UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS CCT DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT Exercícios sobre AUTOVALORES e AUTOVETORES Professora: Graciela Moro. Encontre os autovalores e autovetores das transformações lineares dadas: (a) T : R! R tal que T (x; y) = (y; x) (b) T : R! R tal que T (x; y) = (x + y; x + y) (c) T : R! R tal que T (x; y; z) = (x + y; x y + z; x + y z) (d) T : P! P tal que T (ax + bx + c) = ax + cx + b (e) T : M(; )! M(; ) tal que A! A T. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes 0 0 0 a) A = 0 5 b) A = 0 5 c) A = 6 0 0 0 0 5 : 0 0 0 0 0. (ENADE) Uma transformação linear T : R! R faz uma re exão em relação ao eixo horizontal, conforme mostrado na gura a seguir. Essa transformação T a) é dada por T (x; y) = ( x; y): b) tem autovetor (0; ) com autovetor associado igual a : c) tem autovetor (; 0) com autovetor associado igual a : d) tem autovetor de multiplicidade : e) não é inversível.
. Construa uma matriz x não diagonal com autovalores e : 5. Encontre a transformação linear T : R! R ; tal que T tenha autovalores e associados aos autovetores (y; y) e ( y; y) respectivamente. 6. Que vetores não nulos do plano, quando cisalhados por C(x; y) = (y x; y) e em seguida girados de 5 o (no sentido anti-horário) cam ampliados / reduzidos (na mesma direção)? Em quantas vezes?. Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T : R! R obtido quando se faz uma rotação de rad em torno do eixo x; seguida de uma contração de : 8. Seja T : <! < um operador linear que dobra o comprimento do vetor (; ) e triplica e muda o sentido do vetor (; ): (a) Determine T (x; y) (b) Calcule T (0; ) (c) Qual a matriz do operador T na base f(; ); (; )g ; = ; = 0; respectiva- 9. Seja T : M(; )! M(; ) com autovetores v = 0 0 e v = associados aos autovalores = ; = a b mente. Determine T : c d 0 ; v 0 0 = 0, v 0 0 = 0 0 0. Dada a transformação linear T : <! < que é a projeção sobre a reta y = x. Encontre os autovalores e autovetores da transformação T:. Considere P = conjunto dos polinômios de grau. Seja o operador linear D : P! P dado por D(p) = x:p 0 +p 0.Determine os autovalores e autovetores de D:. Seja A uma matriz quadrada e A T sua transposta. As matrizes A e A T possuem os mesmos autovalores e autovetores? Justi que sua resposta.. Encontre os autovalores e autovetores da transformação linear que a cada vetor v R associa a sua projeção ortogonal no plano x + y = 0:. Seja T : V! V linear (a) Se = 0 é autovalor de T, mostre que T não é injetora. (b) A recíproca é verdadeira? Ou seja, se T não é injetora, = 0 é autovalor de T? (c) Quais são os autovalores e autovetores do operador derivação D : P! P ; D(p) = p 0 :
5. Sejam A; B M(n; n) matrizes triangulares com a mesma diagonal principal. Existe alguma relação entre seus autovalores? Qual? 6. Mostre que o conjunto de todos os autovetores de um operador linear T : V! V associados a um autovalor é um subespaço vetorial de V:. Discuta a veracidade da a rmação: Se não é um autovalor de A, então o sistema linear (A I)v = 0 só tem a solução trivial. 8. Sejam A e B matrizes n n: Dizemos que uma matriz B é semelhante a uma matriz A se existir uma matriz inversível P tal que B = P AP: Mostre que se B é semelhante a A, então as duas matrizes tem o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores. 9. Mostre que se B = R AR e! v é um autovetor de B associado a um autovalor então R! v é autovetor de A associado a : 0. Seja T : R! R o operador linear de nido por T (x; y) = (x y; x+y):determinar uma base de autovetores do R e mostre que a matriz do operador [T ] é diagonal.. Considere uma transformação linear T : V! V abaixo. Se possível, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P AP: (a) T : P! P de nida por T (a + bx) = (a + b) + (a + b)x: (b) T : P! P de nida por T (p(x)) = p(x + ):. Veri car se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P AP: 5 (a) A = (b) A = 5 0 0 (c) A = 60 0 0 5 0 0 0. Considere o operador T : R! R de nido por T (x; y; z) = (5x + z; x 5y; z) e o operador S : R! R de nido pela re exão através do plano : x + z = 0: (a) Determine S T: (b) S T é diagonalizável? Se for, encontre D e P tal que D = P [S T ]P: 0 k 0. Determine o valor de k para que a matriz A = @ 0 A seja diagona-lizável. 0 0
5. Determine a de modo que a matriz A seja diagonalizável. Para o valor de a encontrado, determine uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que P AP = D: A = 60 a 0 0 0 5 0 0 0 6. Encontre os autovalores de A 9 se. Calcule A 0 para A = 0 : A = 6 0 8 0 0 0 0 0 0 8. Seja T um operador linear que preserva o comprimento do vetor v = (; 0; 0); duplica o comprimento do vetor v = (0; ; 0) e inverte o sentido do vetor v = (0; ; ): Determine o operador linear T 0 : 9. Seja T : V! V o operador linear que tem autovalores = ; = ; ; n = n associados aos autovetores v ; v ; ; v n respectivamente. Sabendo que = fv ; v ; ; v n g e que [v] = 6. 5 ; determinar [T (v)] : n 0. Veri que se o operador T : R! R dado por T (x; y; z) = (x+y +z; x+y +z; z) é diagonalizável ou não. Em caso a rmativo, determine T (x; y; z).. Seja A uma matriz inversível. Prove que, se A é diagonalizável, A também é.. Seja A uma matriz e seja um autovalor de multiplicidade : Se A I tem posto ; A é diagonalizável? Explique.. Classi que cada a rmação como verdadeira ou falsa. Justi que cada resposta. (a) Se A é diagonalizável, então A tem n autovalores distintos. (b) Se A é inversível então A é diagonalizável. (c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonalizável. (d) Se A é diagonalizável, então cada um de seus autovalores tem multiplicidade : (e) Se nenhum dos autovalores de A é nulo, então det A 6= 0: (f) Se u e v são autovetores de A associados, respectivamente, aos autovaloes distintos e ; então u + v é um autovetor de A associado ao autovalor + : (g) Se v é autovetor dos operadores T : V! V e S : V! V então v é autovetor do operador T + S: 5
. Mostre que se é autovalor de uma matriz inversível A associado ao autovetor v; então é autovalor de A associado ao autovetor v: ALGUMAS RESPOSTAS:. a) Para = p p tem-se v = ( y; y) e para = p tem-se v = ( p y; y) b) Para = + p p tem-se v = y; y p e para = tem-se v = p y; y c) Para = tem-se v = (x; x; x); para = tem-se v = ( z; z; z) e para = tem-se v = (y; y; y) d) Para = = tem-se p (x) = ax +bx+b e para = tem-se p (x) = bx+b a b 0 c e) Para = = tem-se A = e para b c = = tem-se A = c 0. a) Para = = tem-se v = (x; 0; 0). letra c). b) Para = tem-se v = ( z; z; z); para = tem-se v = ( x; x; 0) e para = tem-se v = (x; 0; x) c) Para = tem-se v = x; 0; x; 0 ; para = tem-se v = (0; t; 0; t) e para = 6 tem-se v = x; 0; x; 0 5. T (x; y) = ( 6y; x + y) 6. Para = p tem-se v = x; 5 x e para = p tem-se v = (0; y). Para = = tem-se v = (x; 0; 0) e para = = tem-se v = (0; y; z) 9x 5y 8. a) T (x; y) = ; 5x+y 5 c) 8 8 8 a 9. T c b = d a + c d b c d 0 0. Para = 0 tem-se v = (y; y) e para = 0 tem-se v = (x; x). Para = tem-se p (x) = a e para = tem-se p (x) = b + bx 5 8. Para concluir que os autovalores são os mesmos, mostre que A e A T tem o mesmo polinômio característico.. Para = 0 tem-se v = (x; x; 0) e para = = tem-se v = ( y; y; z). c) = 0 ) p(x) = 0 5. 6. 5 5
. Verdadeiro 8. Partir da hipótese A = P BP e mostrar que det(a I) = det(b I): 0. = ; ; ( ; ) e [T ] 0 = 0 9 0. a) = f( ; ); (; )g e D = 0 5 b) Não existe base para a qual exita a matriz diagonalizadora P. 0. a) Não b) P = 05 c) Não. a) (S T )(x; y; z) = (x; x 5y; x 5z) b) Para = 0 tem-se v = (0; y; 0); para = tem-se v = z; z; z e para = 5 tem-se v = (0; y; y) e. k = 0 5 0 0 0 0 5. a = ; P = 6 6 0 0 0 5 e D = 60 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 5 56 9 8 0909 6. A 9 89 = 60 5 56 8 0 0 0 0 5 0 0 0 5. A 0 = 68 68 8. T 0 (x; y; z) = (x; 0856y 0950z; z) 9. [T (v)] = 6 9. 5 n. F F F F F V V 6