberdade e adiatar um itervalo para o valor-p: F 1 (3) (0.075) 0.47 < t 0.57 < 0.54 F 1 (0.10) (3) 0.075 < F (0.57) < 0.10 (3) 1 0.10 < 1 F (0.57) < 1 0.075 (3) 0.90 < valor p < 0.95. Logo o itervalo para o valor-p é (0.90,0.95) e é suposto: ão rejeitar H 0 a qualquer.s. Æ 0 90.0%, pelo que o modelo geérico é cosistete com os dados a qualquer dos íveis usuais de sigificâcia (1%, 5% e 10%). rejeitar H 0 a qualquer.s. Æ 0 9.5%.]. O Archaeopteryx é um aimal extito, tedo peas como um pássaro bem como detes e uma cauda óssea como um réptil. As medições de comprimetos em cetímetros do fémur (osso da pera), x, e do úmero (um osso do braço), Y, para dez espécimes fósseis que preservam os dois ossos, coduziram aos seguites resultados: P 10 x i 50, P 10 x i 3500, P 10 y i 657, P 10 y i 4551, P 10 x i y i 399 (a) Obteha as estimativas de miímos quadrados dos parâmetros da reta de regressão liear simples (.0) de Y em x e iterprete a estimativa do parâmetro Ø 1 do modelo. Estimativas de Ø 0 e Ø 1 Dado que 10 x i 50 x i 50 10 5 x 1 x i 3500 x i ( x) 3500 10 5 1440 y i 657 ȳ 1 y i 657 10 65.7 y i 4551 y i (ȳ) 4551 10 65.7 06.1 x i y i 399 x i y i x ȳ 399 10 5 65.7 173, as estimativas de Ø 1 e Ø 0 são, para este modelo de RLS, iguais a: ˆØ 1 x i y i xȳ x i ( x) 173 1440 ' 1.1965
ˆØ 0 ȳ ˆØ 1 x ' 65.7 1.1965 5 3.69611 Iterpretação da estimativa de Ø 1 ˆØ 1 ' 1.3966 Estima-se que um aumeto de um cm o comprimeto do fémur esteja associado a um aumeto o valor esperado do comprimeto do úmero de aproximadamete 1.1965 cm. (b) Após ter euciado as hipóteses de trabalho que eteder por coveietes, obteha um itervalo (4.0) de cofiaça a 90% para o valor esperado do comprimeto do úmero de um espécime fóssil cujo fémur tem 74 cm de comprimeto. Hipóteses de trabalho i i.i.d. ª Normal(0,æ ), i 1,..., Ø 0, Ø 1 e æ DESCONHECIDOS Obteção do IC para E(Y x 0 ) Ø 0 + Ø 1 x 0 Passo 1 V.a. fulcral para E(Y x 0 ) Ø 0 + Ø 1 x 0 Z ( ˆØ 0 + ˆØ 1 x 0 ) (Ø 0 + Ø 1 x 0 ) r h i ª t ( ) ˆæ 1 + (x 0 x) P x i x Passo Quatis de probabilidade Já que (1 Æ) 100% 90%, temos Æ 0.10 e lidaremos com os quatis ( P(a Æ Z b Æ ) 1 Æ (a Æ,b Æ ) : P(Z < a Æ ) P(Z > b Æ ) Æ/. < a Æ F t 1 ( ) (Æ/) F t 1 (10 ) (1 0.10/) tabela/calc. 1.60 : b Æ F t 1 (10 ) (1 0.10/) tabela/calc. 1.60. Passo 3 Iversão da desigualdade a Æ Z b Æ P(a Æ Z b Æ ) 1 Æ P 6 4 a Æ ( ˆØ 0 + ˆØ 1 x 0 ) (Ø 0 +Ø 1 x 0 ) s b Æ 7 5 1 Æ 1 (x 0 P x) x i x ˆæ + 3 r P ( ˆØ 0 + ˆØ h i 1 x 0 ) b Æ ˆæ 1 + (x 0 x) P x i Ø 0 + Ø 1 x 0 x r ( ˆØ 0 + ˆØ h i 1 x 0 ) a Æ ˆæ 1 + (x 0 x) P x i 1 Æ x Passo 4 Cocretização Uma vez que a estimativa de æ é igual a "!!# ˆæ 1 X X y i ȳ ( ˆØ 1 ) x i x 1 06.1 1.1965 1440 10 ' 3.06034 e a expressão geral do IC pretedido é
IC (1 Æ) 100% (Ø 0 + Ø 1 x 0 ) r ( ˆØ 0 + ˆØ h i 1 x 0 ) ± F t 1 ( ) (1 Æ/) ˆæ 1 + (x 0 x) P x i, x temos IC 90% (Ø 0 + Ø 1 74) r h i ( 3.69611 + 1.1965 74) ± 1.60 3.06034 1 10 + (74 5) 1440 [4.44461 ± 1.60 0.91990] [4.44461 ± 1.71490] [3.19560, 6.55936].