Parte I Geometria Analítica TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos seus três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(0,0), B(6,0) e C(3,4). Todas as unidades são dadas em quilômetros. O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no ponto P(x,y), de modo que as distâncias entre o depósito e as três lojas sejam iguais: PA = PB= PC.. (Ufba 011) Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, ), B(, 4), C(0, 6), A (0, 0), B ( 6,0) e um ponto C que tem coordenadas positivas. Sabendo que e, determine o produto das coordenadas do ponto C. Parte II 1. (Unicamp 013) Na formulação de fertilizantes, os teores percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são representados por x, y e z. a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte sistema de equações lineares: Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade de certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, de acordo com o preço de cada uma. O mesmo ocorre com o preço unitário de determinado tipo de agenda escolar e a quantidade vendida. Preço de uma Preço de Quantidade lapiseira uma agenda Quantidade R$ 10,00 100 R$ 4,00 00 R$ 15,00 80 R$ 13,50 70 R$ 0,00 60 R$ 30,00 160 3x + y z = 0,0 y + z = 0,55 z = 0,5 Calcule x e y nesse caso. b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações 4% x+ y+ z 54%, x 10%, y 0% e z= 10%. Indique no plano cartesiano abaixo a região de teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante. A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados. Um tipo, com 4 lápis de cor em cada estojo, é uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base 3 quadrada, de 16cm de lado e volume igual a 576cm. O outro tipo, com 18 lápis de cor em cada estojo, tem a forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é 3 4 do custo de fabricação do primeiro estojo. Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo, independente de sua forma, é R$0,10 o centímetro quadrado. A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três funcionários: Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos salários mensais dos três, em dezembro de 011, era de R$5.000,00.. (Ita 013) Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas x (y x )(y+ ) = 0 e x x+ y 8= 0. 3. (Ufpr 013) Considere as retas r e s representadas no plano cartesiano abaixo. 1. (Fgv 01) Determine a quantos quilômetros da Loja A deverá ser instalado o depósito da distribuidora de materiais escolares. Aproxime a resposta para um número inteiro de quilômetros. www.soexatas.com Página 1
a) Escreva a equação da reta r. b) Qual deve ser o coeficiente angular da reta s, de modo que ela divida o triângulo cinza em dois triângulos com áreas iguais? Justifique sua resposta. 8. (Uel 01) Um pássaro sobrevoa uma rampa conforme mostra a figura. A ave faz seu voo em linha reta e paralela à calçada. 4. (Ufba 01) Dados os pontos P( 1, ) e Q(1, ), determine o par de coordenadas cartesianas de cada ponto S da parábola y = x, de abscissa x ± 1, de modo que as retas SP e SQ sejam perpendiculares. 5. (Ufjf 01) No plano cartesiano, considere os pontos A( 1,) e B(3,4). a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário. b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, determinado pela intersecção das retas r e s. c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(,1) e tangencia as retas r e s. 6. (Uftm 01) O gráfico representa a função f : R R, dada por ( ) x f x = 6 sen. a) Determine p e r. b) Calcule m, n e q. Em seguida, determine a equação da q,m. reta que passa pelos pontos ( 0,n ) e ( ) 7. (Ufpe 01) Uma circunferência está circunscrita ao triângulo com lados sobre as retas com equações x = 0, y = 0 e 4x+ 3y = 4, conforme a ilustração abaixo. Encontre a equação da circunferência e indique a soma das coordenadas de seu centro e de seu raio. a) Sabendo-se que a rampa forma um ângulo de 135º com a calçada, conforme mostra a figura, e que a distância do muro de apoio até o pé da rampa é de 3 metros, calcule o comprimento da rampa. b) Determine a menor distância entre o pássaro e a rampa no instante em que o pássaro se encontra a 5 metros do muro e a 6 metros da calçada em que se apoia a rampa. Apresente os cálculos realizados na resolução de cada item. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Notações N : Conjunto dos números naturais; R : Conjunto dos números reais; + R : Conjunto dos números reais não negativos; i: unidade imaginária; i = 1; P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A; n(a) : número de elementos do conjunto finito A; AB: segmento de reta unindo os pontos A e B; arg z: argumento do número complexo z; [ a,b] = { x R:a x b} A\B= { x:x A e x B} c A n k= 0 : complementar do conjunto A; k n k 0 1 n a x = a + a x+ a x +... + a x,n N. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são www.soexatas.com Página
cartesianos retangulares. 9. (Ita 01) As interseções das retas r : x 3y + 3 = 0, s : x + y 7 = 0 e t : x + 7y 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os vértices de um triângulo que é a base de um prisma reto de altura igual a unidades de comprimento. Determine: a) A área total da superfície do prisma. b) O volume do prisma. 10. (Ufba 011) Considerem-se em um sistema de coordenadas cartesianas tendo o metro como unidade de medida para os eixos Ox e Oy duas partículas P 1 e P. Sabendo que, no instante t = 0, a partícula P 1 parte da origem, na direção positiva do eixo Oy, com velocidade constante de m/s, e a partícula P parte do ponto (10, 0) em direção à origem dos eixos com velocidade constante de 1m/s, escreva uma equação da reta que passa pelos pontos que determinam a posição das duas partículas no instante em que o quadrado da distância entre elas é mínimo. 11. (Ufmg 011) Considere as retas r,s e t de equações, respectivamente, y= x 4, y= x+ 11 e x+ 7 y =. 5 a) Trace, no plano coordenado abaixo, os gráficos dessas três retas. a) Sabendo-se que a x + a x+ a Q(x) = b x b x b 1 3 1 + + 3 (com b x + b x+ b 0) independe de x, pede-se 1 3 determinar seu valor. b) Na figura, se os pontos A,B e C são vértices de um triângulo isósceles e o segmento AC é um dos diâmetros da circunferência convenientemente centrada na origem do sistema ortogonal, pede-se determinar a medida do segmento AB em função de a 1. 14. (Ueg 010) Em uma chácara há um pasto que é utilizado para criar vacas e bezerros. Esse pasto tem área de dois hectares, sendo que cada um corresponde a um quadrado de 100 metros de lado. Observações técnicas indicam que cada vaca deverá ocupar uma área de, no mínimo, 1000 m e cada bezerro de, no mínimo, 400 m. a) De acordo com as observações técnicas, esse pasto comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifique sua resposta. b) Represente algébrica e graficamente as condições dessa situação, respeitando as observações técnicas. 15. (Ufg 010) No plano cartesiano, as retas r e s, de equações x 3y + 3 = 0 e x + 3y 1 = 0, respectivamente, se intersectam em um ponto C. Considerando o ponto P(0, 4), determine as coordenadas de dois pontos, A r e B s, de modo que o segmento CP seja uma mediana do triângulo ABC. b) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção A= r s,b = r t e C= s t. c) Determine a área do triângulo ABC. 1. (Ufpe 011) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com 1,3. vértices nos pontos com coordenadas ( 5,1 ), ( 7, ) e ( ) Assinale 4a b. 13. (Unifesp 011) Considere a 1,a,a 3,b 1,b,b 3 números reais estritamente positivos, tais que os pontos (a 1,b 1), (a,b ) e (a 3,b 3) pertençam à reta y= x. 16. (Ufg 010) Considere no plano cartesiano, duas retas, r e s, cujas equações são, respectivamente, dadas por y = x 5 e y = x + 1. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(1,3) e intersecta r e s nos pontos A e B, com A r e B s, de modo que o ponto P seja o ponto médio do segmento AB. 17. (Unicamp 010) No desenho a seguir, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (,0), resolva as questões que se seguem. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a. www.soexatas.com Página 3
b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x. 18. (Ufc 1996) A reta x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triângulo. 4. (Ufmg 01) Um triângulo equilátero ABC, cujo lado mede 1 cm, é colocado sobre um plano cartesiano, de modo que, inicialmente, o lado AC está apoiado sobre o eixo e o vértice C, sobre a origem. Em seguida, esse triângulo é girado, seguidamente, sobre o vértice que está à direita e apoiado sobre o eixo x, como mostrado nesta figura: Parte III 1. (Ita 013) Determine a área da figura plana situada no primeiro quadrante e delimitada pelas curvas x (y x )(y+ ) = 0 e x x+ y 8= 0.. (Unicamp 013) Considere a família de retas no plano cartesiano descrita pela equação ( p) x+ (p+ 1) y + 8p + 4= 0, nas variáveis x e y, em que p é um parâmetro real. a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta correspondente intercepte perpendicularmente o eixo y. Encontre o ponto de interseção neste caso. b) Considere a reta x+ 3y + 1= 0 dessa família para p = 1. Denote por A o seu ponto de interseção com o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equação da circunferência em que o segmento OA é um diâmetro. 3. (Ufpe 01) Uma circunferência está circunscrita ao triângulo com lados sobre as retas com equações x = 0, y = 0 e 4x+ 3y = 4, conforme a ilustração abaixo. Encontre a equação da circunferência e indique a soma das coordenadas de seu centro e de seu raio. a) Determine uma equação que descreve a trajetória do ponto A, da sua posição inicial até ele tocar novamente, pela primeira vez, o eixo x. b) Determine o comprimento da trajetória percorrida pelo ponto A, da sua posição inicial até ele tocar novamente, pela primeira vez, o eixo x. c) Determine as coordenadas de todos os pontos da trajetória do ponto A que estão a uma altura 1 do eixo x. 5. (Unicamp 011) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a 4 km de distância da estrada, conforme a figura a seguir. a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada na estação da www.soexatas.com Página 4
guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico abaixo, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas. b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa antena deve ser instalada. 6. (Ufpe 011) Na ilustração a seguir, temos a circunferência com equação x + y + 6x+ 8y = 75 e a reta passando pela origem e pelo centro da circunferência. Determine o ponto da circunferência mais distante da origem e indique esta distancia. www.soexatas.com Página 5
Parte IV: Como cai na UFJF 1. (Ufjf 01) No plano cartesiano, considere os pontos A( 1,) e B(3,4). a) Encontre a equação da reta r que passa por A e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135º, medido do eixo para a reta no sentido anti-horário. b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, determinado pela intersecção das retas r e s. c) Determine a equação da circunferência que possui centro no ponto Q(,1) e tangencia as retas r e s.. (Ufjf 01) Considere as retas r 1 : y = m 1 x+ b 1 e r : y = mx+ b, tais que r 1 e r são paralelas, a reta r 1 passa pelo ponto A(0, ) e a reta r passa pelo ponto B(1, 0). Sabendo que a reta l passando pelos pontos A e B é perpendicular à reta r 1, qual é o valor do produto m b 1? a) Determine a equação da circunferência de centro no ponto A e que contém o ponto B. b) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e é perpendicular ao mesmo segmento. c) Fixando a extremidade em A e rotacionando a haste no sentido horário em 60, quais são as coordenadas da posição final da extremidade inicialmente em B? 6. (Ufjf 007) Considere o retângulo ABCD a seguir. Os pontos C e D têm coordenadas cartesianas respectivamente iguais a (9, 4) e (1, 4). O ponto E é um ponto no segmento CD tal que EC = 1 CD e AEB é um ângulo reto. 4 1 a). b) 0. c) 1. d) 1. e). 3. (Ufjf 011) No plano cartesiano, considere os pontos 5 A,, B(,5 ) e C( 4,3), e a reta r que passa pelo 3 3 ponto A e que divide o ângulo BÂCao meio. Sabendo que os pontos B e C pertencem a uma circunferência de centro A, qual é a ordenada do ponto em que a reta r intersecta o eixo y? a) 7 6 b) 4 3 c) 3 d) 3 4 e) 1 4. (Ufjf 011) No plano cartesiano, seja λa circunferência de centro C = (3,5) e raio 4 e seja r a reta de equação y = -x + 6. a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no interior da circunferência λ. b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ 1 concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r. 5. (Ufjf 011) No plano cartesiano, considere uma haste metálica rígida, de espessura desprezível, com extremidades nos pontos A(3,3) e B(5,1). A reta que passa pelos pontos B e E tem equação na forma y = áx + â, onde: a) á [ -, - 1] e â < - 7. b) á [ - 4, - ] e 0 < â < 1. c) á [ - 1, 0] e â < 9. d) á [ -, - 1] e â > 11. e) á [ - 3, - ] e â > 10. 7. (Ufjf 007) Considere uma circunferência C 1 de equação x + y + 8x y 83 = 0. Seja agora uma circunferência C de centro em O(13, ) que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura plana formada pelos pontos internos à circunferência C 1 e externos à circunferência C, em unidades de área, é: a) 0р. b) 80ð. c) 100ð. d) 10ð. e) 00ð. 8. (Ufjf 007) Considere a circunferência ë : x + y - 4x - 6y - 3 = 0 e a reta r : x + y = 0. a) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência ë e é perpendicular à reta r. b) Determine a equação da circunferência concêntrica à circunferência ë e tangente à reta r. www.soexatas.com Página 6
9. (Ufjf 006) Os centros das circunferências tangentes às circunferências x + y = 5 e (x - 10) + y = 5 formam triângulos equiláteros com os centros dessas duas circunferências. Determine as equações dessas circunferências tangentes. 10. (Ufjf 003) Sobre o conjunto de pontos de interseção da circunferência x + (y - ) = com a reta mx - y + = 0, onde m é real, podemos afirmar que: a) contém um único ponto. b) é o conjunto vazio. c) contém dois pontos. d) contém três pontos. e) depende de m www.soexatas.com Página 7