0 0 0 CUREL 3 BALE ININITO elocidade, Delocamento e Aceleração do Cone x PL ig. Circuito equivalente eletro-mecânico do alto-falante. Equacionando a malha elétrica e mecânica do circuito na ig., obteremo (.) e (.). Eg Rg + + Le I + (0.) I Rm + Mm + + d Z Cm () () A() (0.) azo: ZE () Rg + + Le (0.3) Cm ZM Rm + Mm + + d Z () A() (0.4) e ubtituindo (0.3) em (0.) e (0.4) em (0.), vem: Eg Z I + (0.5) E() I () () ZM () (0.6) Obto o valor de I () em (0.5) e ubtituindo em (0.6), temo:
I Eg Eg (0.7) Z Z Z E() E() E() Eg Z Eg Z Z Z Z Z () M () () M() E() E () E() E() Eg Eg + () ZM () () + ZM () ZE Z () E Z () E Z () E() (0.8) (0.9) () Z Eg Z E() + E() Z M() (0.0) ig. Gerador de força e ua impedância interna. ig. 3 Impedância interna com o eu componente. A equação (0.0) ugere que uma velocidade ( L) /Z E () β e Z M (), alimentada pelo gerador () circula por um circuito érie, compoto pela impedância Eg β L / Z E(). Podemo também enter ( β L) /Z E como o a impedância interna dete gerador de força, contituída () pela impedância exitente no lado elétrico que foram girada para o lado mecânico. Para comprovar que /Z E é uma impedância mecânica e, portanto exprea em N/m ou Kg /, () bata lembrar que o produto I correponde a uma força em Newton: ( I) N N N N N ZE ZEI W J/ J Nm m (0.)
( L) ( L) β β Z Rg Le Le E Rg + + Le () + + + + Rg (0.) Atravé do deenvolvimento em (0.) podemo comprovar que a impedância elétrica, refletida para o lado mecânico, tranformou-e em uma impedância mecânica compota por trê componente em paralelo: dua reitência mecânica, repectivamente (BL) / Rg e (BL) / e uma compliância mecânica Le /(BL), análoga a uma capacitância, como podemo ver na ig. 3 e 4. ig. 4 Circuito equivalente mecânico do alto-falante. ig. 5 Circuito equivalente mecânico, implificado. Deprezando a influência de Rg, Le e da impedância acútica d ZA(, refletida para o lado mecânico: ) + Rm + Mm + Cm (0.3)
Multiplicando numerador e denominador por Cm, vem: Cm Mm Cm + Cm + Rm + (0.4) Multiplicando e dividindo o termo em no denominador por Mm, vem : Como Cm + Rm + + Mm ω /Mm Cm Mm Cm Mm Cm (0.5) Cm + Rm + + ω ω ωmm (0.6) azo ω Mm + Rm Qt (0.7) Cm (0.8) Multiplicando numerador e denominador por Mm e fazo ω /Mm Cm, vem: MmCm Mm (0.9) ω Mm ω ω ω Qt (0.0)
Cm ω Mm (0.) Como o epaço percorrido é igual à integral da velocidade ao longo do tempo, o que equivale a dividir a velocidade pela variável complexa jω, aplicando ee procedimento em (0.8), vem: X Cm Eg (0.) A aceleração pode er obtida atravé da derivada egunda do epaço, X, ou da derivada da velocidade, ( ). Aplicando ete método em (0.0), obteremo (.3): A ω Mm (0.3) e multiplicarmo a velocidade do cone () (em m/) pela área efetiva do cone, d (em m ), obteremo a velocidade volumétrica U () (em m 3 /): U d ω Mm ω ω ω Qt (0.4) A preão acútica produzida pelo falante, a m de ditância, no eixo, é dada por: ρ ρ Pr U d π π (0.5) Pr ρ d ω Eg π Mm + + (0.6) Comparando a expreão da preão acútica em (0.6) com a da aceleração do cone em (0.3), podemo contatar que diferem apena por uma contante e podem er relacionada conforme abaixo: ρd ρd ρd ρ π π π π Pr A X d X (0.7)
Onde o produto d X( ), ou eja, a área efetiva do cone veze o delocamento, repreenta o volume de ar delocado pelo cone do falante, o expreo em metro cúbico. Podemo então afirmar que a preão acútica produzida por um falante é diretamente proporcional à aceleração impota ao cone. Ete fato permite que façamo a eguinte conideraçõe: Delocamento do Cone e Preão Acútica Conforme vimo acima, a preão acútica produzida pelo falante é diretamente proporcional à aceleração, o que a aceleração é a derivada egunda do delocamento. Pr ρ π d X (0.8) ubtituindo por jω, vem: ρ Pr ( jω) ω d X( jω) (0.9) π Aim, em baixa freqüência, para e obter alto valore de preão acútica é imprecindível que o volume de ar delocado pelo cone eja elevado (para compenar a diminuição da freqüência). Como a preão acútica depe do quadrado da freqüência, para mantermo contante o nível de preão onora, o delocamento do cone deverá quadruplicar toda vez que a freqüência cair pela metade (uma oitava), já que d permanece contante. No entanto, fica evidente que a utilização de falante com diâmetro elevado é muito oportuno na baixa freqüência, uma vez que io vai poupar o cone da neceidade de efetuar grande delocamento. Em compenação, em freqüência mai elevada, o delocamento do cone erá mínimo. umo: A preão acútica é diretamente proporcional: À aceleração do cone. À denidade do ar. Aim, em um dia frio e eco, ao nível do mar (alta preão atmoférica), teremo maior PL. 3 Ao volume de ar delocado, d X( ); 4 Ao quadrado da freqüência. Para uma mema preão acútica, reduzindo a freqüência à metade implicará em quadruplicar o delocamento do cone. Inveramente, ubindo uma oitava, o delocamento ficará quatro veze menor.
O Polinômio O comportamento com a freqüência, em regime permanente enoidal, para o delocamento, a velocidade e a aceleração do cone é dado pelo polinômio abaixo, repectivamente obtido a partir da equaçõe (0.), (0.0) e (0.3) G X ω ω Qt (0.30) G ω (0.3) G A ω (0.3) A ig. 6, 7 e 8 motram o módulo do referido polinômio para divero valore de Qt. A ecala de freqüência etá normalizada em relação à freqüência de reonância, ou eja, foi graduada em função de f/. Podemo notar que para f/, o módulo de cada polinômio é igual ao repectivo valor de Qt. O polinômio que caracteriza o delocamento do cone (ig. 6) é do tipo paa baixa, daí o delocamento ter para na baixa freqüência, paando por um máximo, abaixo de, cao o Qt eja maior que 0,707. Já o polinômio da velocidade (ig. 7) é do tipo paa faixa, o aquela máxima na freqüência de reonância do falante (f/ ). alore alto de Qt levam a uma curva mai eletiva (banda etreita) enquanto o baixo valore de Qt produzem uma curva de banda larga e menor amplitude. A aceleração (ig. 8) correponde a um filtro paa alta, exatamente como a repota do falante em um baffle infinito (caixa fechada de volume uperior a 5 veze o olume Equivalente Acútico (a) do falante ou uma parede diviória, de grande dimenõe). azo o gráfico da aceleração do cone, em db, ou eja, 0Log A (jω), teremo a curva motrada na ig. 9, idêntica a fornecida pelo programa de imulação, faltando apena o coeficiente ρd / π. Domínio do Tempo Na ig. 0, vemo a repota ao degrau unitário do delocamento do cone, da velocidade e da aceleração. O degrau unitário é um inal de amplitude igual a para intante de tempo iguai ou maiore que zero, e nulo para valore de tempo inferiore a zero. É muito emelhante a uma tenão de olt, aplicada na bobina do falante em t 0. Na ig. 0, vemo que o cone ocilou em torno da poição para a qual e dirigia até ali parar, apó algum tempo. O valor de Qt é o fator dominante dete comportamento, conforme podemo contatar na ig..
ig. 6 Módulo do Polinômio Delocamento do Cone para diferente valore de Qt. ig. 7 - Módulo do Polinômio elocidade do Cone para diferente valore de Qt. ig. 8 - Módulo do Polinômio Aceleração do Cone para diferente valore de Qt.
ig. 9- Módulo do Polinômio Aceleração do Cone, em db, para diferente valore de Qt. ig. 0 pota ao Degrau para um falante de Qt,5. ig. - pota ao degrau, do Delocamento do Cone, para divero valore de Qt.
orça no Alto-alante A força, produzida pela interação entre o campo gerado pelo ímã permanente e aquele produzido pela corrente circulando na bobina móvel, divide-e em quatro parte: acelerando a maa móvel Mm, dito a compliância mecânica Cm, obre a reitência de perda na upenão, Rm e na reitência refletida ( β L) /. Como força é igual ao produto da maa pela aceleração, vem: M () Mm A (0.33) () Elevado nívei de preão acútica acarretarão grande eforço no cone que poderão provocar ua deformação ou ruptura. Multiplicando a equação (0.3) por Mm, teremo: ω MmEg Mm M() (0.34) ω M() (0.35) Atravé da equação (0.35) vemo que a força no cone (maa móvel) é diretamente proporcional à tenão na aída do amplificador e ao fator de força, o inveramente proporcional à reitência da bobina,. No cao da compliância mecânica Cm, que por definição é igual a delocamento/força, a força erá dada por: X /Cm (0.36) C () () C() (0.37) Na reitência mecânica Rm, que repreenta a perda na upenão, por analogia com o itema elétrico, onde tenão é igual ao produto entre a reitência e a corrente, a força em Rm erá o produto entre a força e a velocidade. Rm () Rm (0.38) () CmRm Rm ω ω Qt (0.39) Multiplicando e dividindo por ω, vem:
ω CmRm ω Rm (0.40) Como ω Cm Rm (0.4) Qm ω Qm Rm (0.4) De modo análogo, na reitência mecânica ( β L) /, vinda do lado elétrico, teremo: () () (0.43) Cm Eg (0.44) Multiplicando e dividindo numerador e denominador por ω, vem: ω CmEg ω (0.45) Como Cm ω (0.46) Qe ω Qe (0.47) e omarmo a força na dua componente reitiva, teremo: ω Qm ω Qe Rm + Eg + Eg (0.48)
+ Qm Qe ω ω Qt Rm + Eg Eg Qt ω ω ω ω Qt (0.49) Poi + (0.50) Qm Qe Qt Polinômio Como podemo ver, a parte contante de cada uma da componente vale Eg β L/, cuja dimenão é força. O polinômio, que vão determinar como cada uma da componente varia, ão adimenionai. G M() ω (0.5) G Rm ω Qm (0.5) G ω Qe (0.53) G C() (0.54) A oma do quatro polinômio é igual, ou eja, a oma da força em cada componente é igual à força aplicada Eg β L /. + ω ω Qm ω Qe M + () Rm + + C G G G G (0.55) Na ig. (9) e (0) vemo, repectivamente, a repota ao degrau unitário e em regime permanente enoidal, para a componente de força repreentada na equaçõe (9), (30) e (3).
ig. Ditribuição da força em um Alto-alante de Qt,5, repota ao degrau. ig.3 Ditribuição de força em um Alto-alante de Qt,5, no domínio da freqüência.
MATLAB % Polinômio do Delocamento, elocidade e Aceleração POLINOM.m clear all ; cloe all ; clc ; clf % Delocamento Normalizado do Cone wn logpace(-,, 00) ; j.*wn ; Qm 0 ; for Qt [ 0.8 0.707 0.4 0.] ; GX./(.^ +./(Qt) + ) ; MGX ab(gx) ; if Qt.0 ; emilogx(wn, MGX, 'r' ) ; grid on ; hold on eleif Qt 0.8 ; emilogx(wn, MGX, 'g' ) ; eleif Qt 0.707 ; emilogx(wn, MGX, 'b' ) ; eleif Qt 0.4 ; emilogx(wn, MGX, 'm' ) ; eleif Qt 0. ; emilogx(wn, MGX, 'c' ) ; et(gca, 'LineWidth', ) title('módulo do Polinomio Delocamento do Cone '); xlabel('f / '); ylabel('módulo'); leg ( 'Qt ', 'Qt 0.8 ', 'Qt 0.707 ', 'Qt 0.4', 'Qt 0.', ) hold off ; paue % elocidade Normalizada do Cone wn logpace(-,, 00) ; j.*wn ; Qm 0 ; for Qt [ 0.8 0.707 0.4 0.] ; G./(.^ +./(Qt) + ) ; MG ab(g) ; if Qt.0 ; emilogx(wn, MG, 'r' ) ; grid on ; hold on eleif Qt 0.8 ; emilogx(wn, MG, 'g' ) ; eleif Qt 0.707 ; emilogx(wn, MG, 'b' ) ; eleif Qt 0.4 ; emilogx(wn, MG, 'm' ) ; eleif Qt 0. ; emilogx(wn, MG, 'c' ) ; et(gca, 'LineWidth', ) title('módulo do Polinomio elocidade do Cone '); xlabel('f / '); ylabel('módulo'); leg ( 'Qt ', 'Qt 0.8 ', 'Qt 0.707 ', 'Qt 0.4', 'Qt 0.', ) hold off ; paue % Aceleração Normalizada do Cone wn logpace(-,, 00) ; j.*wn ; Qm 0 ; for Qt [ 0.8 0.707 0.4 0.] ; GA.^./(.^ +./(Qt) + ) ; MGA ab(ga) ; if Qt.0 ; emilogx(wn, MGA, 'r' ) ; grid on ; hold on eleif Qt 0.8 ; emilogx(wn, MGA, 'g' ) ;
eleif Qt 0.707 ; emilogx(wn, MGA, 'b' ) ; eleif Qt 0.4 ; emilogx(wn, MGA, 'm' ) ; eleif Qt 0. ; emilogx(wn, MGA, 'c' ) ; et(gca, 'LineWidth', ) title('módulo do Polinomio Aceleração do Cone '); xlabel('f / '); ylabel('módulo'); leg ( 'Qt ', 'Qt 0.8 ', 'Qt 0.707 ', 'Qt 0.4', 'Qt 0.', ) hold off ; paue % Aceleração Normalizada do Cone em db PL wn logpace(-,, 00) ; j.*wn ; Qm 0 ; for Qt [ 0.8 0.707 0.4 0.] ; GA.^./(.^ +./(Qt) + ) ; MGA ab(ga) ; PL 0*log(MGA) ; if Qt.0 ; emilogx(wn, PL, 'r' ) ; grid on ; hold on eleif Qt 0.8 ; emilogx(wn, PL, 'g' ) ; eleif Qt 0.707 ; emilogx(wn, PL, 'b' ) ; eleif Qt 0.4 ; emilogx(wn, PL, 'm' ) ; eleif Qt 0. ; emilogx(wn, PL, 'c' ) ; et(gca, 'LineWidth', ) title('módulo do Polinomio Aceleração do Cone, em db'); xlabel('f / '); ylabel('módulo'); leg ( 'Qt ', 'Qt 0.8 ', 'Qt 0.707 ', 'Qt 0.4', 'Qt 0.', 4) hold off ;