Pro. Alberto Rcardo Präss A VELOCIDADE ESCALAR O conceto de velocdade. Imagnemos que um jornal tenha envado um correspondente especal à selva amazônca a m de azer uma reportagem sobre o Pco da Neblna, e suponhamos que após váras semanas de penosas marchas através da loresta tropcal o correspondente aça chegar à redação do jornal a normação de que localzou uma trbo extraordnára, da qual até mesmo as cranças de mas de 10 anos são capazes de percorrer, a pé, 5 km em apenas 10 s. Julgamos que dclmente a redação do jornal autorzara, sem maores nvestgações e reservas, a publcação da notíca. Provavelmente julgara que as condções adversas renantes na selva amazônca havam provocado um desequlíbro nervoso em seu envado... No entanto, se a normação deste osse a de que hava descoberto uma trbo da qual até mesmo as cranças de mas de 10 anos eram capazes de percorrer, a pé, 5 km, ou de andar a pé durante 10 s, a redação dó jornal não tera cado escandalzada, se bem que julgamos que também não publcaram a notca, agora por um motvo oposto ao prmero: é demasado banal o ato de que alguém seja capaz de percorrer, a pé 5 km, ou de que alguém seja capaz de andar a pé durante 10 s. O ato de não despertar nteresse algum a notíca de que uma certa pessoa é capaz de percorrer, a pé, 5 km, ou de andar a pé durante 10 s, enquanto que despertara nteresse extraordnáro a notca de que exstem pessoas capazes de percorrer, a pé, 5 km em 10 s, mostra-nos objetvamente que exstem stuações nas quas não nteressa tanto saber qual a dstânca que um certo corpo, pode percorrer, ou durante quanto tempo ele pode se mover, mas sm que mporta saber qual a relação exstente entre a dstânca percorrda e o tempo durante o qual ela o percorrda. No caso da trbo amazonense relatado pela envado especal do jornal caroca, a experênca do pessoal da redação determnara a não publcação do norme, uma vez que tal experênca lhes ensnou que é pratcamente mpossível exstr seres humanos capazes de se moverem, por seus própros meos, com uma velocdade (supersônca) de 0,5 km/s, ou seja, com uma velocdade de 1.800 km/h. Fo então a grandeza ísca denomnada velocdade o índce utlzado pelo pessoal da redação do jornal para rejetar a probabldade de ser verídca a normação do seu envado. Como tal índce desempenha um papel Importante na teora da Mecânca, vamos, a segur, examnar cudadosamente como ele é construído.
Suponhamos, para sto, que uma pedra largada de um certo ponto passou, num determnado nstante t, por um ponto 1, e algum tempo após, sto é, no nstante t = t +, a pedra passou por um outro ponto, 2. Conseqüentemente a pedra, durante o Intervalo de tempo compreenddo entre os Instantes t e t, soreu um deslocamento x = x x Chamaremos, por convenção, velocdade escalar méda da pedra ou rapdez (speed em nglês),ou smplesmente, velocdade méda da pedra, entre os nstantes t = t +, a razão entre o deslocamento e o ntervalo de tempo o durante o qual ele ocorreu. Representando-se por v a velocdade méda da pedra, entre os nstantes t = t +, poderemos escrever então, por denção, que: v = Por exemplo: se um automóvel o do Ro a São Paulo em 6,0 h, vajou com uma velocdade méda de 72 km/h, pos que sendo de 432 km a dstânca entre essas duas cdades (dstânca esta contada sobre a rodova), vem, da denção de velocdade méda, que: v= 432 km/6,0 h = 72 km/h. Geralmente estaremos nteressados, no entanto, não na velocdade méda v de um corpo, entre os nstantes t e t, mas na sua velocdade v exatamente no Instante t. Muto grosseramente poderemos dzer que a velocdade v de uma partícula, no nstante t, é gual à sua velocdade méda v entre os nstantes t = t +, nstantes estes separados por um ntervalo de tempo. O erro cometdo nessa aproxmação, no entanto, será tanto menor quanto menor or o Intervalo de tempo, Isto é, o erro cometdo na aproxmação consderada tende para zero com. Dremos então, por convenção, que a velocdade, v, de uma partícula, num nstante t, é o lmte para o qual tende a sua velocdade méda, v, correspondente ao ntervalo de tempo compreenddo entre os nstantes
t e t = t+, quando tende para zero. Para Indcar sto usaremos a segunte notação: v= lm v t 0 ou seja, tendo-se em conta que v= lm t 0 t v = : sendo esta, então, a órmula de denção de velocdade escalar nstantânea. (Quando se ala em velocdade escalar, sem maores especcações, quer-se dzer velocdade escalar nstantânea). Observações: 1) Por uma questão de comoddade de lnguagem usa-se reqüentemente a expressão velocdade, em vez da expressão mas longa (porém mas precsa) velocdade escalar. Também nós, neste curso, conormando-nos ao hábto nternaconal, usaremos reqüentemente a expressão velocdade, smplesmente, sgncando velocdade escalar, quando julgarmos que não haverá possbldade de conusão. 2) Sendo velocdade, por convenção, uma razão entre o deslocamento de uma partícula e o Intervalo de tempo durante o qual ele ocorreu, é claro que a sua undade cará peretamente determnada após escolhermos uma undade de deslocamento e uma de tempo, de vez que, logcamente, a undade de velocdade deverá ser a velocdade de uma partícula que sora um deslocamento untáro num ntervalo de tempo untáro. A undade de velocdade do Sstema Internaconal de Undades, onde se tem que U( x) = 1m e U( x) = 1s, será, portanto, a velocdade de uma partícula tal que sora um deslocamento de um metro cada segundo. Tal undade não tem nome especal; para desgná-la dzemos: velocdade de um metro por segundo. O seu símbolo é m/s, ou qualquer outro algebrcamente equvalente 1 (por exemplo: m.s. 3) Dssemos, na seção anteror, que a velocdade, v, de uma partícula, num Instante t, é o valor para o qual tende a sua velocdade méda, v, correspondente aos nstantes t = t+, quando se consderam valores de t tão próxmos de t quanto se quera magnar, ou seja, usando-se uma lnguagem centca, dssemos que: a velocdade v de uma partícula é o lmte para o qual tende a sua velocdade méda, v =, quando o ntervalo de tempo tende para zero:
= v lm t 0 em percorre sendo a sua velocdade méda 2h 160 km 160km = 80km/h 2h 1h 80 km 80km = 80km/h 1h 30mn 40 km 40km 80km/h 1/2h = 15mn 20 km 20km 80km/h 1/4h = 7mn30s 10 km 10km 80km/h 450/3600h = 3mn45s 5 km 5km 80km/h 225/3600h = 0 0 80km/h Ora, quanto menor or o ntervalo de tempo que se consdere, menor será, geralmente, o correspondente deslocamento sordo pela partícula consderada, sto é, x tende para zero quando tende para zero. No entanto, o quocente não tenderá, obrgatóra mente, para zero, apesar de e tenderem smultaneamente para zero. Para vercar sto, de orma objetva, basta se consderar que um automóvel que esteja vajando à razão de 80km por hora: Neste caso, em que o corpo consderado se move com velocdade nvarável (movmento unorme, como é usualmente denomnada tal orma de movmento), a velocdade méda do corpo é constante, sto é, é ndependente do ntervalo de tempo At correspondente. Numa stuação na qual a velocdade méda do corpo consderado or varável, sto é, depender do ntervalo de tempo At correspondente, a seqüênca de valores deverá r se aproxmando de um valor bem determnado, quando consderarmos valores de cada vez mas próxmos de zero. Por exemplo, suponhamos que de um certo ponto se dexe car uma pedra e que 3,000 s após o nstante em que ela o largada (sto é, no nstante t = 3,000 s) ela esteja passando precsamente no ponto 1. Suponhamos mas que estejamos nteressados na velocdade v da pedra no nstante exato em que ela estver passando no ponto 1, sto é, no nstante t = 3,000 s. Para calcular tal velocdade vamos calcular as velocdades médas da pedra entre os
nstantes t = 3,000 s e t = t+, para valores de arbtraramente escolhdos. Eetuemos então uma sére de expermentações, medndo em cada uma delas a dstânca x percorrda pela pedra em ntervalos de tempo consecutvos ao nstante t = 3,000 s, sto é, a contar do nstante em que a pedra passa pelo ponto 1, e cada um deles menor que o anteror. No quadro abaxo estão tabelados os resultados encontrados. x 2,000 s 78,400000 m 1,000s 34,300000 m 0,100 s 2,989000 m 0,010 s 0,294500 m 0,001 s 0,294450 m Dos valores tabelados acma podemos calcular as velocdades médas da pedra, correspondentes a dversos ntervalos de tempo consecutvos ao nstante t = 3,000 s e cada um deles menor que o anteror. No quadro abaxo estamos apresentando tas valores.. x v = 2,000 s 78,400000 m 39,200 m/s 1,000 s 34,300000 m 34,300 m/s 0,100 s 2,989000 m 29,890 m/s 0,010 s 0,294500 m 29,450 m/s 0,001 s 0,294450 m 29,050 m/s Da observação do quadro acma vemos que à proporção que vamos reduzndo o ntervalo de tempo ao qual a velocdade méda v é relatva, o valor de tal velocdade méda va se aproxmando de 29,4 m/s, ou seja: 29,4 m/s é o lmte para o qual tende a velocdade méda da pedra, v =, quando tende para zero: lm v = lm = 29,4m/s 0 t 0 t 0 Adaptado de Mecânca do Pro. L. P. Maa